专题10简单的轴对称图形题型突破讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练+寒假预习)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题10简单的轴对称图形题型突破讲义 基础 过关题 1.等边对等角 2.三线合一 3.线段垂直平分线的性质应用 4.线段垂直平分线的判断方法 5.尺规作线段垂直平分线 6.角平分线的性质定理应用 7.尺规作角平分线 能力 提升题 8.轴对称最短路径问题 9.轴对称综合:线段问题 10.轴对称综合:面积问题 拓展 拔高题 11.轴对称综合:角度问题 12.轴对称综合:其他问题 一、基本概念（必掌握） 1.轴对称图形 定义：一个图形沿一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，这个图形叫轴对称图形。 这条直线叫做对称轴（直线，不是线段）。 2.两个图形成轴对称 两个图形沿一条直线对折后能完全重合，称这两个图形成轴对称。 区别：一个图形自身对称 vs 两个图形互相对称。 二、三类最常见的简单轴对称图形 1. 等腰三角形 是轴对称图形，对称轴：顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在直线（三线合一所在直线）。 性质： (1)两腰相等 (2)等边对等角：两底角相等 (3)三线合一：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 2. 线段 线段是轴对称图形，有两条对称轴： (1)线段本身所在直线 (2)线段的垂直平分线（中垂线） 垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 3. 角 角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在直线。 角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 三、轴对称的通用性质（通用结论） 1.对应点所连线段被对称轴垂直平分。 2.对应线段相等，对应角相等。 3.对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线。 四、必须会的基本操作与题型 1.判断一个图形是否为轴对称图形、找出对称轴。 2.利用等腰三角形等边对等角、三线合一求角度、边长。 3.利用垂直平分线、角平分线性质进行简单计算与说理。 4.补全轴对称图形（画出另一半）。 5.区分：轴对称图形（一个图）与成轴对称（两个图） 五、易错点（常考常错） 1.对称轴是直线，不是线段或射线。 2.线段有两条对称轴，很多同学只记一条。 3.三线合一前提：必须是等腰三角形（等边是特殊等腰）。 4.角平分线性质：距离是垂线段长度，不是随便连线。 【题型1.等边对等角】 1．如图，在中，，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，则等于 ． 【答案】60 【分析】此题考查了等边对等角和垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角和垂直平分线的性质是解决此题的关键． 根据，，可得，根据中垂线的性质可得，则，进而求解即可． 【详解】∵，， ∴ ∵边的垂直平分线交于点D ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 2．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（    ）    A．60° B．65° C．75° D．80° 【答案】D 【分析】根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC据三角形的外角性质即可求出∠ODC数，进而求出∠CDE的度数． 【详解】∵， ∴，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， . 故答案为D. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键． 解答题 3．如图，在中，分别是边上的点，，且． (1)填空：_____；（填“”、“”、“”） (2)试说明平分； (3)若，，求． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了等边对等角、角平分线的性质定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握等边对等角、角平分线的性质定理是关键． （1）根据等边对等角即可得到答案； （2）利用平行线的性质得到，利用等量代换即可得到结论； （3）过点D作，垂足分别为，利用角平分线的性质定理得到，再根据三角形面积公式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为： （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （3）过点D作，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∴． 【题型2.三线合一】 4．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（　　）    A．20° B．35° C．40° D．70° 【答案】B 【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°－∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=∠ACB=35°． 【详解】∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°， ∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°－∠CAB）=70°． ∵CE是△ABC的角平分线， ∴∠ACE=∠ACB=35°． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键． 5．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】A 【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论． 【详解】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC， ∴BD=CD， 即：AD是BC的垂直平分线， ∵点E在AD上， ∴BE=CE， ∴∠EBC=∠ECB， ∵∠EBC=45°， ∴∠ECB=45°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°， 故选A． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键． 6．如图，在等腰中，，，为的中点，点在上，，若点是上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四边形的内角和，连接，过作于，于，由，，则，，根据角平分线的性质得，然后证明，则，再根据四边形内角和求出，同理，掌握知识点的应用及正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，过作于，于， ∵，， ∴， ∴， 当是以为腰的等腰三角形， ∵，为的中点， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理证得， ∴， ∴， 得， 故答案为：或 解答题 7．如图，在等腰三角形中，底边，腰长为，以所在直线为x轴，以边上的高所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）直接写出点A、B、C的坐标． （2）一动点P以的速度沿底边从点B向点C运动（P点不运动到C点），设点P运动的时间为t（单位：s） ①当t为何值时，是等腰三角形？并求出此时点P的坐标． ②当t为何值时，与一腰垂直？ 【答案】（1），，；（2）①，，；，；②7或25 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质，利用勾股定理求出OA，从而可写出坐标． （2）①分，，三种情况分别求解； ②当PA⊥AC时和PA⊥AB时，分两种情况求出解． 【详解】解：（1）∵△ABC为等腰三角形， ∴OB=OC=BC=4，又腰长AB=AC=5， ∴OA==3， ∴，，； （2）①当时，与或重合，不可能； 当时，， 解得． 此时， ，． 当时，，此时，解得：， ，即； ②当时，，即， ． 当时，， 即， ． 【点睛】本题考查的坐标与图形，考查了点的坐标，等腰三角形的判定和勾股定理的知识点，解题的关键是掌握分类讨论思想． 【题型3.线段垂直平分线的性质应用】 8．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】由线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等即可求得答案. 【详解】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，线段PA＝5 ∴PA=PB， 即PB=5. 故选B. 9．如图，四边形中，垂直平分，垂足为E，下列结论不一定成立的是（    ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，先由垂直平分线的性质得，，再证明，故平分，然后运用证明，即可作答． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，，故A选项成立， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故B选项成立， ∴． 在和中， ∵， ∴．故D选项成立， 没有可证明的条件，故C选项不一定成立， 故选：C． 10．已知，中，，的垂直平分线交于E，交所在直线于P，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质.分为两种情况讨论即可． 【详解】解：①如图1， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； ②如图2， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：或． 【题型4.线段垂直平分线的判断方法】 11．如图，是的角平分线，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若的面积为8，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】（1）由角平分线的性质得到，再证， 得，然后由等腰三角形的性质即可得出结论； （2）由列式计算即可． 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵是的角平分线， ∴是的垂直平分线； （2）∵， ∴， ∴ ∴， 解得：， 即的长为5． 12．如图是由小正方形形成的格，的顶点A、B、C都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列两图． (1)在图中，画出的高； (2)在图中，P是与网格线的交点，先画线段关于对称的线段，再在上画点N．使得． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）由格点三角形得和为等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得，即可求解； （2）取格点，则有，可得，则线段关于对称线段为，根据角的对称性即可；取格点、并连接，如图交网格于，则为小网格边的中点，取格点、并连接，如图交网格于，则为小网格边的中点，连接交于，结合全等三角形判定及性质、平移等得垂直平分，即可求解． 【详解】（1）解：如图， 线段为所求作； 由格点三角形得和为等腰直角三角形， ， ， ， ， 是的高； （2）解：如图，线段和点为所求作； 取格点，则有，可得，则线段关于对称线段为，如图交网格与点，同理通过全等三角形可证，则关于的对称点为，故关于对应线段是； 取格点、并连接，如图交网格于，则为小网格边的中点，取格点、并连接，如图交网格于，则为小网格边的中点，连接交于，则是的中点；构建，可证，同理可证，则有，同理可找出的中点，同理通过全等三角形可证，则有，故可将平移至交于，可得，则有垂直平分，故有． 【点睛】本题考查了网格作图，平移的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定及性质，能利用相关知识点找出所求的点是解题的关键． 【题型5.尺规作线段垂直平分线】 13．已知线段，利用尺规，按照以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；②作直线，则直线就是线段的 ． 【答案】垂直平分线 【分析】此题考查了垂直平分线的作图，根据垂直平分线的作图进行解答即可． 【详解】解：由垂直平分线的作图可知，直线就是线段的垂直平分线， 故答案为：垂直平分线 14．某公司准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区提供牛奶，要使两小区到送奶站的距离相等，则送奶站的位置应该在（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，要使两小区到送奶站的距离相等，只需设在线段的垂直平分线与街道的交点处即可． 本题考查了线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握基本作图是解题的关键． 【详解】解：根据题意，要使两小区到送奶站的距离相等，只需设在线段的垂直平分线与街道的交点处即可． 故选：B． 15．如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M．N作直线，交于点D，交于点E，连接．若，则的周长为（   ）    A．25 B．22 C．20 D．14 【答案】B 【分析】由垂直平分线的性质可得，由的周长得到答案． 【详解】解：由作图的过程可知，是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的周长， 故选：B． 【点睛】此题考查了尺规作图一线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 解答题 16．如图，两个班的学生分别在、两处参加植树劳动，现要在道路、的交叉区域内（角内部）设一个茶水供应点，使到两条道路的距离相等，且使，请你通过尺规作图找出这一点，不写作法，保留作图痕迹 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，到两条道路的距离相等，那么点P在的角平分线上，，则点P在线段的垂直平分线上，据此作图即可． 【详解】解：如图所示，点P即为所求． 【题型6.角平分线的性质定理应用】 17．在中，，平分，交于点，，垂足为点，若，则的长为（    ）    A．3 B． C．2 D．6 【答案】A 【分析】证明△ABD≌△AED即可得出DE的长． 【详解】∵DE⊥AC， ∴∠AED=∠B=90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠EAD， 又∵AD=AD， ∴△ABD≌△AED， ∴DE=BE=3， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判断和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 18．根据“角平分线上的点到这个角 ”来观察下图：已知是的平分线，P是上的一点，且垂足分别为E，F，那么 = ．这是根据“ ”可得而得到的． 【答案】 两边的距离相等 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．根据题意可得角平分线上的点到这个角两边的距离相等；先根据是的平分线得出,再由，得，又因为,证明，故． 【详解】解：根据题意可得角平分线上的点到这个角两边的距离相等； ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵, ∴， 故． 故答案为：两边的距离相等，，，． 19．如图，已知AB∥CD，CE，AE分别平分∠ACD，∠CAB，则∠1＋∠2的度数为（      ） A．90° B．180° C．120° D．150° 【答案】A 【分析】由AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠BAC+∠ACD=180°，又由CE、AE分别平分∠ACD、∠CAB，可得∠1=∠BAC，∠2=∠ACD，则可求得∠1+∠2的度数． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD=180°， ∵CE、AE分别平分∠ACD、∠CAB， ∴∠1=∠BAC，∠2=∠ACD， ∴∠1+∠2=∠BAC+∠ACD=（∠BAC+∠ACD）=×180°=90°． 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线与角平分线的性质．题目比较简单，注意数形结合思想的应用． 解答题 20．已知：如图，在中，，BD平分，于点E，若与的面积比为，求与的面积之比． 【答案】 【分析】由角平分线的性质定理得DE=DC，可得△DBE≌△DBC，则这两个三角形面积相等，设的面积为3k，则的面积为8k，由此可得△ADE的面积，从而最后求得结果． 【详解】∵BD平分，， ∴DE=DC ∵BD=BD ∴Rt△DBE≌Rt△DBC(HL) ∴△DBE与△DBC的面积相等 ∵与的面积比为 设的面积为3k，则的面积为8k ∴△DBE的面积为3k，△ADE的面积为：8k-3k-3k=2k ∴与的面积之比为：2k:8k=1:4． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． 【题型7.尺规作角平分线】 21．如图的尺规作图是作（　　） A．线段的垂直平分线 B．一个角等于已知角 C．一条直线的平行线 D．一个角的平分线 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，根据作法解答即可． 【详解】解：由图形知，该尺规作图的步骤依次是：以点O为圆心，任意长为半径，交于点C，交于点D， 再分别以点C、D为圆心的长度为半径画弧， 则即为的平分线， 故选：D． 22．如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线交于点E．若，则的大小为 度．    【答案】55 【分析】首先根据题意得到是的角平分线，进而得到． 【详解】∵由作图可得，是的角平分线 ∴． 故答案为：55． 【点睛】此题考查了作角平分线，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 23．如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P；连接AP并延长交BC于点D．则下列结论正确的是（    ） A．AD是△ABC的高 B．AD是△ABC的中线 C．AD是△ABC的角平分线 D．AD一定经过△ABC的重心 【答案】C 【分析】根据作图痕迹判断即可． 【详解】由作图可知AD平分， 线段AD是的角平分线．又三角形的重心是三角形三条中线的交点， 故选：C． 【点睛】本题考查作图-基本作图，三角形的角平分线，重心等知识，解题的关键是读懂图像信息． 解答题 24．如图，已知． (1)尺规作图：作的外角的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)尺规作图：作边的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查作角平分线和线段垂直平分线，熟练掌握基本作图是解答本题的关键． （1）利用基本作图作的平分线即可； （2）利用基本作图作出的垂直平分线即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作． （2）解：如图，即为所作． 【题型8.轴对称最短路径问题】 25．如图，是一条笔直的公路，在公路的两侧各有一个村庄，，两个村庄准备集资修建一个公交车站，经过协商，要求车站到两个村庄的路程和最短，小聪帮助设计了公交车站修建点，则小聪设计的理由是 ． 【答案】两点之间线段最短 【分析】根据两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：两点之间线段最短． 【点睛】本题主要考查线段的基本事实，理解线段的基本事实是解题的关键． 26．如图，在正方形网格中，M，N为小正方形顶点，直线l经过小正方形顶点A，B，C，D，在直线l上求一点P使最短，则点P应位于（　　） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质求解． 【详解】解：作N关于l的对称点E，连接，交l于点C， ∴的垂直平分线为l， ∴， ∴， 即P与C重合， 故选：C． . 27．为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄和李庄的群众出行到河岸．张庄和李庄位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄和李庄到河岸的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在，之间距离 m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 【答案】 【分析】此题主要考查了最短路线问题，作点关于直线的对称点，连接交于点，此时点到与的距离和最短，正确作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决本题的解题关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， ， ，此时点到与的距离和最小， 过作，延长与交于点， ， ，，且， ， ， ， 点与点的距离是， 故答案为：． 解答题 28．如图，m是某工业园区的中轴线，某科技公司的工作区A和生活区B在m同侧，从图纸上看它们正好在正方形网格的格点上．公司计划在中轴线上选一点P发放午餐，工作人员一般是从工作区A下班后到P点领取午餐，然后到休息区B就餐、休息．P点选在哪一点才能使工作人员所走的路程之和最短？请在下图中标出点P的位置并画出工作人员所走路线． 【答案】P点选在关于直线的对称点和点B的连线于直线m的交点；路线见解析 【分析】本题考查了轴对称解决最短路径问题，解题关键是依据轴对称性质和两点之间线段最短来确定P点． 作关于直线的对称点（或作关于直线的对称点 ） ． 连接（或 ），这条线段与直线的交点就是所求的点 ．因为根据轴对称性质，（或 ），那么（或 ），而两点之间线段最短，所以此时的和最短，连接，这就是工作人员所走的最短路线． 【详解】解：作关于直线的对称点，连接，交直线m于点P，点P即为使路程和最短的点； 连接，这就是工作人员所走的最短路线． 【题型9.轴对称综合:线段问题】 29．如图，在面积为48的等腰中，，，P是BC边上的动点，点P关于直线AB、AC的对称点外别为M、N，则线段MN的最大值为 ． 【答案】19.2 【分析】点P关于直线AB、AC的对称点分别为M、N，根据三角形三边关系可得，当点P与点B或点C重合时，P、M、N三点共线，MN最长，由轴对称可得，，再由三角形等面积法即可确定MN长度． 【详解】解：如图所示：点P关于直线AB、AC的对称点分别为M、N， 由图可得：， 当点P与点B或点C重合时，如图所示，MN交AC于点F，此时P、M、N三点共线， MN最长， ∴，， ∵等腰面积为48，， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查对称点的性质及三角形三边关系，三角形等面积法等，理解题意，根据图形得出三点共线时线段最长是解题关键． 30．某市计划在公路l旁修建一个飞机场M，现有如下四种方案，则机场M到A、B两个城市之间的距离之和最短的方案是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】用轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两点之间的距离． 【详解】解：作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于M， 根据两点之间线段最短，可知机场M到A、B两个城市之间的距离之和最短． 故选：B． 【点睛】本题考查了最短路径的数学问题，这类问题的解答依据是两点之间，线段最短，由于所给条件的不同，解决方法和策略上有所差别． 31．如图，中，分别是边上的动点，则的和的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题． 如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ，，，， ， ，，， ， 、、共线， ， ， 当、、、共线时，且时，的值最小， 最小值为， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 解答题 32．如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)作出关于直线对称的； (2)在直线上作一点P，使得的周长最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了作图-轴对称变换． （1）首先确定A、B、C三点关于轴对称的对称点位置，再连接即可； （2）连接交直线于点P，则，即可知的周长最小． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：连接交直线于点P，点P即为所求． ， ∴此时最小，的周长最小， ∴点P即为所求． 【题型10.轴对称综合:面积问题.】 33．如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为 ． 【答案】8 【分析】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，    ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键． 解答题 34．如图1，已知长方形中，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒）    (1)当时，_____ ；当时，______ ． (2)在点P的运动过程中，当平分或的面积时，求t的值． (3)如图2，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ①当最短时，直接写出此时四边形的面积； ②当四边形的面积是长方形的面积时，直接写出t的值． 【答案】(1)2 (2)或 (3)①；②或 【分析】本题考查了一元一次方程与几何应用，轴对称的性质，三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据运动速度和时间列式得出，再结合，进行线段的和差运算，即可作答． （2）先算出长方形的面积为，则或的面积为，结合平分或的面积，列式进行计算可作答． （3）①结合垂线段最短，找出最短，即点与点重合，根据轴对称的性质，得出，结合边形的面积是长方形的面积，即可作答． ②由得出，然后进行分类讨论，即当点P在上时和点P在上时，再根据三角形的面积等于底与高的乘积的一半，即可作答． 【详解】（1）解：∵动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动， ∴当时，则 ∵ ∴ ∴当时，则 ∴ 故答案为：2 （2）解：∵长方形中， ∴等于的面积， 即， ∵平分的面积，    ∴， 即， 解得． ∵平分的面积，    ∴， 即， 解得． ∴或 （3）解：①∵当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ∴最短时，即最短 此时（垂线段最短），即点与点重合 ∴ ②∵边形的面积是长方形的面积 ∴ ∵ ∴ 当点P在上时    ∴ 解出； 当点P在上时    ∴ 解出； 综上：或． 【题型11.轴对称综合:角度问题】 35．已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则 ． 【答案】60°/60度 【分析】作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小， ∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN， ∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝30°+ （180°﹣β）， ∴180°﹣α＝60°+（180°﹣β）， ∴β﹣α＝60°， 故答案为：60． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用轴对称知识作出辅助线解决问题． 36．如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查轴对称，根据题意得出点的变化规律是解题关键． 根据题意画出图形进而得出每对称6次回到点P，进而得出符合题意的答案． 【详解】解：作图可得： ， 设两直线交点为O，根据对称性可得：作出的一系列点，，，…，都在以O为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴每相邻两点间的角度是； 故若与P重合，则n的最小值是6． 故选：B． 解答题 37．如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝48°，点M和点N分别是射线OB和射线OA上的动点，当△PMN的周长为最小时，∠MPN的度数为 度． 【答案】84 【分析】作点关于的对称点，连接，，，得，；作点关于的对称点，连接，，，得，；根据；，，，共线时，周长最短，再根据对称性质，即可求出的角度． 【详解】作点关于的对称点，连接，，； ∴，， 作点关于的对称点，连接，，， ∴，， ∴ 当，，，共线时，周长最短 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴在中， ∴ ∵， ∴ ∵ 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是做出对称点，找到共线时路径最短，利用对称性质，对角等量代换． 【题型12.轴对称综合:其他问题】 38．方格纸中每个小方格都是边长为的正方形，我们把以格点的连线为边的多边形称为“格点多边形”，如图就是一个“格点三角形”．    (1)画出关于直线的对称图形； (2)若网格上最小正方形的边长为，求的面积； (3)若在上存在一点，使得最小，请在图中画出点的位置． 【答案】(1)见解析 (2)的面积为5 (3)见解析 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A、B、C的对应点，，即可． （2）根据三角形的面积公式即可得到结论． （3）连接交直线于点Q，此时最小． 【详解】（1）解：如图，为所作；   ； （2）解：的面积； （3）解：如图，点为所作，   ． 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称一最短路径问题，三角形的面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质准确作出点Q． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10简单的轴对称图形题型突破讲义 基础 过关题 1.等边对等角 2.三线合一 3.线段垂直平分线的性质应用 4.线段垂直平分线的判断方法 5.尺规作线段垂直平分线 6.角平分线的性质定理应用 7.尺规作角平分线 能力 提升题 8.轴对称最短路径问题 9.轴对称综合:线段问题 10.轴对称综合:面积问题 拓展 拔高题 11.轴对称综合:角度问题 12.轴对称综合:其他问题 一、基本概念（必掌握） 1.轴对称图形 定义：一个图形沿一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，这个图形叫轴对称图形。 这条直线叫做对称轴（直线，不是线段）。 2.两个图形成轴对称 两个图形沿一条直线对折后能完全重合，称这两个图形成轴对称。 区别：一个图形自身对称 vs 两个图形互相对称。 二、三类最常见的简单轴对称图形 1. 等腰三角形 是轴对称图形，对称轴：顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在直线（三线合一所在直线）。 性质： (1)两腰相等 (2)等边对等角：两底角相等 (3)三线合一：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 2. 线段 线段是轴对称图形，有两条对称轴： (1)线段本身所在直线 (2)线段的垂直平分线（中垂线） 垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 3. 角 角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在直线。 角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 三、轴对称的通用性质（通用结论） 1.对应点所连线段被对称轴垂直平分。 2.对应线段相等，对应角相等。 3.对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线。 四、必须会的基本操作与题型 1.判断一个图形是否为轴对称图形、找出对称轴。 2.利用等腰三角形等边对等角、三线合一求角度、边长。 3.利用垂直平分线、角平分线性质进行简单计算与说理。 4.补全轴对称图形（画出另一半）。 5.区分：轴对称图形（一个图）与成轴对称（两个图） 五、易错点（常考常错） 1.对称轴是直线，不是线段或射线。 2.线段有两条对称轴，很多同学只记一条。 3.三线合一前提：必须是等腰三角形（等边是特殊等腰）。 4.角平分线性质：距离是垂线段长度，不是随便连线。 【题型1.等边对等角】 1．如图，在中，，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，则等于 ． 2．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（    ）    A．60° B．65° C．75° D．80° 解答题 3．如图，在中，分别是边上的点，，且． (1)填空：_____；（填“”、“”、“”） (2)试说明平分； (3)若，，求． 【题型2.三线合一】 4．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（　　）    A．20° B．35° C．40° D．70° 5．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 6．如图，在等腰中，，，为的中点，点在上，，若点是上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是 ． 解答题 7．如图，在等腰三角形中，底边，腰长为，以所在直线为x轴，以边上的高所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）直接写出点A、B、C的坐标． （2）一动点P以的速度沿底边从点B向点C运动（P点不运动到C点），设点P运动的时间为t（单位：s） ①当t为何值时，是等腰三角形？并求出此时点P的坐标． ②当t为何值时，与一腰垂直？ 【题型3.线段垂直平分线的性质应用】 8．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 9．如图，四边形中，垂直平分，垂足为E，下列结论不一定成立的是（    ） A． B．平分 C． D． 10．已知，中，，的垂直平分线交于E，交所在直线于P，若，则 ． 【题型4.线段垂直平分线的判断方法】 11．如图，是的角平分线，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若的面积为8，，求的长． 12．如图是由小正方形形成的格，的顶点A、B、C都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列两图． (1)在图中，画出的高； (2)在图中，P是与网格线的交点，先画线段关于对称的线段，再在上画点N．使得． 【题型5.尺规作线段垂直平分线】 13．已知线段，利用尺规，按照以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；②作直线，则直线就是线段的 ． 14．某公司准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区提供牛奶，要使两小区到送奶站的距离相等，则送奶站的位置应该在（　　） A． B． C． D． 15．如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M．N作直线，交于点D，交于点E，连接．若，则的周长为（   ）    A．25 B．22 C．20 D．14 解答题 16．如图，两个班的学生分别在、两处参加植树劳动，现要在道路、的交叉区域内（角内部）设一个茶水供应点，使到两条道路的距离相等，且使，请你通过尺规作图找出这一点，不写作法，保留作图痕迹 【题型6.角平分线的性质定理应用】 17．在中，，平分，交于点，，垂足为点，若，则的长为（    ）    A．3 B． C．2 D．6 18．根据“角平分线上的点到这个角 ”来观察下图：已知是的平分线，P是上的一点，且垂足分别为E，F，那么 = ．这是根据“ ”可得而得到的． 19．如图，已知AB∥CD，CE，AE分别平分∠ACD，∠CAB，则∠1＋∠2的度数为（      ） A．90° B．180° C．120° D．150° 解答题 20．已知：如图，在中，，BD平分，于点E，若与的面积比为，求与的面积之比． 【题型7.尺规作角平分线】 21．如图的尺规作图是作（　　） A．线段的垂直平分线 B．一个角等于已知角 C．一条直线的平行线 D．一个角的平分线 22．如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线交于点E．若，则的大小为 度．    23．如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P；连接AP并延长交BC于点D．则下列结论正确的是（    ） A．AD是△ABC的高 B．AD是△ABC的中线 C．AD是△ABC的角平分线 D．AD一定经过△ABC的重心 解答题 24．如图，已知． (1)尺规作图：作的外角的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)尺规作图：作边的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）． 【题型8.轴对称最短路径问题】 25．如图，是一条笔直的公路，在公路的两侧各有一个村庄，，两个村庄准备集资修建一个公交车站，经过协商，要求车站到两个村庄的路程和最短，小聪帮助设计了公交车站修建点，则小聪设计的理由是 ． 26．如图，在正方形网格中，M，N为小正方形顶点，直线l经过小正方形顶点A，B，C，D，在直线l上求一点P使最短，则点P应位于（　　） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 27．为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄和李庄的群众出行到河岸．张庄和李庄位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄和李庄到河岸的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在，之间距离 m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 解答题 28．如图，m是某工业园区的中轴线，某科技公司的工作区A和生活区B在m同侧，从图纸上看它们正好在正方形网格的格点上．公司计划在中轴线上选一点P发放午餐，工作人员一般是从工作区A下班后到P点领取午餐，然后到休息区B就餐、休息．P点选在哪一点才能使工作人员所走的路程之和最短？请在下图中标出点P的位置并画出工作人员所走路线． 【题型9.轴对称综合:线段问题】 29．如图，在面积为48的等腰中，，，P是BC边上的动点，点P关于直线AB、AC的对称点外别为M、N，则线段MN的最大值为 ． 30．某市计划在公路l旁修建一个飞机场M，现有如下四种方案，则机场M到A、B两个城市之间的距离之和最短的方案是（    ） A．   B．   C．   D．   31．如图，中，分别是边上的动点，则的和的最小值是 ． 解答题 32．如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)作出关于直线对称的； (2)在直线上作一点P，使得的周长最小． 【题型10.轴对称综合:面积问题.】 33．如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为 ． 解答题 34．如图1，已知长方形中，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒）    (1)当时，_____ ；当时，______ ． (2)在点P的运动过程中，当平分或的面积时，求t的值． (3)如图2，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ①当最短时，直接写出此时四边形的面积； ②当四边形的面积是长方形的面积时，直接写出t的值． 【题型11.轴对称综合:角度问题】 35．已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则 ． 36．如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 解答题 37．如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝48°，点M和点N分别是射线OB和射线OA上的动点，当△PMN的周长为最小时，∠MPN的度数为 度． 【题型12.轴对称综合:其他问题】 38．方格纸中每个小方格都是边长为的正方形，我们把以格点的连线为边的多边形称为“格点多边形”，如图就是一个“格点三角形”．    (1)画出关于直线的对称图形； (2)若网格上最小正方形的边长为，求的面积； (3)若在上存在一点，使得最小，请在图中画出点的位置． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $