贵州习水县第一中学等校2025-2026学年高二上学期第一月联考数学试题

2水年高二联考数学（第-月老）》 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动·用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册至必修第四册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1复数：-3叶的实部和虚部分别是 A.-5,3 B.-5,-3 C.5,-3 D.5,3 2函数fx)=1十√的定义域是 3 A.(1,4] B.(-∞，1)U(1,4] C.(1,4) D.(1,4)U(4,+∞) 3.如图，△AB'C是利用斜二测画法画出的△ABC的直观图，其中AB =B'C=2,且A'B'⊥B'C',则△ABC的面积是 A.2√2 B.4 C.42 x D.8 4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=2BC,E,F分别是棱AB,BC的中点，则异面 直线BC1与直线EF所成角的余弦值是 A细 a零 D 3v√10 5 10 5.已知a,b∈R,则“a<b”的一个必要不充分条件是 A.a363 C.a3<(b+1)3 D.(a+1)3<b3 6.已知a=log23,b=log5,c=0.821,则 A.c<a<b B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 7.某甜品店推出新款球形慕斯蛋糕，该球形慕斯蛋糕的半径为3厘米，现需将其放入一个正四 面体形状的包装盒，忽略包装盒的厚度，则该包装盒容积的最小值为 A.108√2立方厘米 B.1083立方厘米 C.216√2立方厘米 D.216√3立方厘米 【高二数学第1页（共4页）】 ·B2· 8.某班20名学生的某次物理测验成绩（单位：分）分别为55,58,61,63,65,68,70,73,75,78， 80,82,83,85,86,88,90,92,93,95.记这20名学生此次物理测验成绩的第70百分位数为m, 这20名学生中此次物理测验成绩不低于m分的学生有w人，现从这w人中随机抽取2人， 则这2人中恰有1人此次物理测验成绩高于90分的概率是 A号 a话 Ci n号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知方程x2十mx十n=0(m,n∈R)的两个复数根是2十i和之，则 A.m=-4 B.n=-3 C.|z|=√5 D.之在复平面内所对应的点位于第四象限 l0.已知m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A.若ma,aB,则mβ B.若m⊥a,aB,则m⊥B C.若ma,β，则a3 D.若m⊥a,n⊥B,m⊥n,则a⊥B 11.已知函数f(x)=√/cos2x十√Tsin2xT,则 A.f(x)是偶函数 Bf(x)的图象关于点（不，1）中心对称 C.f(x)在[0，牙]上单调 D.f(x)的最大值是2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知向量a=(k,2),b=(一1,3)，且(a+b)·b=9,则 =▲ 13.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b2=ac=8, 则△ABC面积的最大值是▲· E 14.如图，在正四棱锥P-ABCD中，AB=4,PA=2√6，E是棱PC 的中点，则平面BDE截该正四棱锥外接球所得截面的面积 是▲ B4 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(3sinB-√5cosA)c=5 acos C. (1)求sinC的值； (2)若C是锐角，且c=√5，a十b=5,求△ABC的面积. 16.(15分) 已知函数f(x)=ax2十4ax+3(a≠0). 三一1时，f(x)=0有两个不同的实根x1,x2,求2十， (2)若对任意的x∈R,不等式f(x)≥0恒成立，求a的取值范围； (3)当a=1时，f(x)与函数g(x)=lg(x+m)有相同的零点求m的值. 17.(15分) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E,F分别是棱AB,A1C1,B1C1的中点. (1)证明：DE平面A1BF (2)若三棱柱ABCA1B1C1的体积为36，求四棱锥A1B1BCF的体积. C E A C D 18.(17分〉 已知函数f(x)=2sin(wx十p)(ow>0,lpl<交)的部分图象如图所示。 (1)求f(x)的解析式： (②)求fx)在[一，一]上的值域， (③)若锐角△AC的内角A满足FA)=1,求会S的取值范围， 19.(17分) 将边长为2√2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得A到达A'的位置，连接A'C,得到 三棱锥A'-BCD,且E是棱A'C的中点. 封 (1)证明：BD⊥A'C. (2)若A'C=2,求二面角B-AC-D的余弦值. (3)求直线BE与平面A'BD所成角的正弦值的最大值. C 线 【高二数学第4页（共4页）】 ·B2·高二联考数学参考答案 1.C由题意可得之=3+5i=(3+5) (-i)=5一3i,则复数:的实部和虚部分别为5,一3. x一1≠0, 2.B由题意可得{ 解得x<1或1<x≤4. 4-x≥0, 3.C由题意可得 A'BC'的面积为2 2X2-2,则 ABC的面积是2X2/2=42. 4.A取棱CC,的中点G,连接EG,FG(图略).因为F,G分别是棱BC,CC1的中点,所以FG ∥BC1,则异面直线BC1与直线EF所成的角是∠EG或其补角.设AB=2,则EF=√2, EG=3,FG=5,从而coS∠EFG= EF2+FG2-EG210 2EF FG ,故异面直线BC与直线EF 所成角的余弦值是 5.C若a<b,则a3<b3,若a3<b3,则a<b,所以“a3<b3”是“a<b”的充要条件,A不符合题 意.当a=-1,6=2时,清足a<b,但<是不成立,B不符合题意.由u<6,得a<b十1,则 a3<(b+1)3,由a3<(b+1)3,得a<b+1,但a<b不一定成立,则“a3<(b+1)3”是“a<b” 的必要不充分条件,C符合题意.当a=1,b=2时,满足a<b,但(a十1)3<b3不成立,D不符 合题意 6.B因为log23>log22√2=1.5,1<1og33<1og35<log33√3=1.5,0.82.1<1,所以c<b<a. 7.D设该包装盒的棱长为2√3a厘米,则该包装盒的高h=2√2a厘米,当蛋糕对应的小球与 正两顶体内切时,该包装金的容积最小.且日 气 (8,a 2厄。-吉 行 (2,50) 4 4 3,解得a=32,故该包装盒容积的最小值为216√5立方厘米. 8.D因为20X70%=14,所以m85十86=85,5,所以这20名学生中此次物理测验成绩不低 2 于m分的学生有6人,其中有3人此次物理测验的成绩不高于90分,记为a,b,c;有3人此 次物理测验的成绩高于90分,记为d,e,f.现从这6人中随机抽取2人的情况有ab,ac,ad, ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef,共15种,其中这2人中恰有1人此次物理测验 成绩高于90分的情况有ad.aca.d,cbf.ode,共9种放所求颜率P-号-号 /2+i+2-i=-m, 9.ACD由题意可得之=2一i,则 解得m=一4,n=5,A正确,B错误.因为 (2+i)(2-i)=n, 【高二数学 参考答案第1页(共6页)】 B2 之=2一i,所以|之|=√5,之在复平面内所对应的点的坐标为(2,一1),位于第四象限,C正确,D 正确. 10.BD由ma,a,得mB或m二3,A错误.由m⊥a,aB,得m⊥3,B正确.由ma,m∥ 3,得a3或a,3相交,C错误.由m⊥a,n⊥3,m⊥n,得a⊥3,D正确. 11.AD因为f(-x)=√Tcos(-2.x)T+√/Tsin(-2x)T=√/Tcos2.xT+√sin2xT=f(x),所 以f(x是偶函数,A正确.因为f(牙+x)=√小cos2(+x)川+√sim2(+x)川 Ism2a+1os2,f(至-x)=√os2(开-x川+√m2(开-x川 /小sin2a+√/cos2,所以f(不+x)=f(牙-x),则f(x)的图象关于直线x=牙对 称,B错误.因为f(0)=f(不)-1,f()-2>1,所以f(x)在[0,不]上不单调,C错误, 因为(不+x)=√小sim2x+√cos2x=f(x),所以于是f(x)的-个周期,则f(x)的 最大值即f(x)在[0,不]上的最大值.当x∈[0,不]时,f(x)=√os2x+sin2x,则 [f(x)]2=sin2x+cos2x+2sin2xcos2x.设1=sin2x+cos2x=/2sim(2x+不)∈ [12,则m2s2-号设函数y-4十v20亚.易证函数)-4十V20D在 [1,W2]上单调递增,所以y∈[1,2V2],即[f(x)门∈[1,22],所以f(x)∈[1,2],故 f(x)的最大值是2,D正确 12.7因为a=(k,2),b=(-1,3),所以a+b=(k-1,5),所以(a+b) b=-(k-1)+3 5 =9,解得k=7. 13.2√5 由余弦定理可得osB-+_+。≥号,当且仅当a=时,等号收 2ac 2ac 立则S血B<号放 ABC的面积S-nBC2万. 如图,连接AC,交线段BD于点F,连接PF.易证PF⊥ 平面ABCD.因为AB=4,PA=2√6,所以AF=CF=2√2,PF =4.设正四棱锥P-ABCD外接球的球心为O,半径为R,则球 心O在直线PF上.连接OA,则R2=AF2+OF2=(PF OF)2,即R2=8+OF2=(4-OF)2,解得OF=1,R2=9.作EJ B 【高二数学 参考答案第2页(共6页)】 B2 ⊥CF,垂足为J,则FJ=2,EJ=2,故EF=√EJ2+FJ?=√6.作OH⊥EF,垂足为H, 则血∠0H器品-受所以OH-要设平面BDE裁该正四陵锥外接球所得拔面 的半径为r,则,2-R:一OH-9,故平面BDE截该正四楼锥外接球所得截面的面积是。 26 15.解:(1)因为(3sinB-√5cosA)c=√5 acos C,所以(3sinB-√5cosA)sinC=√5 sin Acos C, 所以3 sin Bsin C=√5(sin Acos C+cos Asin C).… …2分 因为A+B+C= ,所以sinB=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 所以3 sin Bsin C=√5sinB.…4分 因为0<B<,所以sinB>0,所以3sinC=5,则sinC-5 3 …6分 ②网为血C-怎,且C是锐角,所以csC 2 3 …7分 由余弦定理可得c2=a2+b2-2 abcos C, 则c=a2+6-2 C-a+b2-2a6号ab=(a+6)-9b,…9分 听以0ab=(a十h)》2-C2=25-5=20,所以ab=6,… 11分 故 ABC的面积为7 in C=是X6 号-后. …13分 16.解:(1)当a=-1时,令f(x)=-x2-4.x十3=0,…1分 则x1十x2=一4,x1x2=一3,… ”0。。年年。。。中”。 。0。。年。”” 。。。“。。…。。。3个 故2++-十) -2x1-40-2X(-3》2 xx号xix (x1x2)2 (-3)2 . …6分 a>0, (2)因为对任意的x∈R,不等式∫(x)≥0恒成立,所以 …8分 =16a2-12a≤0, 解得0<a≤子,即a的取值范围是(o,]: …10分 (3)当a=1时,由f(x)=x2+4x十3=0,得x=一3或-1.…11分 由g(x)=0,得x十m=1,则x=1一m.… …13分 依题意得1一m=一3或1一m=-1, 解得=2或4.…15分 【高二数学 参考答案第3页(共6页)】 B2 17.(1)证明:取棱BC的中点G,连接C1G,DG. 因为D,G分别是棱AB,BC的中点,所以DG∥AC,DG= 7AC.… …1分 因为E是棱A,C的中点,所以CEAC.CE-号AC,… …2分 所以C1E∥DG,C1E=DG,… …3分 则四边形C1EDG是平行四边形,故DEC1G.…5分 D 因为F,G分别是棱B,C1,BC的中点,且四边形BCC1B1为平行四边形,所以CG∥BF,所 以DE/∥BF.……7分 因为BFC平面ABF,DE在平面ABF,所以DE平面ABF.…8分 (2)解:设 ABC的面积为S,三棱柱ABC-A,B,C1的高为h, 则三棱柱ABC-AB1C1的体积V=Sh=36,… …9分 从而三棱锥A-ABC的体积V=写S%=12,…10分 故四棱锥A1BCC1B1的体积V2=V-V1=24.…11分 设 CC1F的面积为S1, BB1F的面积为S2, BCF的面积为S3. 因为F是棱B1C1的中点,所以S3=2S2=2S1,…13分 3 所以四边形B,BCF的面积是四边形BCC,B,面积的 …14分 则四楼锥A,-B,BCF的体积为子V,=子 24=18。 15分 18.解:(1)由图可知f(x)的最小正周期T= ,则w=2.…2分 因为f(x)的图象经过点(0,1),所以f(0)=2sino=1, 则g=2kx+音k∈九D或g=2x+晋k∈D, 因为<受,所以g=吾, ……3分 则fx)=2sin(2x+). …5分 2因为x[-,] 所以2z+晋∈[5. ,…6分 当2x+音-,即x= 爱时,f(x)取得最大值,最大值为f(一)=2…7分 【高二数学 参考答案第4页(共6页)】 B2 当2z+晋=受即=爱时,1x)取得最小值最小值为-阅=后.…8分 3 故f(x)在一,一 上的值域为一3,2.一 …9分 (3)因为fA)=1,所以2sim(2A+)-1,所以sim(2A+)= ,…10分 因为 BC是锐角三角形,所以0<A<受,所以晋<2A+否。 …11分 则2A+若-警即A-子 …12分 2x-C) 3 由正弦定理可得5-smB sin( 1 sin C sin C sin C 2tan C+2. …14分 0<C< P 因为 ABC是锐角三角形,所以 解得<C<受, …15分 03 所以BnC5所以 anc<3,所以0< √53 即吃指2,脚治的取值粒用为(宁,2小。 …17分 19.(1)证明:取棱BD的中点O,连接OA',OC 因为A'D=A'B,且O是线段BD的中点,所以A'O⊥BD.… …1分 因为CD=CB,且O是线段BD的中点,所以CO⊥BD.…2分 因为A'OC平面A'OC,COC平面A'OC,且A'O∩CO=O,所以 BD⊥平面A'OC.…3分 因为A'CC平面A'OC,所以BD⊥AC.…4分 (2)解:连接DE. 因为A'B=BC,且E是棱A'C的中点,所以BE⊥A'C 因为A'D=DC,且E是棱A'C的中点,所以DE⊥A'C, 则∠BED是二面角B-A'C-D的平面角.…5分 因为A'C=2,且E是棱A'C的中点,所以A'E=CE=1. 因为A'B=A'D=2√2,所以DE=BE=√7. 因为BC=CD=2N2,且∠BCD=90 ,所以BD=4. …7分 【高二数学 参考答案第5页(共6页)】 B2 在 BDE中,由余弦定理可得cOS∠BED= BE2+DE2-BD27+7-16 2BE DE 2X√7X7 7 即二面角B-A'C-D的余弦值为一 7 …9分 (3)解:设∠A'OC=0(0<0< ). 在 A'OC中,OA'=OC=2,∠A'OC=0,则A'C2=OA'2+OC2-2OA' OCcos0=8- 8cos 0, 放BE=√BC-(CT-6干2c0. …11分 作CH⊥OA',垂足为H,则CH=OCsin0=2sin0. 由(1)知BD⊥平面A'OC,则BD⊥CH. 因为BDC平面A'BD,OA'C平面A'BD,且BD∩OA'=O,所以CH⊥平面A'BD,即点 C到平面A'BD的距离为2sin0. 因为E是棱A'C的中点,所以点E到平面A'BD的距离d=sin0.…13分 设直线BE与平面A'BD所成的角为a, d sin 0 √2 则sina一BE√/6+2cos0 /1-cos20 2 Wcos0+3 14分 设1=os0+3∈(2,4),则c0s0=1-3,所以ima= -t2+6t-8 2 8十6 0000…004040“0…0004400*4440…00*0“00000*000……00004004*000… 15分 因为2<4<4,所以-1-(+)≤-42,当且仅当1=2厄时,等号成立, 所以,√1-+6≤6-42-2-反. 所以号 √:十6≤反-1,博直线BE与平面ABD所成角的正孩值的最大值是反 …17分 【高二数学 参考答案第6页(共6页)】 B2