精品解析：江西省景德镇一中2025-2026学年高三上学期期末数学试题

景德镇一中2025—2026学年度第一学期期末考试 高三数学试卷 考试时间：120分钟满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设是数列的前项和，且，，则（ ） A. B. C. D. 6. 五一假期期间，一家6人（5大人和1小孩）在某风景名胜区拍照留念.要求站成前后两排，每排各三人；每列站在后排人比站在前排的人高.已知6人的身高各不相同，任何一名大人都比一名小孩高，则不同的排法共有（ ） A. 72种 B. 90种 C. 108种 D. 180种 7. 已知正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，函数的对称中心为，则下述结论正确的是（ ）（注：） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列结论正确的有（ ） A. 若随机变量，满足，则 B. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强 C. 若随机变量，且，则 D. 按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：，，，，，；乙组：，，，，，，若这两组数据的第百分位数、第百分位数都分别对应相等，则 10. 已知抛物线（）的焦点为，准线为，是抛物线上一动点，是准线上一动点，若的最小值为2，则（ ） A B. C. 当的横坐标为1时，的最小值为 D. 过作圆：的两条切线，切点为、，则四边形面积的最小值为 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 在上不是增函数 B. 若关于的方程有两个不相等的实根，，且，则 C. 若（），且，则的最大值为 D. 若，，不等式恒成立，则的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且红球在1，2，3号箱中分别占，，.从3个箱中随机选一个箱子，再从中随机取出一个球，若1，2，3号箱子被选中的概率为，，，问在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱的概率为______. 13. 若函数（）在区间内恰有两个零点，则的取值范围为______. 14. 已知函数，若对任意实数，，，都有，则的取值范围为______. 四、解答题（本题共5题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 记内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，，点是边上一点，且，求长. 16. 如图，在四棱锥中，，，，平面. （1）求证：平面平面； （2）若是的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 生活中运动对人体健康非常重要，为了了解不同年龄人群篮球运动的情况，随机调查了人，得到如下数据： 年龄 篮球运动情况 合计 经常运动 不经常运动 及以上 以下 合计 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为篮球运动的情况与年龄有关？ （2）某同学进行投篮训练，假设他第一次投中的概率是，后续如果前一次投中，则本次投中的概率为；如果前一次没有投中，则本次投中的概率为.记该同学第次投中的概率为，问： ①求. ②求证：为等比数列,并求出的通项公式. 附：. 18. 已知椭圆，C的上顶点为B，左、右顶点分别为、，左焦点为，离心率为．过作垂直于轴的直线与交于，两点，且． （1）求的方程； （2）若，是上任意两点， ①若点，点N位于轴下方，直线交轴于点G，设和的面积分别为，若，求线段的长度； ②若直线与坐标轴不垂直，H为线段的中点，直线OH与C交于P，Q两点，已知P，Q，M，N四点共圆，求的最大值． 19. 已知函数. （1）当，时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，既存在极大值，又存在极小值，求的取值范围； （3）当，时，，分别为的极大值点和极小值点，且，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 景德镇一中2025—2026学年度第一学期期末考试 高三数学试卷 考试时间：120分钟满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数单调性解不等式，再解分式不等式，最后求交集即可. 【详解】由题意知，， 因为解分式不等式可得， 所以，即. 故选：B 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出复数的代数形式，进而可知其虚部. 【详解】由，得， 故的虚部为. 故选：B. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式求出，然后运用诱导公式即可得解. 【详解】由已知得，，即， 则. 故选：A 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算，即可求出模长，从而可求向量的夹角余弦值. 【详解】因为， 所以，两式相减得：，所以； 因为，所以； 代入，得到； ， 故选：D 5. 设是数列的前项和，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，根据等差数列通项公式可得，由与的关系计算可得. 详解】， ，即，而 是以2为首项，公差为2的等差数列， ，则， . 故选：C 6. 五一假期期间，一家6人（5大人和1小孩）在某风景名胜区拍照留念.要求站成前后两排，每排各三人；每列站在后排的人比站在前排的人高.已知6人的身高各不相同，任何一名大人都比一名小孩高，则不同的排法共有（ ） A. 72种 B. 90种 C. 108种 D. 180种 【答案】B 【解析】 【分析】此问题可等价于将人分为三组，每组两人，安排到三个不同的列上，每组中身高较高者在后，身高较矮者在前，再结合分步乘法计数原理求结论. 【详解】此问题可等价于将人分为三组，每组两人，安排到三个不同的列上，每组中身高较高者在后，身高较矮者在前，第一步：为第一列挑选两人，有种方法； 第二步：为第二列挑选两人，有种方法； 第三步：剩下两人到第三列，有种方法， 根据分步乘法计数原理，总排法为种， 故选：B 7. 已知正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过构造直角三角形等方法来求出球的半径，再根据球的表面积公式求解. 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，，即，， 设球心到上下底面的距离分别为，，球的半径为， 即，即， 平方可得：，解得； 所以球的表面积为. 故选：A. 8. 已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，函数的对称中心为，则下述结论正确的是（ ）（注：） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用迭代求周期，利用平移变换求对称中心，取求得，可得奇偶性，利用周期性、对称性和奇偶性，结合单调性逐一判断即可. 【详解】，故 所以， 函数的对称中心为，往左平移3单位得到函数， 故函数的对称中心为，则， 因， 取可得， 又，所以，所以， 因为函数的对称中心为， 故，所以，所以为偶函数； 对于A，在区间上单调递增，故，且， 所以，故A错误： 对于B，在区间上单调递增，对称中心为， 所以在区间上单调递增， 所以，故B错误； 对于C，因为， 故， 且，所以， 所以， 因为在区间上单调递增，故，故C错误； 对于D，结合在区间上单调递增， 故，故D正确. 故选：D 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列结论正确的有（ ） A. 若随机变量，满足，则 B. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强 C. 若随机变量，且，则 D. 按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：，，，，，；乙组：，，，，，，若这两组数据的第百分位数、第百分位数都分别对应相等，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用方差的性质结合随机变量的关系求得方差的关系，判断选项A；利用相关系数知识判断选项B；利用正态分布图象的对称性判断选项C；利用百分位数的定义和运算法则求出相应百分位数，构造方程求解，判断选项D． 【详解】对于A，已知随机变量，满足，由方差的性质可得，故A错误； 对于B，由相关系数知识可得：线性相关系数越接近1， 则两个变量的线性相关性越强，故B正确； 对于C，由正态分布的图象的对称性可得，故C正确； 对于D，甲组：第百分位数为，第百分位数为， 乙组：第百分位数为，第百分位数为， 则，解得，故，故D正确． 故选：BCD． 10. 已知抛物线（）的焦点为，准线为，是抛物线上一动点，是准线上一动点，若的最小值为2，则（ ） A. B. C. 当的横坐标为1时，的最小值为 D. 过作圆：的两条切线，切点为、，则四边形面积的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用焦半径最小值可判断A，利用抛物线定义可判断B，利用对称性求最小值可判断C，利用圆的切线长转化为两点间距离来求解判断D． 【详解】抛物线（）的焦点， 设，则， 则， 当且仅当时取等号， 对于A，由的最小值为2，得，解得，故A错误； 对于B，过作于，则，故B正确； 对于C，抛物线，，准线：， 当时，，令点关于直线的对称点为， 则， 当且仅当是与的交点时取等号，故C正确； 对于D，圆：的圆心， 半径，四边形的面积 ，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 在上不是增函数 B. 若关于的方程有两个不相等的实根，，且，则 C. 若（），且，则最大值为 D. 若，，不等式恒成立，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数判断的单调性，结合反例可判断A，利用对数均值不等式可判断B，构造函数，求解导数，利用导数求最值可判断C，把恒成立问题转化，分离参数，结合导数求解最值，可判断D. 【详解】因为，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增，且； 又因为的定义域，且， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增，且. 对于选项A：因为，则， 所以在上不是增函数，故A正确； 对于选项B：因为关于的方程有两个不相等的实根，， 可知，，且， 整理可得，即， 结合对数不等式，可得，即， 所以，故B错误； 对于选项C：若（），且， 由图象可知：， 则，即，可得， 且，即，可得， 又因为， 且，，在内单调递增，可得， 则， 构建，，则， 当时，；当时，； 可知在上单调递增，在上单调递减， 则，所以的最大值为，故C正确； 对于选项D：因为，则， 且，可得， 又因为在内单调递增，可得，则， 构建，，则， 因为，可知： 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减，且. 可得，所以的取值范围为，故D正确； 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且红球在1，2，3号箱中分别占，，.从3个箱中随机选一个箱子，再从中随机取出一个球，若1，2，3号箱子被选中的概率为，，，问在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，根据古典概型的概率公式以及条件概率计算公式，结合全概率公式和贝叶斯公式即可计算得解. 【详解】设事件为“取出的小球来自号箱”，事件为“取出的球为红球”， 则构成了总的样本空间，且，，两两互斥， 由题意有，，， ，，， 则由全概率公式得， 则在取出的球为红球的条件下， 该球取自3号箱的概率为. 故答案为： 13. 若函数（）在区间内恰有两个零点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先由函数在区间内恰有两个零点，得，再整体判断的范围，从而确定零点为和，进而可得的范围. 【详解】，在该区间内恰好有两个零点的一个必要条件是，解得. 因为，所以， 所以原问题等价于函数在区间内恰有两个零点， 注意到，, 所以函数在区间内两个零点为和， 所以，解得. 故答案为： 14. 已知函数，若对任意实数，，，都有，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先化简函数表达式，分情况讨论函数的值域，利用条件列式求解参数的取值范围. 【详解】化简， 由，故，从而， 当时，，的值域为， 此时，，满足，符合条件； 当时，，故，的值域为， 的最小值趋近于，的最大值趋近于， 要满足对任意，，成立，需满足，即. 当时，， 故，的值域为， 的最小值趋近于，的最大值趋近于1， 要满足对任意，，成立，需满足，即. 综上：. 故答案为：. 四、解答题（本题共5题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，，点是边上一点，且，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，对已知条件进行三角恒等变换即可求出； （2）用，表示，利用向量数量积的运算律即可求解. 【小问1详解】 已知，由正弦定理得， 即， 则， . ，即. ，，那么，解得. 又，. 【小问2详解】 ，， 即，两边同时平方： ， ，， ， ， ，即. 16. 如图，在四棱锥中，，，，平面. （1）求证：平面平面； （2）若是的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过计算由勾股定理可证得，利用条件证明平面，再由线面垂直可证面面垂直； （2）建系，写出相关点的坐标，求得两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以 因为，，， 所以，，， 所以，所以， 又，，平面，所以平面 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 因为平面，， 所以以为原点，以，，分别为，，轴正方向建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，得平面的一个法向量， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为. 17. 生活中运动对人体健康非常重要，为了了解不同年龄人群篮球运动的情况，随机调查了人，得到如下数据： 年龄 篮球运动情况 合计 经常运动 不经常运动 及以上 以下 合计 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为篮球运动的情况与年龄有关？ （2）某同学进行投篮训练，假设他第一次投中的概率是，后续如果前一次投中，则本次投中的概率为；如果前一次没有投中，则本次投中的概率为.记该同学第次投中的概率为，问： ①求 ②求证：为等比数列,并求出的通项公式. 附：. 【答案】（1）有关； （2）①；②证明见解析， 【解析】 【分析】（1）直接根据独立性检验计算判断可得； （2）①根据条件概率公式计算可得；②根据题意可得递推关系，再用定义证明等比数列，进而可求通项公式. 【小问1详解】 零假设为：篮球运动情况与年龄无关， 由列联表数据可得， 因为，，， 所以根据小概率值的独立性检验，认为不成立， 即认为篮球运动与年龄有关，此推断犯错误的概率不超过. 【小问2详解】 ①； ②第一次投中的概率， 如果前一次投中，则投中的概率为；如果前一次没有投中，则投中的概率为. 所以第次投中的概率. 化简得到，所以， 计算首项，所以为首项是，公比为的等比数列. 所以，的通项公式是. 18. 已知椭圆，C的上顶点为B，左、右顶点分别为、，左焦点为，离心率为．过作垂直于轴的直线与交于，两点，且． （1）求的方程； （2）若，是上任意两点， ①若点，点N位于轴下方，直线交轴于点G，设和的面积分别为，若，求线段的长度； ②若直线与坐标轴不垂直，H为线段的中点，直线OH与C交于P，Q两点，已知P，Q，M，N四点共圆，求的最大值． 【答案】（1） （2）①3；② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率及弦长计算求出即可得出椭圆方程； （2）①应用图形特征结合已知，再联立方程得出即可求出弦长； ②先设方程再联立方程得出H的坐标为，再由P，Q，M，N四点共圆，则，计算得出，即可得解. 【小问1详解】 由离心率为，即，得， 由得在椭圆上，即，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①由（1）可得， 连接，因为， ， 所以，得; 所以，所以直线的方程为： ， 由，解得或，所以或（舍去）. 所以. ②设直线， ， 则 联立可得， 由，得． 所以，则， 所以中点的坐标为，所以， 故直线. 由P，Q，M，N四点共圆，则， 由; 联立可得，所以， 所以， 所以,得， 所有，得， 所以， 即，当且仅当时取等号，即的最大值为. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是由P，Q，M，N四点共圆，则，进而结合弦长公式即可得出. 19. 已知函数. （1）当，时，求曲线在点处切线方程； （2）当时，既存在极大值，又存在极小值，求的取值范围； （3）当，时，，分别为的极大值点和极小值点，且，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，将，代入的解析式，对进行求导，得到和的值，代入切线方程中即可求解； （2）将代入的解析式，，对进行求导，将既存在极大值，又存在极小值转化成必有两个不等的实数根，利用导数得到的单调性和极值，进而即可求解； （3）将代入的解析式，对进行求导，利用导数分析的极值，将恒成立转化成，构造函数，利用导数分类讨论求解即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当，时，， 则，故，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，，定义域为， 所以， 因为既存在极大值，又存在极小值， 所以必有两个不等的实数根， 当时，不符合题意， 故，令，解得或且 所以且， 当时，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以函数分别在，时取到极大值和极小值，满足题意， 当时，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以函数分别在，时取到极大值和极小值，满足题意， 综上，的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知，或， 所以， ， 由题意，得对任意的恒成立， 因为当时，在上单调递减， 所以，故， 所以，且，则. 令，其中， 所以， 令，则， 当，即时，，在上单调递增， 所以，即，符合题意， 当，即时，设方程的两根分别为，， 则，，不妨设， 当时，，在上单调递减， 所以当时，，即，不合题意， 综上所述，的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题（3）关键是将恒成立转化成，构造函数，利用导数分类讨论求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $