江西景德镇一中2025-2026学年第一学期期末考试高三数学试卷

答案 题号 1 2 3 4 6 6 7 8 9 10 答案 B A D B A D BCD BCD 题号 11 答案 ACD 1.B 由题意知，A={2≥x≥0}，B={-2≤x<1},所以A∩B={x0≤x<) 2.B 由正=3+21，得：=3+21=2-31， i 故z的虚部为-3。 3.A 由己知得， 61 9 4.D 因为a+=la-=3, d+2a-b+6=9 即 →db=0,所以a1b: l-2a.6+b°=9 因为a:(a+3b)=ld+6a-b==2,所以ld=2: 代入d+2a:b+b=9,得到=V万： cos,= -(a-)a6--7近 a-万a-B7x33 5.C 8=28+109,a=/ --2,1=1=2 ..+28. S a 答案第1页，共12页 是以2为首项，公差为2的等差数列， 1 =2n,Sn= 1 1 S ,S1=22 2n 11 1 41=S-8。F222020' 6.B 先让小孩在第一排选位置，则有C,种排法，再选一位大人在小孩的后方，有C,种排法，剩余两列选两 人在第二列，有C种排法，其余顺序已定，共有CC,C=90种排法 7.A 设正三棱台上下底面所在圆面的半径5,2，即1=3，？=6，设球心到上下底面的距离分别为4，d2,球 的半径为R, 即VR2-9-VR2-36=3, A 即√R2-9=3+√R2-36, 平方可得：√R2-36=3,解得R2=45: 所以球的表面积为S=4元R2=180元. 8.D 解：f(6+x)+f(x)=2f(-3),故f(12+x)+f(6+x)=2f(-3) 所以f(x)=f(x+12), 函数y=f(x-3)的对称中心为(6,0)，往左平移3单位得到函数y=∫(x), 故函数y=f(x)的对称中心为(3,0)，则f(3)=0, 因为f(6+x)+f(x)=2f(-3), 取x=-3可得f(3)+f(-3)=2f(-3),又f(3)=0, 所以f(-3)=f(3)=0,所以f(6+x)+f(x)=0, 因为函数y=f(x)的对称中心为(3,0)，故f(6+x)+f(-x)=0,所以f(-x)=f(x) 对于A,f(x)在区间[0,3]上单调递增，故f(3)=0>f(2),且f(x)=f(x+12), 所以f(2026)=f(-2)=f(2)<0,故A错误： 答案第2页，共12页 对于B,f(x)在区间0,3上单调递增，对称中心为(3,0)， 所以)在区同®可上单调滋省，所以了2)+/)>0，依B错误： 对于C,因为n号-23为-2x109=-2198. 故fng-f-218)-f2199, 且4sn平<4siml<4sin号，22<布l<25,即218<布iml<4, ,1 结合f(x)在区间[0,6]上单调递增，故f(4sinl)>fln专， 故C错误. 9 对于D,结合f(x)在区间0,6上单调递增， 故f(21og2192)=f(2log2192-12)=f(1og29)>f(3),故D正确 9.BCD 对于A,由方差的性质可得D()=2D()=4D(),故A错误： 对于B,由相关系数知识可得：线性相关系数川越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故B正确： 对于C,由正态分布的图象的对称性可得P(3<5<6)=P(5<6)-0.5=0.34,故C正确： 对于D,甲组：第30百分位数为31，第50百分位数为37+" 2 〔n=31 乙组：第30百分位数为1，第50百分位数为314-子，则37+m77力 22 n=31 解得 m=40'故m+n=71,故D正确： 10.BCD 抛物线y2=2pr(p>0)的焦点F(号，0)，设Pxo,y,),则=2pxo,x0≥0， 则PF+=+匹，+≥号，当且仅当，=0时取等号， 4 22 对千A由P的最小值为2，得号-2，解得P=4,A错误： 对于B,过P作PP⊥1于P',则|PF月PP'PO|,B正确： 对于C,抛物线y2=8x,F(2,0),准线1：x=-2,当x=1时，=8，令点F关于直线I的对称点为 F'(-6,0),则1Pg1+|QF曰P01+|OF'|PF'=√(x。+2+哈 =√57，当且仅当2是PF'与的交点时取等号，C正确： 答案第3页，共12页 对于D,圆C:(x-6)2+y2=1的圆心C(6,0),半径r=1,四边形PMCN的面积 Sua,=2Saw=22PMr=PM作√Pc-F=VG-°+- 1 =√x-4x+35=√x。-2)2+31≥V31,当且仅当x=2时取等号，D正确 11.ACD 因为f(x)=e-x,则f"(x)=e-1, 当x>0时，f"(x)>0;当x<0时，f"(x)<0: 可知f(x)在(-o,0)内单调递减，在(0，+o)内单调递增，且f(x)≥f(0)=1: 又因为8()的定义域(0，+∞)，且g(x)=1-1_x-1 当x>1时，g'(x)>0;当0<x<1时，8'(x)<0: 可知8(x)在(0,1)内单调递减，在(1，+o)内单调递增，且8(x)≥8(1)=1 对于选项A:因为0<ln2<lne=1,则8(n2)>8(lne), 所以8(nx)在(1，+o)上不是增函数，故A正确； 对于选项B:因为关于x的方程8(x)=4有两个不相等的实根x,x2, [x-Inx =a 可知a>1,0<x,<1<x2,且 x-Inx,a 整理到得气名=nyh%:即武品山 结合对微学式品学相1学，即2 2 所以x+2x2=(x1+x2)+x2>3,故B错误： 对于选项C:若f(x)=8(x2)=a(a>e-1),且x,>x>0, 由图象可知：x2>e>x1>1, y=g(x) =e-】 y=(x) 则e-x=a,即x+a=e,可得ln(x1+a)=lne1=x, 且x2-lhx2=a,即x2-a=lhx2,可得ea=e=x2, 答案第4页，共12页 又因为g(x,)=x,-nx2=e-血x,=f(nx)=f(x), 且x>0,lnx2>0,f(x)在(0，+o)内单调递增，可得x=nx2, 则h(3+a-es-当-=--n-a Ina Ina InaIna 构建a-品ase1则a）0。 In'a 当e-l<a<e时，p'(a)>0;当a>e时，p'(a)<0; 可知p'(a在(e-l,e)上单调递增，在(e,+o)上单调递减，则p(a)≤p(e)=-e, 所以h(:+a-e的最大值为-e,故C正确； Ina 对于选项D:因为a>0,>0,则空>0， 且8(x)=x-hx≥1，可得x-nx+1≥2>0， 又因为)在(0+)内单调递增，可得e之x-nx+1,则a≥xx-血x+山. e 构建)=-加+x>0,则h(=-1血-， ex e 因为g(x)=x-lnx≥1>0，可知： 当x>1时，(x)<0；当0<x<1时，H(x)>0: 可知()在(0,1)内单调递增，在L+)内单调递减，且(x)s)=二 可得a≥二，所以a的取值范围为 故D正确； 三、填空题 12.会 【分析】由题意，根据古典概型的概率公式以及条件概率计算公式，结合全概率公式和贝叶斯公式即可 计算得解。 【详解】设事件A;为取出的小球来自i号箱”，事件B为“取出的球为红球”， 则A1UA2UA3构成了总的样本空间，且A1,A2,A3两两互斥， 由题意有P4)=,P(4)=品P(A)=品 P(B IA)=P(B IA2)=.P(BIA3)= 答案第5页，共12页 则由全概率公式得PB)=21P(4,)P(B14)=贵 则在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱的概率为P41)=巴-P《-品 P(B) P(B) 故答案为：员 13.( 【详解】由余弦函数的图象，知<-（引)≤T, 所以惡<≤×急解得1<w≤3. 因为-&<x<冬，所以-w+吾<wx+号<w+吾 所以原间思等价于函数)y=©osx在区间(-0+怎，怎a+内恰有两个零点， 注意到-w+【-吾o所以产<w+≤解得<ω≤兰 故答案为： 层 14.[1,4 【分析】先化简函数表达式，分情况讨论函数的值域，最后综合参数的取值范围 【详解】f)-授-1+受由e*>0,故e*+2e(2+o).从面∈(0，) 当m=2时，f(x)=1,f(x)的值域为1}，此时f(a)+f(b)=2,f(c)=1,满足2>1，符合条件； 当m>2时，m-2>0,故∈(o,受-1，fw的值域为(1，) f(@)+fb)的最小值趋近于1+1=2，f(c)的最大值趋近于受， 要满足f(a)+fb)>f(c)对任意a,b,c成立，需满足2≥，即2<m≤4 当m<2时，m-2<0,故e(（?-1,0以，f)的值域为（受，1） f(a)+f(b)的最小值趋近于m,f(c)的最大值趋近于1， 要满足f(a)+f(b)>f(c)对任意a,b,c成立，需满足m≥1，即1≤m<2. 综上所述，故答案为：[1,4 四、解答题 15.(1)A=马 (2)AD=7 3 答案第6页，共12页 【分析】(1)利用正弦定理边化角，对已知条件进行三角恒等变换即可求出A: (2)用AB,AC表示AD,利用向量数量积的运算律即可求解. 【详解】(1)已知c0sB=2c-, 2a 由正弦定理得cosB-2sinc-sinB, 2sinA 2sinAcosB=2sinC-sinB, 则2 sinAcosB=2sin[元-(A+B)】-sinB, 2sinAcosB 2sin(A+B)-sinB...... 3分 2sinAcosB =2(sinAcosB+cosAsinB)-sinB 2cosAsinB-sinB =0,EsinB(2cosA-1)=0. B∈(0，sinB≠0，那么2cosA-1=0,解得cosA=2 又A∈(0)，A=吾 。。。。。。。。。。 ..6分 (2)BD=2DC,AD-AB=2(AC-AD) 即AD=AB+AC, 两边同时平方： 2-(G丽+号) AD2=3AB2+AB.AC+AC2, .9分 AB2=IAB12=9,AC2=IAC2=4 AB.AC IABIIACIcosA 3x 2x=3. 4D=×9+×4+有×3=g -夏 即AD= 3 .13分 16.(1)证明见解析 a20 【分析】(1)通过计算由勾股定理可证得AC1BC,利用条件证明AC⊥平面PBC, 再由线面垂直可证面面垂直： (2)如图，建系，写出相关点的坐标，求得两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】(1)因为PC1平面ABCD,ACC平面ABCD,所以AC1PC 因为AB=2CD=2AD=2,AB1AD,AB II CD, 所以LBAC=∠ACD=45°，AC=V2,BC=V2, 所以AC2+BC2=AB2,所以AC1BC,. 3分 答案第7页，共12页 又BC∩PC=C,BC,PCC平面PBC,所以AC⊥平面PBC 因为ACc平面PAC,所以平面PACI平面PBC. .6分 (2)因为PC1平面ABCD,AC⊥BC, 所以以C为原点，以CB,CA,CP分别为x,y,z轴正方向建立如图空间直角坐标系， 则c(00.0.B(2.0,0),A0,V2.0.P0.0,3),E(停0，) 8分 则cA=(0V2,0)正=（受0，） 元.cA=V2y=0 设平面ACE的法向量为元=(x,y,z),则 压=竖x+2=0 取x=√2，得平面ACE的一个法向量元=(3,0，-√2)， 12分 易知平面PAC的一个法向量为m=(1,0,0), 设平面PAC与平面ACE的夹角为0， 则eos0-leos6航-摄d-ka 3 11 平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为3 ..15分 11 17.(1)零假设H。为：篮球运动情况与年龄无关， 由列联表数据可得x2=400030x10-70x1002-3600 9.207， 200×200×230×170 391 因为=0.01，x。=6.635,9.207>6.635, 所以根据小概率值=0.01的独立性检验，认为H。不成立，即认为篮球运动与年龄有关，此推断犯错误 的概率不超过0.01..5分 (2)①卫2=fP+50-P)=7 7分 ②第一次投中的概率B= 如果前一次投中，则投中的概率为：如果前一次没有投中，则投中的概率为 所以第n次投中的概率=P-1+1-P-)。 答案第8页，共12页 化简得到B=+1, ...10分 所以R.=01 5 .12分 计算首项P1-号=-。，所以-}为首项是-，公比为的等比数列 .13分 所以B.--吉白-1， B的通项公式是R.=号六白-1=-(（)门。 15分 18.0听+号-1 (2)①3：②V14 【分析】(1)根据椭圆离心率及弦长计算求出a=2,b=√3即可得出椭圆方程； (2)①应用图形特征结合已知2S1-2S2=3,再联立方程得出N(1,-),即可求出弦长： 回先设方程MNy=kx+m再联立方程得出H的坐标为()再由P,Q,MV四点共 圆，则HM|·HW=|HP·IHQl,计算得出MN≤V14,即可得解 【详解】)由离心率为对即e-后、1-器-京得-子 由n3(6)在结风上，后+ 2=1,解得a=2,b=3, 所以椭圆C的方程为号+号=1， …4分 (2)①由(1)可得A2(2,0) 连接MA,因为51-5复=SaA,G-SaNA6-SaMA一Saw&=号5a0-×2X} 所以S△NGA2=S△MOG,得SANMAZ2=S△MOA2: 所以ON/MA2,所以直线0N的方程为：y=-x, (y=-2x (x=1 由 +苦=1 所以MN|=3. 8分 答案第9页，共12页 ②设直线MN:y=kx+m(k≠0)，M(x1,y1),N(x2,y2),P(x3,y3),H(xo,yo), 则Q(-x3,-y3) (y=kx+m, 联立+苦=1 可得(3+4k2)x2+8mkx+4m2-12=0, 由△=64m2k2+16(m2-3)(4k2+3)>0,得m2-3-4k2<0. 所以x1+x2= 4k2+3,七1女2-4m2-12 8mk 6m 2+3,则yh+2=k(x+x2)+2m=4+311分 所以中点的坐标为()所以ka=一品 故直线0H:y=-3x 4k 由P,Q,M,N四点共圆，则HM|·IHN=|HP|·IHQI, HM-IHNMN=1+k)[g+2)2-x=12(1+k2+3 (42+3)2.13分 3 联立 y三一元X一很v2三23，所以3=42 x2,y2 4+3=1. 所以IHP川HQ1=(1+)lx6-1=(9+16k3·8 (4k2+3)21 所以121+k2)=9+16k2,得k=± 所有m2<3+4k2=6,得m∈(-V6,V6), 所以MN2=48(1+k2).2+3-0=2-m≤14， (4k2+3)2 3 即MW1≤V14,当且仅当m=0时取等号，即|MN的最大值为V14..17分 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是由P,O,M,N四点共圆，则IHM·IHNI=|HP|·HQI,进而结 合弦长公式即可得出MN2=2-m≤V14 3 19.(1)x+y-2=0 (2)(1,2)(2,+w) (3)(-0,-1] 答案第10页，共12页景德镇一中2025-2026学年度第一学期期末考试 高三数学试卷 考试时间：120分钟满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。) 1.已知集合4片s到，集合8={4好≤0，则4nB=( A.{x0<x≤1}B.{x0≤x<1} C.{-2≤x≤2}D.{x-2<x≤0 2.若复数z满足z=3+2i,则z的虚部为( A.-2 B.-3 C.-2i1 D.-3i 2a-5 6( A. B. 9 D.-7 4.已知a+=a-=3,a(a+36)=2,则cos(6,a-)=() B.-3 D.、 2 3 5.设Sn是数列{a}的前n项和，且a 2′n=25nSn+1+Snt1,则a1=( A.-1 180 190 C.1 220 D. 230 6.五一假期期间，一家6人(5大人和1小孩)在某风景名胜区拍照留念.要求站成前后两排， 每排各三人；每列站在后排的人比站在前排的人高，并且小孩需站在前排.已知6人的身高各不 相同，任何一名大人都比一名小孩高，则不同的排法共有( A.72种 B.90种 C.108种 D.180种 7.已知正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为3√5和6√5，其顶点都在同一球面上，则该球 的表面积为( ) A.180m B.168元 C.156π D.144元 8.已知定义在R上的函数f(x)在区间[0,3]上单调递增，且满足f(6+x)+f(x)=2f(-3),函数 y=f(x-3)的对称中心为(6,0)，则下述结论正确的是( )(注：1n3≈1.099) A.f(2026)>0 B.f(2)+f(2)<o C.(si) D.f(3)<f(21log2192) 试卷第1 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。) 9.下列结论正确的有( ) A.若随机变量5，n满足7=25+1，则D()=2D(5)+1 B.若线性相关系数11越接近1，则两个变量的线性相关性越强 C.若随机变量5-N(3,o2)，且P(5<6)=0.84,则P(3<5<)=0.34 D.按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27,31,37，m,40,50；乙组：24，n,33, 44.48,52,若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则m+n=71 10.已知抛物线y2=2Px(p>0)的焦点为F,准线为l,P是抛物线上一动点，2是准线上一动点，若 IPFI的最小值为2，则() A.p=2 B.IPOPFI C.当P的横坐标为1时，IP1+|F1的最小值为√57 D.过P作圆C:(x-6)+y2=1的两条切线，切点为M、N,则四边形PMCN面积的最小值为√31 11,已知函数f(x)=e-x,g(x)=x-nx,则下列说法正确的是( ) A.g(nx)在(1，+o∞)上不是增函数 B.若关于x的方程g(x)=a有两个不相等的实根x,x2,且x<x2,则x+2x2<3 C.若f(x)=g()=a(a>e-1),且>>0，则血+a)-e的最大值为e Ina D.若a>0,x>0,不等式f ≥f(x-nx+1)恒成立，则a的取值范围 [m 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12.已知编号为1,2,3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且红球在1,2,3 号箱中分别占，子从3个箱中随机选一个箱子，再从中随机取出一个球，若1,2,3号箱子被选 中的概率为品品总问在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱的概率为一 13.若函数f()=cos(ωx+)(ω>0)在区间(-，四)内恰有两个零点，则ω的取值范围为一 14.已知函数f)-授若对任意实数ab,c都有f@+f)>f@,则m的取值范围 为 页，共2页 四、解答题（本题共5题，共77分。解答写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosB=2C-b 2a (1)求A: (2)若AC=2,AB=3,点D是BC边上一点，且BD=2DC,求AD的长， 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD,AB//CD,PC=3,AB=2CD=2AD= 2,PC1平面ABCD (I)求证：平面PAC⊥平面PBC; (2)若E是PB的中点，求平面PAC与平面ACE夹角的余弦值. 17.(15分)生活中运动对人体健康非常重要，为了了解不同年龄人群篮球运动的情况，随机调查 了400人，得到如下数据： 篮球运动情况 年龄 合计 经常运动 不经常运动 40及以上 130 70 200 40以下 100 100 200 合计 230 170 400 (1)依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为篮球运动的情况与年龄有关？ (2)某同学进行投篮训练，假设他第一次投中的概率是影，后续如果前一次投中，则本次投中的概 率为：如果前一次没有投中，则本次投中的概率为 记该同学第n次投中的概率为Pn,问： ①求P2 ②求证：一为等比数列并求出P的通项公式。 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 n(ad-be) 附：x=a+bjc+a)(a+cb+d 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 试卷第2 18.(17分)已知椭圆C:若+兰=1(a>b>0),C的上顶点为B,左、右顶点分别为A41、A2,左焦 点为F,离心率为.过F作垂直于x轴的直线与C交于D,E两点，且IDE1=3 (1)求C的方程； (2)若M,N是C上任意两点， ①若点M(1,),点N位于x轴下方，直线MN交x轴于点G,设△MA1G和△NA2G的面积分别为 S1,S2,若2S1-2S2=3,求线段MW的长度； ②若直线MN与坐标轴不垂直，H为线段MN的中点，直线OH与C交于P,Q两点，已知P,2, M,N四点共圆，求MNI的最大值， 19.(17分)已知函数f(x)=(a-1)e-be*-ax(a,beR) (1)当a=3,b=0时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)当b=1时，f(x)既存在极大值，又存在极小值，求a的取值范围； (3)当1<a<2,b=1时，x,x2分别为f(x)的极大值点和极小值点，且f(x)+f(x)>0,求实数k的 取值范围 页，共2页