精品解析：江西抚州市金溪县第一中学2025-2026学年高三上学期期末数学阶段性作业

2025-2026学年高三上学期数学阶段性作业 命题人：廖刚霖 审题人：刘运贵 余宏仁 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 一组数据按从小到大排列为2，4，6，a，13，14，如果该组数据的中位数与这组数据的第60百分位数相等，则该组数据的平均数为（ ） A. 7.5 B. 6 C. 4.5 D. 3 4. 已知，则下列条件中使成立充要条件是（　　） A. B. C D. 5. 已知圆与圆的半径分别为3和1，圆与圆外切沿着圆周滚动如图所示，是圆的任意直径，则（ ） A. 1 B. 4 C. 9 D. 15 6. 在正三棱台中，分别为棱的中点，，四边形为正方形，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A B. C. D. 8. 当时，关于的不等式仅有两个正整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 对任意实数x，有则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的前项和为，且，（，为常数），则下列结论正确的有（ ） A. 一定是等比数列 B. 当时， C. 当时， D. 11. 已知P为抛物线C：上一点，F为C的焦点，直线l的方程为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 点P到直线l与到直线距离之和的最小值为2 C. 若存在点P，使得过点P可作两条垂直的直线与圆相切，则r的取值范围为 D. 过直线l上一点E（点E不在x轴上）作抛物线的两条切线，切线分别交x轴于点A，B，外接圆面积的最小值为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 椭圆的短轴长为__________. 13. 从0~9这十个数字中选取3个数，能组成无重复数字三位偶数__________个.（用数字作答） 14. 数列满足，，，若不等式恒成立，则正整数的最大值为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 教育部办公厅要求中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动、家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素，了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力．某学校为了了解学生的身体健康与身体素质状况，随机抽取了50名同学的体测结果（“合格”或“优秀”），统计数据如下表： 性别 体测结果 合计 合格 优秀 男生 2 28 30 女生 6 14 20 合计 8 42 50 （1）能否有的把握认为体测结果与性别有关？ （2）用样本估计总体，频率估计概率．现等可能地从男、女生中抽取一个性别，然后再从选好的性别中随机抽取1名学生的体测结果，已知抽出的学生体测结果是“优秀”，求这名学生是男生的概率． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 16. 如图，正四棱台中，，侧棱与面的夹角为分别为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小. 17. 在锐角中，角的对边分别为的面积为，满足， （1）求的值； （2）求的取值范围. 18. 已知以下事实：反比例函数（）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线． （1）（ⅰ）直接写出函数的图象的实轴长； （ⅱ）将曲线绕原点顺时针转，得到曲线，直接写出曲线的方程． （2）已知点是曲线的左顶点．圆：（）与直线：交于、两点，直线、分别与双曲线交于、两点．试问：点A到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时的值；若不存在，说明理由． 19. 已知函数在区间和各恰有一个零点，分别记为和． （1）求实数k的取值范围； （2）记曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为S，求的最大值； （3）若函数有三个零点，，，其中，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三上学期数学阶段性作业 命题人：廖刚霖 审题人：刘运贵 余宏仁 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解分式不等式得集合，再根据交集的定义求解. 【详解】将解不等式，化为， 得解，即， 所以. 故选：C 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，即可判断 【详解】因为，所以， 所以的虚部为. 故选：A 3. 一组数据按从小到大排列为2，4，6，a，13，14，如果该组数据的中位数与这组数据的第60百分位数相等，则该组数据的平均数为（ ） A. 7.5 B. 6 C. 4.5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用中位数、第60百分位数的定义求出，进而求出平均数. 【详解】这组数据的中位数为，由，得这组数据的第60百分位数为， 因此，解得，所以这组数据的平均数为. 故选：A 4. 已知，则下列条件中使成立的充要条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】逐一分析各选项条件和能否互推即可求解. 【详解】对于A，当时，满足，但不满足， 所以不是的充要条件，故A错误； 对于B，当时，满足，但不满足， 所以不是的充要条件，故B错误； 对于C，当时，指数函数为增函数，若，则， 当时，指数函数为减函数，若，则， 所以（且）不是的充要条件，故C错误； 对于D，若，则，即， 反之，若，则，则，所以， 所以是的充要条件，故D正确. 故选：D 5. 已知圆与圆的半径分别为3和1，圆与圆外切沿着圆周滚动如图所示，是圆的任意直径，则（ ） A. 1 B. 4 C. 9 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的线性运算及数量积运算即可求解. 【详解】 . 故选：D. 6. 在正三棱台中，分别为棱的中点，，四边形为正方形，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于点，，根据正棱台可判断三棱锥为正三棱锥，根据棱长进而判断为正四面体，由正四面体的性质即可结合长度以及线面角的定义求解. 【详解】由题意可知，延长必交于一点， 由可知，分别是的中点， 又点为线段的中点，所以， 因分别为棱的中点，则， 又四边形为正方形，所以，所以， 由于三棱锥为正三棱锥，因此三棱锥为正四面体， 因此直线与平面所成的角即为直线与平面所成角， 取的中心为，连接，则平面， 所以为直线与平面所成角， 设正四面体的棱长为 ， 在中，，， 在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件利用同角关系化简可得，由条件，结合两角和正弦公式可得，再根据两角差的正弦公式求出结果即可. 【详解】由题意得，即，即， 得，又因为， 所以， 因此. 故选：B. 8. 当时，关于的不等式仅有两个正整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将不等式转化为不等式，构造函数，求导确定函数的单调性，从而根据不等式整数解的个数列不等式即可得实数的取值范围. 【详解】当时不等式等价于： 设， 则， 所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 所以有两个正整数解2和3，则，解得， 故实数的取值范围是． 故选：C. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 对任意实数x，有则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由二项式定理，采用赋值法判断选项ACD，转化法求指定项的系数判断选项B. 【详解】由， 当时，，，A选项错误； 当时，，即，C选项正确； 当时，，即，D选项正确； ，由二项式定理，，B选项正确. 故选：BCD 10. 已知数列的前项和为，且，（，为常数），则下列结论正确的有（ ） A. 一定是等比数列 B. 当时， C. 当时， D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用数列的递推关系得和当时，，再利用，结合等比数列的概念对A进行判断；对于B，利用A的结论，结合等比数列的通项公式得，当时，利用等比数列的求和，计算出；对于C，当时，利用指数幂的运算，对C进行判断；对于D，利用，计算得，对D进行判断. 【详解】对于A，在数列中，因为， 为非零常数， 所以当时，，解得， 当时，， 由得，即，又因为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，故A正确； 对于B，由得，因此当时，， 所以，故B正确； 对于C，由得，因此当时，， 所以，故C正确； 对于D，由得， 因此， ， 所以，故D错误． 故选：ABC． 11. 已知P为抛物线C：上一点，F为C的焦点，直线l的方程为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 点P到直线l与到直线的距离之和的最小值为2 C. 若存在点P，使得过点P可作两条垂直的直线与圆相切，则r的取值范围为 D. 过直线l上一点E（点E不在x轴上）作抛物线的两条切线，切线分别交x轴于点A，B，外接圆面积的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，利用定义转化长度，即可利用几何法求出最小值；对B，利用定义转化长度，也可利用几何法求出最小值；对C，把存在点P，使得过点P可作两条垂直的直线与圆相切问题转化为圆心距的范围问题，即可求解；对D，设切线，与抛物线分别切于M，N，设，，求出切线的方程，进而求出点坐标，利用向量验证可得，，可得E，A，F，B四点共圆，且的外接圆的直径为，问题转化为求最小，即为点F到直线的距离问题求解. 【详解】对于A，抛物线C：，焦点，准线m：，， 过点P作准线m：的垂线，垂足为Q，再过点A作准线m：的垂线，垂足为B， 由抛物线定义可知：，故A正确； 对于B，过点P作准线m：的垂线，垂足为Q，交直线n：于点N， 过点P作直线l：的垂线，垂足为H， 过点F作直线l：的垂线，垂足为G， 由点F到直线l：的距离公式可得：， 则点P到直线l与到直线的距离之和为： ，故B错误； 对于C． 根据过点P可作两条垂直的直线与圆相切，如图，设切点为T，可知． 由于两条切线垂直，可知，即，所以有， 从而把问题转化为抛物线上存在点P到圆心M的距离为， 先求抛物线上点到圆心距离： ， 当时，取到最小值， 即，解得，故C正确． 对于D，切线，与抛物线分别切于M，N，设，， 因为，故，故，， 故直线EA：，同理，直线EB：， 由，可得，故， 又，故，， 故，同理，故，， 所以E，A，F，B四点共圆，且的外接圆的直径为， 所以即为F到直线的距离，此距离为2． 故，即的外接圆的半径的最小值为1，故的外接圆面积的最小值为． 故选：ACD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 椭圆的短轴长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆短轴长的定义即可求解. 【详解】由椭圆，可得椭圆焦点在轴上，且， 故短轴长为. 故答案为：4 13. 从0~9这十个数字中选取3个数，能组成无重复数字的三位偶数__________个.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】按照0是否在末位分类讨论即可求解. 【详解】末位是0时：末位有1种选法，十位有种选法，百位有种选法， 故末位是0的三位偶数有； 末位不是0时：个位有种选法，百位有有种选法，十位有种选法， 故末位不是0的三位偶数有； 所以共有个． 故答案为：. 14. 数列满足，，，若不等式恒成立，则正整数的最大值为__________. 【答案】8 【解析】 【分析】将递推式两边同时平方可得的通项公式，从而求出的通项公式，利用累乘对不等式进行化简，得到不等关系，再结合恒成立问题求出正整数的最大值. 【详解】由得， 两边平方得， 则是以1为首项，1为公差的等差数列，即， 由得，. 因，所以，则， 可得，则正整数最大值为8. 故答案为：8. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 教育部办公厅要求中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动、家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素，了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力．某学校为了了解学生的身体健康与身体素质状况，随机抽取了50名同学的体测结果（“合格”或“优秀”），统计数据如下表： 性别 体测结果 合计 合格 优秀 男生 2 28 30 女生 6 14 20 合计 8 42 50 （1）能否有的把握认为体测结果与性别有关？ （2）用样本估计总体，频率估计概率．现等可能地从男、女生中抽取一个性别，然后再从选好的性别中随机抽取1名学生的体测结果，已知抽出的学生体测结果是“优秀”，求这名学生是男生的概率． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10828 【答案】（1）能有的把握认为体测结果与性别有关 （2） 【解析】 【分析】（1）根据列联表可得独立性检验的各项数据，利用独立性检验的计算公式以及检验过程，可得答案； （2）根据古典概型以及条件概率，利用全概率公式，可得答案. 【小问1详解】 由题意可得， 则， 故能有的把握认为体测结果与性别有关. 【小问2详解】 设{抽取的一人为优秀}，{抽取的一人为男生}， 则{抽取的一人为合格}，{抽取的一人为女生}， 可得，，，， 所以， 故. 16. 如图，正四棱台中，，侧棱与面的夹角为分别为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，交于点G，根据已知证得，再由线面平行的判定证明结论. （2）延长交于点P，连接交于点O，再建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标及平面与平面的法向量，进而利用向量法求二面角的大小. 【小问1详解】 在正四棱台中，连接交于点G， 由，得与相似，而， 则，即，又，因此， 而平面平面，所以平面. 【小问2详解】 延长交于点P，则为正四棱锥，， 连接交于点O，则，且平面， 以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 点H为点在平面内的投影点，由侧棱与面的夹角为，得， 则，，， 设分别为平面与平面的法向量， 则，取， ，取，得， 令平面与平面的夹角为，则，， 所以平面与平面的夹角大小为. 17. 在锐角中，角的对边分别为的面积为，满足， （1）求的值； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用面积公式以及余弦定理化简得，结合同角的三角函数关系即可求解； （2）在锐角三角形中可得，结合正切函数的单调性可得，利用正弦定理化简结合的范围即可求解. 【小问1详解】 整理得， 所以，所以， 因为，所以， 即，解得或（舍去）， 因为，所以， 【小问2详解】 在锐角中，有，则， 所以， 因为 因为，所以，所以， 所以，所以 18. 已知以下事实：反比例函数（）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线． （1）（ⅰ）直接写出函数的图象的实轴长； （ⅱ）将曲线绕原点顺时针转，得到曲线，直接写出曲线方程． （2）已知点是曲线的左顶点．圆：（）与直线：交于、两点，直线、分别与双曲线交于、两点．试问：点A到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）（ⅰ）2；（ⅱ）． （2）存在，点A到直线距离的最大值为2，． 【解析】 【分析】（1）由题意结合双曲线的性质，即可求得答案； （2）方法一：设，，，设：，联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，进而求出两点的纵坐标，结合，即可求得参数之间的关系，代入，即可求得答案； 方法二：设，，，，， 利用，的方程求出，，的表达式，即可得的坐标，从而求出的方程，可推出过定点，即可求得答案； 方法三：设，，，，，可得，设：，联立双曲线方程化简得出，变形后利用根与系数的关系可得出，求出n，即可推出过定点，即可求得答案.. 【小问1详解】 （ⅰ）由题意可知双曲线的实轴在上，联立， 解得或，即双曲线的两顶点为， 故实轴长为； （ⅱ）将曲线绕原点顺时针转，得到曲线， 曲线的方程为； 【小问2详解】 方法一：设，，，显然直线的斜率存在，设：， 联立：得， 所以，，①， 因为：，令，则，同理，，② 依题意得，③ 由①②③得，， 所以，即或， 若，则：过点A，不合题意； 若，则：．所以，恒过， 所以，．当且仅当，即时取得， 此时方程为，结合， 解得，，， 综上所述，点A到直线距离的最大值为2，此时圆的半径为； 方法二：设，，，，， 则：，：， 联立，得， 为此方程的一根，另外一根为，则， 代入方程得，， 同理可得，， 即，， 则， 所以直线的方程为， 所以直线过定点, 所以．当且仅当，即时取得， 解得, 综上所述，点A到直线距离的最大值为2，此时圆的半径为； 方法三：设，，，，， 则， 依题意，直线不过点A，可设：， 曲线的方程改写为，即， 联立直线的方程得， 所以， 若，则，代入直线方程，无解； 故，两边同时除以得， 则，得， 在直线：中，令，则， 所以，恒过， 所以，， 当且仅当，即时取得，此时，符合题意， 且方程为，解得，，， 综上所述，点A到直线距离的最大值为2，此时圆的半径为． 【点睛】难点点睛：本题考查双曲线方程的求解以及直线和双曲线位置关系的应用，其中的难点是求解最值问题，解答时要注意利用直线方程和双曲线方程的联立，利用根与系数的关系式进行化简，难点就在于化简的过程十分复杂，计算量大，并且基本上都是有关字母参数的运算，需要有较强的计算能力. 19. 已知函数在区间和各恰有一个零点，分别记为和． （1）求实数k的取值范围； （2）记曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为S，求的最大值； （3）若函数有三个零点，，，其中，证明：． 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据已知在区间和各有一个解，结合对应二次函数性质列不等式求参数范围； （2）应用导数的几何意义求切线方程，求出交点坐标，进而有，结合（1）得，利用导数求其最大值； （3）应用导数研究的区间单调性，得依次在区间、、上，设在点处的切线为且且，在点处的切线为且且，利用导数研究、的区间单调性，结合即，即可证. 【小问1详解】 令，若，则是一个零点，不是题设区间内的零点， 所以的两个根分别在区间和内， 故只需，所以； 【小问2详解】 ，结合（1）知， 所以曲线在点处的切线，， 令，则，而， 所以，故，而，且， 所以， 令，则，则， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 所以的最大值为； 【小问3详解】 记的导函数为，有显然在上单调递增， 又，时，存在，使， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 又，或时， 所以，存在，，使， 当或时，，在、上单调递增， 当时，，在上单调递减， 结合题设，依次在区间、、上， 设在点处的切线为， 设且，则， 记的导函数为，则，故在上单调递减， 又，则时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 所以， 若与直线的交点横坐标为，则， 由，则的斜率，故， 同理，设在点处的切线为， 设且，则， 记的导函数为，则，故在上单调递增， 又，则时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 所以， 若与直线的交点横坐标为，则， 由，是方程的根，满足和，则的斜率，故， 综上，， 由，，，则， 所以，则，故，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $