21.1.1四边形及其内角和课件-【满分全攻略备课系列】2025-2026学年人教版数学八年级下册

八年级人教版数学下册 第二十一章 四边形 21.1 四边形及多边形 21.1.1 四边形及其内角和 布置作业 3 学习目标 1 5 课堂小结 习题巩固 4 知识详解 2 6 布置作业 典例分析 学习目标 1.了解四边形的概念及四边形的边、顶点、对角线、 内角与外角． 2. 探索并掌握四边形的内角和与外角和，提升推理力． 3.了解四边形的不稳定性及其在生活中的一些应用． 与三角形类似，如图，在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形，组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点. 四边形用表示它的各个顶点的字母表示，例如，图中的四边形，可以按照顶点的顺序，记作“四边形ABCD”. 如图(1)，画出四边形ABCD的任何一条边(例如CD)所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形.而图(2)中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画出边CD(或BC)所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧.今后，如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形. 连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线.在图中，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，它们分别将四边形 ABCD分为两个三角形. 与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角；四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角. 请在图中画出四边形ABCD顶点A，C处的外角. A D C B 思考 我们知道，三角形的内角和是180°，长方形的内角和是360°.那么，任意一个四边形的内角和是多少度？你能证明你的结论吗？ 由于四边形的一条对角线将这个四边形分为两个三角形，所以四边形的有关问题就可以利用三角形的相关知识加以解决. 下面研究四边形的内角与外角的性质 下面按照上述思路解决这个问题. 如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形.在△ABC中，由三角形内角和定理，得 ∠1+∠B+∠3=180°. 同理∠2+∠4+∠D=180°. 由此可得 ∠DAB+∠B+∠BCD+∠D =∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D =(1+∠B+∠3)+(∠2+∠4+∠D) =180°+180°=360°. 即四边形的内角和等于360° 2 1 3 4 C A B D 教材 例题 例1 如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和.四边形的外角和等于多少？ 分析：因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角， 所以四边形的外角和与内角和的总和为4×180°. 根据这个关系，可以利用四边形的内角和求出其外角和. A C B D 2 1 3 4 解：如图.∵∠DAB与∠1是邻补角，∴∠DAB+∠1=180°. 同理∠ABC+∠2=180°，∠BCD+∠3=180°， ∠CDA+∠4=180°. ∴∠DAB+∠1+∠ABC+∠2+∠BCD+∠3+∠CDA+∠4=720°. 而∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°. 这样，我们就证明了:四边形的外角和等于360° 1.四边形ABCD中，AC，BD交于点O.猜想AC＋BD与 AB＋CD的大小关系， 并证明. 解：AC＋BD＞AB＋CD. 证明如下： 如图 所示， 在△AOB中，OA＋OB＞AB， 在△COD中，OC＋OD＞CD. 所以OA＋OB＋OC＋OD＞AB＋CD， 即(OA＋OC)＋(OB＋OD)＞AB＋CD， 所以AC＋BD＞AB＋CD. 变式训练 如图(1)，在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？如图(2)，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？ 图 （1） 图（2） 可以发现，四边形木架的形状会改变.因为四边形的四条边确定后，四个角并不确定，这说明四边形不具有稳定性.而再钉一根木条后，四边形木架变成两个三角形木架，由于三角形具有稳定性、这时四边形木架的形状不会改变. 在日常生活中，有时需要利用四边形的不稳定性，如图中的伸缩门、升降机等；有时又需要克服四边形的不稳定性，如图中在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上钉一根木条，以防窗框变形等. 教材P49 练习 课内练习 1.求出下列图形中x的值. 解：(1)由140+90+2x=360，得x=65. (2)由3x+4x+2x+3x=360，得x=30. (3)由120+80+75+(180-x)=360，得x=95. 2.四边形ABCD中有一组对角互补，且∠A，∠B，∠C的度数之比为2:3:4，则∠D 的度数是______. 解析：∵ 四边形ABCD 中有一组对角互补，∴ 另一组对角也互补， ∴ ∠A+∠C=∠B+∠D=180°. 设 ∠A,∠B,∠C 的度数分别为2x,3x,4x，则 2x+4x=180°， 解得 x=30°，∴∠B=3x=90°，∴ ∠D=180°−∠B=90°. 90° 3.下列图形中哪些具有稳定性？ (1) (2) (3) (4) (5) 解：(1)(4)具有稳定性； (2)(3)(5)不具有稳定性. 基础巩固题 知识点1 四边形的概念 1.【2025山西大同质检】下列图形中，是四边形的是( ) B A. B. C. D. 【解析】根据四边形的定义可知,B选项中的图形是四边形，故选B. 2.【2025河南周口质检】如图，下面关于此四边形的表示方法：① 四边形；②四边形；③四边形 ；④四边形 ．其中正确的有( ) B A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 【解析】根据题图可知，关于此四边形的表示方法正确的有①四边形 ； ④四边形 ，共2种.故选B. 知识点2 四边形内角和外角的性质 3.【2025辽宁葫芦岛期中】如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设 与 四边形的外角和的度数分别为 ， ，则正确的是( ) A A. B. C. D.无法比较 与 的大小 【解析】 三角形的外角和为 ，四边形的外角和为 ， ， ， ，故选A. 17 4.[教材P49练习T2变式]如图，两根细绳将一物体E挂在两面互相垂直的墙面AD与AB上，若∠ABC＝68°，BC⊥CD，CE∥AD，则∠DCE的度数为(　　) A．92° B．110° C．112° D．120° C 4∶3∶2∶1 5.如图，在四边形ABCD中，∠1∶∠2∶∠3∶∠4＝1∶2∶3∶4，则∠BAD∶∠ABC∶∠BCD∶∠ADC＝____________． 知识点3 四边形的不稳定性 6.【2025广西南宁期中】如图所示的是电动伸缩门,则电动门能伸缩的几何原理是 ( ) C A.三角形的不稳定性 B.三角形的稳定性 C.四边形的不稳定性 D.四边形的稳定性 【解析】电动门能伸缩的几何原理是四边形的不稳定性，故选C. 20 7.【2025陕西西安质检】如图所示的模板，按规定，， 的延长 线相交成 的角，但交点不在板上，不便测量.若质检员测得 ， ，则该模板合格吗？为什么？ 【解】该模板不合格.理由如下： 延长，交于点， 如图. ， ． ， ，四边形的内角和为 ， ， 该模板不合格． 能力提升题 21 8. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F． (1)若∠ABC＝42°，求∠ADF的度数； 解：∵在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝42°， ∴∠ADC＝360°－∠A－∠ABC－∠C＝138°. 又∵DF平分∠CDA，∴∠ADF＝∠ADC＝69°. (2)求证：DF∥BE． 证明：设∠ABC＝x，∵BE平分∠ABC，∴∠EBA＝ ∠ABC＝ x. ∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ADC＝360°－∠A－∠ABC－∠C＝180°－x. 又∵DF平分∠CDA，∴∠ADF＝ ∠ADC＝90°－ x， ∴在Rt△DAF中，∠AFD＝90°－∠ADF＝ x，∴∠EBA＝∠AFD，∴BE∥DF. 90 9.规定：有一对相对的角互补的四边形叫作“智慧四边形”．例如，在四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝180°或∠B＋∠D＝180°，则四边形ABCD是“智慧四边形”． (1)如图①，已知四边形ABCD是“智慧四边形”，其中三个内角∠A，∠B，∠C的度数之比是4∶3∶2，则∠D的度数为________°； (2)如图②，已知四边形ABCD是“智慧四边形”，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O，若∠A＝50°，求∠O的度数； 解：∵四边形ABCD是“智慧四边形”，∴∠ABC＋∠ADC＝180°. ∵BO平分∠ABC，DO平分∠ADC，∴∠ABO＝ ∠ABC，∠ADO＝ ∠ADC，∴∠ABO＋∠ADO＝ (∠ABC＋∠ADC)＝ ×180°＝90°， ∴∠O＝360°－∠A－∠ABO－∠ADO＝360°－50°－90°＝220°. 解：∵△ABC的两个外角∠MBC，∠BCN的平分线交于点E，∴∠CBE＝∠MBC，∠BCE＝ ∠NCB， ∴∠CBE＋∠BCE＝ (∠MBC＋∠NCB) ＝ (180°－∠ABC＋180°－∠ACB) ＝ (180°＋∠A)＝90°＋ ∠A. ∵∠CBE＋∠BCE＋∠E＝180°，∴90°＋ ∠A＋∠E＝180°. 又∵∠BDC＝90°＋ ∠A，∴∠BDC＋∠E＝180°， ∴四边形DBEC为“智慧四边形”． (3)如图③，D为△ABC内一点，且∠D＝90°＋∠A，△ABC的两个外角∠MBC，∠BCN的平分线交于点E，判断四边形DBEC是不是“智慧四边形”． 四边形及其内角和 相关概念 在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形，组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点 内角和 四边形的内角和等于360° 外角和 四边形的外角和等于360° 课堂小结 教科书第115页练习 第1，2题 布置作业 $