精品解析：湖南衡阳市衡阳县第五中学2026届高三普通高中名校联考（一）数学试卷

2026届・普通高中名校联考压轴卷（一） 数学 考生注意： 1．本试卷共150分，考试时间120分钟． 2．请将答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用集合补集的定义与运算，即可求解. 【详解】由全集，集合， 根据集合补集的定义与运算，可得. 2. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定的范围，再确定的范围，将化为同底，根据对数函数单调性比较大小. 【详解】因为， ， ， 且，所以. 3. 近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物的释放对大气臭氧层的破坏作用.科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数.经过测算，如果不对氟化物的使用和释放进行控制，经过280年将有一半的臭氧消失.如果继续不对氟化物的使用和释放进行控制，再经过年，臭氧含量只剩下初始含量的20%，约为（ ） （参考数据：，） A. 280 B. 300 C. 360 D. 640 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意建立等式，然后化简求解即可. 【详解】由题可知， ，即， 两式相比得 解得 故选：C 4. 如图，已知圆 的半径为2，弦长， 为圆 上一动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取 的中点 ，连接、 ，根据数量积的运算律得到，再求出即可求出的范围，从而得解. 【详解】取 的中点 ，连接、 ， 则 ， 又， 所以，， 即， 所以，． 故的取值范围为． 故选：C 5. 已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以当时，单调递增，则.又函数的值域为， 所以当，函数的值要取到内的所有实数，所以. 当，即时，函数在上单调递增，时，， 当趋近于1时，，即，所以，即实数a的取值范围是. 6. 设，是复数，则下列命题中是假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，利用复数模的定义即可判断；对于B，利用共轭复数的定义即可判断；对于C，利用复数共轭复数相乘的性质即可判断；对于D，举反例即可判断. 【详解】设，，其中． 对于A， ， ， 所以，故A正确； 对于B，，， ， 所以，故B正确； 对于C，，， 由，得． 因为，， 所以不一定成立，如，， 此时，而，，即，故C错误； 对于D，由，得，， ，所以，故D正确﹒ 故选:C． 7. 已知数列的前n项和为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分奇数项和偶数项求递推关系，然后记，利用构造法求得，然后分组求和可得. 【详解】因为， 所以，，且， 所以， 记，则，所以， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，， 记的前n项和为，则. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于先分奇数项和偶数项求递推公式，然后再并项得的递推公式，利用构造法求通项，将问题转化为求的前50项和. 8. 已知函数在区间上的最小值恰为，方程表示焦点在轴上的椭圆，记所有满足条件的为集合 ，实数的取值集合为 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由满足条件的集合求 ，再由椭圆条件求 ，最后判断集合关系. 【详解】当时，， 此时的最小值为，所以，即． 若，此时能取到最小值， 即，代入可得，满足要求，即； 若取不到最小值，则需满足，即， 而在上单调递减， 所以存在唯一符合题意；所以集合. 由椭圆的焦点在轴上，得， 解得，所以实数的取值集合为， 则，即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，则下列关系式中一定成立的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据题意，求得，结合不等式的性质和对数函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】因为，由指数函数的性质，可得， 对于A中，由，可得，所以A正确； 对于B中，由，可得，所以B不正确； 对于C中，由，可得，根据对数函数的性质，可得，所以C正确； 对于D中，当时，可得，所以D不正确. 故选：AC. 10. 在 中，内角 ， ， 所对的边分别为，，，其中，且，若 边上的中点为 ，则（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦定理进行边角互化可得；再利用余弦定理结合基本不等式可得的最值及的最值；根据向量的线性运算，可表示中线，进而可得其长度最值. 【详解】对于A：，由正弦定理得，即，，因为，所以，所以，，，故A正确； 对于B：由余弦定理知，，因为，，所以，，当且仅当时等号成立，因为，所以的最大值为，故B正确； 对于C：由B知，则，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故C错； 对于D：因为 为 边上的中线，所以，，得，因为，所以的最小值为，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知一个装有半瓶水的圆柱形玻璃杯，其底面半径为，玻璃杯高为（玻璃厚度忽略不计），其倾斜状态的正视图如图所示，表示水平桌面．当玻璃杯倾斜时，瓶内水面为椭圆形，阴影部分为瓶内水的正视图．设，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，椭圆的离心率为 B. 当椭圆的离心率最大时， C. 当椭圆的焦距为4时， D. 当时，椭圆的焦距为6 【答案】AD 【解析】 【分析】根据，椭圆长轴为，短轴长为，求离心率判断A，由离心率最大知长轴最长可得求解判断B，由离心率求出即可判断C，由 求出，再得出焦距判断D. 【详解】过 作于 ，如图， 由，当时，在中，， 所以椭圆中，，故A正确； 因为椭圆的短轴长为定值6，，所以当椭圆的长轴最长时，椭圆的离心率最大， 由图可知，椭圆长轴为 时，椭圆的长轴最长，此时，故B错误； 当椭圆的焦距为4时，，即， 所以，所以，故C错误； 当时，，所以， 由勾股定理可得，即，， 所以，所以焦距，故D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的展开式中的常数项为0，则 __________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式，得到展开式的常数项,由常数项为0,求得. 【详解】的展开式的通项为, 当时,，的展开式有常数项, 当时,，的展开式有常数项， 所以，所以. 故答案为： 13. 已知三棱锥如图所示，两两垂直，且，点分别是棱的中点，点 是棱上靠近点 的三等分点，则空间几何体的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】过点 作，交于点 ，证明平面，分别求出三棱锥的体积，再根据即可得解. 【详解】如图，过点 作，交于点 ， 因为，，， ，平面， 所以平面，所以平面，且， 因此， 因为 、 分别为、的中点，所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 14. 最近全国各地的旅游十分火爆，某旅游公司根据市场调研的情况推出了A，B两个旅游路线方案，通过实践发现，选择方案A旅游路线与选择方案B旅游路线的游客比为3:1，该公司为了激励大家消费，设立优惠项目，即选择方案A旅游路线优惠200元，选择方案B旅游路线优惠100元（每位游客的选择相互独立），已知旅游公司的总优惠金额恰为的概率为，，则的关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】记当时，累计优惠金额恰为的概率为，累计优惠金额恰为的概率为，累计优惠金额恰为的概率为，分析出关系式，凑配出等比数列，利用等比数列求得通项公式． 【详解】根据题意，当时，累计优惠金额恰为的概率为，累计优惠金额恰为的概率为，累计优惠金额恰为的概率为， 优惠金额恰为，则是优惠金额恰为时再有一个人选择 方案或优惠金额恰为再有一个人选择 方案， 所以，设， 令，则，即，解得或． ①当时，可得， 所以为以为首项，以为公比的等比数列， 根据题意，，，，所以可得， ，，…，，叠加可得 ， 故，，也符合该式， 故. ②当时，可得， 所以，即， 而， 则为以为首项，为公比的等比数列， 所以，．综上，，． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某工厂的生产线上的产品按质量分为：一等品，二等品，三等品.质检员每次从生产线上任取2件产品进行抽检，若抽检出现三等品或2件都是二等品，则需要调整设备，否则不需要调整.已知该工厂某一条生产线上生产的产品每件为一等品，二等品，三等品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响. （1）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率； （2）若质检员一天抽检3次，以表示一天中需要调整设备的次数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）； （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）应用全概率公式计算求解即可； （2）先根据对立事件求概率，再结合二项分布分别求出概率及分布列进而得出数学期望即可. 【小问1详解】 设表示事件“在一次抽检中抽到的第件产品为一等品”，， 表示事件“在一次抽检中抽到的第件产品为二等品”，， 表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”，则. 由已知， 所求的概率为. 【小问2详解】 依题意有：随机变量的可能取值为， 由（1）知一次抽检后，设备需要调整的概率为， 依题意知，则， 故的分布列为： 0 1 2 3 0.729 0.243 0.027 0.001 所以：. 16. 如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，， 分别是棱的中点，平面平面 ． （1）求证：． （2）在棱上是否存在点 ，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点 的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在点 ，且 为棱上靠近点的一个三等分点 【解析】 【分析】（1）应用面面垂直性质定理得出线面垂直平面，再应用线面垂直判定定理得出平面进而得出线线垂直； （2）建立空间直角坐标系设向量关系，再分别求出两个面的法向量，再应用二面角的余弦值求出参数. 【小问1详解】 连接，如图，由题知四边形是菱形，则， 又 分别为棱的中点，所以，故． 因为 为等边三角形， 为 的中点，所以 ． 又平面平面 ，平面平面平面 ， 所以平面， 又平面，故． 又平面，所以平面， 因为平面，所以． 【小问2详解】 连接，如图． 由，可知为等边三角形， 又 是 的中点，所以， 由(1)得平面，所以两两互相垂直． 故以 为原点，所在直线分别为轴、轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，． 假设在棱上存在符合要求的点 ，设， 则． 设平面的法向量为， 则即即 取，则，所以． 由(1)得是平面的一个法向量， 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，即，解得或（舍去）， 故存在点 ，且 为棱上靠近点的一个三等分点，使得平面与平面的夹角的余弦值为． 【点睛】方法点睛：设,再应用空间向量法计算平面与平面的夹角余弦值为求出参数即可. 17. 已知数列和满足.记数列和满足. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得， ，，由此即可得解. （2）由题意得，分奇数项和、偶数项和讨论求和即可得解. 【小问1详解】 ①由题可得①，②. 由①+②得：，即， 于是数列为等比数列，首项，公比为，于是， 由①-②得：，即， 于是数列为等差数列，首项，公差为2，于是. 【小问2详解】 求和看通项：， 奇数项和； 偶数项和： ， ， 所以. 18. 若定义域为 的函数满足：①；②对任意且恒成立，则称具有性质. （1）证明：函数具有性质； （2）判断函数是否具有性质，并说明理由； （3）记，若具有性质，求实数的值. 【答案】（1）证明见解析； （2）具有性质，理由见解析； （3）0或1. 【解析】 【分析】（1）利用性质的定义，计算验证即得. （2）构造函数，利用导数探讨单调性，再验证判断性质成立. （3）求出函数的唯一零点0，具有性质，再分类讨论判断性质的不等式成立情况得解. 【小问1详解】 依题意，； 当时，， 当时，， 因此，所以具有性质. 【小问2详解】 依题意，； 令，求导得， 当时，，当 时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此当时，，即， 当时，，则， 因此，所以具有性质. 【小问3详解】 由， 所以在上单调递增，又， 所以函数有唯一零点0，则只能具有性质， 令，求导得， 令，求导得， 函数在上单调递增，， ①当或1时，，由在上单调递增， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则对任意，均有， 即，于是， ，因此函数具有性质； ②当时，， 于是存在使得， 当时，，函数在上单调递减， 则对任意，均有， 即，于是， ，因此函数不具有性质； ③当或时，， 当时，，则存在使得， 由在上单调递增， 当时，，则在上单调递增， 则对任意，均有， 即，于是， ，因此函数不具有性质， 所以实数的值为0或1. 【点睛】关键点点睛：充分理解性质的定义，求出函数零点，再判断不等式成立是关键. 19. 已知双曲线的渐近线方程为，点在 上.按如下方式构造点：过点作斜率为1的直线与 的左支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为为坐标原点. （1）求的面积； （2）记，证明：数列为等比数列； （3）分别为线段的中点，记的面积分别为.判断是否为定值，如果是定值，求的值；如果不是，请说明理由. 【答案】（1）1 （2）证明见解析 （3）是定值， 【解析】 【分析】(1)根据渐近线方程，可求得双曲线方程，利用题意求得,坐标，进而求得三角形面积; (2)根据的构成方式，得到与,的关系式,从而的数列递推关系式,从而证明为等比数列; (3)借助第(2)小问的结论，写出数列通项公式，得到与的关系式，再利用点在双曲线上，求得的坐标，进而求得，的坐标，求得两个三角形的面积，进而求得. 【小问1详解】 由题知，又，所以， 故双曲线的方程为. 又过点，斜率为1的直线方程为，如图， 由双曲线与直线的对称性可知，所以， 又过，且斜率为1的直线方程为，即， 由，解得或， 当时，，所以； 于是：. 【小问2详解】 设， 则过，且斜率为1的直线方程为， 联立，消得到， 由题有，得到， 由题知点在直线上，即有， 所以，所以，所以， 由（1）知，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列. 【小问3详解】 由（2）知，得到， 由，即， 即，则， ， 故， ， 故， ， 即，则， 由可得： ， 由可得： ， 所以：. 【点睛】本题利用点的坐标求三角形面积，利用公式为： 设，,三角形的面积 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届・普通高中名校联考压轴卷（一） 数学 考生注意： 1．本试卷共150分，考试时间120分钟． 2．请将答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物的释放对大气臭氧层的破坏作用.科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数.经过测算，如果不对氟化物的使用和释放进行控制，经过280年将有一半的臭氧消失.如果继续不对氟化物的使用和释放进行控制，再经过年，臭氧含量只剩下初始含量的20%，约为（ ） （参考数据：，） A. 280 B. 300 C. 360 D. 640 4. 如图，已知圆 的半径为2，弦长， 为圆 上一动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设，是复数，则下列命题中是假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 已知数列的前n项和为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上的最小值恰为，方程表示焦点在轴上的椭圆，记所有满足条件的为集合 ，实数的取值集合为 ，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，则下列关系式中一定成立的是（ ）． A. B. C. D. 10. 在 中，内角 ， ， 所对的边分别为，，，其中，且，若 边上的中点为 ，则（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知一个装有半瓶水的圆柱形玻璃杯，其底面半径为，玻璃杯高为（玻璃厚度忽略不计），其倾斜状态的正视图如图所示，表示水平桌面．当玻璃杯倾斜时，瓶内水面为椭圆形，阴影部分为瓶内水的正视图．设，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，椭圆的离心率为 B. 当椭圆的离心率最大时， C. 当椭圆的焦距为4时， D. 当时，椭圆的焦距为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的展开式中的常数项为0，则 __________. 13. 已知三棱锥如图所示，两两垂直，且，点分别是棱的中点，点 是棱上靠近点 的三等分点，则空间几何体的体积为__________. 14. 最近全国各地的旅游十分火爆，某旅游公司根据市场调研的情况推出了A，B两个旅游路线方案，通过实践发现，选择方案A旅游路线与选择方案B旅游路线的游客比为3:1，该公司为了激励大家消费，设立优惠项目，即选择方案A旅游路线优惠200元，选择方案B旅游路线优惠100元（每位游客的选择相互独立），已知旅游公司的总优惠金额恰为的概率为，，则的关系式为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某工厂的生产线上的产品按质量分为：一等品，二等品，三等品.质检员每次从生产线上任取2件产品进行抽检，若抽检出现三等品或2件都是二等品，则需要调整设备，否则不需要调整.已知该工厂某一条生产线上生产的产品每件为一等品，二等品，三等品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响. （1）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率； （2）若质检员一天抽检3次，以表示一天中需要调整设备的次数，求的分布列和数学期望. 16. 如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，， 分别是棱的中点，平面平面 ． （1）求证：． （2）在棱上是否存在点 ，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点 的位置；若不存在，请说明理由． 17. 已知数列和满足.记数列和满足. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求. 18. 若定义域为的函数满足：①；②对任意且恒成立，则称具有性质. （1）证明：函数具有性质； （2）判断函数是否具有性质，并说明理由； （3）记，若具有性质，求实数的值. 19. 已知双曲线的渐近线方程为，点在 上.按如下方式构造点：过点作斜率为1的直线与 的左支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为为坐标原点. （1）求的面积； （2）记，证明：数列为等比数列； （3）分别为线段的中点，记的面积分别为.判断是否为定值，如果是定值，求的值；如果不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $