精品解析：安徽省桐城中学2025-2026学年高一上学期2月期末数学试题

高一数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：若某户居民某月的用水量为m3，其缴纳的水费为元，则（ ） 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/ m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/ m3 超过18m3的部分 9元/ m3 A. B. 当时， C. 若，则 D. 若，则 6. 函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ） A. B. C. 为的一条对称轴 D. 若，则为奇数 7. 已知幂函数，，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列关系式中正确的为（ ） A. B. C. D. 10. 关于一元二次不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 不等式在上恒成立 D. 不等式的解集为 11. 设，不超过的最大整数称为的整数部分，记作，记为的小数部分，函数，则（ ） A. B. 函数的一个周期为1 C. 方程有两个解 D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数（且）图象经过定点，则点的坐标为____________. 13. 定义在上的函数满足，则函数的零点为____________. 14. 在锐角中，若，则最小值为____________，此时____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，其中. （1）求和的值； （2）若，，求值. 16. 已知集合，关于的不等式的解集记为. （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17. 根据基础教育阶段要统筹课内外、校内外，积极推进中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求.树人中学学生每天能用于课外的锻炼时间约有60分钟，现制定了一个课外锻炼考核评分标准，建立了一个每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系如图所示，要求如下： （ⅰ）函数是区间上的增函数； （ⅱ）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； （ⅲ）每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分，每天最多得分不超过6分. 现有以下三个函数模型供选择： ①，②，③. （1）请你根据条件及图象从以上三种函数模型中选择一个合适的模型，说明理由并求出函数解析式； （2）若小张同学要求每天考核得分不少于4分，请问小张同学每天课外锻炼时间不少于多少分钟.（注：，结果保留一位小数）. 18. 角的顶点在坐标原点，始边与横轴的非负半轴重合，终边与圆心在原点的单位圆交于点，其纵坐标为，将绕点逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其纵坐标为，设. （1）求的值； （2）先将图象上所有点向右平移单位，再将所得的图象横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数的单调递增区间； （3）若对于，，使得成立，求实数的取值范围. 19 已知函数，. （1）若，求； （2）若，求函数的值域； （3）设，的零点为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合交集的概念求解. 【详解】因为，所以， 故选：A. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题进行判断. 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，其规则为“改量词，否结论”， 所以命题“”的否定是“”， 故选：C. 3. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由零点存在性定理可得答案. 【详解】因为函数的定义域为，又，易知函数在上单调递增， 又，所以在内存在一个零点，使. 故选：C. 4. 函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对A，由函数定义域可判断；对B，由函数的奇偶性可判断；对C，由函数的单调性可判断；对D，由函数的奇偶性和单调性判断. 【详解】对于A：因为的定义域为与图象不符，A错误； 对于B：定义域为，对，，都有， 所以是偶函数与图象不符，B错误； 对于C：，，， 说明当时，的函数值会出现正负交替的波动，并非单调递增，与图象不符，C错误； 对于D：定义域为，对，，都有， 所以是奇函数，与图象相符； 当时，单调递增，又是增函数，所以单调递增， 又是增函数，且当时，，两个正的增函数相乘仍然是增函数， 所以在单调递增，又为奇函数，所以在单调递增， 所以单调递增，与图象相符， 综上，D正确； 故选：D. 5. 为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：若某户居民某月的用水量为m3，其缴纳的水费为元，则（ ） 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/ m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/ m3 超过18m3的部分 9元/ m3 A. B. 当时， C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对A，阶梯水价需累计计算各段费用，计算比较可判断；对B，根据分段函数代入求值判断；对C、D，根据分段函数列出所有可能求解判断. 【详解】对于A：根据题意，当时，水价， 当时，， 所以阶梯水价的正确分段函数应为，A错误； 对于B：当时，，B错误； 对于C：若，则①或②或③， ①③无解，由②解得，C正确； 对于D：若，则④或⑤或⑥， ④⑤无解，由⑥解得，D错误； 故选：C. 6. 函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ） A. B. C. 为的一条对称轴 D. 若，则为奇数 【答案】D 【解析】 【分析】对A，根据图像上两个零点间的距离求出周期，进而得出判断；对B，由图象过点，结合图象在该点附近的单调性求解判断；对C，将代入验证判断；对D，由，解得，可知为奇数. 【详解】对于A：由图，，所以，，A错误； 对于B：图象过点，可得，可得， 解得，B错误； 对于C：由上可知，因为， 所以不是的一条对称轴，C错误； 对于D：若，即，可得，解得， 因为是偶数，是奇数，所以为奇数，D正确. 故选：D. 7. 已知幂函数，，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由幂函数性质求得，得到，根据单调性比较. 【详解】因为幂函数的系数为，所以，解得，所以，在上单调递增， 因为，所以， 又 所以，所以， 故选：B. 8. 已知函数，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将函数变形，令换元得到是偶函数且在 [0,+∞) 单调递增，再把不等式转化为两个函数值的大小关系，利用偶函数性质及单调性求解. 【详解】，令，则， 因为对任意，，且， 所以是偶函数，且当时，单调递增， 所以，即， 由，两边平方得，整理得， 解得或，即实数的取值范围为， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列关系式中正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】对A，由特值验证其不成立；对B，由基本不等式及不等式性质可判断其不成立；对C，由不等式性质可判断成立；对D，作差比较，结合不等式性质可判断. 【详解】对于A：当时，满足，但，，A错误； 对于B：因为，所以，所以，B错误； 对于C：因为，所以得到，再两边同时乘以， 因为，所以，C正确； 对于D：由题意得， 因为，所以，所以， 所以，即，D正确. 故选：CD. 10. 关于的一元二次不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 不等式在上恒成立 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知得且，据此逐项分析判断. 【详解】对于A：因为关于的不等式的解集为， 所以，且，所以，整理得，A正确； 对于B：由上分析可知，所以，B错误； 对于C：因为，，所以不等式即， 对方程，， 所以函数开口向上且与轴无交点，所以不等式的解集为，C正确； 对于D：因为，，所以不等式即， 解得，即不等式的解集为，D正确. 故选：ACD. 11. 设，不超过的最大整数称为的整数部分，记作，记为的小数部分，函数，则（ ） A. B. 函数的一个周期为1 C. 方程有两个解 D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据小数部分的定义计算并判断；对B，利用周期的定义验证；对C，在一个周期内解方程，并结合周期性判断；对D，设分离整数与小数部分，分区间讨论不等式，得出解集. 【详解】对于A：根据定义，即，A正确； 对于B：对任意，， 即，所以是的一个周期，B正确； 对于C：设，则方程化为， 当时，，即，解得，此时； 当时，，即，解得，但，此时无解； 当时，，解得，但，此时无解； 当时，，因为，所以，解得，此时； 当时，，因为，所以，解得，此时； 当时，，但，所以方程无解. 综上，方程有三个解，C错误； 对于D：设，则， 不等式，即当时，无解；当时，恒成立， 因此不等式的解为，即，D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数（且）的图象经过定点，则点的坐标为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数过定点求解. 【详解】因为函数过定点，所以，解得， 又， 所以函数经过定点， 故答案为：. 13. 定义在上的函数满足，则函数的零点为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知关系式通过赋值求出，解方程得到零点. 【详解】令，则，解得， 令，得，解得， 所以， 由得或， 所以或（舍）， 解得， 故答案为：. 14. 在锐角中，若，则的最小值为____________，此时____________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】将切化弦，结合可得，结合正弦函数的有界性求出的最小值以及此时的值. 【详解】因为，则， 所以 ， 因为，所以，则， 所以当，即时取得最小值，即的最小值为， 此时，则. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，其中. （1）求和的值； （2）若，，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数关系式结合已知条件求解即可； （2）利用两角差的余弦公式得到，即可求出，从而得解. 【小问1详解】 因为， 又因为， 所以， 即，所以， 又，所以，. 【小问2详解】 因为 ， 所以，则. 又，所以. 16. 已知集合，关于的不等式的解集记为. （1）当时，求； （2）若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入求出集合和它的补集，再解二次不等式得到集合，最后求并集得到结果； （2）先将 “充分不必要条件” 转化为集合的真包含关系，，再对分情况讨论不等式的解集，最后结合包含关系确定的取值范围. 【小问1详解】 当时，有，整理得，解得或， 所以或，所以，又， 所以； 【小问2详解】 因为“”是“”的充分不必要条件，所以， 不等式可化为， 若，则不等式即，解得，所以， 满足； 当时，不等式即，解得， 若，则，解得； 当时，不等式即，解得或， 满足； 综上，实数的取值范围为. 17. 根据基础教育阶段要统筹课内外、校内外，积极推进中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求.树人中学学生每天能用于课外的锻炼时间约有60分钟，现制定了一个课外锻炼考核评分标准，建立了一个每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系如图所示，要求如下： （ⅰ）函数是区间上的增函数； （ⅱ）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； （ⅲ）每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分，每天最多得分不超过6分. 现有以下三个函数模型供选择： ①，②，③. （1）请你根据条件及图象从以上三种函数模型中选择一个合适的模型，说明理由并求出函数解析式； （2）若小张同学要求每天考核得分不少于4分，请问小张同学每天课外锻炼时间不少于多少分钟.（注：，结果保留一位小数）. 【答案】（1）选择模型③，理由见解析；； （2）分钟. 【解析】 【分析】（1）根据图象增长趋势排除一次函数和指数函数，选择对数函数模型，再代入已知点求解参数并验证边界条件，得到函数解析式； （2）根据得分不少于分的要求列出不等式，利用对数函数的单调性求解不等式，得到锻炼时间的最小值. 小问1详解】 是一次函数，增长速度恒定，与图象的递增趋势越来越缓不符； 是指数函数，增长速度会越来越快，与图象的增长趋势不符； 是对数函数，增长速度越来越缓，与图象的增长趋势一致，故选择模型③， 由题可知，图象经过点和，代入解析式得，解得， 所以函数解析式为； 【小问2详解】 由题意可得，即， 因为是增函数，所以， 所以，解得， 即小张每天课外锻炼时间不少于分钟. 18. 角的顶点在坐标原点，始边与横轴的非负半轴重合，终边与圆心在原点的单位圆交于点，其纵坐标为，将绕点逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其纵坐标为，设. （1）求的值； （2）先将图象上所有点向右平移单位，再将所得图象横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数的单调递增区间； （3）若对于，，使得成立，求实数取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先化简，再代入求值； （2）分别按平移和伸缩变换得到，再利用整体代换由的单调递增区间求解的单调递增区间； （3）将问题转化为，分别求出两个函数在对应区间内的最小值，解不等式得到的取值范围. 【小问1详解】 由题，， 所以， 所以； 【小问2详解】 将向右平移个单位，得到， 再将所得的图象横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到， 由，得， 所以的单调递增区间是； 【小问3详解】 对于，使得，等价于， 当时，，当，即时取得最小值， 最小值为； 当时，，当，即时取得最小值， 最小值为； 所以，解得， 即实数的取值范围是. 19. 已知函数，. （1）若，求； （2）若，求函数的值域； （3）设，的零点为，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，令，结合函数的单调性及解得； （2）首先求出的解析式，结合二次函数的性质计算可得； （3）令，得到，结合函数的单调性得到，再由对数的运算性质计算可得. 【小问1详解】 因为，且， 即，即， 令，因为与均在定义域上单调递增， 所以在定义域上单调递增，又， 所以； 【小问2详解】 因为，， 所以，， 所以 ， 因为，所以，则，所以， 所以函数的值域为； 【小问3详解】 因为，所以， 所以， 令，即，即， 因为的零点为，所以， 令，则在上单调递增，又， 所以，即，所以，， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $