精品解析：安徽省宿州市第二中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题

2025-2026学年第一学期期末教学质量检测 高一数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出一元二次方程的两根，再利用交集的定义即可求解. 【详解】因为一元二次方程两根为和，所以， 所以. 故选：A 2. 已知关于的不等式的解集为，则的值（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集性质进行求解即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以有. 故选：D 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得. 【详解】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 伊丽莎白塔俗称“大本钟”，是英国伦敦标志性建筑．该钟的时针长约为2.8m，则经过，时针的针尖走过的路程约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由弧长公式即可求解； 【详解】因为时针每转一周， 故经过，时针的针尖转过的弧度数为， 走过的路程约为． 故选：C 5. 函数（，且）的图像恒过定点，若点在幂函数的图像上，则幂函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的性质，求得定点，设幂函数，代入求得，得到，即可求解. 【详解】由函数，令，可得，则， 所以函数的图像恒过点， 设幂函数， 将点代入可得，解得，即， 由二次函数的图像与性质，可得选项C符合题意. 故选：C. 6. 衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发，使得体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后，体积与天数的关系式为.已知新丸经过25天后，体积变为，则新丸经过75天，体积变为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题干中的指数函数模型得，进而将代入模型计算即可. 【详解】分别设和时的体积为，则，即. 又当时. 故选：C. 7. 已知奇函数和偶函数的定义域均为，且满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得，根据函数和的奇偶性，可求得，，代入化简即可求解. 【详解】∵，∴. ∵是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数， ∴，，∴， ∴，. ∴. 故选：D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数幂与对数的运算性质，化简得到，设，转化为，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】由不等式，可得， 因为， 所以， 设，不等式即为， 又因为和都是增函数，可得也为增函数， 所以. 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的的0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B 若，则 C. 函数的零点是1 D. 若三角形的两内角和，满足，则此三角形必为钝角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，可判定A正确；根据不等式的性质，可判定B错误；根据指数幂的运算性质，可判定C正确；由三角函数的性质，得到，可判定D正确 【详解】对于A，根据全称命题的否定为存在性命题，可得命题“”的否定是“”，所以A正确； 对于B，取，此时满足，但，所以B不正确； 对于C，由函数，令，即，可得，解得， 所以函数的零点为，所以C正确； 对于D，因为，可得，又因为，可得， 所以角为钝角，所以此三角形必为钝角三角形，所以D正确. 故选：ACD. 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 关于直线对称 D. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的图像，求得，结合正弦型函数的图象与性质，逐项判断，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得且， 所以，则，所以， 因为，可得，即， 可得，解得， 因为，所以，所以，所以A正确，B不正确； 令，解得， 当时，可得，所以是函数的一条对称轴，所以C正确； 将函数的图象向左平移个单位，可得， 所以D不正确. 故选：AC. 11. 函数满足：.已知当时，，则（ ） A. B. 为周期函数 C. 为偶函数 D. 方程恰有3个解 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数周期、偶函数的定义，结合赋值法，数形结合思想逐一判断即可. 【详解】A：在中，令中， 有，所以本选项不正确； B：由， 所以由， 所以是周期为的周期函数，因此本选项正确； C：时，，而， 显然当时，函数为偶函数， 又因为函数的周期为，所以函数是实数集上的偶函数，因此本选项正确； D：因为函数的周期为，且为偶函数， 所以函数图象如下图所示： 由数形结合思想可知：函数的图象与一次函数的图象有三个交点， 因此方程恰有3个解，所以本选项正确， 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断函数的奇偶性和周期性，运用转化思想和数形结合思想判断方程解的个数问题. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知角的始边为轴的非负半轴，角的终边与单位圆的交点为，则的值为_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，求得，进而求得的值，得到答案. 【详解】由角的终边与单位圆的交点为， 根据三角函数的定义，可得，所以. 故答案为：. 13. 已知，，且，则的最大值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，，则， 又因为，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 14. 记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】先求得，求得，得到时，，根据题意，转化为在上的值域为值域的子集，得到 ，结合，即可求解. 【详解】令，可得， 当时，；当时，，所以， 故在上的最小值为，即， 由， 令，可得，则，解得或， 当时，， 对于，，使得成立， 即在上的值域为值域的子集， 所以需要在上的值域是的子集， 所以，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，集合. （1）求； （2）已知，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合，根据集合的并集运算求解即可； （2）转化为子集问题，分类讨论即可得解. 【小问1详解】 由，得，即， 由，得，即， 所以； 【小问2详解】 是的充分条件，是的子集， 讨论如下：①若，，显然成立 ②，即，此时需满足条件，解得； 综上 16. 设（，且），且. （1）求的值及的定义域； （2）求在区间上的最值. 【答案】（1）， （2）最小值为，最大值为2 【解析】 【分析】（1）利用代入法，结合对数型函数的定义域性质进行求解即可； （2）利用换元法，结合二次函数的最值性质、对数函数的单调性进行求解即可. 【小问1详解】 因为，所以，解得， 由题意可得，解得，故函数定义域； 【小问2详解】 由（1）可得， 令，对称轴， 当时，， 则，，故， 故函数的最小值为，最大值为2. 17. （1），且，求的值； （2）已知，都是锐角，，，求的值. 【答案】（1）2（2） 【解析】 【分析】（1）首先利用诱导公式求出，即可求出、，再由诱导公式化简可得； （2）首先求出、，再由两角差的余弦公式计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以， 所以， 所以. （2）由，且为锐角，， 又，又，都是锐角，则， ， . 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判定函数的单调性，并用定义证明； （3）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，结合指数幂的运算法则，即可求解； （2）由（1）知，函数，利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解； （3）由是的奇函数，且为递增函数，把不等式转化为，根据题意，得到对任意的恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 因为函数为奇函数，所以， 则，即， 解得， 即实数的值为. 【小问2详解】 函数在单调递增， 证明：由（1）知，函数， 任取，且，则 因为，可得，则， 又因为，可得，所以 所以函数在为单调递增函数. 【小问3详解】 由（2）知：函数是的奇函数，且为单调递增函数， 则不等式，即为 可得，即 因为不等式对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， ①当时，不等式即为，显然恒成立； ②当时，则满足，即， 解得， 综上可得，，所以实数的取值范围为. 19. 已知函数 （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值； （3）英国数学家泰勒（Btaylor，1685-1731）发现了如下公式：，其中，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性.运用上述思想，计算的值.（结果精确到小数点后3位，参考数据：，） 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简函数的解析式为，结合正弦型函数图像与性质，即可求解； （2）由在上有两个不相等的实根，得到，再由求得，得到，结合诱导公式，即可求解； （3）化简得到，结合泰勒公式，进行计算，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数， 所以函数的最小正周期为， 令，解得， 所以函数单调递增区间为. 【小问2详解】 解：由，可得， 因为在上有两个不相等的实数根， 即的两个解为，所以， 又因为且，可得， 解得，所以，则， 所以 【小问3详解】 解：由， 由泰勒公式，可得， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末教学质量检测 高一数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于的不等式的解集为，则的值（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 伊丽莎白塔俗称“大本钟”，是英国伦敦的标志性建筑．该钟的时针长约为2.8m，则经过，时针的针尖走过的路程约为（ ） A. B. C. D. 5. 函数（，且）的图像恒过定点，若点在幂函数的图像上，则幂函数的图像大致是（ ） A B. C. D. 6. 衣柜里樟脑丸随着时间会挥发，使得体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后，体积与天数的关系式为.已知新丸经过25天后，体积变为，则新丸经过75天，体积变为（ ） A. B. C. D. 7. 已知奇函数和偶函数的定义域均为，且满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的的0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 若，则 C. 函数的零点是1 D. 若三角形的两内角和，满足，则此三角形必为钝角三角形 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 关于直线对称 D. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 11. 函数满足：.已知当时，，则（ ） A. B. 为周期函数 C. 为偶函数 D. 方程恰有3个解 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知角的始边为轴的非负半轴，角的终边与单位圆的交点为，则的值为_____________. 13. 已知，，且，则的最大值为_____________. 14. 记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是_____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15 已知集合，集合. （1）求； （2）已知，若是的充分条件，求实数的取值范围. 16. 设（，且），且. （1）求的值及的定义域； （2）求在区间上的最值. 17. （1），且，求的值； （2）已知，都是锐角，，，求的值. 18. 已知定义域为函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判定函数的单调性，并用定义证明； （3）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数 （1）求函数最小正周期和单调递增区间； （2）若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值； （3）英国数学家泰勒（Btaylor，1685-1731）发现了如下公式：，其中，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性.运用上述思想，计算的值.（结果精确到小数点后3位，参考数据：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $