精品解析：山东滨州市2025-2026学年高二上学期2月期末数学试题

高二数学试题 2026.2 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3，填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将答题卡上交 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知i为虚数单位，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是 A. B. y= C. D. 4. 如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 线段 5. 已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. 4 D. 8 6. 如图，在平行六面体中，，，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1，若是偶数，就将该数除以2，将所得结果反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，当时，（ ） A. 42 B. 95 C. 102 D. 109 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，直线的方向向量为，且经过点与双曲线的右支交于点.若的内切圆的面积为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 恒过定点 C. 若，则或 D. 当时，不过第三象限 10. 记为等差数列的前项和.已知，下列说法正确的是（ ） A. 数列的公差为2 B. 取最小值时， C. D. 数列的前12项和为24 11. 已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线与交于两点，点在第一象限，过点作准线的垂线，垂足为，若的最小值为8，则下列说法正确的是（ ） A. 焦点的坐标为 B. 若，则的最小值为 C. 若线段的中点坐标为，则直线的方程为 D. 若，则直线的斜率为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若三点共线，则实数的值为__________． 13. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则______． 14. 已知是圆与轴的两个交点，直线与圆交于两点，以为折痕，将折起，使得二面角的大小为，则折起后两点间的距离为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为2，到轴的距离为. （1）求抛物线的方程； （2）若不过原点的直线与抛物线交于两点，且，求实数的值. 16. 已知圆心为的圆经过三点. （1）求圆的标准方程； （2）直线过点，若直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程. 17. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，设． （i）求数列的通项公式； （ii）求数列的前项和． 18. 如图，在四棱锥中，，底面是边长为2的菱形，．为的中点，，点到平面的距离为． （1）求证：； （2）线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 19. 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，其中分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.已知椭圆的离心率为，右顶点与上顶点的距离为. （1）求椭圆的面积； （2）设点是椭圆的右焦点，经过点的直线与椭圆交于两点，过点且与垂直的直线与圆交于两点. （i）若，求直线的方程； （ii）求四边形的面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 2026.2 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3，填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将答题卡上交 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知i为虚数单位，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算即可得到答案. 【详解】. 故选：D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解出不等式，然后可算出答案. 【详解】因为， 所以 故选：B 3. 下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是 A. B. y= C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可. 【详解】函数， 在区间 上单调递减， 函数 在区间上单调递增，故选A. 【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题. 4. 如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 线段 【答案】A 【解析】 【分析】由的意义及椭圆的定义即可求解. 【详解】由点满足可知， 动点到定点的距离之和为， 即，且， 根据椭圆的定义可知动点的轨迹是椭圆， 故选：A. 5. 已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得. 【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上， 因此，即， ∴， 当且仅当，即时取“=”， 所以的最小值为9. 故选：B. 6. 如图，在平行六面体中，，，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以、、为基底向量，计算基底间的数量积，进而表示出与，通过向量的数量积与模长公式，结合异面 直线所成角的余弦公式（向量夹角余弦的绝对值）求解. 【详解】记，，， 则，，， 又，， 所以， ， ， 记与所成的角为，则． 故选：B 7. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1，若是偶数，就将该数除以2，将所得结果反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，当时，（ ） A. 42 B. 95 C. 102 D. 109 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的递推公式，九步到1，即，，.根据角谷猜想的结论可求得，再求出，相加可得答案. 【详解】由题可知，，，. 之后各项会按照的顺序循环. 因为，，所以. 因为. 当时，. 故选：C. 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，直线的方向向量为，且经过点与双曲线的右支交于点.若的内切圆的面积为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为直线的方向向量为，所以直线斜率为，即，根据同角三角函数关系式求得.由的内切圆的面积为，得的内切圆半径，利用等面积可得，由余弦定理可得，联立得，根据得的值，进而得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设双曲线的焦距为，直线的倾斜角为，. 因为直线的方向向量为，所以直线斜率为，即，即，. 代入，得，因为，所以. 所以. 设的内切圆半径为，则其面积为，则. 又，所以，所以. 中，由余弦定理， 得， 即，所以. 所以， 因为，所以. 化简得，所以. 所以，所以， 所以，所以双曲线的渐近线方程为. 故选：D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 恒过定点 C. 若，则或 D. 当时，不过第三象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线平行和垂直得到关于的方程，解出后即可判断AC，变形得，即可得到方程组，解出后即可判断B，将直线方程化为斜截式即可判断D. 【详解】对于A：若，则，解得或， 当时，，，则与重合，故舍去， 当时，，，则，故A错误； 对于B，直线，即， 令，解得，故直线过定点，故B正确； 对于C：若，则，解得或，故C正确； 对于D：当时，直线始终过点，且斜率为负，故该直线过第一、二、四象限，故D正确． 故选：BCD． 10. 记为等差数列的前项和.已知，下列说法正确的是（ ） A. 数列的公差为2 B. 取最小值时， C. D. 数列的前12项和为24 【答案】AC 【解析】 【分析】设等差数列的首项为，公差为，根据可求出与，得出A选项，然后写出等差数列的前项和公式分析即可得出选项B、C，直接计算数列的前12项和即可得出选项D. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由，① ，② 联立①②解得：，故A选项正确； 由， 所以等差数列的前项和为： ， 当时，有最小值，故B选项不正确； 由， 所以，故C选项正确； 数列的前12项和为： ， 故D选项不正确； 故选：AC. 11. 已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线与交于两点，点在第一象限，过点作准线的垂线，垂足为，若的最小值为8，则下列说法正确的是（ ） A. 焦点的坐标为 B. 若，则的最小值为 C. 若线段的中点坐标为，则直线的方程为 D. 若，则直线的斜率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】设直线的方程为，，联立抛物线方程，利用韦达定理得，所以.由抛物线的定义，得，利用基本不等式，求得，从而得到抛物线的方程.求出焦点坐标，判断A；将转化为，由求得其最小值，判断B；若线段的中点坐标为，根据中点坐标公式求得直线的斜率，进而得到直线的方程，判断C；根据向量的坐标运算，得的关系，结合求出的值，从而求得直线的斜率，判断D. 【详解】由题可知，设直线的方程为，，则. 由，得，所以，，所以. 根据抛物线的定义，得， 因为（当且仅当时，等号成立）， 所以. 若的最小值为8，则，所以. 所以抛物线的方程为：. 对于A，因为，所以，所以焦点的坐标为，所以A不正确； 对于B，根据抛物线的定义，得， 若，则， 的最小值为.所以B正确； 对于C，若线段的中点坐标为，则，则即，. 所以直线的方程为，即，所以C正确； 对于D，若，则，所以， 所以，所以. 所以，解得 即直线的斜率为.所以D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若三点共线，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：根据三点共线，可知，由斜率的定义，代入点坐标化简可得关于的方程，解方程即可得到答案 详解：， 三点共线 ，即， 解得 点睛：本题是一道关于三点共线的题目，利用直线的斜率相等进行解答，属于基础题，难度不大． 13. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用余弦定理及同角三角函数的基本关系计算可得； 【详解】解：因为，所以， 所以，所以，又，所以； 故答案为： 14. 已知是圆与轴的两个交点，直线与圆交于两点，以为折痕，将折起，使得二面角的大小为，则折起后两点间的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分析折叠前各线段的长度，及各点坐标，折叠后建立恰当的空间直角坐标系，求得点的坐标，根据空间两点间距离公式求得两点间的距离. 【详解】折叠前，，， . 折叠后，如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则. 因为，且，所以是正三角形. 取线段的中点，连接，则，且，. 记在平面的投影为，连接. 因为二面角的大小为，所以. 所以. 所以点的坐标为. 所以. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为2，到轴的距离为. （1）求抛物线的方程； （2）若不过原点的直线与抛物线交于两点，且，求实数的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由焦半径公式得到方程，求出，得到抛物线方程； （2）联立直线与，得到两根之和，两根之积，根据垂直关系得到，求出或0，时，不合要求，满足要求，得到答案. 【小问1详解】 点的横坐标为， 由抛物线焦半径公式可得，解得， 故抛物线方程为； 【小问2详解】 联立与可得， 所以，解得， 设，则， 所以， ，故， 即，解得或0， 当时，经过原点，不合要求； 当时，不经过原点，满足要求，故. 16. 已知圆心为的圆经过三点. （1）求圆的标准方程； （2）直线过点，若直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程，将点坐标代入求出，再化为标准方程即可； （2）根据直线的斜率情况讨论，利用勾股定理求出弦长即可. 【小问1详解】 设圆的一般方程为， 则，得， 则圆的一般方程为， 故圆的标准方程为. 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，则，则圆心到直线的距离为， 则直线被圆截得的弦长为，符合题意； 若直线的斜率存在，则设，即， 则圆心到直线的距离为， 则直线被圆截得的弦长为，即，得， 则， 综上，直线的方程为或. 17. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，设． （i）求数列的通项公式； （ii）求数列的前项和． 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）利用递推关系得出，结合得出数列为等比数列，进而求出通项公式； （2）（i）根据等差数列通项结合的通项公式求出，进而求出； （ii）利用的通项公式列出，根据的性质，利用错位相减法求和． 【小问1详解】 已知，， 当时，， 当时，，则，故， 又， 是首项为2，公比为2的等比数列，即． 【小问2详解】 （i）与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， 则， ， ，故， ； （ii），，， ， ， ． 18. 如图，在四棱锥中，，底面是边长为2的菱形，．为的中点，，点到平面的距离为． （1）求证：； （2）线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60∘， 是等边三角形， 为的中点， ，， ，， ，为的中点， ，，， ，平面， 平面， 平面，． （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据四棱锥的几何性质，通过线面垂直推出线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，得出相关点坐标和向量坐标，求平面法向量，利用二面角余弦公式构造方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，为轴，为轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立下图所示空间直角坐标系， 则， 如下图所示，点到平面的距离为，， ， ， 因为在线段上，令， ，， 轴为平面的法向量，则， 平面中，向量，， 设为平面的法向量，则 ，则 ， 二面角的余弦值为， 化简整理得，解得或， ，， 当时，， 当时，， 存在点，且的值为或． 19. 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，其中分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.已知椭圆的离心率为，右顶点与上顶点的距离为. （1）求椭圆的面积； （2）设点是椭圆的右焦点，经过点的直线与椭圆交于两点，过点且与垂直的直线与圆交于两点. （i）若，求直线的方程； （ii）求四边形的面积的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）直线的方程为：或；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组解出的值，然后代入面积公式中计算即可； （2）（i）对直线斜率不存在和存在进行分析均不满足题意，故直线斜率存在，设出方程，联立直线与椭圆方程消元写出韦达定理，根据弦长公式得出的表达式，由解出直线斜率即可；（ii）先对直线斜率不存在和存在且为0进行分析；然后对直线斜率存在且不为0进行分析，分析时结合点到直线距离公式，圆中弦长公式以及四边形面积公式进行求解. 【小问1详解】 由题意如图所示： 根据题意得：，解得：， 即，所以椭圆的面积为. 【小问2详解】 由（1）知椭圆标准方程为：，， （i）当直线的斜率不存在时，如图所示： 此时的方程为：代入椭圆方程中， 解得，此时，不满足题意， 所以直线斜率存在且为0时，为椭圆的左右顶点， 此时，不满足题意， 所以直线的斜率存在且不为，设为，如图所示： 令直线的方程为：即， 联立，消去整理得：， 由， 设， 则由韦达定理得：， 所以 ， 由即， 解得：， 所以直线的方程为：或. （ii）当直线斜率不存在时，如图所示： 此时 当直线斜率存在且为0时，如图所示： 将代入圆中解得：， 所以，所以， 当直线的斜率存在且不为时， 由题意如图所示： 由（i）可得：， 因为直线与直线垂直且过，所以直线的斜率为 所以直线的方程为：即， 由圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离为： ， 所以， 因为直线与直线垂直，所以， 所以 ， 令，则， 所以 ， 因为，所以， 所以， 综上所述：， 故四边形的面积的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $