第6讲 分式方程及其应用（讲义） -备战2026年浙江中考数学一轮复习

该初中数学中考复习讲义聚焦“分式方程及其应用”专题，覆盖分式方程的概念、解法（含增根）、参数问题及实际应用等中考核心考点，知识清单系统梳理概念与步骤，考点精析分三类考点配2025年各地真题，通过“梳理-精析-训练”流程突破解题难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于“考点-真题-分层训练”一体化设计，如参数问题通过分类讨论增根与无解培养数学思维，应用题建模过程强化数学语言表达。设选择、填空、解答三级练习配合即时反馈，确保有限时间内高效复习，助力学生提升解题能力，教师可据此精准把控复习节奏。

备战2026年浙江中考数学一轮复习·讲义 第二单元 方程（组）与不等式（组） 第6讲 分式方程其应用 ( 课标要求 ) 1.了解分式方程的概念，了解分式方程增根的定义及产生增根的原因； 2.会解可化为一元一次方程的分式方程，并能对分式方程的解进行检验，判断方程的解是不是增根； 3.会列分式方程解决实际问题. ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．分式方程的概念： 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法： (1)基本思路：分式方程转化为整式方程． (2)基本方法和步骤：①去分母：在方程两边同时都乘 最简公分母转化为整式方程；②解这个整式方程；③检验：把求得的根代入 最简公分母，使最简公分母≠0的就是原方程的根，使最简公分母＝0的就是增根，应舍去．有时需要把求得的根代入原分式方程左右两边进行检验． （3）分式方程的增根：解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一过程中，产生了使原分式方程的最简公分母等于0的未知数的值，称为增根． （4）分式方程的无解：分式方程无解有两种可能的情况：(1)去分母后的整式方程无解；(2)整式方程有解，但整式方程的解使原分式方程的各分式最简公分母为0，分式方程也无解 3．分式方程的应用： （1）列分式方程解应用题的一般步骤：审(审清题意)、设(设未知数)、找(找相等关系)、列(列方程)、解(解出这个方程)、验(既要检验所得的根是否是所列分式方程的根，又要检验这个根是否符合题意)、答(写出答案)． （2）常见类型及数量关系 ( 考点精析 ) ■考点一　解分式方程► 【例1.1】（2025•哈尔滨）方程的解为（　　） A．x＝2 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝1 【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解 【解析】解：去分母得：5x＝3x+6， 解得：x＝3， 检验：把x＝3代入得：x（x+2）≠0， ∴分式方程的解为x＝3． 故选：B． 【点睛】此题考查了解分式方程，熟知分式方程的解法是解本题的关键． 【例1.2】（2025•龙马潭区一模）解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（　　） A．1﹣2＝﹣3x B．1﹣2（x﹣1）＝﹣3x C．1﹣2（1﹣x）＝﹣3x D．1﹣2（x﹣1）＝3x 【思路点拨】根据分式方程的解法，两侧同乘（x﹣1）化简分式方程即可． 【解析】解：解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为：1﹣2（x﹣1）＝﹣3x， 故选：B． 【点睛】本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键． 【例1.3】（2025•陕西）解方程：． 【思路点拨】先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【解析】解：， 方程两边同时乘2（x﹣3），得x﹣2＝2x﹣6， 解得：x＝4， 检验，把x＝4代入2（x﹣3）≠0， ∴分式方程的解为x＝4． 【点睛】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． ■考点二　分式方程的参数问题► 【例2.1】（2025•斗门区一模）已知关于x的方程的解是x＝1，则a的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【思路点拨】将x＝1代入方程，即可求a的值． 【解析】解：∵关于x的方程的解是x＝1， ∴＝， 解得a＝﹣1， 经检验a＝﹣1是方程的解． 故选：C． 【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解与分式方程的关系是解题的关键． 【例2.2】（2025•龙江县三模）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≤5且m≠﹣3 B．m≥5且m≠﹣3 C．m≤5且m≠3 D．m≥5且m≠3 【思路点拨】首先对原分式方程变形，其次解出分式方程的解，再根据分式方程解是非负数，最简公分母不为0，列不等式，求出公共的解集即可． 【解析】解：原分式方程可化为：﹣2＝， 去分母，得1﹣m﹣2（x﹣1）＝﹣2， 解得x＝， ∵分式方程解是非负数， ∴≥0，且≠1， ∴m的取值范围是：m≤5且m≠3， 故选：C． 【点睛】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，掌握用含m的式子表示方程的解，根据方程的解为非负数，x﹣1≠0，列不等式组是解题关键． 【例2.3】（2025•宿松县模拟）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【思路点拨】首先把分式方程化为整式方程，得到：x﹣3（x+2）＝m，然后把m看作常数解方程，可得：，因为分式方程有增根，所以可得，解关于m的一元一次方程可得m＝﹣2． 【解析】解：方程两边同时乘（x+2）得：x﹣3（x+2）＝m， 解得：， ∵方程有增根， ∴x+2＝0， ∴x＝﹣2， ∴， ∴m＝﹣2． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握该知识点是关键． 【例2.4】（2025•三台县模拟）关于x的分式方程无解，则a的取值是（　　） A．4 B．0或﹣3 C．﹣3或4 D．0或﹣3或4 【思路点拨】根据分式有意义的条件可知x≠3，x≠0，将分式方程化为整式方程后将x＝3，x＝0代入求出a的值即可． 【解析】解：根据分式有意义，x≠3，x≠0， 将分式方程化为整式方程为：x（x+a）﹣7（x﹣3）＝x（x﹣3），整理得（a﹣4）x＝﹣21， ∵分式方程无解， ∴a＝4，a＝﹣3． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的解，掌握分式有意义的条件是解答本题的关键． ■考点三　分式方程的应用► 【例3.1】（2025•雅安）甲、乙两人加工同一种零件，甲比乙每小时多加工20个这种零件，甲加工200个这种零件所用的时间与乙加工160个这种零件所用的时间相等，甲、乙两人每小时各加工多少个这种零件？设乙每小时加工这种零件x个，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据甲加工200个这种零件所用的时间和乙加工160个这种零件所用的时间相等，可以列出相应的分式方程． 【解析】解：由题意可得，． 故选：D． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 【例3.2】（2025•绥化）用A，B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相等．若设B货车每小时运输化工原料x吨，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】设B货车每小时运输化工原料x吨，则A货车每小时运输化工原料（15+x）吨，根据A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相等，列出分式方程即可． 【解析】解：设B货车每小时运输化工原料x吨，则A货车每小时运输化工原料（15+x）吨， 由题意得：＝， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【例3.3】（2025•仙居县二模）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（　　） A．＝ B．﹣40＝ C．＝﹣40 D．＝ 【思路点拨】设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件（x+40）件，根据快递公司的快递员人数不变且公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【解析】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件（x+40）件， 依题意得：＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【例3.4】（2025•重庆）列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． （1）求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ （2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 【思路点拨】（1）设该厂每天生产甲种文创产品的数量是x个，则每天生产乙种文创产品的数量是（x﹣50）个，根据3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即该厂每天生产甲种文创产品的数量），再将其代入（x﹣50）中，即可求出该厂每天生产乙种文创产品的数量； （2）设每天生产的乙种文创产品增加的数量是y个，则每天生产的甲种文创产品增加的数量是2y个，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合“生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天”，可列出关于y的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解析】解：（1）设该厂每天生产甲种文创产品的数量是x个，则每天生产乙种文创产品的数量是（x﹣50）个， 根据题意得：3x﹣4（x﹣50）＝100， 解得：x＝100， ∴x﹣50＝100﹣50＝50（个）． 答：该厂每天生产甲种文创产品的数量是100个，每天生产乙种文创产品的数量是50个； （2）设每天生产的乙种文创产品增加的数量是y个，则每天生产的甲种文创产品增加的数量是2y个， 根据题意得：﹣＝10， 解得：y＝20， 经检验，y＝20是所列方程的解，且符合题意． 答：每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． 【例3.5】（2025•成都）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． （1）求每个A种挂件的价格； （2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 【思路点拨】（1）依据题意，设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为x元，可得＝+7，求出x后即可判断得解； （2）依据题意，设该游客购买m个A种挂件，则购买（m+5）个B种挂件，又结合（1）每个A种挂件的价格为25元，每个B种挂件的价格为×25＝20元，可得25m+20（m+5）≤600，进而计算可以判断得解． 【解析】解：（1）由题意，设每个A种挂件的价格为x元， 则每个B种挂件的价格为x元， ∴＝+7． ∴x＝25． 经检验：x＝25是原方程的根． 答：每个A种挂件的价格为25元． （2）由题意，设该游客购买m个A种挂件， 则购买（m+5）个B种挂件， 又结合（1）每个A种挂件的价格为25元，每个B种挂件的价格为×25＝20元， ∴25m+20（m+5）≤600． ∴m≤＝＝11． 又∵m为整数， ∴m＝11，则该游客最多购买11个A种挂件． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． ( 巩固训练 ) 1．（2025•道里区校级三模）方程的解是（　　） A．x＝2 B．x＝﹣3 C．x＝3 D．x＝6 【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解析】解：去分母得：2（x+3）＝3x， 去括号得：2x+6＝3x， 解得：x＝6， 经检验x＝6是分式方程的解． 故选：D． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 2．（2025•湖南）将分式方程去分母后得到的整式方程为（　　） A．x+1＝2x B．x+2＝1 C．1＝2x D．x＝2（x+1） 【思路点拨】两边同乘x（x+1）去分母即可． 【解析】解：原方程两边同乘x（x+1）得：x+1＝2x， 故选：A． 【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 3．（2025•深圳）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为x人，则下列方程正确的是（　　） A．﹣＝3 B．﹣＝3 C．＝2× D．＝2× 【思路点拨】由实际与原计划种植人数间的关系，可得出实际种植人数为2x人，利用人均种植棵数＝种植总数÷种植人数，结合实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵，即可列出关于x的分式方程，此题得解． 【解析】解：∵实际种植人数是原计划人数的2倍，且原计划人数为x人， ∴实际种植人数为2x人． 根据题意得：﹣＝3． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 4．（2025•萧山区一模）我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”，它的题意如图所示（单位：尺）．已知井的截面图为矩形ABCD，设井深为x尺，则下列所列方程中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据相似三角形的性质列方程求解． 【解析】解：由题意得：AD∥BC， 设BE交AD于F， 则△EFD∽△EBC， ∴，即， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 5．（2025•椒江区二模）水果店老板用3000元购进了一批杨梅，以高于进价40%的价格卖出，销售收入为3500元时店里还剩25千克杨梅．问这批杨梅进价为多少元/千克？设这批杨梅进价为x元/千克，由题意列方程得（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据售价与进价间的关系，可得出这批杨梅的售价为1.4x元/千克，利用数量＝总价÷单价，结合销售收入为3500元时店里还剩25千克杨梅，即可列出关于x的分式方程，此题得解． 【解析】解：∵这批杨梅的进价为x元/千克，且以高于进价40%的价格卖出， ∴这批杨梅的售价为（1+40%）x＝1.4x元/千克． 根据题意得：﹣＝25． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 6．（2025•浙江模拟）记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，_■_．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，_■__．”设绫布有x尺，则可得方程为，根据此情境，题中“_■__”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（　　） A．每尺绫布比每尺罗布贵120文 B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文 C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D．绫布的总价比罗布总价便宜120文 【思路点拨】绫布有x尺，则罗布有（30﹣x）尺，然后根据绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；根据方程得到绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文即可． 【解析】解：设绫布有x尺，则罗布有3×10﹣x＝（30﹣x）尺， 设绫布有x尺，则可得方程为， ∴缺失的条件为每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 故选：C． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 7．（2025•黑龙江）已知关于x的分式方程﹣＝3解为负数，则k的值为（　　） A．k＜﹣4 B．k＞﹣4 C．k＜﹣4且k≠﹣ D．k＞﹣4且k≠﹣ 【思路点拨】首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于k的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定k的范围． 【解析】解：， 得， 得x+3k＝3x﹣12， 解得：， 根据题意，解， 即3k+12＜0， 解得：k＜﹣4， ∵分母x﹣4≠0，即x≠4，即， 解得：， ∴k＜﹣4， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的解，解题的关键是正确运算． 8．（2025•齐齐哈尔）如果关于x的分式方程+＝2无解，那么实数m的值是（　　） A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝1或m＝﹣1 D．m≠1且m≠﹣1 【思路点拨】分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可． 【解析】解：方程去分母，得：mx﹣x＝2（1﹣x）， 整理，得：（m+1）x＝2， 原方程无解， ∴①整式方程无解，则：m+1＝0，解得：m＝﹣1， ②分式方程有增根，则：x﹣1＝0，解得：x＝1， 把x＝1代入（m+1）x＝2，得：m+1＝2，解得：m＝1， 综上：m＝1或m＝﹣1， 故选：C． 【点睛】本题考查分式方程的解，注意正确计算． 9．（2025•丽水一模）分式方程的解为x＝1　 ． 【思路点拨】原方程去分母后得到整式方程，求出整式方程的解，再进行检验判断即可． 【解析】解：原方程移项得 ， 两边同乘 x﹣2得1＝﹣1•（x﹣2）， 解得x＝1， 检验：当 x＝1 时，分母 x﹣2＝﹣1≠0，满足条件， 原分式方程的解为x＝1， 故答案为：x＝1． 【点睛】本题主要考查解分式方程，熟练掌握该知识点是关键． 10．（2025•衢州三模）当x＝　﹣4　 时，分式的值为2． 【思路点拨】由题意易得＝2，解方程并检验即可． 【解析】解：由题意得＝2， 去分母得：x﹣2＝2x+2， 解得：x＝﹣4， 检验：当x＝﹣4时，x+1≠0， 则x＝﹣4时，分式的值为2， 故答案为：﹣4． 【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 11．（2025•江西）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 　＝　 ． 【思路点拨】设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，则燃油汽车每百公里的耗电费为（x+50）元，根据燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，列出分式方程即可． 【解析】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，则燃油汽车每百公里的耗电费为（x+50）元， 由题意得：＝， 故答案为：＝． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 12．（2025•巴中模拟）已知关于x的方程有增根，那么a＝　﹣1　 ． 【思路点拨】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣2＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出a的值即可． 【解析】解：， x﹣3＝3（x﹣2）+a， 由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入整式方程， 2﹣3＝3×（2﹣2）+a， 解得：a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，掌握解分式方程的步骤是关键． 13．（2025•嘉兴模拟）解方程：+＝2． 【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解析】解：去分母得：x﹣3﹣1＝2x﹣4， 解得：x＝0， 经检验x＝0是分式方程的解． 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 14．（2025•广东）在解分式方程﹣2时，小李的解法如下： 第一步：•（x﹣2）＝﹣•（x﹣2）﹣2， 第二步：1﹣x＝﹣1﹣2， 第三步：﹣x＝﹣1﹣2﹣1， 第四步：x＝4． 第五步：检验：当x＝4时，x﹣2≠0． 第六步：∴原分式方程的解为x＝4． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【思路点拨】先判断去分母是那步，说明依据，再解分式方程得结论． 【解析】解：小李的解法中，第一步是去分母； 去分母的依据是：等式的基本性质； 小李的解答过程不正确； 正确的解答过程： ﹣2， 去分母，得•（x﹣2）＝﹣•（x﹣2）﹣2（x﹣2），整理，得1﹣x＝﹣1﹣2x+4， 移项并合并，得x＝2． 检验：当x＝2时，x﹣2＝0． ∴原分式方程无解． 【点睛】本题考查了分式方程，掌握分式方程的解法是解决本题的关键． 15．（2025•上海）解方程：﹣＝． 【思路点拨】先把整式方程化为分式方程求出x的值，再代入最简公分母进行检验即可． 【解析】解：方程两边同乘（x﹣2）（x﹣1）， 得：（x﹣3）（x﹣1）﹣2＝2（x﹣2）， 解得：x＝1或5， 检验：当x＝1时，（x﹣2）（x﹣1）＝0， 当x＝5时，（x﹣2）（x﹣1）≠0， ∴原方程的解为x＝5． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解答此题的关键． 16．（2025•大渡口区模拟）某大型超市花6000元购进甲、乙两种商品共220件，其中甲种商品每件25元，乙种商品每件30元． （1）求甲、乙两种商品各购进多少件？ （2）A公司决定花1500元从该超市购买甲商品为员工发福利，B公司决定花1900元从该超市购买乙商品为员工发福利，其中甲商品的售价比乙商品的售价便宜8元，若两个公司购买的商品数量刚好一样，则超市能从这次销售中获利多少元？ 【思路点拨】（1）设甲种商品购进x件，乙种商品购进y件，根据某大型超市花6000元购进甲、乙两种商品共220件，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设甲商品的售价为a元，则乙商品的售价为（a+8）元，根据两个公司购买的商品数量刚好一样，列出分式方程，解方程，即可解决问题． 【解析】解：（1）设甲种商品购进x件，乙种商品购进y件， 由题意得：， 解得：， 答：甲种商品购进120件，乙种商品购进100件； （2）设甲商品的售价为a元，则乙商品的售价为（a+8）元， 由题意得：＝， 解得：a＝30， 经检验，a＝30是原方程的解，且符合题意， ∴1500÷30＝50（件）， ∴50×（30﹣25）+50×（30+8﹣30）＝650（元）， 答：超市能从这次销售中获利650元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． 17．（2025•肇庆二模）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 【思路点拨】（1）设乙型充电桩的单价是x万元，则甲型充电桩的单价是（x+0.2）万元，根据用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．列出分式方程，解方程即可； （2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为（15﹣m）个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解得m≥5，再设所需费用为w万元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论． 【解析】解：（1）设乙型充电桩的单价是x万元，则甲型充电桩的单价是（x+0.2）万元， 由题意得：＝， 解得：x＝0.6， 经检验，x＝0.6是原方程的解，且符合题意， ∴x+0.2＝0.6+0.2＝0.8， 答：甲型充电桩的单价是0.8万元，乙型充电桩的单价是0.6万元； （2）解：设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为（15﹣m）个， 由题意得：15﹣m≤2m， 解得：m≥5， 设所需费用为w万元， 由题意得：w＝0.8m+0.6×（15﹣m）＝0.2m+9， ∵0.2＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m＝5时，w取得最小值＝0.2×5+9＝10， 答：购买这批充电桩所需的最少总费用为10万元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 常见类型及等量关系 销售问题 销量＝ 工程问题 工作时间＝，特别地，有时工作总量可以看作整体“1”，这时，工作效率＝　 行程问题 时间＝ 注意点 列分式方程解应用题必须双检查，既要检验是否为所列分式方程的根，又要检验是否符合实际情况 $备战2026年浙江中考数学一轮复习·讲义 第二单元 方程（组）与不等式（组） 第6讲 分式方程其应用 ( 课标要求 ) 1.了解分式方程的概念，了解分式方程增根的定义及产生增根的原因； 2.会解可化为一元一次方程的分式方程，并能对分式方程的解进行检验，判断方程的解是不是增根； 3.会列分式方程解决实际问题. ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．分式方程的概念： 的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法： (1)基本思路：分式方程转化为整式方程． (2)基本方法和步骤：①去分母：在方程两边同时都乘 转化为整式方程；②解这个整式方程；③检验：把求得的根代入 ，使 的就是原方程的根，使最简公分母＝0的就是增根，应舍去．有时需要把求得的根代入原分式方程左右两边进行检验． （3）分式方程的 ：解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一过程中，产生了使原分式方程的最简公分母等于0的未知数的值，称为 ． （4）分式方程的 ：分式方程无解有两种可能的情况：(1)去分母后的整式方程无解；(2)整式方程有解，但整式方程的解使原分式方程的各分式最简公分母为0，分式方程也无解 3．分式方程的应用： （1）列分式方程解应用题的一般步骤： (审清题意)、 (设未知数)、 (找相等关系)、 (列方程)、 (解出这个方程)、验(既要检验所得的根是否是所列分式方程的根，又要检验这个根是否符合题意)、答(写出答案)． （2）常见类型及数量关系 ( 考点精析 ) ■考点一　解分式方程► 【例1.1】（2025•哈尔滨）方程的解为（　　） A．x＝2 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝1 【例1.2】（2025•龙马潭区一模）解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（　　） A．1﹣2＝﹣3x B．1﹣2（x﹣1）＝﹣3x C．1﹣2（1﹣x）＝﹣3x D．1﹣2（x﹣1）＝3x 【例1.3】（2025•陕西）解方程：． ■考点二　分式方程的参数问题► 【例2.1】（2025•斗门区一模）已知关于x的方程的解是x＝1，则a的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【例2.2】（2025•龙江县三模）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≤5且m≠﹣3 B．m≥5且m≠﹣3 C．m≤5且m≠3 D．m≥5且m≠3 【例2.3】（2025•宿松县模拟）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【例2.4】（2025•三台县模拟）关于x的分式方程无解，则a的取值是（　　） A．4 B．0或﹣3 C．﹣3或4 D．0或﹣3或4 ■考点三　分式方程的应用► 【例3.1】（2025•雅安）甲、乙两人加工同一种零件，甲比乙每小时多加工20个这种零件，甲加工200个这种零件所用的时间与乙加工160个这种零件所用的时间相等，甲、乙两人每小时各加工多少个这种零件？设乙每小时加工这种零件x个，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【例3.2】（2025•绥化）用A，B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相等．若设B货车每小时运输化工原料x吨，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【例3.3】（2025•仙居县二模）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（　　） A．＝ B．﹣40＝ C．＝﹣40 D．＝ 【例3.4】（2025•重庆）列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． （1）求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ （2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 【例3.5】（2025•成都）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． （1）求每个A种挂件的价格； （2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． ( 巩固训练 ) 1．（2025•道里区校级三模）方程的解是（　　） A．x＝2 B．x＝﹣3 C．x＝3 D．x＝6 2．（2025•湖南）将分式方程去分母后得到的整式方程为（　　） A．x+1＝2x B．x+2＝1 C．1＝2x D．x＝2（x+1） 3．（2025•深圳）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为x人，则下列方程正确的是（　　） A．﹣＝3 B．﹣＝3 C．＝2× D．＝2× 4．（2025•萧山区一模）我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”，它的题意如图所示（单位：尺）．已知井的截面图为矩形ABCD，设井深为x尺，则下列所列方程中，正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2025•椒江区二模）水果店老板用3000元购进了一批杨梅，以高于进价40%的价格卖出，销售收入为3500元时店里还剩25千克杨梅．问这批杨梅进价为多少元/千克？设这批杨梅进价为x元/千克，由题意列方程得（　　） A． B． C． D． 6．（2025•浙江模拟）记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，_■_．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，_■__．”设绫布有x尺，则可得方程为，根据此情境，题中“_■__”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（　　） A．每尺绫布比每尺罗布贵120文 B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文 C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D．绫布的总价比罗布总价便宜120文 7．（2025•黑龙江）已知关于x的分式方程﹣＝3解为负数，则k的值为（　　） A．k＜﹣4 B．k＞﹣4 C．k＜﹣4且k≠﹣ D．k＞﹣4且k≠﹣ 8．（2025•齐齐哈尔）如果关于x的分式方程+＝2无解，那么实数m的值是（　　） A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝1或m＝﹣1 D．m≠1且m≠﹣1 9．（2025•丽水一模）分式方程的解为 　 ． 10．（2025•衢州三模）当x＝　 　 时，分式的值为2． 11．（2025•江西）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 　 　 ． 12．（2025•巴中模拟）已知关于x的方程有增根，那么a＝　 　 ． 13．（2025•嘉兴模拟）解方程：+＝2． 14．（2025•广东）在解分式方程﹣2时，小李的解法如下： 第一步：•（x﹣2）＝﹣•（x﹣2）﹣2， 第二步：1﹣x＝﹣1﹣2， 第三步：﹣x＝﹣1﹣2﹣1， 第四步：x＝4． 第五步：检验：当x＝4时，x﹣2≠0． 第六步：∴原分式方程的解为x＝4． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 15．（2025•上海）解方程：﹣＝． 16．（2025•大渡口区模拟）某大型超市花6000元购进甲、乙两种商品共220件，其中甲种商品每件25元，乙种商品每件30元． （1）求甲、乙两种商品各购进多少件？ （2）A公司决定花1500元从该超市购买甲商品为员工发福利，B公司决定花1900元从该超市购买乙商品为员工发福利，其中甲商品的售价比乙商品的售价便宜8元，若两个公司购买的商品数量刚好一样，则超市能从这次销售中获利多少元？ 17．（2025•肇庆二模）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 常见类型及等量关系 销售问题 销量＝ 工程问题 工作时间＝，特别地，有时工作总量可以看作整体“1”，这时，工作效率＝　 行程问题 时间＝ 注意点 列分式方程解应用题必须双检查，既要检验是否为所列分式方程的根，又要检验是否符合实际情况 $