第5讲 一元二次方程及其应用（讲义） -备战2026年浙江中考数学一轮复习

该初中数学讲义聚焦一元二次方程及其应用，覆盖定义、解法、根的判别式、根与系数关系及实际应用等中考核心考点。知识清单系统梳理概念与方法，考点精析分专题突破，配合真题训练，构建“梳理-解析-应用”复习体系，针对性强。 亮点在于“考点分层突破+素养导向训练”，如通过根的判别式证明题培养推理能力（数学思维），增长率应用题强化模型观念（数学语言）。巩固训练设基础到提升题，适配不同学生，教师可依此把控节奏，高效提升学生解题与应用能力。

备战2026年浙江中考数学一轮复习·讲义 第二单元 方程（组）与不等式（组） 第5讲 一元二次方程及其应用 ( 课标要求 ) 1.理解一元二次方程的定义及一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，能把一元二次方程化为一般形式； 2.能根据一元二次方程的特征，选择配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程； 3.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等，会将一元二次方程根的情况与一元二次方程根的判别式相联系; 4.知道利用一元二次方程的根与系数的关系可以解决一些简单的问题; 5.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。建立模型观念。 ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．一元二次方程的定义： 两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2次 ，这样的方程叫做一元二次方程．我们把ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为已知数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数． 2．一元二次方程的解法： 一元二次方程的解法有 开平方法，配方法，公式法，因式分解法四种. (1)开平方法：形如x2＝a(a≥0)或(x±b)2＝a(a≥0)的，都可以用开平方法． (2)配方法：一般步骤：①化二次项系数为1；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；④化为(x±b)2＝a(a≥0)的形式，再用开平方法求出方程的解． (3)公式法：求根公式x＝(其中≥0)． (4)因式分解法：一般步骤：①将方程右边化为零；②将方程化为A·B＝0(其中A，B是整式)；③令A＝0，B＝0，即可解方程． 3．一元二次方程根与系数的关系： （1）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式：Δ=b2－4ac ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根． ②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根． ③当Δ＜0时，方程没有实数根． （2）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系：设方程的两个根为，则， 4．一元二次方程的实际应用： 常见的等量问题： (1)平均增长率(下降率)问题： 如果基数用a表示，末数用b表示，增长率(下降率)用x表示，时间间隔用n表示，那么可用等量关系表示为a(1±x)n＝b． (2)利润问题： 利润＝售价－成本，利润率＝×100%， 销售价＝(1＋利润率)×进货价． (3)利息问题： 利息＝本金×利率×时间，本息和＝本金＋利息． (4)面积问题： 如图，对于矩形中有条形通道的求面积问题，通常把图①中的通道平移转化为如图②的形状，再求 面积． 设通道的宽为x，则S空白＝(a－x)(b－x)． ( 考点精析 ) ■考点一　一元二次方程的有关概念► 【例1.1】（2024•温州模拟）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则k的值为（　　） A．﹣5 B．﹣7 C．5 D．7 【思路点拨】先根据一元二次方程解的定义，把x＝1代入关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0得关于k的方程，解方程即可． 【解析】解：把x＝1代入关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0得： 1+k﹣6＝0， k＝5， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的基本步骤． 【例1.2】（2025•富阳区一模）已知m是一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的一个根，则2024﹣2m2+m的值为（　　） A．2025 B．2023 C．2021 D．2018 【思路点拨】把m的值代入一元二次方程，得2m2﹣m的值，再整体代入得结论． 【解析】解：∵m是一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的一个根， ∴2m2﹣m﹣3＝0，即2m2﹣m＝3． ∴﹣2m2+m＝﹣3． ∴2024﹣2m2+m＝2024﹣3＝2021． 故选：C． 【点睛】本题考查了代数式的求值，掌握整体代入的思想方法和方程解的定义是解决本题的关键． ■考点二　一元二次方程的解法► 【例2.1】（2024•金东区二模）用配方法解方程x2﹣6x+1＝0时，将方程化为（x﹣3）2＝a的形式，则a的值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 【思路点拨】先把方程中的常数项移到等号右边，再把方程两边同时加9，进行配方，然后根据配方结果求出a即可． 【解析】解：x2﹣6x+1＝0， x2﹣6x＝﹣1， x2﹣6x+9＝﹣1+9， （x﹣3）2＝8， ∴a＝8， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握利用配方法解一元二次方程． 【例2.2】解方程：（1）（2025•徐州）x2+2x﹣4＝0； （2）（2025•安徽模拟）3x2+3x﹣1＝0． 【思路点拨】（1）用配方法解方程即可； （2）利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解析】解：（1）x2+2x﹣4＝0， （x+1）2＝5， ∴x+1＝或x+1＝﹣， 解得x＝﹣1或x＝﹣﹣1； （2）3x2+3x﹣1＝0， Δ＝32﹣4×3×（﹣1）＝21＞0， 则x＝， 所以． 【点睛】解二元一次方程，熟练掌握解二元一次方程的方法是解题的关键． 【例2.3】（2024•丽水一模）小红解方程3x（x﹣1）﹣x+1＝0的过程加下． 解：3x（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0，⋯① 3x﹣1＝0，…② 3x＝1，…③ x＝．…④ （1）小红的解答过程是有错误的，请指出开始出现错误的那一步的序号； （2）写出你的解答过程． 【思路点拨】（1）根据等式的基本性质求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【解析】解：（1）步骤②错误； （2）∵3x（x﹣1）﹣x+1＝0， ∴3x（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0， 则（x﹣1）（3x﹣1）＝0， ∴x﹣1＝0或3x﹣1＝0， 解得x1＝1，x2＝． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． ■考点三　一元二次方程的根的判别式的应用► 【例3.1】（2025•定海区三模）关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【思路点拨】计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解． 【解析】解：由题意可知：Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）＝m2+4， ∵m2＞0， ∴m2+4＞0， ∴Δ＞0， ∴关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式Δ＝b2﹣4ac，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根． 【例3.2】（2025•宁波一模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　） A．k＝2 B．k＝0 C．k＝﹣1 D．k＝﹣2 【思路点拨】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【解析】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个相等的实数根， 所以Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＝0， 解得k＝2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【例3.3】（2025•五华县一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+m2﹣2＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为x＝0，且m为正数，求m的值． 【思路点拨】（1）求出判别式Δ＝（﹣3m）2﹣4（m2﹣2）＝5m2+8＞0，据此可得答案； （2）将x＝0代入方程，解关于m的方程可得m的值． 【解析】（1）证明：∵Δ＝（﹣3m）2﹣4（m2﹣2）＝5m2+8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵该方程的一个根为x＝0， ∴m2﹣2＝0，解得m＝±， ∵m是正数， ∴m＝． 【点睛】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． ■考点四　一元二次方程的根与系数的关系► 【例4.1】（2025•绍兴二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+6a＝0有两个不同的解，其中一个解是x＝2a，则该方程的另一个解是x＝3　 ． 【思路点拨】根据根与系数的关系进行计算即可． 【解析】解：∵x2﹣ax+6a＝0有两个不同的解， 设另一个解是x＝m， ∴2a•m＝6a， ∴m＝3， 故答案为：x＝3． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【例4.2】（2024•钱塘区三模）关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0的两个实数根分别为x1，x2，若（x1﹣1）（x2﹣1）＝5，则k的值为 　﹣1　 ． 【思路点拨】根据一元二次方程根与系数的关系，用k表示出x1+x2和x1x2，再根据（x1﹣1）（x2﹣1）＝5建立关于k的方程即可解决问题． 【解析】解：因为x1和x2是关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0的两个实数根， 所以x1+x2＝2k﹣1，，Δ＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4k2≥0， 解得k≤． 因为（x1﹣1）（x2﹣1）＝5， 所以x1x2﹣（x1+x2）+1＝5， 则k2﹣（2k﹣1）+1＝5， 解得k1＝﹣1，k2＝3． 因为k≤， 所以k＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【例4.3】（2024•鄞州区模拟）已知a，b是关于x的一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两实数根，则式子的值是 　2　 ． 【思路点拨】先根据根与系数的关系得到a+b＝﹣2，ab＝﹣1，再通过通分得到原式＝，然后利用整体代入的方法计算． 【解析】解：根据题意得a+b＝﹣2，ab＝﹣1， 所以＝＝＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，则x1+x2＝﹣，x1x2＝． ■考点五　一元二次方程的应用► 【例5.1】（2024•浙江模拟）南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是，一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？设它的宽为x步，则可列方程为（　　） A．x•（60+x）＝864 B．x•（60﹣2x）＝864 C．x•（30﹣x）＝864 D．x•（60﹣x）＝864 【思路点拨】设宽为x步，则长为（60﹣x）步，根据矩形的面积公式结合矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程． 【解析】解：设宽为x步，则长为（60﹣x）步， 依题意，得：x（60﹣x）＝864， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【例5.2】（2024•长兴县模拟）某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了31.2万辆．如果设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（　　） A．20（1+2x）＝31.2 B．20（1+2x）﹣20＝31.2 C．20（1+x）2＝31.2 D．20（1+x）2﹣20＝31.2 【思路点拨】根据2023年的销售量＝2021年的销售量×（1+从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率）2，结合2023年的销售量比2021年增加了31.2万辆，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解析】解：根据题意得：20（1+x）2﹣20＝31.2． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【例5.3】（2025•固原一模）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【思路点拨】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润＝（售价﹣进价）×销售量列出方程求解即可． 【解析】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得50（1+x）2＝72， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得（y﹣30）[500﹣10（y﹣40）]＝8000， 整理，得y2﹣120y+3500＝0， 解得y1＝50，y2＝70， 因尽可能让顾客得到实惠， ，所以y＝70不合题意，舍去． 所以y＝50． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确记忆相关知识点是解题关键． ( 巩固训练 ) 1．（2025•莲都区二模）已知a是方程x2+2x+1＝0的一个根，则代数式2a2+4a+3的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 【思路点拨】由题意可得a2+2a＝﹣1，将原式变形后代入数值计算即可． 【解析】解：由条件可知a2+2a+1＝0， ∴a2+2a＝﹣1， ∴2a2+4a+3＝2（a2+2a）+3＝2×（﹣1）+3＝1， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解的意义，熟练掌握该知识点是关键． 2．（2023•庆元县一模）用配方法解方程x2+4x﹣1＝0，下列配方结果正确的是（　　） A．（x+2）2＝5 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝5 【思路点拨】在本题中，把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方． 【解析】解：把方程x2+4x﹣1＝0的常数项移到等号的右边，得到x2+4x＝1 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+4x+4＝1+4 配方得（x+2）2＝5． 故选：A． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 3．（2024•鄞州区模拟）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（　　） A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣1 【思路点拨】先移项得到（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，再利用因式分解法把方程转化为x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0，然后解两个一次方程即可． 【解析】解：（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣2﹣2x）＝0， x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0， 所以x1＝2，x2＝﹣2． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 4．（2025•扬州）关于一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列结论正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【思路点拨】根据根的判别式即可求出答案． 【解析】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0， ∴方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0，方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0，方程没有实数根是解题的关键． 5．（2025•宁波模拟）若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值可以是（　　） A． B．1 C． D．2 【思路点拨】由于所给方程有两个不相等的实数根，可知Δ＞0，求解即可． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4﹣4a＞0， 解得：a＜1， ∴a的取值可以是，不能为1或或2． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是知道：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 6．（2025•浙江模拟）关于x的一元二次方程x2+4x﹣k＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜﹣4 B．k≥﹣4 C．k＞4 D．k≤4 【思路点拨】根据根的判别式列不等式即可求出答案． 【解析】解：由题意可知：Δ＝16+4k≥0， ∴k≥﹣4， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，正确的理解题意是解题的关键． 7．（2025•福建）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　） A．5x2＝6 B．5（1+x2）＝6 C．x（5﹣x）＝6 D．5（1+x）2＝6 【思路点拨】设矩形的一边长为x米，根据矩形的面积公式即可得到结论． 【解析】解：由题意可得，x（5﹣x）＝6， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确地理解题意列出方程是解题的关键． 8．（2025•台州一模）在2020年9月，我国提出力争在2030年前实现碳达峰，即二氧化碳排放量达到峰值并开始下降．已知某企业去年的碳排放量为300吨，该企业为响应国家号召，提出一个减排计划：从今年开始，每年的碳排放量均比上年减少10吨，x年内的碳排放量共计2450吨．为求x的值，列出如下方程，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据该企业去年的碳排放量及从今年开始每年的碳排放量均比上年减少10吨，可得出该企业今年及x年后的碳排放量，结合x年内的碳排放量共计2450吨，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解析】解：∵该企业去年的碳排放量为300吨，且从今年开始，每年的碳排放量均比上年减少10吨， ∴该企业今年的碳排放量为300﹣10＝290（吨），x年后的碳排放量为（300﹣10x）吨． 根据题意得：＝2450， 即x（590﹣10x）＝2450． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9．（2025•椒江区二模）已知一元二次方程x2+2mx+1＝0的一个根为1，则m＝ 　﹣1　 ． 【思路点拨】把x＝1代入一元二次方程得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可． 【解析】解：把x＝1代入方程x2+2mx+1＝0得1+2m+1＝0， 解得m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 10．（2024•温州二模）若一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 　9　 ． 【思路点拨】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4c＝0，然后解一次方程即可． 【解析】解：根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4c＝0， 解得c＝9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 11．（2025•南京）设方程x2+2x﹣9＝0的正根介于整数m与m+1之间，则m＝　2　 ． 【思路点拨】利用配方法解出x的方程后利用夹逼法求得正根在哪两个连续整数之间即可． 【解析】解：x2+2x﹣9＝0， 移项得：x2+2x＝9， 配方得：x2+2x+1＝9+1， 即（x+1）2＝10， 直接开平方得：x+1＝±， 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1， ∵9＜10＜16， ∴3＜＜4， ∴2＜﹣1＜3， 则m＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查解一元二次方程，估算无理数的大小，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 12．（2024•下城区校级模拟）已知x1，x2是方程2x2﹣7x+3＝0的两个根，则x2+x1＝　　 ． 【思路点拨】利用根与系数关系求解． 【解析】解：∵x1，x2是方程2x2﹣7x+3＝0的两个根， ∴x1+x2＝，x1x2＝， ∴x2+x1＝x1x2（x1+x2）＝×＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查根与系数关系，解题的关键是理解x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝， 13．（2024•平湖市模拟）关于x的方程的根满足（2x﹣m）（x+2m）＝0，则m的值是 　6　 ． 【思路点拨】解方程得x＝﹣6﹣m，结合﹣6﹣m≠±2知m≠﹣4且m≠﹣8，再将x＝﹣6﹣m代入（2x﹣m）（x+2m）＝0得（﹣12﹣2m﹣m）（﹣6﹣m+2m）＝0，即（﹣3m﹣12）（m﹣6）＝0，解之可得答案． 【解析】解：解方程得：x＝﹣6﹣m， 且﹣6﹣m≠±2， 解得m≠﹣4且m≠﹣8， 将x＝﹣6﹣m代入（2x﹣m）（x+2m）＝0，得： （﹣12﹣2m﹣m）（﹣6﹣m+2m）＝0，即（﹣3m﹣12）（m﹣6）＝0， 则﹣3m﹣12＝0或m﹣6＝0， 解得m＝﹣4或m＝6， 所以m＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查解分式方程和一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． 14．解方程：（1）（2024•滨江区二模）x2+2x＝1； （2）（2025•宁波一模）x2﹣1＝x． （3）（2025•齐齐哈尔）x2﹣7x＝﹣12． 【思路点拨】（1）配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （2）利用公式法求解即可． （3）先移项，再将左边因式分解，进一步求解即可． 【解析】解：（1）x2+2x＝1， x2+2x+1＝2，即（x+1）2＝2， ∴x+1＝， ∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣． （2）方程整理得x2﹣x﹣1＝0， 这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， ∴x＝＝， ∴x1＝，x2＝． （3）整理得：x2﹣7x+12＝0， 因式分解得：（x﹣4）（x﹣3）＝0， 所以x﹣4＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝4，x2＝3． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 15．（2025•淮安一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0． （1）若此方程恰有一个根等于﹣1，求k的值； （2）求证：不论k取何值，方程总有实数根． 【思路点拨】（1）将x＝﹣1代入方程进行计算即可． （2）利用一元二次方程根的判别式进行证明即可． 【解析】（1）解：由题知， 将x＝﹣1代入方程得， 1+k+5+6+2k＝0， 解得k＝﹣4， 所以k的值为﹣4． （2）证明：因为Δ＝[﹣（k+5）]2﹣4（6+2k） ＝k2+10k+25﹣24﹣8k ＝k2+2k+1 ＝（k+1）2， 又因为（k+1）2≥0， 所以不论k取何值，方程总有实数根． 【点睛】本题主要考查了根的判别式、解一元一次方程及一元二次方程的解，熟知解一元一次方程的步骤及一元二次方程根的判别式是解题的关键． 16．（2024•拱墅区一模）关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0． （1）如果方程有两个相等的实数根，求k的值； （2）如果x1，x2是这个方程的两个根，且++3x1•x2＝25，求k的值． 【思路点拨】（1）根据方程有两个相等的实数根可知Δ＝0，求出k的值即可； （2）求出x1•x2与x1+x2的值，代入代数式进行计算即可． 【解析】解：（1）∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即Δ＝（﹣6）2﹣4k＝0， 解得k＝9； （2）∵x1，x2是方程x2﹣6x+k＝0的两个根， ∴x1•x2＝k，x1+x2＝6， ∵++3x1•x2＝25， ∴++3x1•x2 ＝（x1+x2）2﹣2x1x2+3x1x2 ＝（x1+x2）2+x1x2 ＝62+k， ∴62+k＝25， 解得k＝﹣11． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝是解题的关键． 17．（2025•泸州）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【思路点拨】（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，利用乙种商品2024年每件的进价＝乙种商品2022年每件的进价×（1﹣乙种商品每件进价的年平均下降率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设购进y件甲种商品，则购进（100﹣y）件乙种商品，利用进货总价＝进货单价×购进数量，结合进货总价不超过7800元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解析】解：（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 根据题意得：125（1﹣x）2＝80， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去）． 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%； （2）设购进y件甲种商品，则购进（100﹣y）件乙种商品， 根据题意得：（125﹣25×2）y+80（100﹣y）≤7800， 解得：y≥40， ∴y的最小值为40． 答：最少购进40件甲种商品． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $备战2026年浙江中考数学一轮复习·讲义 第二单元 方程（组）与不等式（组） 第6讲 一元二次方程及其应用 ( 课标要求 ) 1.理解一元二次方程的定义及一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，能把一元二次方程化为一般形式； 2.能根据一元二次方程的特征，选择配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程； 3.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等，会将一元二次方程根的情况与一元二次方程根的判别式相联系; 4.知道利用一元二次方程的根与系数的关系可以解决一些简单的问题; 5.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。建立模型观念。 ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．一元二次方程的定义： 两边都是 ，只含有 ，并且未知数的最高次数是 ，这样的方程叫做一元二次方程．我们把 称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数． 2．一元二次方程的解法： 一元二次方程的解法有 ， ， ， 四种. (1)开平方法：形如x2＝a(a≥0)或(x±b)2＝a(a≥0)的，都可以用开平方法． (2)配方法：一般步骤：①化二次项系数为 ；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上 ；④化为(x±b)2＝a(a≥0)的形式，再用 求出方程的解． (3)公式法：求根公式 (其中 )． (4)因式分解法：一般步骤：①将方程右边化为 ；②将方程化为A·B＝0(其中A，B是整式)；③令A＝0，B＝0，即可解方程． 3．一元二次方程根与系数的关系： （1）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式：Δ=b2－4ac ①当Δ＞0时，方程 实数根． ②当Δ＝0时，方程 实数根． ③当Δ＜0时，方程 实数根． （2）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系：设方程的两个根为，则， 4．一元二次方程的实际应用： 常见的等量问题： (1)平均增长率(下降率)问题： 如果基数用a表示，末数用b表示，增长率(下降率)用x表示，时间间隔用n表示，那么可用等量关系表示为 ． (2)利润问题： 利润＝售价－ ，利润率＝ ， 销售价＝(1＋ )×进货价． (3)利息问题： 利息＝本金× ×时间，本息和＝ ＋利息． (4)面积问题： 如图，对于矩形中有条形通道的求面积问题，通常把图①中的通道平移转化为如图②的形状，再求 面积． 设通道的宽为x，则S空白＝ ． ( 考点精析 ) ■考点一　一元二次方程的有关概念► 【例1.1】（2024•温州模拟）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则k的值为（　　） A．﹣5 B．﹣7 C．5 D．7 【例1.2】（2025•富阳区一模）已知m是一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的一个根，则2024﹣2m2+m的值为（　　） A．2025 B．2023 C．2021 D．2018 ■考点二　一元二次方程的解法► 【例2.1】（2024•金东区二模）用配方法解方程x2﹣6x+1＝0时，将方程化为（x﹣3）2＝a的形式，则a的值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 【例2.2】解方程：（1）（2025•徐州）x2+2x﹣4＝0； （2）（2025•安徽模拟）3x2+3x﹣1＝0． 【例2.3】（2024•丽水一模）小红解方程3x（x﹣1）﹣x+1＝0的过程加下． 解：3x（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0，⋯① 3x﹣1＝0，…② 3x＝1，…③ x＝．…④ （1）小红的解答过程是有错误的，请指出开始出现错误的那一步的序号； （2）写出你的解答过程． ■考点三　一元二次方程的根的判别式的应用► 【例3.1】（2025•定海区三模）关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【例3.2】（2025•宁波一模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　） A．k＝2 B．k＝0 C．k＝﹣1 D．k＝﹣2 【例3.3】（2025•五华县一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+m2﹣2＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为x＝0，且m为正数，求m的值． ■考点四　一元二次方程的根与系数的关系► 【例4.1】（2025•绍兴二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+6a＝0有两个不同的解，其中一个解是x＝2a，则该方程的另一个解是x＝3　 ． 【例4.2】（2024•钱塘区三模）关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0的两个实数根分别为x1，x2，若（x1﹣1）（x2﹣1）＝5，则k的值为 　　 ． 【例4.3】（2024•鄞州区模拟）已知a，b是关于x的一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两实数根，则式子的值是 　　 ． ■考点五　一元二次方程的应用► 【例5.1】（2024•浙江模拟）南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是，一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？设它的宽为x步，则可列方程为（　　） A．x•（60+x）＝864 B．x•（60﹣2x）＝864 C．x•（30﹣x）＝864 D．x•（60﹣x）＝864 【例5.2】（2024•长兴县模拟）某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了31.2万辆．如果设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（　　） A．20（1+2x）＝31.2 B．20（1+2x）﹣20＝31.2 C．20（1+x）2＝31.2 D．20（1+x）2﹣20＝31.2 【例5.3】（2025•固原一模）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ ( 巩固训练 ) 1．（2025•莲都区二模）已知a是方程x2+2x+1＝0的一个根，则代数式2a2+4a+3的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 2．（2023•庆元县一模）用配方法解方程x2+4x﹣1＝0，下列配方结果正确的是（　　） A．（x+2）2＝5 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝5 3．（2024•鄞州区模拟）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（　　） A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣1 4．（2025•扬州）关于一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列结论正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 5．（2025•宁波模拟）若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值可以是（　　） A． B．1 C． D．2 6．（2025•浙江模拟）关于x的一元二次方程x2+4x﹣k＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜﹣4 B．k≥﹣4 C．k＞4 D．k≤4 7．（2025•福建）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　） A．5x2＝6 B．5（1+x2）＝6 C．x（5﹣x）＝6 D．5（1+x）2＝6 8．（2025•台州一模）在2020年9月，我国提出力争在2030年前实现碳达峰，即二氧化碳排放量达到峰值并开始下降．已知某企业去年的碳排放量为300吨，该企业为响应国家号召，提出一个减排计划：从今年开始，每年的碳排放量均比上年减少10吨，x年内的碳排放量共计2450吨．为求x的值，列出如下方程，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（2025•椒江区二模）已知一元二次方程x2+2mx+1＝0的一个根为1，则m＝ 　　 ． 10．（2024•温州二模）若一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 　　 ． 11．（2025•南京）设方程x2+2x﹣9＝0的正根介于整数m与m+1之间，则m＝　　 ． 12．（2024•下城区校级模拟）已知x1，x2是方程2x2﹣7x+3＝0的两个根，则x2+x1＝　　 ． 13．（2024•平湖市模拟）关于x的方程的根满足（2x﹣m）（x+2m）＝0，则m的值是 　　 ． 14．解方程：（1）（2024•滨江区二模）x2+2x＝1； （2）（2025•宁波一模）x2﹣1＝x． （3）（2025•齐齐哈尔）x2﹣7x＝﹣12． 15．（2025•淮安一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0． （1）若此方程恰有一个根等于﹣1，求k的值； （2）求证：不论k取何值，方程总有实数根． 16．（2024•拱墅区一模）关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0． （1）如果方程有两个相等的实数根，求k的值； （2）如果x1，x2是这个方程的两个根，且++3x1•x2＝25，求k的值． 17．（2025•泸州）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $