第4讲 一次方程（组）及其应用（讲义） -备战2026年浙江中考数学一轮复习

该初中数学讲义聚焦“一次方程（组）及其应用”中考核心模块，覆盖概念、性质、解法及应用四大考点，以“概念-性质-解法-应用”逻辑链构建知识网络。通过知识清单系统梳理、分考点深度讲练及真题训练，帮助学生突破重点难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于融合新课标核心素养，如通过“物不知数”问题抽象方程培养模型意识，借解法错误分析提升推理能力。设置分层巩固训练，配合真题模拟题实战，确保学生高效掌握运算能力与应用技巧，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

备战2026年浙江中考数学一轮复习·讲义 第二单元 方程（组）与不等式（组） 第4讲 一次方程（组）及其应用 ( 课标要求 ) 1.了解方程、一元一次方程、二元一次方程组等相关概念，理解等式的性质，并能应用等式的性质进行等式变形。 2.掌握解一元一次方程的步骤，能够运用代入或加减消元法解二元一次方程组，理解方程（组）的解的意义。 3.会应用方程（组）解决生活实际问题，掌握列方程（组）解应用题的一般步骤。 ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．一次方程（组）的相关概念： (1)方程是指含有未知数的等式． (2)只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次，这样的方程叫做一元一次方程． （3）二元一次方程：含有两个未知数且含有未知数的项的次数只有一次的整式方程. (4) 二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组． (5)方程的解： 使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解． 2.等式的性质： （1）等式的两边都加上(或减去)同一个数或式，所得结果仍是等式； （2）等式的两边都乘或都除以同一个数或式(除数不能为0)，所得结果仍是等式． 3．解一元一次方程的步骤： (1)去分母：在方程两边都乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘． (2)去括号：注意括号前的系数与符号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边，注意移项要改变符号． (4)合并同类项：把方程化成ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数，得x＝． 4.解二元一次方程组的一般方法 解二元一次方程组的基本思想是消元，有代入消元法与加减消元法，还有一种常用的解法是换元法． (1)代入法：将方程组中一个方程的某个未知数用 含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组得解. （2）加减法：通过将方程组中两个方程的某一未知数的系数转化为相同或相反数，再把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程组化为一元一次方程，最后求得方程组得解. 5．一次方程（组）的应用： 列方程组解应用题的步骤：①审题；②设元；③找出能够包含未知数的等量关系；④列出方程组 ；⑤求出方程组的解；⑥验根并作答． ( 深度讲练 ) ■考点一　等式的基本性质► 【例1.1】（2025•织金县模拟）根据等式的性质，下列各式变形错误的是（　　） A．若ac2＝bc2，则a＝b B．若a＝b，则ac2＝bc2 C．若a+3＝b+3，则a＝b D．若a＝b，则 【点拨】根据等式的性质对各选项进行判断即可． 【解析】解：A．若ac2＝bc2，则a＝b错误，当c＝0时，a不一定等于b，故选项A错误； B．若a＝b，则ac2＝bc2，故选项B正确； C．若a+3＝b+3，则a＝b，故选项C正确； D．若a＝b，则，故选项D正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 【例1.2】（2025•贵州模拟）若a+3＝2b﹣5，则下列等式不一定成立的是（　　） A．a+8＝2b B．a+5＝2b+3 C．a﹣2b＝﹣8 D． 【点拨】根据等式的性质对各选项进行计算判断即可． 【解析】解：A．若a+3＝2b﹣5， 等式两边同时加5，得a+3+5＝2b﹣5+5， 即a+8＝2b，故选项A成立； B．若a+3＝2b﹣5， 等式的两边同时加2，得a+3+2＝2b﹣5+2， 即a+5＝2b﹣3，故选项B不成立； C．若a+3＝2b﹣5， 等式两边同时减去2b，得a+3﹣2b＝2b﹣5﹣2b， 即a+3﹣2b＝﹣5， 等式两边再同时减去3，得a+3﹣2b﹣3＝﹣5﹣3， 即a﹣2b＝﹣8，故选项C成立； D．若a+3＝2b﹣5， 等式两边同时减去2b，得a+3﹣2b＝2b﹣5﹣2b， 即a+3﹣2b＝﹣5， 等式两边再同时减去3，得a+3﹣2b﹣3＝﹣5﹣3， 即a﹣2b＝﹣8， 等式两边同时除以2，得，故选项D成立． 故选：B． 【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 【例1.3】（2025•芜湖三模）已知实数a，b，c满足a+b+c≠0，a+b＝c，a＝b+c，则下列结论正确的是（　　） A．ab≠0 B．ac≠0 C．bc≠0 D．abc≠0 【点拨】根据已知条件求出a、b、c的值，再逐一分析选项． 【解析】解：由条件可知a+b+a＝c+b+c， 2a+b＝b+2c， a＝c． 把a＝c代入a+b＝c， 解得b＝0． ∵a＝b+c， ∴a＝c， ∴a≠0． A．因为b＝0，所以ab＝0，该选项错误，不符合题意； B．由前面计算可知a≠0，c≠0，所以ac≠0，该选项正确，符合题意； C．因为b＝0，所以bc＝0，该选项错误，不符合题意； D．因为b＝0，所以abc＝0，该选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了实数的运算与等式性质，解题关键是通过对已知等式进行运算求出a、b、c的值． ■考点二　一次方程（组）的相关概念► 【例2.1】（2025•贵州）已知x＝2是关于x的方程x+m＝7的解，则m的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【点拨】经已知解代入方程x+m＝7中解得m的值即可． 【解析】解：已知x＝2是关于x的方程x+m＝7的解， 则2+m＝7， 解得：m＝5， 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键． 【例2.2】（2023•舟山模拟）已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣2023的值为 　﹣2017　 ． 【点拨】根据二元一次方程解的定义可得a+2b＝3，再将2a+4b﹣2023化成2（a+2b）﹣2023，整体代入计算即可． 【解析】解：∵是方程ax+by＝3的解， ∴a+2b＝3， ∴2a+4b﹣2023＝2（a+2b）﹣2023 ＝6﹣2023 ＝﹣2017， 故答案为：﹣2017． 【点睛】本题考查二元一次方程解，理解二元一次方程解的定义是正确解答的前提． 【例2.3】（2025•徐州）若二元一次方程组的解为，则a+b的值为　1　 ． 【点拨】由题意可知，解二元一次方程组即可求解． 【解析】解：∵二元一次方程组的解为， ∴， ①+②得5a＝5， 解得a＝1， 将a＝1代入①得b＝0， ∴a+b＝1+0＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． ■考点三　一次方程（组）的解法► 【例3.1】（2025•南通模拟）解方程：﹣＝2 【点拨】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【解析】解：去分母得：4（2x﹣1）﹣3（3x﹣5）＝24， 8x﹣4﹣9x+15＝24， 8x﹣9x＝24+4﹣15， ﹣x＝13， x＝﹣13． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 【例3.2】（2025•淄博）解方程组：． 【点拨】方程组利用代入消元法求出解即可． 【解析】解：， 由①得：x＝2+③， 把③代入②得：4+y+3y＝12， ∴y＝2， 把y＝2代入③得：x＝2+1＝3， ∴原方程组的解为． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． 【例3.3】（2024•西湖区模拟）某同学解方程．的过程如下框： 解：． 两边同时乘以10，得……① 合并同类项，得……② 系数化1，得x＝60……③ 请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程． 【点拨】第①步是将方程中未知数的系数化为整数，而不是去分母可得出错误的步骤序号，先将系数化为整数得，再合并同类项得，最后再将未知数的系数化为1即可得出该方程的解． 【解析】解：出现错误的步骤是①， 正确的解法如下：对于方程，将系数化为整数，得：， 合并同类项，得：， 未知数的系数化为1，得：x＝6． 【点睛】此题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解决问题的关键． 【例3.4】（2024•钱塘区三模）已知二元一次方程组，则2m﹣n的值为 　7　 ． 【点拨】把两个方程相加，从而可求解． 【解析】解：， ①+②得：2m﹣n＝7． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． ■考点四　由实际问题抽象出二元一次方程（组）► 【例4.1】（2025•南充）我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三…，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个…．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（　　） A．3x+2＝5y+3 B．5x+2＝3y+3 C．3x﹣2＝5y﹣3 D．5x﹣2＝3y﹣3 【点拨】根据“有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个”，结合这些物体的总数量不变，即可可列出关于x，y的二元一次方程，此题得解． 【解析】解：根据题意得：3x+2＝5y+3． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 【例4.2】（2025•拱墅区校级三模）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 【点拨】根据“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”和“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多”为等量关系，列出方程组即可． 【解析】解：由题意得： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，根据等量关系列出方程组是解题的关键． ■考点五　一次方程（组）的应用► 【例5.1】（2025•南京）某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了20元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了56元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？ 【点拨】设每杯A饮料x元，每杯B饮料y元，根据“小丽买了A，B饮料各1杯，用了20元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了56元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解析】解：设每杯A饮料x元，每杯B饮料y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每杯A饮料12元，每杯B饮料8元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【例5.5】（2024•舟山一模）许多人选择晨跑作为锻炼身体的一种方式，某日小明与小红戴着智能运动手表相约在舟山滨海大道上晨跑，从相同的起点匀速跑向相同的终点，请提取以下相关信息并解决问题． 信息一：两人佩戴某款智能运动手表中的若干数据如下： 信息二：小明每步比小红每步多跑0.2米，小明每分钟比小红多跑20步， 问题：（1）起点与终点的距离为 　4000　 米； （2）跑步结束他们相约去吃早饭，请问小明要在终点处等小红 　　 分钟． 【点拨】（1）设小红每步跑x米，则小明每步跑（x+0.2）米，利用距离＝每步跑的距离×步数，结合起点到终点的距离不变，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入（5340﹣340）x中，即可求出结论； （2）利用小明每分钟跑的步数＝（跑完全程的步数﹣出发时刻的步数）÷跑完全程的时间，可求出小明每分钟跑的步数，结合小明每分钟比小红多跑20步，可求出小红每分钟跑的步数，利用小红跑完全程所需时间＝小红跑完全程的步数÷小红每分钟跑的步数，再利用小明要在终点处等小红的时间＝小红跑完全程所需时间﹣小明跑完全程所需时间，即可求出结论． 【解析】解：（1）设小红每步跑x米，则小明每步跑（x+0.2）米， 根据题意得：（5340﹣340）x＝（4690﹣690）（x+0.2）， 解得：x＝0.8， ∴（5340﹣340）x＝（5340﹣340）×0.8＝4000（米）， ∴起点与终点的距离为4000米． 故答案为：4000； （2）根据题意得：小明每分钟跑的步数为＝200（步）， ∴小红每分钟跑的步数为200﹣20＝180（步）， ∴小红跑完全程所需时间为（5340﹣340）÷180＝（分钟）， ∴﹣20＝（分钟）， ∴明要在终点处等小红分钟． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． ( 巩固训练 ) 1．（2025•兰山区一模）运用等式性质进行的变形，正确的是（　　） A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣c B．如果，那么a＝b C．如果a＝b，那么 D．如果a2＝3a，那么a＝3 【点拨】利用等式的性质对每个等式进行变形即可找出答案． 【解析】解：A、利用等式性质1，两边都加c，得到a+c＝b+c，所以A不成立，故A选项错误； B、利用等式性质2，两边都乘以c，得到a＝b，所以B成立，故B选项正确； C、成立的条件c≠0，故C选项错误； D、成立的条件a≠0，故D选项错误； 故选：B． 【点睛】主要考查了等式的基本性质． 等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立； 2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立． 2．（2025•贵州模拟）已知等式6a＝9b+8，则下列等式中不一定成立的是（　　） A．6a﹣8＝9b B．6a+3＝9b+11 C． D．6ac＝9bc+8 【点拨】利用等式的性质进行求解即可． 【解析】解：∵6a＝9b+8， ∴6a﹣8＝9b+8﹣8，6a+3＝9b+8+3，，6ac＝9bc+8c， ∴6a﹣8＝9b，6a+3＝9b+11，， ∴四个选项中，只有D选项中的等式不一定成立， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立． 3．（2025•邢台模拟）某同学在解关于x的一元一次方程2a+x＝3时，误将+x看作÷x，得到方程的解为x＝2，则原方程的解为（　　） A．x＝﹣3 B． C．x＝2 D．x＝3 【点拨】把x＝2代入2a÷x＝3，得2a÷2＝3，求出a的值，再代入原方程求解即可． 【解析】解：根据题意，得2a÷2＝3，解得a＝3． 由条件可知2×3+x＝3，解得x＝﹣3． 故选：A． 【点睛】本题考查了方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键． 4．（2025•淮安区一模）把方程＝1去分母后正确的是（　　） A．4x﹣3（x﹣1）＝1 B．4x﹣3x﹣3＝12 C．4x﹣3（x﹣1）＝12 D．4x+3x﹣3＝12 【点拨】方程两边乘以12得到结果，即可作出判断． 【解析】解：方程＝1， 去分母得：4x﹣3（x﹣1）＝12． 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解本题的关键． 5．（2025•玉环市二模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为（　　） A． B． C．6x﹣12＝4x D．4（x﹣12）＝6x 【点拨】根据孩童人数不变列方程即可． 【解析】解：设梨有x个，则人数可表示为或， 由题意可列方程． 故选：B． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意，找到等量关系是解题关键． 6．（2025•平湖市二模）我国古代数学著作《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问长木多少尺？设木长x尺，绳长y尺，四位同学根据题意列出以下方程，其中错误的是（　　） A．y﹣x＝4.5 B． C． D． 【点拨】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，然后变形，即可判断哪个选项符合题意． 【解析】解：由题意可得， y﹣x＝4.5，y＝x﹣1，故选项A不符合题意；选项B符合题意； ∴＝x﹣1，y＝y﹣4.5﹣1，故选项C、D均不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 7．（2025•宁夏）《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【点拨】明确题目中的两个等量关系：每人出5钱时，总钱数加上还差的45钱＝羊价；每人出7钱时，总钱数加上还差的3钱＝羊价． 【解析】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱， 根据题意，得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意，找准等量关系是解题的关键． 8．（2024•镇海区校级模拟）已知关于a、b的方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为 　　 ． 【点拨】将方程组可化为，然后根据题意即可得出，从而求出x、y的值． 【解析】解：方程组可化为， ∵关于a、b的方程组的解为， ∴方程组的解是，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，将方程组可化为是解题的关键． 9．（2025•余姚市三模）已知制作甲型机器人需要A零件3个，B零件2个，制作乙型机器人需要A零件4个，B零件1个，现制作两种型号机器人若干，用去A零件a个，B零件b个，则a+b的值可能是（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【点拨】设制作甲型机器人x个，乙型机器人y个，根据零件使用情况列出a、b关于x、y的表达式，分析其特征，结合选项判断a+b的可能值． 【解析】解：设制作甲型机器人x个，乙型机器人y个， a＝3x+4y，b＝2x+y， a+b＝（3x+4y）+（2x+y）＝5x+5y＝5（x+y）， 即a+b是5的倍数， 在2024、2025、2026、2027中，只有2025是5的倍数， 故a+b的值可能是2025． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，掌握解二元一次方程的步骤是关键． 10．（2023•丽水模拟）已知关于x的方程2x+m﹣8＝0的解是x＝3，则m的值为 　2　 ． 【点拨】直接把x的值代入方程求出答案． 【解析】解：∵关于x的方程2x+m﹣8＝0的解是x＝3， ∴2×3+m﹣8＝0， 解得：m＝2． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解，正确解方程是解题关键． 11．（2025•路桥区二模）若是二元一次方程2x+my＝3的一个解，则m的值为 　﹣1　 ． 【点拨】将入原方程，可得出2×2+m＝3，解之即可得出m的值． 【解析】解：将代入原方程得2×2+m＝3， 解得：m＝﹣1， ∴m的值为﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 12．（2025•广西模拟）若有a，b两个数满足关系式：a+b＝ab﹣1，则称a，b为“共生数对”，记作（a，b）．例如：当2，3满足2+3＝2×3﹣1时，则（2，3）是“共生数对”．若（﹣x，4）是“共生数对”，则x＝　　 ． 【点拨】根据已知条件中的新定义，列出关于x的方程，解方程即可． 【解析】解：∵（﹣x，4）是“共生数对”， ∴﹣x+4＝﹣4x﹣1， ﹣x+4x＝﹣1﹣4， 3x＝﹣5， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题关键是熟练掌握解一元一次方程和新定义的含义． 13．（2025•陕西）草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多2.4kg．已知小康平均每小时采摘6kg，小悦平均每小时采摘4kg，小康采摘的时长是 　1.2　 小时． 【点拨】利用小康采摘的草莓比小悦多2.4kg得出等式求出答案． 【解析】解：设小康和小悦采摘了x小时， 依题意：6x﹣4x＝2.4， 解得：x＝1.2， 因此，小康采摘了1.2小时， 故答案为：1.2． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据采摘的质量得出等式是解题关键． 14．（2025•绍兴三模）我国古代问题：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．则大桶可盛酒 　　 斛． 【点拨】设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，根据5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解析】解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛， 依题意得：， 解得：， 即1个大桶可以盛酒斛， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 15．（2025•富阳区三模）《兰亭集序》是晋朝书法家王羲之的作品，如图．想要在一幅长为50cm，宽为30cm的《兰亭集序》书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图．设金色纸边的宽为xcm，若要使整个挂图的长与宽之比为3：2，则可列关于x的方程为　或2（50+2x）＝3（30+2x）　 ． 【点拨】设金色纸边的宽为xcm，则整个挂图的长为（50+2x），宽为（30+2x），再根据整个挂图的长与宽之比为3：2列出方程即可． 【解析】解：设金色纸边的宽为xcm，则整个挂图的长为（50+2x）cm，宽为（30+2x）cm， 依题意得：或2（50+2x）＝3（30+2x）． 故答案为：或2（50+2x）＝3（30+2x）． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，分别得出等量关系是解题关键． 16．（2025•萧山区模拟）李老师花费480元购买了三类笔记本，其中A，B，C三类笔记本的单价分别为20元，15元，24元．已知购买C类笔记本花费的总价是B类总价的2倍．李老师一共购买了　24　 本笔记本． 【点拨】设李老师购买了x本A类笔记本，y本B类笔记本，z本C类笔记本，根据“购买三类笔记本共花费480元，且购买C类笔记本花费的总价是B类总价的2倍”，可列出关于x，y，z的三元一次方程组，通过代入、整理、变形后，求出（x+y+z）的值即可． 【解析】解：设李老师购买了x本A类笔记本，y本B类笔记本，z本C类笔记本， 根据题意得：， 将②代入①得：20x+45y＝480， ∴4x+9y＝96③， ②化简得：4z＝5y④， 将④代入③得：4x+4y+4z＝96， ∴x+y+z＝24， ∴李老师一共购买了24本笔记本．故答案为：24． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 17．（2024•德化县模拟）解方程：． 【点拨】方程去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解． 【解析】解：去分母得：5（x﹣1）＝20﹣2（x+2）， 去括号得：5x﹣5＝20﹣2x﹣4， 移项合并得：7x＝21， 解得：x＝3． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，即可求出解． 18．（2024•路桥区二模）以下是亮亮解方程的解答过程． 解：去分母，得3x﹣1﹣1＝2x． 移项，得3x﹣2x＝1+1． 合并同类项，得x＝2． 亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【点拨】根据一元一次方程的解题步骤检查并求解即可． 【解析】解：亮亮的解答过程有错误．正确的解答过程如下： 去分母，得3x﹣1﹣2＝2x， 移项，得3x﹣2x＝1+2， 合并同类项，得x＝3． 【点睛】本题考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是本题的关键． 19．（2025•丽水一模）解方程组：． 【点拨】利用加减消元法①×3+②，即可解方程组． 【解析】解：， ①×3+②得，15x+x+3y﹣3y＝9+7， 16x＝16， 解得：x＝1， 把x＝1代入②得，1﹣3y＝7， ﹣3y＝6， 解得：y＝﹣2， 方程组的解为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． 20．（2025•广西）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 （1）周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？比原价优惠了多少元？（用代数式表示） （2）周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 【点拨】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出方程组求解即可． 【解析】解：（1）此次行程高速费原价总共为：a+b+c元， 实际支付高速费用：0.95a+0+0.5c＝（0.95a+0.5c）元， 优惠了a+b+c﹣（0.95a+0.5c）＝（0.05a+b+0.5c）元； （2）设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别x元和y元， ， 解得：， 故此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是45.9元和55.1元． 【点睛】本题考查了代数式、二元一次方程组，掌握二元一次方程是解题的关键． 21 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $备战2026年浙江中考数学一轮复习·讲义 第二单元 方程（组）与不等式（组） 第4讲 一次方程（组）及其应用 ( 课标要求 ) 1.了解方程、一元一次方程、二元一次方程组等相关概念，理解等式的性质，并能应用等式的性质进行等式变形。 2.掌握解一元一次方程的步骤，能够运用代入或加减消元法解二元一次方程组，理解方程（组）的解的意义。 3.会应用方程（组）解决生活实际问题，掌握列方程（组）解应用题的一般步骤。 ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．一次方程（组）的相关概念： (1)方程是指含有未知数的 ． (2)只含有 未知数，并且未知数的指数是 ，这样的方程叫做一元一次方程． （3）二元一次方程：含有两个未知数且含有未知数的项的次数只有一次的整式方程. (4) 二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有 的方程组，叫做二元一次方程组． (5)方程的解： 使方程左右两边的值 的未知数的值叫做方程的解． 2.等式的性质： （1）等式的两边都加上(或减去) ，所得结果仍是等式； （2）等式的两边都乘或都除以 ，所得结果仍是等式． 3．解一元一次方程的步骤： (1) ：在方程两边都乘各分母的 ，注意不要漏乘． (2) ：注意括号前的系数与符号． (3) ：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边，注意移项要 ． (4) ：把方程化成ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数，得x＝． 4.解二元一次方程组的一般方法 解二元一次方程组的基本思想是消元，有 消元法与 消元法，还有一种常用的解法是换元法． (1)代入法：将方程组中一个方程的某个未知数用 含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组得解. （2）加减法：通过将方程组中两个方程的某一未知数的系数转化为相同或相反数，再把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程组化为一元一次方程，最后求得方程组得解. 5．一次方程（组）的应用： 列方程组解应用题的步骤：① ；② ；③找出能够包含未知数的 ；④列出 ；⑤ ；⑥ ． ( 深度讲练 ) ■考点一　等式的基本性质► 【例1.1】（2025•织金县模拟）根据等式的性质，下列各式变形错误的是（　　） A．若ac2＝bc2，则a＝b B．若a＝b，则ac2＝bc2 C．若a+3＝b+3，则a＝b D．若a＝b，则 【例1.2】（2025•贵州模拟）若a+3＝2b﹣5，则下列等式不一定成立的是（　　） A．a+8＝2b B．a+5＝2b+3 C．a﹣2b＝﹣8 D． 【例1.3】（2025•芜湖三模）已知实数a，b，c满足a+b+c≠0，a+b＝c，a＝b+c，则下列结论正确的是（　　） A．ab≠0 B．ac≠0 C．bc≠0 D．abc≠0 ■考点二　一次方程（组）的相关概念► 【例2.1】（2025•贵州）已知x＝2是关于x的方程x+m＝7的解，则m的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2.2】（2023•舟山模拟）已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣2023的值为 　 　 ． 【例2.3】（2025•徐州）若二元一次方程组的解为，则a+b的值为　 　 ． ■考点三　一次方程（组）的解法► 【例3.1】（2025•南通模拟）解方程：﹣＝2 【例3.2】（2025•淄博）解方程组：． 【例3.3】（2024•西湖区模拟）某同学解方程．的过程如下框： 解：． 两边同时乘以10，得……① 合并同类项，得……② 系数化1，得x＝60……③ 请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程． 【例3.4】（2024•钱塘区三模）已知二元一次方程组，则2m﹣n的值为 　　 ． ■考点四　由实际问题抽象出二元一次方程（组）► 【例4.1】（2025•南充）我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三…，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个…．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（　　） A．3x+2＝5y+3 B．5x+2＝3y+3 C．3x﹣2＝5y﹣3 D．5x﹣2＝3y﹣3 【例4.2】（2025•拱墅区校级三模）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． ■考点五　一次方程（组）的应用► 【例5.1】（2025•南京）某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了20元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了56元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？ 【例5.5】（2024•舟山一模）许多人选择晨跑作为锻炼身体的一种方式，某日小明与小红戴着智能运动手表相约在舟山滨海大道上晨跑，从相同的起点匀速跑向相同的终点，请提取以下相关信息并解决问题． 信息一：两人佩戴某款智能运动手表中的若干数据如下： 信息二：小明每步比小红每步多跑0.2米，小明每分钟比小红多跑20步， 问题：（1）起点与终点的距离为 　4000　 米； （2）跑步结束他们相约去吃早饭，请问小明要在终点处等小红 　　 分钟． ( 巩固训练 ) 1．（2025•兰山区一模）运用等式性质进行的变形，正确的是（　　） A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣c B．如果，那么a＝b C．如果a＝b，那么 D．如果a2＝3a，那么a＝3 2．（2025•贵州模拟）已知等式6a＝9b+8，则下列等式中不一定成立的是（　　） A．6a﹣8＝9b B．6a+3＝9b+11 C． D．6ac＝9bc+8 3．（2025•邢台模拟）某同学在解关于x的一元一次方程2a+x＝3时，误将+x看作÷x，得到方程的解为x＝2，则原方程的解为（　　） A．x＝﹣3 B． C．x＝2 D．x＝3 4．（2025•淮安区一模）把方程＝1去分母后正确的是（　　） A．4x﹣3（x﹣1）＝1 B．4x﹣3x﹣3＝12 C．4x﹣3（x﹣1）＝12 D．4x+3x﹣3＝12 5．（2025•玉环市二模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为（　　） A． B． C．6x﹣12＝4x D．4（x﹣12）＝6x 6．（2025•平湖市二模）我国古代数学著作《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问长木多少尺？设木长x尺，绳长y尺，四位同学根据题意列出以下方程，其中错误的是（　　） A．y﹣x＝4.5 B． C． D． 7．（2025•宁夏）《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 8．（2024•镇海区校级模拟）已知关于a、b的方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为 　　 ． 9．（2025•余姚市三模）已知制作甲型机器人需要A零件3个，B零件2个，制作乙型机器人需要A零件4个，B零件1个，现制作两种型号机器人若干，用去A零件a个，B零件b个，则a+b的值可能是（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 10．（2023•丽水模拟）已知关于x的方程2x+m﹣8＝0的解是x＝3，则m的值为 　　 ． 11．（2025•路桥区二模）若是二元一次方程2x+my＝3的一个解，则m的值为 　　 ． 12．（2025•广西模拟）若有a，b两个数满足关系式：a+b＝ab﹣1，则称a，b为“共生数对”，记作（a，b）．例如：当2，3满足2+3＝2×3﹣1时，则（2，3）是“共生数对”．若（﹣x，4）是“共生数对”，则x＝　　 ． 13．（2025•陕西）草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多2.4kg．已知小康平均每小时采摘6kg，小悦平均每小时采摘4kg，小康采摘的时长是 　　 小时． 14．（2025•绍兴三模）我国古代问题：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．则大桶可盛酒 　　 斛． 15．（2025•富阳区三模）《兰亭集序》是晋朝书法家王羲之的作品，如图．想要在一幅长为50cm，宽为30cm的《兰亭集序》书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图．设金色纸边的宽为xcm，若要使整个挂图的长与宽之比为3：2，则可列关于x的方程为　 　 ． 16．（2025•萧山区模拟）李老师花费480元购买了三类笔记本，其中A，B，C三类笔记本的单价分别为20元，15元，24元．已知购买C类笔记本花费的总价是B类总价的2倍．李老师一共购买了　　 本笔记本． 17．（2024•德化县模拟）解方程：． 18．（2024•路桥区二模）以下是亮亮解方程的解答过程． 解：去分母，得3x﹣1﹣1＝2x． 移项，得3x﹣2x＝1+1． 合并同类项，得x＝2． 亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 19．（2025•丽水一模）解方程组：． 20．（2025•广西）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 （1）周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？比原价优惠了多少元？（用代数式表示） （2）周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 21 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $