6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习题-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习题 一、单选题 1.从这个数字中选个数字组成没有重复数字的三位数,则该三位数能被整除的概率为 A. B. C. D. 2.如图,某设备内部从a到b的电路包含三个元件A,B,C,现该设备从a到b的电路工作不正常(断路),那么该设备三个元件A,B,C的工作状态(通路/断路)共有n种不同情况,则n为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 3.某兴趣小组由5名高一学生、7名高二学生和8名高三学生组成,选1名代表小组参加比赛,不同的选法有( ) A.5种 B.7种 C.15种 D.20种 4.下列说法正确的是( ) A.中国灯笼又统称为灯彩,主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类,现有4名学生,每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种,则不同的选购方式有24种 B.从A村去B村的道路有3条,从B村去C村的道路有5条,则从A村经过B村去C村不同的路线的条数为8 C.一个两层书架,分别放置语文类读物4本,数学类读物5本,每本读物各不相同,从中取出1本,则不同的取法共有20种 D.从1,2,3,4,5五个数字中任选3个数字,可组成无重复数字的三位数的个数为60 5.一对非负整数组成的有序数对,如果在做与的加法时不用进位,则称为“中国梦数对”,称为“中国梦数对”的和,则和为2018的“中国梦数对”的个数为( ) A.36个 B.48个 C.54个 D.56个 6.如图,一只蚂蚁沿着长方体的棱,从顶点爬到相对的顶点,则其中经过条棱的路线共有( )条. A. B. C. D. 7.将4个不同的小球放入4个不同的盒子中,则恰有两个盒子为空的放法种数为( ) A.72 B.84 C.96 D.108 8.用四种颜色给下图的6个区域涂色,每个区域涂一种颜色,相邻区域不同色,共有多少种不同的涂法( ) A.72 B.96 C.120 D.144 二、多选题 9.有4名同学报名参加三个不同的社团,则下列说法中正确的是( ). A.每名同学限报其中一个社团,则不同的报名方法共有种 B.每名同学限报其中一个社团,则不同的报名方法共有种 C.每个社团限报一个人,则不同的报名方法共有24种 D.每个社团限报一个人,则不同的报名方法共有种 10.将图中A,B,C,D,E五块区域涂上颜色,现有4种不同的颜色可供选择,则下列说法正确的是( ) A B E C D A.若每块区域任意涂上一种颜色,则共有种不同涂法 B.若只用3种不同颜色,且相邻区域不同色,则共有24种不同涂法 C.若4种不同颜色全部用上,B,D同色,且相邻区域不同色,则共有48种不同涂法 D.若4种不同颜色全部用上,B,D不同色,且相邻区域不同色,则共有48种不同涂法 11.现有不同的球15个,其中红球4个,黄球5个,绿球6个,则下列说法正确的是( ) A.从中任选1个球,有15种不同的选法 B.若每种颜色选出1个球,有120种不同的选法 C.若要选出不同颜色的2个球,有31种不同的选法 D.若要不放回地依次选出2个球,有210种不同的选法 三、填空题 12.从0~9这十个数字中选取3个数,能组成无重复数字的三位偶数 个.(用数字作答) 13.甲、乙等6名同学参加政史地三科知识竞赛,每人随机选择一科参加竞赛,则甲和乙不参加同一科,甲和丙参加同一科竞赛,且这三科竞赛都有人参加的概率为 . 14.如图,某停车场有2行4列共8个停车位,现有2辆红色汽车和2辆黑色汽车要停车,则相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为 . 四、解答题 15.书架的第1层放有5本不同的计算机书,第2层放有4本不同的文艺书,第3层放有3本不同的体育书. (1)从书架中任取1本书,有多少种不同的取法? (2)从书架的第1,2,3层各取1本书,有多少种不同的取法? 16.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A,B,C三个智力竞赛项目,每个人都要报名且只能参加一个项目. (1)共有多少种不同的报名方法? (2)甲不能报A项目,乙必须报B项目,那么有多少种不同的报名方法? (3)甲、乙报同一项目,丙不报A项目,那么有多少种不同的报名方法? 17.在这个数字中选择若干个数. (1)能组成多少个无重复数字且为的倍数的五位数? (2)能组成多少个无重复数字且不大于的四位数? 18.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加,,三个智力竞赛项目,每个人都要报名且只能参加一个项目. (1)共有多少种不同的报名方法? (2)若甲、乙报同一项目,丙不报A项目,则有多少种不同的报名方法? 19.给如图所示的五个区域涂色,要求每一个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同. (1)最少需要几种颜色才可以完成涂色任务? (2)现有四种颜色可供选择,求有多少种不同的涂色方法. 2 1 学科网(北京)股份有限公司 参考答案 1.D 【详解】从这个数字中选个数字组成没有重复数字的三位数:(个),三位数是的倍数,需要满足各个数位上的数之和是的倍数,有两种情况和;由 组成没有重复数字的三位数共有个,由组成没有重复数字的三位数共有 个,所以一共有:个,这个三位数被整除的概率是,故选D. 2.B 【分析】根据给定条件,利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理列式求解. 【详解】元件不通,设备从a到b的电路工作不正常,共有种, 元件正常,当且仅当元件都不通,设备从a到b的电路工作不正常,只有1种, 所以. 故选:B 3.D 【分析】根据已知确定成员总数,分析即可得答案. 【详解】由题意,兴趣小组有名成员,从中选1名,有20种不同的选法. 故选:D. 4.D 【分析】根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理逐一判断即可. 【详解】对于,现有4名学生,每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种,每人都有3种选择,则不同的选购方式有种,故错误; 对于,从A村去B村的道路有3条,从B村去C村的道路有5条,则从A村经过B村去C村不同的路线的条数为种,故错误; 对于,一个两层书架,分别放置语文类读物4本,数学类读物5本,每本读物各不相同,从中取出1本,共有种取法,故错误; 对于,从1,2,3,4,5五个数字中任选3个,可组成无重复数字的三位数分三步, 首先确定百位有种,再确定十位有种选择,最后个位有种选择,故共有个,故正确. 故选: 5.C 【分析】根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】设,, 则, 根据题意得其中均为自然数, 满足条件的自然数对,有,,,共3对; 满足条件的自然数对只有; 满足条件的自然数对有,,共2对; 满足条件的自然数对有,,,,,,,,,共9对. 由分步乘法计数原理可知,和为2018的“中国梦数对”的个数为. 故选:C 6.B 【分析】根据分类加法计数原理直接计算即可. 【详解】从顶点出发有条路线,分别经过,,. 经过有条路线,经过有条路线,经过有条路线. 根据分类加法计数原理可知,从顶点到顶点,经过条棱的路线共有条, 故选:B. 7.B 【分析】利用先选后排的方法进行解题即可. 【详解】选个空盒:种, 分配个小球到个非空盒 情况一(分法):种 情况二(分法):种 总分配方法; 种, 总放法数:种 故选: 8.C 【分析】根据分类相加计数原理,先分四种颜色都用和只有三种颜色两种情况,再根据分步乘法计数原理,将涂色过程分成若干步,每一步确定一个区域的颜色,再根据相邻区域不同色的条件,确定每一步的涂色方案数,最后将各步方法数相乘得到总的涂色方案数. 【详解】设四种颜色分别为1、2、3、4, (1)四种颜色都用: 先涂区域,有4种填涂方案,不妨设涂颜色1, 再涂区域,有3种填涂方案,不妨设涂颜色2, 再涂区域,有2种填涂方案,不妨设涂颜色3, 若区域填涂颜色2,则区域填涂颜色1、4或4、3, 若区域填涂颜色4,则区域填涂颜色1、3或4、3, 共4种不同的填涂方法.由分步乘法计数原理可得,共有种不同的涂法. (2)四种颜色只用其中的三种颜色: 即当同色,同色,同色,共有种不同的涂法. 综上所述,根据分类相加计数原理可得,共有种不同涂法. 故选:C 9.AC 【分析】利用分步乘法计数原理可得答案. 【详解】对于AB选项,第1个同学有3种报法,第2个同学有3种报法, 后面的2个同学也有3种报法,根据分步计数原理共有种结果,A正确,B错误; 对于CD选项,每个社团限报一个人,则第1个社团有4种选择, 第2个社团有3种选择,第3个社团有2种选择, 根据分步计数原理共有种结果,C正确,D错误. 故选:AC. 10.AB 【分析】根据所用颜色种数,以及各区域所用颜色的规定,运用两个计数原理逐一计算判断即可. 【详解】对于A,每块区域任意涂上一种颜色,即每块区域都有4种选择,则有种不同涂法,A正确; 对于B,若只用3种不同颜色,且相邻区域不同色,则B和D同色,A和E同色,则共有种不同涂法,故B正确; 对于C,因4种不同颜色全部用上,B,D同色,相邻区域不同色,故可以先涂B,D区域,有种涂法, 因三个区域都与B,D相邻,故只需将余下的3种颜色在上全排,有种涂法,则共有种涂法,故C错误; 对于D,按照ABC的顺序涂,每一个区域需要一个颜色,此时有种涂法, 因B,D不同色(D只有一种颜色可选),此时ABCD四块区域所用颜色各不相同,涂E只能与A同色,此时共有24种涂法,故D错误. 故选:AB. 11.ABD 【分析】利用分步与分类计数原理计算得到选项ABD正确;若要选出不同颜色的2个球,有74种不同的选法,所以选项C错误. 【详解】A. 从中任选1个球,有种不同的选法,所以该选项正确; B. 若每种颜色选出1个球,有种不同的选法,所以该选项正确; C. 若要选出不同颜色的2个球,有种不同的选法,所以该选项错误; D. 若要不放回地依次选出2个球,有种不同的选法,所以该选项正确. 故选:ABD 12. 【分析】按照0是否在末位分类讨论即可求解. 【详解】末位是0时:末位有1种选法,十位有种选法,百位有种选法, 故末位是0的三位偶数有; 末位不是0时:个位有种选法,百位有有种选法,十位有种选法, 故末位不是0的三位偶数有; 所以共有个. 故答案为:. 13. 【分析】求出每人随机选择一科参加竞赛,共有的选法数,再求出符合题意要求的选法数,根据古典概型的概率公式,即可求得答案. 【详解】甲、乙等6名同学参加政史地三科知识竞赛,每人随机选择一科参加竞赛, 每人都有3种选择,共有种选法; 固定甲和丙在同一科(记为科A):科A可以是政、史、地中的任意一科,有3种选择, 甲和丙确定在科A后,他们的选择固定(甲选择A后,丙必须选择A); 由于乙不能与甲同科(即不能选择A),只能选择B或C(记剩余两科中为B,C),即乙有2种选择(选B或选C); 剩余3名同学的选择:每个同学有3种选择(A、B或C),总选择方式为种, 由题意知需确保三科均有人参加:若乙选择B,则科C必须有人参加(即至少一个剩余同学选择C), 若乙选择C,则科B必须有人参加(即至少一个剩余同学选择B); 则计算满足条件的种数: 当乙选B时,科C无人的情况:所有剩余同学均选A或B(即不选C),有 种, 因此,科C有人选的情况为 种; 当乙选C时,同理求得科B有人选的情况为 种; 因此,总满足条件的种数为种, 故甲和乙不参加同一科,甲和丙参加同一科竞赛,且这三科竞赛都有人参加的概率为, 故答案为: 14./ 【分析】首先根据分类和分步计数原理,计算相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的情况,再结合古典概型概率公式,即可求解. 【详解】先计算相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的情况种数. 第一步:停红色汽车,第一辆红色汽车在第一行选一个位置有四个位置可选,第二辆红色汽车在第二行有三个位置可选,由于两辆红色汽车可以互换,故有种; 第二步:停黑色汽车,分成两种情况:若第一辆黑色汽车停在第一行且与红色汽车同列,则另一辆黑色汽车有3种停法,若第一辆黑色汽车停在第一行且与红色汽车不同列有2种停法,此时另一辆黑色汽车有2种停法,由于两辆黑色汽车可以互换,故有种. 因此,相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的情况种数共有24 14种, 8个车位停入4辆车的试验共有种情况, 所以相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为. 故答案为: 15.(1)12 (2)60 【分析】(1)根据分类加法原理计算; (2)根据分步乘法原理计算得解. 【详解】(1)从书架上任取1本书,有三类办法:第1类方法是从第1层取1本计算机书,有5种方法; 第2类方法是从第2层取1本文艺书,有4种方法;第3类方法是从第3层取1本体育书,有3种方法. 根据分类加法计数原理,不同的取法有种. (2)从书架的第1,2,3层各取1本书,可以分成三个步骤完成:第1步,从第1层取1本计算机书,有5种方法; 第2步,从第2层取1本文艺书,有4种方法;第3步,从第3层取1本体育书,有3种方法. 根据分步乘法计数原理,不同的取法有种. 16.(1) (2) (3) 【分析】(1)每个同学都有种选择,利用分步乘法计数原理可得结果; (2)分析可知,丙、丁各有种选择,利用分步乘法计数原理可得结果; (3)由题意可知,甲、乙报名的方法种数为,丙有种选择,丁有种选择,利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】(1)每个同学都有种选择, 则甲、乙、丙、丁四名同学的报名方法种数为; (2)甲不能报项目,乙必须报项目,则丙、丁各有种选择, 所以不同的报名方法种数为. (3)甲、乙报同一项目,则甲、乙报名的方法种数为, 丙不报项目,则丙有种选择,而丁有种选择, 由分步乘法计数原理可知,不同的报名方法种数为. 17.(1) (2) 【分析】(1)分个位数为和两种情况讨论,再根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可得解; (2)分千位数为或和两种情况讨论,再根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可得解. 【详解】(1)当个位数为时,则万位数有种选法, 则千位数有种选法,百位数有种选法,十位数有种选法, 所以能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数; 当个位数为时,则万位数有种选法, 则千位数有种选法,百位数有种选法,十位数有种选法, 所以能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数, 综上所述,能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数; (2)当千位数为或时, 则能组成个无重复数字且不大于3450的四位数; 当千位数为,百位数为,十位数为时,则符合题意的数只有一个; 当千位数为,百位数为,十位数不为时, 则十位数有种选法,个位数有种选法, 所以符合题意的数有种; 当千位数为,百位数不为, 则百位数有种选法,十位数有种选法,个位数有种选法, 所以符合题意的数有种, 综上所述,能组成个无重复数字且不大于3450的四位数. 18.(1)81 (2)18 【分析】(1)每个同学都有种选择,利用分步乘法计数原理可得结果; (2)由题意可知,甲、乙报名的方法种数为,丙有种选择,丁有种选择,利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】(1)每个同学都有种选择,则甲、乙、丙、丁四名同学的报名方法种数为. (2)甲、乙报同一项目,则甲、乙报名的方法种数为, 丙不报项目,则丙有种选择,丁有种选择, 由分步乘法计数原理可知,不同的报名方法种数为. 19.(1)3种 (2)72 【分析】根据排列组合涂色问题解题方法,先分类再分步完成涂色即可. 【详解】(1)由题意得A,B,E三个区域的颜色互不相同,则需要三种颜色,D可以与B的颜色相同,C可以与A的颜色相同,所以最少需要3种颜色才可以完成涂色任务. (2)分两种情况: 情况一:A,C不同色,先涂A有4种,C有3种,E有2种,B,D各有1种,有种涂法; 情况二:A,C同色,先涂A,C有4种,E有3种,B,D各有2种,有种涂法. 所以共有24+48=72种不同的涂色方法. 2 1 学科网(北京)股份有限公司 $