专题01 相交线重难点题型专训（5个知识点+8大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练

专题01 相交线重难点题型专训 （5个知识点+8大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 对顶角与邻补角的概念 题型二 找邻补角 题型三 利用邻补角互补求角度 题型四 垂线的定义理解 题型五 画垂线 题型六 垂线段最短 题型七 点到直线的距离 题型八 同位角、内错角、同旁内角 拓展训练一 角度计算综合 拓展训练二 三线八角问题 拓展训练三 垂线段的实际应用 拓展训练四 相交线的规律探究 知识点一：对顶角 1.一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角. 如图所示，两条直线形成的四个角，∠1和∠3是对顶角，∠2和∠4是对顶角. （1）对顶角形成的前提条件是两条直线相交，对顶角必须有公共顶点； （2）对顶角是成对出现的，单独的一个角不能称为对顶角. 2.对顶角的性质：对顶角相等. 对顶角一定相等，相等的角不一定是对顶角. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·吉林长春·期末）下列工具中，有对顶角的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山西太原·月考）如图，直线、、相交于一点O，对顶角一共有 对． 知识点二：垂线的概念及表示 1.垂线：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.（垂线是直线，不是线段） 2.垂足：互相垂直的两条直线的交点叫做垂足. 3.表示方法：如图所示，两条直线互相垂直，记作a⊥b或AB⊥CD，O是垂足. 4.两条直线互相垂直时，常在垂足处写一个直角标志“┑”. 5.线段与线段、线段与射线、射线与射线垂直，指的都是它们所在的直线互相垂直. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，下列说法不正确的是（  ） A．点B到的垂线段是线段 B．点C到的垂线段是线段 C．线段是点A到的垂线段 D．线段是点B到的垂线段 2．（24-25七年级上·河南开封·期末）如图，用三角板经过直线外一点画这条直线的垂线，这样的垂线只能画出一条．这里面蕴含的数学道理是 ． 知识点三：认识同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·吉林·月考）如图，的内错角是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如图所示的5个角中，与 是同位角． 知识点四：垂直 1．垂直的定义：如图，直线a、b相交成的四个角中有一个角是直角（通常标上直角标记），则直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b或者b⊥a，交点O就是垂足．其中a是b的垂线，b也是a的垂线．垂线是直线，且相对于另一条直线而言． a b Oa 图1 2．垂直定义的应用： 　 （1）判定：若直线AB和CD相交，交点为O，∠BOC＝90°，则 AB⊥CD．这个推理过程可表示为： ∵ ∠BOC＝90°， ∴ AB⊥CD．　（垂直的判定）． （2）性质：若两条直线AB⊥CD，垂足为点O，则 ∠AOC＝∠AOD＝∠BOC＝∠BOD＝90°， 这个推理过程可表示为： ∵ AB⊥CD ∴ ∠BOC＝90°（垂直的定义）． C B Oa 图2 A D 对顶角是两个角之间的一种位置关系。两条直线相交时会产生一个交点，并产生以这个交点为顶点的四个角。称其中不相邻的两个角互为对顶角。或者说，其中的一个角是另一个的对顶角。 对顶角满足下列定理：两直线相交，对顶角相等。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，从村庄P到公路l共有三条路线，其中路线，居民选择路线到公路的距离近的理由是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．过一点可以作无数条直线 2．（24-25七年级下·全国·周测）如图，轩轩同学家在点P处，他想尽快赶到公路边接来家里做客的小伙伴，他选择沿线段PC去公路边．他的这一选择运用到的数学知识是 ． 知识点五：垂线的画法 如图所示，过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线. 【即时训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是（   ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画 条直线与直线l相垂直． 【经典例题一 对顶角与邻补角的概念】 【例1】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）下列各图中，∠与∠是一定相等的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·全国·单元测试）猜谜语（打书本中两个几何名称）．剩下十分钱 ；两牛相斗 ． 1．（24-25七年级下·云南曲靖·期末）如图，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·上海·专题练习）两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为 ． 3．（24-25七年级上·云南昆明·期中）推理与验证： 一副直角三角板按下图摆放，可以推出． 推理过程如下： 因为，，所以，，所以． 如图，两条直线相交于点，请你仿照左边的推理过程，推出． 推理过程如下： 【经典例题二 找邻补角】 【例1】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）如图，∠1的邻补角是（    ） A．∠BOC B．∠BOC和∠AOF C．∠AOE D．∠BOE和∠AOF 【例2】 （24-25七年级下·广西柳州·期中）如图，直线、、相交于点O，则的邻补角为 ． 1．（24-25七年级下·云南昭通·月考）如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（24-25七年级下·河北保定·月考）如图，直线与直线交于点O，过点O作射线，则的邻补角为 ． 3．（24-25七年级下·全国·期中）如图所示，直线，，相交于点O． (1)请写出的对顶角； (2)请写出的邻补角． 【经典例题三 利用邻补角互补求角度】 【例1】（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，直线与相交于点，且，则可为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，直线与直线相交于点，， 度． 1．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）要测量一个古城墙墙角的度数，但人站在墙外，无法直接测量，甲、乙两名同学提供了下面的间接测量方案．下列判断正确的是（   ） 方案I： ①延长到点； ②测出的度数，即可得到的度数． 方案II： ①延长到点，延长到点； ②测出的度数，即可得到的度数． A．I、II都可行 B．I、II都不可行 C．I可行、II不可行 D．I不可行、II可行 2．（24-25七年级上·江西九江·期末）一副三角板摆成如图所示的方式，已知，，则的度数是 ． 3．（24-25七年级下·江西赣州·月考）如图，直线相交于点O，，求和的度数． 【经典例题四 垂线的定义理解】 【例1】（24-25七年级下·湖北孝感·期末）如图，已知直线，相交于点O，于O，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·山东淄博·期中）如图，已知于，，是的平分线，则 ． 1．（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河北石家庄·月考）如图，，点B，O，D在同一条直线上，若，则的度数是 ． 3．（24-25七年级下·河南商丘·月考）如图，直线，相交于点O，且． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【经典例题五 画垂线】 【例1】（24-25七年级下·福建宁德·期中）过点P向线段所在直线画垂线段，画图正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·河北沧州·期中）如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是 ． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）按下列要求画图，只能画出一条直线的是（ ） A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 2．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）已知直线 AB，CB ， l  在同一平面内，若 AB⊥ l ，垂足为 B，CB⊥ l ，垂足也为 B，则符合题意的图形可以是如图中的图 (填甲或乙)， 你选择的依据是 （写出你学过的一条公理）. 3．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·开学考试）过图中的点A画直线的垂线和平行线． 【经典例题六 垂线段最短】 【例1】（24-25七年级下·河北唐山·月考）如图，l是一条水平线，有一条细线，其中一端系着小球，另一端固定在A点，小球由点B出发向点C摆动，B，C的位置均不高出直线l，在小球从左向右摆动的过程中，系小球的线在水平线l下方部分的线段长度（   ） A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变短，后变长 D．先变长，后变短 【例2】 （24-25七年级下·福建福州·期中）如图，在三角形中，，，，．点是线段上的一动点，则线段的最小值是 ． 1．（24-25七年级下·广东湛江·月考）如图，数学课上老师让同学们在方格纸上进行如下操作：经过线段外一点，画线段的垂线段，并测量．同学们发现：点到点的距离均大于点到点的距离，这其中蕴含的数学原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短 2．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，四边形中，，连接，，垂足是，且，点是边上的一动点，则的最小值是 ． 3．（25-26七年级上·江苏扬州·月考）如图网格图中每个小正方形的边长为1，三角形的三个顶点都在格点上， (1)求的面积； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)用或填空： ___________，理由是___________． 【经典例题七 点到直线的距离】 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在平面内，两条直线，相交于点，对于平面内任意一点，若，分别是点到直线，的距离，则称为点的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（24-25七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，P是直线l外一点，A、B、C三点在直线l上，且于点B，，则点A到直线PC的距离是线段 的长．    1．（24-25七年级下·吉林长春·月考）如图，，，垂足为D，则点B到直线的距离是指（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 2．（24-25七年级下·甘肃定西·期末）如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树B，C，小明在A处测得 米，米，则点A到的距离d可能为 米．（填一个你认为正确的答案）    3．（24-25七年级下·新疆巴音郭楞·月考）如图，点P是的边上的一点； (1)过点P画的垂线，垂足为H； (2)线段的长度是点P到 的距离．线段、这两条线段大小关系是 （用“”号连接） 【经典例题八 同位角、内错角、同旁内角】 【例1】（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【例2】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图所示的图形中，同位角有 对 1．（24-25七年级下·广东河源·月考）如图，下列判断：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角．其中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图． （1）与是直线，被直线所截形成的 角； （2）与是直线 被直线 所截形成的 角； （3）与是直线 被直线 所截形成的 角； （4）与是直线 被直线 所截形成的 角． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：． 路径2：． …… (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 【拓展训练一 角度计算综合】 【例1】（25-26七年级上·辽宁丹东·期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，已知直线与直线相交于点O，，平分，，则的度数是 °． 1．（24-25七年级下·河南安阳·期中）如图，直线，相交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 2．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，用一个钉子（点O）将两根木条AB，CD钉在一起，已知．    (1)求的度数； (2)若调整的大小，使，则图中的的度数减少多少度？ 3．（25-26七年级上·甘肃天水·月考）已知O为直线上一点，过点O向直线上方引三条射线． (1)如图1，若平分，且，，求的度数； (2)如图2，若，过点O引射线平分，是的平分线，且，求的度数． 【拓展训练二 三线八角问题】 【例1】（24-25七年级下·浙江金华·期中）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线），则这个表示的是（　　） A．同位角 B．内错角 C．对顶角 D．同旁内角 【例2】（24-25七年级下·河南信阳·月考）如图，是小明学习三线八角时制作的模具，经测量，要使木条与平行，则的度数必须是 ． 1．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）在探究平行线的判定——基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行时，老师布置了这样的任务： 请同学们分组在学案上（如图），用直尺和三角尺画出过点P与直线AB平行的直线PQ；并思考直尺和三角尺在画图过程中所起的作用． 小菲和小明所在的小组是这样做的：他们选取直尺和含有45°角的三角尺，用平移三角尺的画图方法画出AB的平行线PQ，并将实际画图过程抽象出平面几何图形（如图）． 以下是小菲和小明所在小组关于直尺和三角尺作用的讨论： ①在画平行线的过程中，三角尺由初始位置靠着直尺平移到终止位置，实际上就是先画∠BMD=45°，再过点P画∠BMD=45° ②由初始位置的三角尺和终止位置的三角尺各边所在直线构成一个“三线八角图”，其中QP为截线 ③初始位置的三角尺和终止位置的三角尺在“三线八角图”中构成一组同位角 ④在画图过程中，直尺可以由直线CD代替 ⑤在“三线八角图”中，因为AB和CD是截线，所以，可以下结论“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行” 其中，正确的是（   ） A．①②⑤ B．①③④ C．②④⑤ D．③④⑤ 2．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）在判断两直线是否平行时，我们可以从“三线八角”的位置进行分析，如图，点在的延长线上，给出下列条件：①；②；③；④；⑤；⑥一定能判定的条件是 填所有正确条件的序号 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一个“三线八角”的基本图形中，如果已知一对内错角相等． (1)图中其余的各对内错角相等吗?为什么? (2)图中的各对同位角相等吗?为什么? (3)猜想图中各对同旁内角有怎样的数量关系． 【拓展训练三 垂线段的实际应用】 【例1】（25-26七年级上·辽宁本溪·期末）如图是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线，其中反射角与入射角相等，于点O．若平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·江苏泰州·月考）如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，（、均小于），则x与y之间的数量关系为 ． 1．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图所示，，，平分，求的度数． 2．（24-25七年级下·河南许昌·期中）如图，网格线的交点叫格点，格点P是的边OB上的一点（请利用三角板和直尺借助网格的格点画图）．    (1)过点P画的垂线，交于点E；过点P画的垂线，垂足为F； (2)线段的长度是点P到______的距离，线段______的长度是点E到直线OB的距离，所以线段这三条线段大小关系是______（用“＜”号连接），理由是______． 3．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）已知，点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，则的度数为_______； (2)如图2，过点在直线下方作射线，使，作的角平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数． 【拓展训练四 相交线的规律探究】 【例1】 （24-25七年级上·四川乐山·期末）如图，点O在直线上，是任一射线，、分别是和的平分线． (1)求的度数； (2)请用一句简洁的文字语言写出你发现的规律． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）观察系列图形，补全探究过程． 【规律探究】如图1，有2条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图2，有3条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图3，有4条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角． 【归纳总结】若有n条直线相交于一点，则可形成____________对对顶角． 【规律应用】若有40条直线相交于一点，则可形成几对对顶角． 1．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，点为直线上一点，为一射线，平分，平分． (1)若，试探究，的位置关系，并说明理由． (2)若为任意角，（）中，的位置关系是否仍成立？请说明理由，由此你发现了什么规律？（数学思想链接：从特殊到一般） 2．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）观察以下图形，寻找对顶角及邻补角．    (1)图（1）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (2)图（2）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (3)图（3）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为∶若n条直线相交于一点，则可形成　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）观察下面表格，并阅读相关文字： 示意图                     … 相交情况 1条直线与2条直线相交 1条直线与3条直线相交 1条直线与4条直线相交 … 同位角对数 （）对 （）对 （）对 … 内错角对数 （）对 （）对 （）对 … 同旁内角对数 （）对 （）对 （）对 … 则由上述规律可知： (1)1条直线与6条直线相交产生 ___________对同位角，___________对内错角； (2)1条直线与n条直线相交产生 ___________对同位角，___________对内错角； (3)利用（2）中的结论，解决下列问题：三条直线两两相交（不交于同一点），可构成同位角的对数是（　　） A．12对     B．8对      C．6对       D．4对 A基础训练 1．（24-25七年级上·全国·期末）下列说法中正确的是（    ） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．相等的角是对顶角 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在平面中过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．（24-25七年级下·上海·期中）如图，下列判断中正确的个数是（　　） （1）∠A与∠1是同位角；（2）∠A和∠B是同旁内角；（3）∠4和∠1是内错角；（4）∠3和∠1是同位角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25七年级上·云南玉溪·期末）如图，过直线上一点作直线，已知，（   ）                         A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期末）下列说法错误的是（    ） A．如图（1），建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释是：两点确定一条直线． B．如图（2），将甲，乙两把尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校定是直的，那么乙尺不是直的，判断依据是：经过两点有且只有一条直线． C．如图（3），要测量两堵围墙形成的的度数，但人不能进入围墙，可先延长得到，然后测量的度数，再计算出的度数，其中依据的原理是：等角的余角相等． D．如图（4），从小明家到学校原有三条路线：路线①；路线②；路线③，后又开通了一条直道，路线④，这四条路线中路线④路程最短，其中依据的原理是：两点之间线段最短． B 提高训练 6．（24-25七年级下·山东济宁·期中）已知直线，相交于点O，平分，射线于点O，且，则的度数为 ． 7．（24-25七年级下·河南郑州·月考）如图，直线相交于点O，若，则的度数为 ． 8．（24-25七年级下·辽宁鞍山·月考）如图，标有角号的7个角中共有 对内错角， 对同位角， 对同旁内角． 9．（24-25七年级·江苏·假期作业）如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是 ． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知直线相交于点，点在内部，作射线． （1）如图①，，则 ； ； （2）如图②，，则 ； （3）如图③，平分，则 ，点到直线的距离为 ． C 培优训练 11．（24-25七年级上·安徽池州·期末）如图，直线经过点O，平分，平分，若，． (1)求的度数； (2)求的度数． 12．（25-26七年级上·吉林长春·月考）如图所示，直线相交于点O，． (1)若，则的余角有 ． (2)若，求的度数． 13．（24-25七年级下·安徽六安·月考）如图，在直角三角形中，，，．请解答下列问题：    (1)点B到的距离是 ，点A到的距离是 ； (2)请在图中作出点C到的垂线段； (3) （填“”、“”、“”），理由是 ． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线被直线所截，交点分别为，那么图中的同位角、内错角、同旁内角各有多少对？请分别写出两对，填入下表． 15．（24-25七年级上·河北廊坊·期末）如图1，为直线上一点，过点在直线的下方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方． (1)将图1中的三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转（始终保持在直线的上方），在旋转的过程中，第秒时，恰好与在同一直线上，请直接写出的值． (2)将图1中的三角板绕点顺时针旋转到图2所示的位置，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数． (3)将图1中的三角板绕点顺时针旋转到图3的位置，使在的内部，请探究与的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相交线重难点题型专训 （5个知识点+8大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 对顶角与邻补角的概念 题型二 找邻补角 题型三 利用邻补角互补求角度 题型四 垂线的定义理解 题型五 画垂线 题型六 垂线段最短 题型七 点到直线的距离 题型八 同位角、内错角、同旁内角 拓展训练一 角度计算综合 拓展训练二 三线八角问题 拓展训练三 垂线段的实际应用 拓展训练四 相交线的规律探究 知识点一：对顶角 1.一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角. 如图所示，两条直线形成的四个角，∠1和∠3是对顶角，∠2和∠4是对顶角. （1）对顶角形成的前提条件是两条直线相交，对顶角必须有公共顶点； （2）对顶角是成对出现的，单独的一个角不能称为对顶角. 2.对顶角的性质：对顶角相等. 对顶角一定相等，相等的角不一定是对顶角. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·吉林长春·期末）下列工具中，有对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角，关键是熟练掌握对顶角的定义．对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．依此即可求解． 【详解】解：由对顶角的定义可知，下列工具中，有对顶角的是选项A． 故选：A． 2．（24-25七年级下·山西太原·月考）如图，直线、、相交于一点O，对顶角一共有 对． 【答案】6 【分析】本题考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．根据对顶角的定义，对顶角的两边互为反向延长线，可以判断． 【详解】解：如下图： 图中对顶角有：与、与、与、与、与、与，共6对． 故答案为：6． 知识点二：垂线的概念及表示 1.垂线：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.（垂线是直线，不是线段） 2.垂足：互相垂直的两条直线的交点叫做垂足. 3.表示方法：如图所示，两条直线互相垂直，记作a⊥b或AB⊥CD，O是垂足. 4.两条直线互相垂直时，常在垂足处写一个直角标志“┑”. 5.线段与线段、线段与射线、射线与射线垂直，指的都是它们所在的直线互相垂直. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，下列说法不正确的是（  ） A．点B到的垂线段是线段 B．点C到的垂线段是线段 C．线段是点A到的垂线段 D．线段是点B到的垂线段 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线段，解题的关键是掌握垂线段的概念． 根据垂线段的概念逐项进行判断即可． 【详解】解：A、根据条件无法得到，点B到的垂线段是线段，该选项错误，符合题意； B、该选项正确，不符合题意； C、该选项正确，不符合题意； D、该选项正确，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级上·河南开封·期末）如图，用三角板经过直线外一点画这条直线的垂线，这样的垂线只能画出一条．这里面蕴含的数学道理是 ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】根据垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进行作答即可． 【详解】解：由题意，蕴含的数学道理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 知识点三：认识同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·吉林·月考）如图，的内错角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三线八角，根据内错角的定义，两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，的内错角是； 故选D． 2．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如图所示的5个角中，与 是同位角． 【答案】 【分析】本题主要考查了同位角的定义，熟练掌握同位角的位置特征（截线同旁、被截直线同侧）是解题的关键．根据同位角的定义（两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线同一侧的角），判断与符合同位角位置关系的角． 【详解】解：∵同位角是两条直线被第三条直线所截，在截线同旁且在被截直线同侧的角，直线、被直线所截，与在截线同旁，且分别在直线、的同侧， ∴与是同位角， 故答案为：． 知识点四：垂直 1．垂直的定义：如图，直线a、b相交成的四个角中有一个角是直角（通常标上直角标记），则直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b或者b⊥a，交点O就是垂足．其中a是b的垂线，b也是a的垂线．垂线是直线，且相对于另一条直线而言． a b Oa 图1 2．垂直定义的应用： 　 （1）判定：若直线AB和CD相交，交点为O，∠BOC＝90°，则 AB⊥CD．这个推理过程可表示为： ∵ ∠BOC＝90°， ∴ AB⊥CD．　（垂直的判定）． （2）性质：若两条直线AB⊥CD，垂足为点O，则 ∠AOC＝∠AOD＝∠BOC＝∠BOD＝90°， 这个推理过程可表示为： ∵ AB⊥CD ∴ ∠BOC＝90°（垂直的定义）． C B Oa 图2 A D 对顶角是两个角之间的一种位置关系。两条直线相交时会产生一个交点，并产生以这个交点为顶点的四个角。称其中不相邻的两个角互为对顶角。或者说，其中的一个角是另一个的对顶角。 对顶角满足下列定理：两直线相交，对顶角相等。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，从村庄P到公路l共有三条路线，其中路线，居民选择路线到公路的距离近的理由是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．过一点可以作无数条直线 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂线段最短，直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，据此可得答案． 【详解】解：居民选择路线到公路的距离近的理由是垂线段最短． 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·周测）如图，轩轩同学家在点P处，他想尽快赶到公路边接来家里做客的小伙伴，他选择沿线段PC去公路边．他的这一选择运用到的数学知识是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】根据题意可直接进行求解． 本题主要考查了垂线段最短，解题的关键是理解题意． 【详解】解：由题意可知运用到的数学知识是：直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 知识点五：垂线的画法 如图所示，过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线. 【即时训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是（   ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】A 【分析】本题考查画垂线．满足两个条件：①经过点B，②垂直；由此即可判断． 【详解】解：根据垂线段的定义可知，图①线段，是过点B作线段所在直线的垂线段， 故选：A． 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画 条直线与直线l相垂直． 【答案】一/1 【分析】应用垂线的性质，在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进行判断即可得出答案． 【详解】解：在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画一条直线与直线l相垂直． 故答案为：一． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，熟练掌握垂线的性质进行求解是解决本题的关键． 【经典例题一 对顶角与邻补角的概念】 【例1】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）下列各图中，∠与∠是一定相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据邻补角、同旁内角、对顶角的定义，分别进行判断即可得到答案． 【详解】解：根据题意， A、∠与∠是邻补角，不一定相等； B、∠与∠是同旁内角，不一定相等； C、∠与∠是任意的两个角，不一定相等； D、∠与∠是对顶角，则∠=∠； 故选：D． 【点睛】本题考查了邻补角、同旁内角、对顶角的定义，解题的关键是掌握对顶角相等进行判断． 【例2】（24-25七年级上·全国·单元测试）猜谜语（打书本中两个几何名称）．剩下十分钱 ；两牛相斗 ． 【答案】 余角, 对顶角 【分析】剩下十分钱--余角（余下一角钱即十分钱）；两牛相斗--对顶角（相互顶牛角）． 【详解】剩下十分钱余角；两牛相斗对顶角． 故答案为余角, 对顶角 【点睛】本题主要是激发学生的数学兴趣和学生对数学概念的理解和灵活运用，解答时可联系生活实际去解． 1．（24-25七年级下·云南曲靖·期末）如图，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查对顶角的定义，根据对顶角的定义：“两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角”进行判断即可． 【详解】解：如图，和是对顶角， 故选：B． 2．（2025七年级下·上海·专题练习）两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为 ． 【答案】邻补角 【分析】本题考查邻补角，只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，由此即可得到答案． 【详解】解：两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 故答案为：邻补角． 3．（24-25七年级上·云南昆明·期中）推理与验证： 一副直角三角板按下图摆放，可以推出． 推理过程如下： 因为，，所以，，所以． 如图，两条直线相交于点，请你仿照左边的推理过程，推出． 推理过程如下： 【答案】见解析 【分析】本题考查了等角的补角相等．利用邻补角的关系求得，，据此即可证明． 【详解】解：因为，， 所以，， 所以． 【经典例题二 找邻补角】 【例1】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）如图，∠1的邻补角是（    ） A．∠BOC B．∠BOC和∠AOF C．∠AOE D．∠BOE和∠AOF 【答案】D 【分析】根据邻补角的定义：邻补角是指两条直线相交后所得的有一个公共顶点且有一条公共边的两个角，或两个角有一个公共顶点并且一个角的两条边是另一个角两条边的反向延长线，进行判断即可得到答案. 【详解】解：∠1的邻补角是∠AOF和∠BOE， 故选D. 【点睛】本题主要考查了邻补角的定义，解题的关键在于能够熟练掌握邻补角的定义. 【例2】 （24-25七年级下·广西柳州·期中）如图，直线、、相交于点O，则的邻补角为 ． 【答案】和 【分析】本题考查了邻补角的定义“两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角”，熟记定义是解题关键．根据邻补角的定义求解即可得． 【详解】解：的邻补角为和， 故答案为：和． 1．（24-25七年级下·云南昭通·月考）如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】此题考查了邻补角，熟知邻补角的定义是解题的关键；根据邻补角的定义：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，求解判断即可． 【详解】解：A．和是邻补角，故此选项符合题意； B．和是同旁内角，不是邻补角，故此选项不符合题意； C．和是对顶角，不是邻补角，故此选项不符合题意； D．和是同位角，不是邻补角，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级下·河北保定·月考）如图，直线与直线交于点O，过点O作射线，则的邻补角为 ． 【答案】 【分析】本题考查的邻补角的含义，直接利用邻补角的含义作答即可． 【详解】解：∵， ∴的邻补角为， 故答案为： 3．（24-25七年级下·全国·期中）如图所示，直线，，相交于点O． (1)请写出的对顶角； (2)请写出的邻补角． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查对顶角和邻补角的概念． （1）如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角． （2）两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做互为邻补角． 【详解】（1）根据对顶角的概念可得：的对顶角是， （2）根据邻补角的概念可得：的邻补角是，． 【经典例题三 利用邻补角互补求角度】 【例1】（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，直线与相交于点，且，则可为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平角的概念，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 首先根据结合平角的概念得到，然后利用对顶角相等得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，直线与直线相交于点，， 度． 【答案】150 【分析】此题考查邻补角，直接利用已知结合邻补角的定义得出答案． 【详解】解：根据题意， ∴， ∴， ∴． 故答案为：150． 1．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）要测量一个古城墙墙角的度数，但人站在墙外，无法直接测量，甲、乙两名同学提供了下面的间接测量方案．下列判断正确的是（   ） 方案I： ①延长到点； ②测出的度数，即可得到的度数． 方案II： ①延长到点，延长到点； ②测出的度数，即可得到的度数． A．I、II都可行 B．I、II都不可行 C．I可行、II不可行 D．I不可行、II可行 【答案】A 【分析】本题主要考查邻补角互补和对顶角相等，根据作图可得是平角，则与互补，可知方案Ⅰ可行；根据对顶角相等可知方案Ⅱ可行． 【详解】解：由作图可得是平角， ∴与互补， ∴， ∴方案Ⅰ可行； 由作图可得与是对顶角， ∴， ∴方案Ⅱ可行； 综上分析可知：I、II都可行． 故选：A． 2．（24-25七年级上·江西九江·期末）一副三角板摆成如图所示的方式，已知，，则的度数是 ． 【答案】/135度 【分析】本题考查了邻补角的性质．求出的度数，再利用邻补角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·江西赣州·月考）如图，直线相交于点O，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了邻补角互补求角度，对顶角的性质，熟练掌握邻补角和对顶角的性质是解题的关键． 根据，，即可求解的度数，再由对顶角相等得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 【经典例题四 垂线的定义理解】 【例1】（24-25七年级下·湖北孝感·期末）如图，已知直线，相交于点O，于O，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂线的定义，对顶角，找出角度之间的数量关系是解题关键．由垂直可得，进而得出，再利用对顶角相等即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·山东淄博·期中）如图，已知于，，是的平分线，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了垂线定义理解，角平分线的有关计算，先根据垂线定义得出，再求出，根据角平分线定义得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴． 故答案为：． 1．（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直的定义，余角的性质．由题意得，代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵集热板与太阳光线垂直， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（25-26七年级上·河北石家庄·月考）如图，，点B，O，D在同一条直线上，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查垂直的定义，与余角、补角相关的计算． 由，可得，结合已知可得，由点B，O，D在同一条直线上，可得，即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点B，O，D在同一条直线上， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·河南商丘·月考）如图，直线，相交于点O，且． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂线的定义，平角的定义，解题的关键是： （1）根据垂线的定义求出，然后结合平角的定义，根据角的和差关系求解即可； （2）根据并结合平角定义可求出的度数，然后根据角的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， 又， ∴． 【经典例题五 画垂线】 【例1】（24-25七年级下·福建宁德·期中）过点P向线段所在直线画垂线段，画图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂线段的画法，掌握垂线段的定义是解题的关键． 【详解】解：对于A，过点P的直线与不垂直，故不合题意； 对于B，垂线不过点P，故不符合题意； 对于C，垂线段应为线段，而不是射线，故C不符合题意. 故选D． 【例2】（24-25七年级下·河北沧州·期中）如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是 ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查的是垂线的性质，利用在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得答案． 【详解】解：∵，，为垂足， ∴，，三点在同一直线上， 理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 1．（2025七年级下·全国·专题练习）按下列要求画图，只能画出一条直线的是（ ） A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查平行公理和垂直，根据“在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”和“过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行”即可解答． 【详解】在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直，故①只能画出一条直线； 在同一平面内，过直线外一点能作无数条直线与已知直线相交，故②能画出无数条直线； 在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，故③只能画出一条直线； 故选：D． 2．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）已知直线 AB，CB ， l  在同一平面内，若 AB⊥ l ，垂足为 B，CB⊥ l ，垂足也为 B，则符合题意的图形可以是如图中的图 (填甲或乙)， 你选择的依据是 （写出你学过的一条公理）. 【答案】 乙 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 【分析】根据题意可得，过点B作l的垂线即可. 【详解】根据题意可得图形 故答案为乙，根据：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 【点睛】此题主要考查了垂线，关键是掌握垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 3．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·开学考试）过图中的点A画直线的垂线和平行线． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了学生画平行线和画垂线的能力． 用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可； 把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过点沿三角板的直角边画直线即可． 【详解】解：过点A画直线的垂线和平行线如下图所示： 【经典例题六 垂线段最短】 【例1】（24-25七年级下·河北唐山·月考）如图，l是一条水平线，有一条细线，其中一端系着小球，另一端固定在A点，小球由点B出发向点C摆动，B，C的位置均不高出直线l，在小球从左向右摆动的过程中，系小球的线在水平线l下方部分的线段长度（   ） A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变短，后变长 D．先变长，后变短 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差，垂线段最短，根据线段的和差和垂线段最短即可判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： 如图，， 由图可知，小球从B到C从左向右摆动，在这一变化过程中，小球到点A的距离不变，小球由点B到点D 的摆动过程中，系小球的线在水平线上方部分的线段长度越来越小，所以系小球的线在水平线下方部分的线段长度越来越大；小球从D到C从左向右摆动，在这一变化过程中，小球到点A的距离不变，小球由点D到点C的摆动过程中，系小球的线在水平线上方部分的线段长度越来越大，所以系小球的线在水平线下方部分的线段长度越来越小； 综上所述，小球从B到C从左向右摆动，在这一变化过程中，系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是先变长，后变短， 故选：D． 【例2】 （24-25七年级下·福建福州·期中）如图，在三角形中，，，，．点是线段上的一动点，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，掌握点到直线垂线段最短是解题的关键． 根据题意，当时，的长度最短，由等面积法求高的方法列式求解即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最短， 在中， 由面积公式得：， 即， 解得，； 故答案为：． 1．（24-25七年级下·广东湛江·月考）如图，数学课上老师让同学们在方格纸上进行如下操作：经过线段外一点，画线段的垂线段，并测量．同学们发现：点到点的距离均大于点到点的距离，这其中蕴含的数学原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂线段最短，根据“垂线段最短”即可求解． 【详解】解：点C到点A，B的距离均大于点C到点D的距离这其中蕴含的数学原理是直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短． 故选：D． 2．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，四边形中，，连接，，垂足是，且，点是边上的一动点，则的最小值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查角平分线的性质，垂线段最短，根据等角的余角相等，得到，根据垂线段最短以及角平分线的性质，得到当时，最短，此时，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为的角平分线， ∵点是边上的一动点， ∴当时，最短， ∵为的角平分线，， ∴； ∴的最小值是5； 故答案为：5． 3．（25-26七年级上·江苏扬州·月考）如图网格图中每个小正方形的边长为1，三角形的三个顶点都在格点上， (1)求的面积； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)用或填空： ___________，理由是___________． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)，垂线段最短 【分析】本题考查网格中计算三角形的面积、作垂线、垂线段最短，解决本题的关键是根据网格准确作图． （1）利用割补法求解可得的面积； （2）根据线的定义，结合网格作图即可得； （3）根据垂线段最短即可完成填空． 【详解】（1）解：． （2）解：如图所示． （3）解：， （垂线段最短）． 故答案为：，垂线段最短． 【经典例题七 点到直线的距离】 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在平面内，两条直线，相交于点，对于平面内任意一点，若，分别是点到直线，的距离，则称为点的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，由题意可得点在与直线平行且距离为的两条直线上，点在与直线平行且距离为的两条直线上，从而可得上述四条直线相交的交点就是“距离坐标”是的点，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，理解“距离坐标”的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵点到直线的距离为，点到直线的距离为， ∴点在与直线平行且距离为的两条直线上，点在与直线平行且距离为的两条直线上， ∴上述四条直线相交的交点就是“距离坐标”是的点，两两相交共个交点，即“距离坐标”是的点共有个， 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，P是直线l外一点，A、B、C三点在直线l上，且于点B，，则点A到直线PC的距离是线段 的长．    【答案】/ 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”即可得到答案． 【详解】解：， ， 点A到直线PC的距离是线段的长， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·吉林长春·月考）如图，，，垂足为D，则点B到直线的距离是指（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】D 【分析】本题主要考查点到直线的距离，熟练掌握点到直线的距离是解题的关键．点到直线的垂线段的长度就是点到直线的距离． 【详解】解：， 点B到直线的距离是指线段的长度． 故选D． 2．（24-25七年级下·甘肃定西·期末）如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树B，C，小明在A处测得 米，米，则点A到的距离d可能为 米．（填一个你认为正确的答案）    【答案】3米（答案不唯一） 【分析】由点到直线的距离的定义，垂线段最短，即可得到答案． 【详解】解：米，米， 点A到的距离d小于或等于4米， 点A到的距离d可能为3米（答案不唯一）． 故答案为：3米（答案不唯一）． 【点睛】本题考查点到直线的距离，垂线段最短，关键是掌握点到直线距离的定义． 3．（24-25七年级下·新疆巴音郭楞·月考）如图，点P是的边上的一点； (1)过点P画的垂线，垂足为H； (2)线段的长度是点P到 的距离．线段、这两条线段大小关系是 （用“”号连接） 【答案】(1)图见解析 (2)， 【分析】（1）根据过一点作垂线段的基本作图，解答即可； （2）根据点到直线的距离，垂线段最短解答即可． 本题考查了垂线段的基本作图，点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握基本作图，垂线段最短是解题的关键． 【详解】（1）解：根据过一点作垂线段的基本作图，作图如下： 则点H即为所求． （2）解：根据题意，得线段的长度是点P到的距离， 根据斜边大于任何一条直角边，得， 故答案为：，． 【经典例题八 同位角、内错角、同旁内角】 【例1】（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】D 【分析】本题考查了角的位置关系，熟悉掌握位置关系是解题的关键． 根据位置关系逐一判断即可． 【详解】解：A：与是同位角，故A错误； B：与是内错角，故B错误； C：与没有位置关系，故C错误； D：与是同旁内角，故D正确； 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图所示的图形中，同位角有 对 【答案】4 【分析】如果两条直线被第三条直线所截，则位于两条被截直线的同旁，截线同侧的两个角一定是同位角．根据同位角的定义求解． 【详解】解：AB、GD被AF所截，∠BAG与∠DGF是同位角； AC、GE被AF所截，∠CAG与∠EGF是同位角． AB、GE被AF所截，∠BAG与∠EGF是同位角． AC、GD被AF所截，∠CAG与∠DGF是同位角． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了同位角的概念．解题的关键是掌握同位角的概念，注意有以下几个要点：1、分清截线与被截直线；2、两个相同，在截线同旁，在被截直线同侧． 1．（24-25七年级下·广东河源·月考）如图，下列判断：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角．其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，即两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方的角，这样的两个角称为同位角；两条直线被第三条直线所截，两个角都在被截两条直线之间，并且在第三条直线的两侧，这样的一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截，两个角都在被截两条直线之间，并且在第三条直线的同侧，这样的一对角叫做同旁内角，进行判断即可． 【详解】解：①由同位角的概念得出：与是同位角，正确； ②由同旁内角的概念得出：与是同旁内角，正确； ③由内错角的概念得出：与不是内错角，错误； ④由内错角的概念得出：与是内错角，错误． 故正确的有2个，是， 故选：A． 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，理解和掌握同位角、内错角、同旁内角的意义是正确判断的前提． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图． （1）与是直线，被直线所截形成的 角； （2）与是直线 被直线 所截形成的 角； （3）与是直线 被直线 所截形成的 角； （4）与是直线 被直线 所截形成的 角． 【答案】 内错 同位 同旁内 内错 【分析】本题考查的知识点是同位角，内错角，同旁内角的概念，解题关键是熟记同位角、内错角、同旁内角的位置关系． （1）利用内错角的概念进行判断填空即可； （2）利用同位角的概念进行判断填空即可； （3）利用同旁内角的概念进行判断填空即可； （4）利用内错角的概念进行判断填空即可． 【详解】解：（1）与是直线，被直线所截形成的内错角； 故答案为：内错； （2）与是直线被直线所截形成的同位角； 故答案为：，，同位； （3）与是直线被直线所截形成的同旁内角； 故答案为：，，同旁内； （4）与是直线被直线所截形成的内错角． 故答案为：，，内错． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：． 路径2：． …… (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 【答案】(1)．（答案不唯一） (2)能，路径如下： ．（答案不唯一） 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． （1）根据内错角，同位角，同旁内角直接逐个判断即可得到答案； （2）根据内错角、同位角、同旁内角反向推导即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，．（答案不唯一） （2）解：能，路径如下： ．（答案不唯一） 【拓展训练一 角度计算综合】 【例1】（25-26七年级上·辽宁丹东·期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了邻补角的性质，角平分线的定义，角的和差. 由题意可得，即得，得到，再根据角平分线的定义求出即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：A． 【例2】（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，已知直线与直线相交于点O，，平分，，则的度数是 °． 【答案】20或160 【分析】本题考查了垂直的定义，邻补角互补，以及角平分线的性质．先求得的度数，再根据角平分线的性质，求出的度数．根据的位置求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ①当在上方时，如图1， ， ∴， ∵， ∴； ②当在下方时，如图2， ， ∴， 又， ∴； 综上，的度数为：或， 故答案为：20或160． 1．（24-25七年级下·河南安阳·期中）如图，直线，相交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的运算.掌握角的和差关系是解题的关键. （1）结合，，，即可求得答案； （2）结合，，即可求得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． （2）解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 2．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，用一个钉子（点O）将两根木条AB，CD钉在一起，已知．    (1)求的度数； (2)若调整的大小，使，则图中的的度数减少多少度？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相交线中的邻补角及对顶角的应用. （1）根据邻补角的定义可知，又因为，可求得； （2）由图可知与为对顶角，即，可知减少的度数． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴； （2）∵与为对顶角， ∴， ∵（1）中 ∴的度数减少：． 3．（25-26七年级上·甘肃天水·月考）已知O为直线上一点，过点O向直线上方引三条射线． (1)如图1，若平分，且，，求的度数； (2)如图2，若，过点O引射线平分，是的平分线，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角度的运算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义和角度的运算是解题的关键， （1）设，则，根据角度的运算可解得，从而可得到； （2）根据，设，，根据题意可得，解得：，即，从而求得． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵，且平分， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴设，， ∵平分，平分，且， ∴ 解得：，即， ∴． 【拓展训练二 三线八角问题】 【例1】（24-25七年级下·浙江金华·期中）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线），则这个表示的是（　　） A．同位角 B．内错角 C．对顶角 D．同旁内角 【答案】B 【分析】本题考查内错角，关键是掌握内错角的定义． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，由此即可判断． 【详解】解：如图所示，两大拇指代表被截直线，食指代表截线，则这个表示的是内错角． 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·河南信阳·月考）如图，是小明学习三线八角时制作的模具，经测量，要使木条与平行，则的度数必须是 ． 【答案】65 【分析】本题考查根据平行线的判定，对顶角的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．由对顶角的性质得，然后根据平行线的判定方法求解即可． 【详解】解：如图，， ， 若要使，则， ， 故答案为：65． 1．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）在探究平行线的判定——基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行时，老师布置了这样的任务： 请同学们分组在学案上（如图），用直尺和三角尺画出过点P与直线AB平行的直线PQ；并思考直尺和三角尺在画图过程中所起的作用． 小菲和小明所在的小组是这样做的：他们选取直尺和含有45°角的三角尺，用平移三角尺的画图方法画出AB的平行线PQ，并将实际画图过程抽象出平面几何图形（如图）． 以下是小菲和小明所在小组关于直尺和三角尺作用的讨论： ①在画平行线的过程中，三角尺由初始位置靠着直尺平移到终止位置，实际上就是先画∠BMD=45°，再过点P画∠BMD=45° ②由初始位置的三角尺和终止位置的三角尺各边所在直线构成一个“三线八角图”，其中QP为截线 ③初始位置的三角尺和终止位置的三角尺在“三线八角图”中构成一组同位角 ④在画图过程中，直尺可以由直线CD代替 ⑤在“三线八角图”中，因为AB和CD是截线，所以，可以下结论“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行” 其中，正确的是（   ） A．①②⑤ B．①③④ C．②④⑤ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】这种画法就是画同位角∠DMB和∠DEP相等，从而判断PQ∥AB，从而根据平行线的判定定理对各小题进行判断． 【详解】在画平行线的过程中，三角尺由初始位置靠着直尺平移到终止位置，实际上就是先画∠BMD=45°，再过点P画∠BMD=45°，所以①正确； 由初始位置的三角尺和终止位置的三角尺各边所在直线构成一个“三线八角图”，其中CD为截线，所以②错误； 初始位置的三角尺和终止位置的三角尺在“三线八角图”中构成一组同位角，所以③正确； 在画图过程中，直尺可以由直线CD代替，所以④正确； ⑤在“三线八角图”中，因为AB和PQ是一组平行线，CD为截线，所以，可以下结论“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”，所以⑤错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定． 2．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）在判断两直线是否平行时，我们可以从“三线八角”的位置进行分析，如图，点在的延长线上，给出下列条件：①；②；③；④；⑤；⑥一定能判定的条件是 填所有正确条件的序号 【答案】 【分析】本题考查了同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法，逐一判定各条件，即可得以结果． 【详解】解：， 内错角相等，两直线平行， 故条件符合题意； ， 内错角相等，两直线平行， 故条件不符合题意； ， 内错角相等，两直线平行， 故条件不符合题意； ， 同位角相等，两直线平行， 故条件符合题意； ， 同旁内角互补，两直线平行， 故条件符合题意； ， 同旁内角互补，两直线平行， 故条件不符合题意； 综上，符合题意， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一个“三线八角”的基本图形中，如果已知一对内错角相等． (1)图中其余的各对内错角相等吗?为什么? (2)图中的各对同位角相等吗?为什么? (3)猜想图中各对同旁内角有怎样的数量关系． 【答案】(1)相等；理由见解析；(2)相等；理由见解析；(3)互补. 【分析】根据三线八角进行求解即可. 【详解】(1)相等；  (2)相等； (3)互补. 理由如下： 如图, (1)由∠1＝∠2，又∠3＝∠4（等角的补角相等）； (2) 由∠1＝∠2, 又∠1＝∠5（对顶角相等），所以∠2＝∠5， 同理可得：其他对同位角也相等； （3）由∠1＝∠2，又∠1+∠3＝180°，所以∠2+∠3＝180°（等量代换）， 同理：∠1+∠4＝180°. 【点睛】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键． 【拓展训练三 垂线段的实际应用】 【例1】（25-26七年级上·辽宁本溪·期末）如图是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线，其中反射角与入射角相等，于点O．若平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂直定义，余角的性质，角平分线的计算，理解垂直定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 因为所以，再根据平分，得出，即可得出答案． 【详解】解：， ∴， ∵平分 ∴ ∵反射角与入射角相等 ∴ 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·江苏泰州·月考）如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，（、均小于），则x与y之间的数量关系为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角度的几何计算、垂直的定义等知识，正确分两种情况讨论是解题关键．先根据垂直的定义、角的运算可得，再设旋转运动时间为秒，则，，求出，然后分两种情况：①当时，则，②当时，则，分别求出、的大小，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， 设旋转运动时间为秒，则，， ∵射线从出发向终边旋转所需时间为（秒），射线从出发向终边旋转所需时间为（秒）， ∴， 当与在一条直线上时，则，即， 解得． ①如图1，当时，则， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴； ②如图2，当时，则， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 1．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图所示，，，平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了有关角平分线的角度计算，解题关键在于结合图形和角平分线的定义弄清各角度关系． 由垂直定义得，从而可求出，由角平分线的定义得，然后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴ 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·河南许昌·期中）如图，网格线的交点叫格点，格点P是的边OB上的一点（请利用三角板和直尺借助网格的格点画图）．    (1)过点P画的垂线，交于点E；过点P画的垂线，垂足为F； (2)线段的长度是点P到______的距离，线段______的长度是点E到直线OB的距离，所以线段这三条线段大小关系是______（用“＜”号连接），理由是______． 【答案】(1)图见解析 (2)，，，垂线段最短 【分析】（1）如图，找点，连接，与交点即为，过点作竖直的线，与交点即为； （2）根据点到直线的距离的定义、垂线段最短即可求解． 【详解】（1）解：由题意作图如下，是的垂线，是的垂线．    （2）解：线段的长度是点P到的距离，线段的长度是点E到直线OB的距离， 由垂线段最短可知，， 故答案为：，，，垂线段最短． 【点睛】本题考查了作垂线，垂线段最短．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 3．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）已知，点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，则的度数为_______； (2)如图2，过点在直线下方作射线，使，作的角平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据邻补角的性质求解即可； （2）首先由（1）可知，结合垂直的定义可得，再结合角平分线的定义可得，然后由求解即可； （3）由（2）知，结合与互余，可求得，然后分射线在内部和射线在外部两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； （3）解：由（2）知， ∵与互余， ∴， ∴， 当射线在内部时，如下图所示： ； 当射线在外部时，如下图， ． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了补角和余角、垂直的定义、角平分线以及几何图形中角度计算，熟练掌握相关定义和性质是解题关键． 【拓展训练四 相交线的规律探究】 【例1】 （24-25七年级上·四川乐山·期末）如图，点O在直线上，是任一射线，、分别是和的平分线． (1)求的度数； (2)请用一句简洁的文字语言写出你发现的规律． 【答案】(1) (2)邻补角的角平分线互相垂直． 【分析】（1）由、分别是和的平分线．可得，，结合，从而可得答案； （2）由是一组邻补角的角平分线所组成的角，再总结归纳即可． 【详解】（1）解：∵、分别是和的平分线． ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）总结为：邻补角的角平分线互相垂直． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，邻补角的含义，垂直的定义，熟练的利用角平分线的定义解题是关键． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）观察系列图形，补全探究过程． 【规律探究】如图1，有2条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图2，有3条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图3，有4条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角． 【归纳总结】若有n条直线相交于一点，则可形成____________对对顶角． 【规律应用】若有40条直线相交于一点，则可形成几对对顶角． 【答案】规律探究：2；6；12；归纳总结：；规律应用：1560对 【分析】本题考查对顶角的概念以及多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律． （1）两条直线相交于一点，数一数即可得出成2对对顶角；三条直线相交于一点，数一数即可得出6对对顶角，4条直线相交于一点，数一数即可得出12对对顶角； （2）依次可找出规律，若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角． （3）根据归纳总结得出得结论代入求解即可． 【详解】解：（1）对图形进行点标注．    图①中对顶角有与，与，共2对； 图②中对顶角有与，与，与，与，与，与，共6对； 图③中对顶角有与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，共12对； 故答案为： 2；6；12； （2）①，②，③， 则可以推理得到条直线相交于一点共有对对顶角， 故答案为：． （3）由归纳总结可知条直线相交于一点共有对对顶角， 当时，共有条对顶角． 1．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，点为直线上一点，为一射线，平分，平分． (1)若，试探究，的位置关系，并说明理由． (2)若为任意角，（）中，的位置关系是否仍成立？请说明理由，由此你发现了什么规律？（数学思想链接：从特殊到一般） 【答案】(1)，理由见解析 (2)成立，邻补角的两条角平分线互相垂直 【分析】（1）根据，求出∠AOC的度数，根据角平分线得到∠EOC与∠COF的度数，即可得到答案； （2）根据∠BOC求出∠AOC的度数，根据角平分线得到∠EOC与∠COF的度数，即可得到答案． 【详解】（1）解：．理由如下： 因为， 所以． 因为平分，平分， 所以，， 所以， 所以． （2）解：成立．理由： 因为， 所以． 因为平分，平分， 所以，， 所以， 所以． 规律：邻补角的两条角平分线互相垂直． 【点睛】此题考查了几何图形中角度的和差计算，角平分线的计算，正确理解图形中各角的位置关系进行和差计算是解题的关键，还考查了由特殊到一般的解题思想． 2．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）观察以下图形，寻找对顶角及邻补角．    (1)图（1）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (2)图（2）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (3)图（3）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为∶若n条直线相交于一点，则可形成　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 【答案】(1)2，4 (2)6，12 (3)12，24 (4) (5)可形成9900对对顶角；19800对邻补角 【分析】本题考查有规律性的数学问题，关键是由特殊情况总结出一般规律．由特殊情况总结出一般规律，应用规律即可求解． （1）根据图形直接得出答案即可； （2）根据图形直接得出答案即可； （3）根据图形直接得出答案即可； （4）由特殊情况总结出一般规律； （5）再由（4）得出的规律进行解答即可． 【详解】（1）图①中共有2对对顶角，4对邻补角， 故答案为：2，4； （2）图②中共有6对对顶角，12对邻补角， 故答案为：6，12； （3）图③中共有12对对顶角，24对邻补角， 故答案为：12，24； （4）根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为：若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角．对邻补角， 故答案为：，； （5）若100条直线相交于一点，则可形成9900对对顶角，19800对邻补角， 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）观察下面表格，并阅读相关文字： 示意图                     … 相交情况 1条直线与2条直线相交 1条直线与3条直线相交 1条直线与4条直线相交 … 同位角对数 （）对 （）对 （）对 … 内错角对数 （）对 （）对 （）对 … 同旁内角对数 （）对 （）对 （）对 … 则由上述规律可知： (1)1条直线与6条直线相交产生 ___________对同位角，___________对内错角； (2)1条直线与n条直线相交产生 ___________对同位角，___________对内错角； (3)利用（2）中的结论，解决下列问题：三条直线两两相交（不交于同一点），可构成同位角的对数是（　　） A．12对     B．8对      C．6对       D．4对 【答案】(1)； (2) (3)A． 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角问题中的规律问题，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）根据表格数据即可求解； （2）根据表格数据即可确定一般规律； （3）当条直线两两相交时，产生对同位角，据此即可求解． 【详解】（1）解：从表中的规律可知1条直线与6条直线产生： 对同位角，对内错角； 故答案为：； （2）解： 1条直线与n条直线相交产生： 对同位角，对内错角； 故答案为： （3）解：根据第（2）问的结论可知， 当条直线两两相交时，产生对同位角， 故当时，即：，产生对同位角． 故选：A． A基础训练 1．（24-25七年级上·全国·期末）下列说法中正确的是（    ） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．相等的角是对顶角 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在平面中过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的定义及公理，对顶角相等以及和垂直的概念，解题的关键在于熟练掌握相关定义．利用平行线的定义及公理，对顶角的概念和垂直的概念逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：A 、在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，故选项说法错误，不符合题意； B、对顶角相等，但是相等的不一定是对顶角，故选项说法错误，不符合题意； C、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 故选项说法错误，不符合题意； D、在平面中过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项说法正确，符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级下·上海·期中）如图，下列判断中正确的个数是（　　） （1）∠A与∠1是同位角；（2）∠A和∠B是同旁内角；（3）∠4和∠1是内错角；（4）∠3和∠1是同位角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线． 【详解】解：（1）∠A与∠1是同位角，正确，符合题意； （2）∠A与∠B是同旁内角．正确，符合题意； （3）∠4与∠1是内错角，正确，符合题意； （4）∠1与∠3不是同位角，错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，应当沿着角的边将图形补全，或者把多余的线暂时略去，找到三线八角的基本图形，进而确定这两个角的位置关系． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂线段，解题的关键是掌握垂线的性质，以及点到直线的距离，是垂线段的长度． 根据垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段；垂线段的性质：垂线段最短；垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可得答案． 【详解】解：①过点有且只有一条直线垂直于直线，该说法正确，符合题意； ②线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法错误，不符合题意； ③线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法正确，符合题意； ④线段的长是点到直线的距离，该说法正确，符合题意； 正确的说法为①③④，有个， 故选：C． 4．（24-25七年级上·云南玉溪·期末）如图，过直线上一点作直线，已知，（   ）                         A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了邻补角的定义，对顶角相等，根据邻补角的定义求得，根据对顶角相等得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故选：C． 5．（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期末）下列说法错误的是（    ） A．如图（1），建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释是：两点确定一条直线． B．如图（2），将甲，乙两把尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校定是直的，那么乙尺不是直的，判断依据是：经过两点有且只有一条直线． C．如图（3），要测量两堵围墙形成的的度数，但人不能进入围墙，可先延长得到，然后测量的度数，再计算出的度数，其中依据的原理是：等角的余角相等． D．如图（4），从小明家到学校原有三条路线：路线①；路线②；路线③，后又开通了一条直道，路线④，这四条路线中路线④路程最短，其中依据的原理是：两点之间线段最短． 【答案】C 【分析】根据对两点确定一条直线、经过两点有且只有一条直线、互余、邻补角、两点之间线段最短即可判断． 【详解】解：A、应用了知识“两点确定一条直线”，故正确，不符合题意； B、应用了知识“经过两点有且只有一条直线”，故正确，不符合题意； C、应用了知识邻补角，而不是等角的余角相等，故错误，符合题意； D、应用了知识“两点之间线段最短”，故正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了两点确定一条直线、经过两点有且只有一条直线、互余、邻补角、两点之间线段最短等知识，解题的关键是读懂实际情境，结合数学知识进行理解． B 提高训练 6．（24-25七年级下·山东济宁·期中）已知直线，相交于点O，平分，射线于点O，且，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义．当点F和点C在同侧时，根据垂直定义得，结合，得，根据角平分线定义，得；当点F和点C在异侧时，可得，得，得． 【详解】解：当点F和点C在同侧时， ∵于点O， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； 当点F和点C在异侧时， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或； 故答案为：或． 7．（24-25七年级下·河南郑州·月考）如图，直线相交于点O，若，则的度数为 ． 【答案】/112度 【分析】本题考查对顶角及邻补角的定义及性质，结合已知条件求得∠AOC的度数是解题的关键．结合已知条件易求得∠AOC的度数，然后根据邻补角的定义即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·辽宁鞍山·月考）如图，标有角号的7个角中共有 对内错角， 对同位角， 对同旁内角． 【答案】 4， 2， 4. 【分析】根据内错角，同位角及同旁内角的定义即可求得此题． 【详解】解：如图，共有4对内错角：分别是∠1和∠4，∠2和∠5，∠6和∠1，∠5和∠7； 2对同位角：分别是∠7和∠1，∠5和∠6； 4对同旁内角：分别是∠1和∠5、∠3和∠4、∠3和∠2、∠4和∠2． 故答案为(1). 4，    (2). 2，    (3). 4. 【点睛】本题考查内错角，同位角，同旁内角的定义，解题关键是熟练掌握定义． 9．（24-25七年级·江苏·假期作业）如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是 ． 【答案】4.8 【分析】根据垂线段最短可知：当MP⊥AB时，MP有最小值，利用三角形的面积可列式计算求解MP的最小值． 【详解】解：当MP⊥AB时，MP有最小值， ∵AB＝10，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°， ∴AB•MP＝AM•BM， 即10MP＝6×8， 解得MP＝4.8． 故答案为：4.8． 【点睛】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到MP最小时的P点位置是解题的关键． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知直线相交于点，点在内部，作射线． （1）如图①，，则 ； ； （2）如图②，，则 ； （3）如图③，平分，则 ，点到直线的距离为 ． 【答案】 100 50 60 30 2 【分析】本题考查了角度的和差计算，角平分线，对顶角相等，图形结合分析是解题的关键． （1）根据补角的概念可得，图形结合分析即可求解； （2）根据垂直的性质可得，由此即可求解； （3）根据对顶角相等可得，根据角平分线的性质可得，再根据角平分线的性质定理即可求出点到直线的距离即为线段的长，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴当时，， ∵， ∴， 故答案为：①，②； （2）∵， ∴， ∴， 故答案为：③； （3）∵，平分， ∴， ∵，， ∴点到直线的距离等于的长，即为， 故答案为：④，⑤． C 培优训练 11．（24-25七年级上·安徽池州·期末）如图，直线经过点O，平分，平分，若，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了邻补角，角平分线的定义，角度的和差计算，根据题意找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据邻补角得到，根据角平分线得到即可； （2）根据角平分线得到，，利用平角定义即可得到即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵平分， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 12．（25-26七年级上·吉林长春·月考）如图所示，直线相交于点O，． (1)若，则的余角有 ． (2)若，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了垂直的定义、对顶角的性质、余角的定义、几何图形中的角度计算等知识点，掌握垂直的定义以及角的和差是解题的关键． （1）由垂线的性质求得，然后根据等量代换及余角的定义即可解答； （2）根据垂直的定义求得，再由求得，然后根据邻补角定义和对顶角的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ，即， ∵， ∴的余角有：，． 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴，解得：， ∴， ∴． 13．（24-25七年级下·安徽六安·月考）如图，在直角三角形中，，，．请解答下列问题：    (1)点B到的距离是 ，点A到的距离是 ； (2)请在图中作出点C到的垂线段； (3) （填“”、“”、“”），理由是 ． 【答案】(1)8，6 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据点到直线的距离的定义求解； （2）过点作的垂线，垂足为； （3）根据垂线段最短进行判断． 【详解】（1）解：点B到的距离是，点A到的距离是； 故答案为：8，6； （2）如图，为所作；    （3），理由是垂线段最短． 故答案为：；垂线段最短． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握点到直线距离的概念是解答本题的关键．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线被直线所截，交点分别为，那么图中的同位角、内错角、同旁内角各有多少对？请分别写出两对，填入下表． 名称 对数 举例 同位角 内错角 同旁内角 【答案】同位角4对，内错角2对，同旁内角2对； 名称 对数 举例 同位角 4 与 与 与 与 （4对选2对即可） 内错角 2 与 与 同旁内角 2 与 与 【分析】本题主要考查根据同位角、内错角、同旁内角的定义，找出直线、被直线所截形成的相应角的对数并举例即可． 【详解】确定同位角的对数并举例：同位角位于截线同侧，被截直线同一侧的角，故为与、与、与、与共4对； 确定内错角的对数并举例：同位角位于截线两旁，被截两条直线之间的角，故为与、与共2对； 确定同旁内角的对数并举例：同旁内角位于截线同旁，被截两条直线之间的角，故为与、与共2对； 15．（24-25七年级上·河北廊坊·期末）如图1，为直线上一点，过点在直线的下方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方． (1)将图1中的三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转（始终保持在直线的上方），在旋转的过程中，第秒时，恰好与在同一直线上，请直接写出的值． (2)将图1中的三角板绕点顺时针旋转到图2所示的位置，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数． (3)将图1中的三角板绕点顺时针旋转到图3的位置，使在的内部，请探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角的运算，角平分线的有关计算，利用邻补角互补求角度等知识点，认真审题并仔细观察图形，找到各个角之间的和差关系是解题的关键． （1）根据邻补角互补求出，再利用角的和差关系求得，然后求出时间即可； （2）根据角平分线的定义求出，再利用角的和差关系求得，然后利用邻补角互补即可求出的度数； （3）用和分别表示出，然后列出关系式，整理后即可得解． 【详解】（1）解：如图， ∵，（即）恰好与在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故与之间的数量关系为：． 学科网（北京）股份有限公司 $