7.2平行线（讲义）（核心知识点梳理+常考题型精讲+巩固测试）-2025-2026学年人教版数学七年级下学期.

7.2平行线（讲义）人教版数学七年级下学期 ★ 预习目标●难点 ◆ 预习目标 （1）理解平行线的定义，知道同一平面内两条直线的位置关系； （2）掌握平行公理及推论，会用符号表示平行； （3）认识同位角、内错角、同旁内角，能在图形中准确辨认； （4）熟记平行线的判定与性质，会进行简单的角度计算。 ◆ 预习难点 （1）区分判定与性质，不混淆、不颠倒； （2）在复杂图形中找同位角、内错角、同旁内角； （3）综合对顶角、邻补角、平行线进行几何推理与计算. 💦 核心知识●梳理 【知识点1】平行线的定义 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作ab． ★【重点提示】 （1）平行线的定义的三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； （2）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 【知识点2】平行公理及推论 1.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【知识点3】直线平行的判定（重点掌握） 方法1：同位角相等，两直线平行．如上图： ∵ ∠3＝∠2 ∴ ABCD（同位角相等，两直线平行） 方法2：内错角相等，两直线平行．如上图： ∵ ∠1＝∠2 ∴ ABCD（内错角相等，两直线平行） 方法3：同旁内角互补，两直线平行．如上图： ∵ ∠4＋∠2＝180° ∴ ABCD（同旁内角互补，两直线平行） ★【重点提示】平行线的判定是由角相等或互补，得出平行。 【知识点4】平行线的性质 1：两直线平行，同位角相等； 2：两直线平行，内错角相等； 3：两直线平行，同旁内角互补． 【知识点5】两条平行线的距离 同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离． ★【重点提示】 （1）求两条平行线间距离：在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离； （2）两条平行线的距离是定值，不随垂线段位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等． ☘ 高频考点●精讲精练 题型1平面内两直线的位置关系 例1．在同一平面内，不重合的两直线的位置关系必是（    ） A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．无法确定 变式1．在同一平面内，两直线与相交点，如果，那么与的位置关系是相交，这是因为________． 变式2．如图，已知方格纸上有两条线段，根据下列要求完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)连接，取中点，过点作的平行线与交于点． 题型2立体图形中平行的棱 例2．正方体中，相互平行的棱的长度关系是（    ） A．都相等 B．部分相等 C．不相等 D．无法确定 变式1．在正方体的12条棱中，每一条棱都有且仅有_________条棱与它平行．在正方体中，与同一个顶点相连的三条棱互相_________． 变式2．（1）补全下面的图形，使之成为长方体的直观图，并标出顶点的字母； （2）图中与棱平行的棱有　 　； （3）图中棱和面的位置关系是 　 ． 题型3用直尺、三角板画平行线 例3．已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．用适当的方法验证下列各图中的直线，的位置关系，其中的有__________．（请填写序号） 变式2．如图，点在 的边上．按下列要求画出相应的图形． ①过点画直线 ②过点分别画 垂足分别为点、， 交于点； 题型4平行公理的应用 例4．已知，是平面内任一点，过点画一条直线与平行，则这样的直线（    ） A．有且仅有一条 B．有两条 C．不存在 D．有一条或不存在 变式1．如图，，，则点，，_________（填“在”或“不在”）同一条直线上．理由：__________________． 变式2．在同一平面内，直线l的同侧有A，B，C三点，如果，，那么A，B，C三点是否在同一条直线上？画图并说明理由． 题型5平行公理推论的应用 例5．在同一平面内有2025条互不重合的直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 变式1．如图，若，， 则与的位置关系是______ 变式2．如图，在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，此图．是书写的字母“”． (1)请从正面，上面，右面三个不同方向上各找出一组平行线段，并用字母表示出来； (2)与有何位置关系？与有何位置关系？为什么？ (3)图中所在的直线与所在的直线有公共点吗？若没有公共点，能否说明这两条直线平行？你还能找出一组具有类似位置关系的直线吗？由此可知在叙述平行线的概念时，应注意什么？ 题型6同位角相等两直线平行 例6．我们曾利用手中的直尺和三角板，过直线外一点画出与已知直线平行的直线，你可能还见过木工师傅用角尺画出平行线的方法；两者的原理一样，依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等 ，两直线平行 变式1．如图，补全下面的说理过程： （1）因为，所以________（________）． （2）因为，所以________（________）． 变式2．如图，已知平分，且，，判断和是否平行，并说明理由． 题型7内错角相等两直线平行 例7．如图所示，要得到，则需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，，，，则的度数为_____________时，． 变式2．如图，已知直线与直线，分别相交于点E，F，于点F，若，，直线与平行吗？请说明理由． 题型8同旁内角互补两直线平行 例8．若，则下列图形一定能得到的是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，点，，分别在，，上，若，则________________；若，则________________． 变式2．如图，直线分别交直线，于点M，N．已知，．求证：． 题型9在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 例9．已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 变式1．如图，分别将一副三角板的一条直角边与直尺边重合，则另两条直角边和满足．理由是_____________________． 变式2．在如图所示的方格纸中不用量角器，用三角尺或直尺． (1)经过点P画的垂线； (2)过点A，画的垂线： (3)过点C，画的平行线： (4)请直接写出，的位置关系． 题型10两直线平行同位角相等 例10．如图，，射线交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，直线被所截，且，平分，若，则______°． 变式2．如图，在中，．证明： (1) (2)． 题型11两直线平行内错角相等 例11．如图，直线，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 变式1．如图，点C在点A北偏东方向，点C在点B北偏西方向，则的度数为______． 变式2．如图，与直线交于点O，，平分． (1)射线是的平分线吗？请说明理由； (2)，，求的大小． 题型12两直线平行同旁内角互补 例12．如图是杠杆受力示意图，重力与拉力的方向均竖直向下（两力所在直线互相平行）．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 变式1．如图，，直线分别与，交于点，．若，则的度数是________． 变式2．如图，直线，，求的度数．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（已知）， 又（_______）， ____（_______）． （_______）， （_______）， _____（等式的性质）． 题型13根据平行线的性质探究角的关系 例13．如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 变式1．如图，，，那么相等吗？为什么？ 解法1：．理由如下： 因为（已知）， 所以（①_________）． 同理②_________ 所以．（③_________）． (1)请你将解法1中的证明过程补充完整． (2)请你用另一种方法完成此题． 变式2．填空：如图，已知，则可推得：，理由如下： ∵（已知）， ∴_____．（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知）， ∴，（ _________________ ） ∴．（ _________ ） 题型14根据平行线的性质求角的度数 例14．如图，，点E是上一点，平分，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图， ，则 _______________． 变式2．如图，已知五边形中，，求的度数． 题型15平行线的性质在生活中的应用 例15．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（   ） A．第一次向右拐，第二次向左拐 B．第一次向右拐，第二次向右拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 变式1．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为______． 变式2．如图、一艘轮船由B处向C处航行，C处在B处的北偏东方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西方向上，若轮船行驶到C处时测得，求从C处看A、B两处的视角的度数．    题型16根据平行线判定与性质求角度 例16．如图，直线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式1．两块含角的三角板如图所示叠放，现固定三角板不动，将三角板绕顶点顺时针转动，使两块三角板至少有一组边互相平行，则所有可能的度数为______． 变式2．如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型17根据平行线判定与性质证明 例17．四边形如图所示，是延长线上的一点，下列推理正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 变式1．如图，给出下列条件：①；②；③，且；④，其中能推出的条件有______．（填写序号） 变式2．如图，，． (1)求证：； (2)求证：． ✍ 强化巩固●过关练习 一、单选题 1．在同一平面内，两条不同的直线的位置关系是（     ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．平行或重合 2．下列说法中可能错误的是（　　） A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两条直线相交，有且只有一个交点 D．若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直 3．在正方体中，与棱平行的棱有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 4．如图，直线，被直线所截，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 5．下列图形中，由，能得到的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，直线，直线l与、分别交于点E、F，的角平分线交于点G，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，下列结论中，不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 8．如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时，___________（填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是__________________． 9．如图所示，直线，被直线，所截，下列条件能判定的是________．（填序号） ①；②；③；④． 10．2023年5月底，由中国商飞公司制造的圆满完成商业首飞，对中国涉足国际航空领域大国政治具有象征意义．如图是机翼设计图，已知，∠BCD=153°，与水平线的夹角为，则等于______________． 11．如图，平分交于点，点为线段延长线上一点，，则下列结论正确的有______． ①；②；③；④    三、解答题 12．如图，按要求作图并解答问题． (1)过上一点D作的平行线，交于点； (2)过点C作； (3)直线的位置关系是什么？请说明理由． 13．如图，一条直线分别与直线、直线、直线、直线相交于点．求证： (1)； (2)． 14．如图，，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，试判断与的位置关系，并说明理由． 15．完成下面的证明过程，并在括号里填写推理的依据． 如图，点、分别在线段、上，点在线段的延长线上．，，，，求证：． 证明：，（已知） ______（等量代换） ______（______） ，（已知） （______） ______（______） （已证） （______） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2平行线（讲义）人教版数学七年级下学期 ★ 预习目标●难点 ◆ 预习目标 （1）理解平行线的定义，知道同一平面内两条直线的位置关系； （2）掌握平行公理及推论，会用符号表示平行； （3）认识同位角、内错角、同旁内角，能在图形中准确辨认； （4）熟记平行线的判定与性质，会进行简单的角度计算。 ◆ 预习难点 （1）区分判定与性质，不混淆、不颠倒； （2）在复杂图形中找同位角、内错角、同旁内角； （3）综合对顶角、邻补角、平行线进行几何推理与计算. 💦 核心知识●梳理 【知识点1】平行线的定义 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作ab． ★【重点提示】 （1）平行线的定义的三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； （2）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 【知识点2】平行公理及推论 1.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【知识点3】直线平行的判定（重点掌握） 方法1：同位角相等，两直线平行．如上图： ∵ ∠3＝∠2 ∴ ABCD（同位角相等，两直线平行） 方法2：内错角相等，两直线平行．如上图： ∵ ∠1＝∠2 ∴ ABCD（内错角相等，两直线平行） 方法3：同旁内角互补，两直线平行．如上图： ∵ ∠4＋∠2＝180° ∴ ABCD（同旁内角互补，两直线平行） ★【重点提示】平行线的判定是由角相等或互补，得出平行。 【知识点4】平行线的性质 1：两直线平行，同位角相等； 2：两直线平行，内错角相等； 3：两直线平行，同旁内角互补． 【知识点5】两条平行线的距离 同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离． ★【重点提示】 （1）求两条平行线间距离：在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离； （2）两条平行线的距离是定值，不随垂线段位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等． ☘ 高频考点●精讲精练 题型1平面内两直线的位置关系 例1．在同一平面内，不重合的两直线的位置关系必是（    ） A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查同一平面内两条直线的位置关系的基本概念． 【详解】解：∵在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交和平行两种． ∴两直线的位置关系必是相交或平行， 故选：C． 变式1．在同一平面内，两直线与相交点，如果，那么与的位置关系是相交，这是因为________． 【答案】在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必相交． 【分析】本题考查平面内两直线的位置关系，注意数形结合思想的运用．根据在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必相交即可得到答案． 【详解】在同一平面内，两直线与相交点，如果，那么与的位置关系是相交，这是因为在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必相交． 故答案为：在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必相交． 变式2．如图，已知方格纸上有两条线段，根据下列要求完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)连接，取中点，过点作的平行线与交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作平行线，掌握平行线的特征是解题的关键， （1）根据所有横线都是平行的作图即可； （2）根据网格特点得到中点，根据所有横线都是平行的作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：所求图形如图所示． 题型2立体图形中平行的棱 例2．正方体中，相互平行的棱的长度关系是（    ） A．都相等 B．部分相等 C．不相等 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查立体图形中棱的平行关系，正方体的性质．正方体所有棱长相等，相互平行的棱作为其中一部分，长度也相等． 【详解】解：∵正方体所有棱长相等， ∴相互平行的棱长度都相等． 故选：A． 变式1．在正方体的12条棱中，每一条棱都有且仅有_________条棱与它平行．在正方体中，与同一个顶点相连的三条棱互相_________． 【答案】 3 垂直 【分析】本题考查了正方体的结构特征，熟练掌握基本特征是解题的关键 根据正方体的结构特征，其12条棱分为3组互相平行的棱，每组4条；每个顶点处的三条棱两两垂直。 【详解】正方体的12条棱可分为3组，每组4条棱互相平行，因此每条棱有且仅有3条棱与它平行；与同一个顶点相连的三条棱互相垂直． 故答案为：3，垂直； 变式2．（1）补全下面的图形，使之成为长方体的直观图，并标出顶点的字母； （2）图中与棱平行的棱有　 　； （3）图中棱和面的位置关系是 　 ． 【答案】（1）见解析；（2）、、；（3）平行 【分析】（1）根据长方体的立体结构画出即可． （2）根据平行线的定义，找出符合条件的线即可． （3）因为线与面没有交点，所以平行． 【详解】解：（1）如图即为补全的图形； （2）图中与棱AB平行的棱有CD、EF、GH； 故答案为：CD、EF、GH； （3）图中棱CG和面ABFE的位置关系是：平行． 故答案为：平行． 【点睛】本题考查了平行线的判断，理解平行线的定义是解题关键． 题型3用直尺、三角板画平行线 例3．已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点的定义，平行线的定义判断即可． 【详解】解：过AC的中点D作AB的平行线， 正确的图形是选项B， 故选：B． 【点睛】本题考查作图——复杂作图，平行线的定义，中点的定义等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 变式1．用适当的方法验证下列各图中的直线，的位置关系，其中的有__________．（请填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定平行线，掌握判断步骤是解题的关键．将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③ 故答案为：①②③． 变式2．如图，点在 的边上．按下列要求画出相应的图形． ①过点画直线 ②过点分别画 垂足分别为点、， 交于点； 【答案】见解析 【分析】本题考查了画平行线，画垂线，根据要求画出图形即可． 【详解】解：如图所示 题型4平行公理的应用 例4．已知，是平面内任一点，过点画一条直线与平行，则这样的直线（    ） A．有且仅有一条 B．有两条 C．不存在 D．有一条或不存在 【答案】D 【分析】本题考查平行公理，关键考虑点与直线的位置关系． 分点在直线上和不在直线上两种情况，根据平行公理判断． 【详解】解：分两种情况讨论： ①∵ 如果点不在直线上，则过点有且只有一条直线与平行（平行公理）； ②∵ 如果点在直线上，则过点不能画出与平行的直线（因为过点的直线要么与相交，要么是本身，而本身不视为平行）． ∴ 这样的直线有一条或不存在． 故选：D． 变式1．如图，，，则点，，_________（填“在”或“不在”）同一条直线上．理由：__________________． 【答案】 在 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，由此即可判断． 【详解】解：∵点是直线外一点，，，且经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴点在一条直线上． 故答案为：在，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 变式2．在同一平面内，直线l的同侧有A，B，C三点，如果，，那么A，B，C三点是否在同一条直线上？画图并说明理由． 【答案】在同一条直线上，见解析，理由：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】此题考查了过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行求解即可． 【详解】解：A，B，C三点在同一条直线上，如图所示． 理由：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 题型5平行公理推论的应用 例5．在同一平面内有2025条互不重合的直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质． 根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 变式1．如图，若，， 则与的位置关系是______ 【答案】平行 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，根据平行于同一直线的两直线平行即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：平行． 变式2．如图，在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，此图．是书写的字母“”． (1)请从正面，上面，右面三个不同方向上各找出一组平行线段，并用字母表示出来； (2)与有何位置关系？与有何位置关系？为什么？ (3)图中所在的直线与所在的直线有公共点吗？若没有公共点，能否说明这两条直线平行？你还能找出一组具有类似位置关系的直线吗？由此可知在叙述平行线的概念时，应注意什么？ 【答案】(1)正面（答案不唯一） 上面（答案不唯一） 右面（答案不唯一） (2)    ，理由见解析； (3)见解析． 【分析】本题主要考查同一平面内两直线平行．能从复杂的图形中找出同向线段，就要求同学们练就一双慧眼，这与平时的努力是密不可分的，熟练掌握平行线的定义是解题的关键． （）正面、、、是平行的，、平行，、平行；上面相互平行，平行；右侧平行，平行；据此分别找出一组平行线即可； （）与都与平行，所以平行；′与′平行，′与垂直，因为它们不在同一平面内，所以是异面垂直． （）根据平行线的定义作答即可． 【详解】（1）解：正面、、、是平行的，、平行； ∴正面：（答案不唯一）， 上面：上面相互平行，平行； ∴； 右侧：平行，平行 ∴； 故答案为：正面：；上面：；右侧：；（答案不唯一） （2）解：∵，，，， ∴，（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； （3） 解：图中所在的直线与所在的直线没有公共点，不能说明这两条直线平行，比如直线与直线也具有类似位置关系，这样的两条直线不在同一个平面内，由此可知在叙述平行线的概念时，应注意叙述平行线的概念时应注意“在同一平面内”这一限制条件，即在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线． 题型6同位角相等两直线平行 例6．我们曾利用手中的直尺和三角板，过直线外一点画出与已知直线平行的直线，你可能还见过木工师傅用角尺画出平行线的方法；两者的原理一样，依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等 ，两直线平行 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题关键． 根据同位角相等，两直线平行即可得． 【详解】解：如图， 由作法知，，， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故选B． 变式1．如图，补全下面的说理过程： （1）因为，所以________（________）． （2）因为，所以________（________）． 【答案】 同位角相等，两直线平行 同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． （1）（2）根据“同位角相等，两直线平行”求解即可． 【详解】解：（1）因为，所以（同位角相等，两直线平行）． （2）因为，所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：①，②，③同位角相等，两直线平行，④，⑤，⑥同位角相等，两直线平行． 变式2．如图，已知平分，且，，判断和是否平行，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 求出，根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：， 理由：平分，， ， ， ， ． 题型7内错角相等两直线平行 例7．如图所示，要得到，则需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定，内错角相等两直线平行，明确内错角的定义是解题的关键． 根据内错角相等两直线平行，确定是的内错角即可． 【详解】由图可知，是的内错角， 若，则． 故答案为：C． 变式1．如图，，，，则的度数为_____________时，． 【答案】 【分析】设中间的一条直线为直线，当时，，首先证明，再证明，进而得到． 【详解】解：如图， 当时，. 理由如下：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60°． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 变式2．如图，已知直线与直线，分别相交于点E，F，于点F，若，，直线与平行吗？请说明理由． 【答案】直线与平行，理由见详解 【分析】此题考查了垂直的定义，平行线的判定，平角的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 由垂直的定义得到，由平角的定义求出，由对顶角的性质得到，因此，推出． 【详解】解：直线与平行，理由如下： ∵于点F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型8同旁内角互补两直线平行 例8．若，则下列图形一定能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、不能推出，不符合题意； B、不能推出，不符合题意； C、∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），符合题意； D、不能推出，不符合题意； 故选：C． 变式1．如图，点，，分别在，，上，若，则________________；若，则________________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握识别同旁内角并利用其互补关系判定平行的方法是解题的关键． 利用同旁内角互补，两直线平行的判定定理，通过已知的角度和为，确定哪两条直线被哪条截线所截，从而判定平行关系． 【详解】解：若：与是直线被直线所截的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行，可得：． 若：与是直线被直线所截的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行，可得：． 故答案为：、、、． 变式2．如图，直线分别交直线，于点M，N．已知，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了对顶角相等，同旁内角互补两直线平行等知识点，解题关键是掌握上述知识． 先利用对顶角相等证明，再证明，从而可根据平行线的判定得出． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， ∴． 题型9在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 例9．已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质及垂直的性质，逐项进行分析，用排除法即可找到答案．熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】解：A、若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意； B、若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意； C、若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意； D、若，，则，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 变式1．如图，分别将一副三角板的一条直角边与直尺边重合，则另两条直角边和满足．理由是_____________________． 【答案】同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定；两直线垂直于同一直线，可根据同位角相等两直线平行或同旁内角互补两直线平行，进行判断． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 变式2．在如图所示的方格纸中不用量角器，用三角尺或直尺． (1)经过点P画的垂线； (2)过点A，画的垂线： (3)过点C，画的平行线： (4)请直接写出，的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查画平行线和垂线，平行线的判定，熟练掌握方格纸的特点，是解题的关键． （1）根据格点特点，取格点Q，连接,则，根据三角形内角和定理可知； （2）根据格点特点，取格点，连接，则，根据三角形内角和可知； （3）将点B向右平移12个小格向下平移2格到点C，把点A向右平移12个小格，向下平移2格到袋内N，连接，根据平移可得； （4）根据垂直于同一条直线的两直线平行，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求； （4）解：∵，， ∴． 题型10两直线平行同位角相等 例10．如图，，射线交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了邻补角和平行线的性质， 根据邻补角互补求出，再根据两直线平行，同位角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 变式1．如图，直线被所截，且，平分，若，则______°． 【答案】58 【分析】本题主要考查了平行线的性质及角平分线的定义，根据平行线的性质及角平分线的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴． 故答案为：58． 变式2．如图，在中，．证明： (1) (2)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质． （1）根据平行线的性质得出，等量代换可得出，进而可得出． （2）由得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴． 题型11两直线平行内错角相等 例11．如图，直线，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过的顶点作直线平行于直线，借助平行线的传递性得到平行于，再利用平行线的性质得到相等的角，将转化为与的和，进而通过角的差求出的度数． 【详解】解：如图，过的顶点作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 变式1．如图，点C在点A北偏东方向，点C在点B北偏西方向，则的度数为______． 【答案】/81度 【分析】过点作，可得，根据两直线平行内错角相等可得，，再根据角的和差即可求解． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 变式2．如图，与直线交于点O，，平分． (1)射线是的平分线吗？请说明理由； (2)，，求的大小． 【答案】(1)是的平分线，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了垂线的性质、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据垂直得，进而得到及，根据角平分线的性质得，进而得到，即可得出结论； （2）设，则、，根据，列方程，求出的值，再根据平行线的性质得到，据此解答即可． 【详解】（1）解：是的平分线，理由如下： 、 平分 是的平分线； （2）解： 设，则、 ． 题型12两直线平行同旁内角互补 例12．如图是杠杆受力示意图，重力与拉力的方向均竖直向下（两力所在直线互相平行）．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，由“两直线平行，同旁内角互补”可得，代入求出即可． 【详解】解：∵两力所在直线互相平行， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：A． 变式1．如图，，直线分别与，交于点，．若，则的度数是________． 【答案】/度 【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补． 直接根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 变式2．如图，直线，，求的度数．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（已知）， 又（_______）， ____（_______）． （_______）， （_______）， _____（等式的性质）． 【答案】对顶角相等；130；等量代换；已知；两直线平行，同旁内角互补；50 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等． 根据平行线的性质，对顶角相等补全解答过程即可． 【详解】解：（已知）， 又（对顶角相等）， （等量代换）． （已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式的性质）． 故答案为：对顶角相等；130；等量代换；已知；两直线平行，同旁内角互补；50． 题型13根据平行线的性质探究角的关系 例13．如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质得出，进而利用角的关系解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：B． 变式1．如图，，，那么相等吗？为什么？ 解法1：．理由如下： 因为（已知）， 所以（①_________）． 同理②_________ 所以．（③_________）． (1)请你将解法1中的证明过程补充完整． (2)请你用另一种方法完成此题． 【答案】(1)①两直线平行，同旁内角互补；②；③同角的补角相等 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键： （1）根据平行线的性质和等量代换，进行作答即可； （2）连接，根据平行线的性质，得到，，进而推出即可． 【详解】（1）解：解法1：．理由如下： 因为（已知）， 所以（①两直线平行，同旁内角互补） 同理② 所以．（③同角的补角相等） （2）解：解法2：．理由如下： 连接． 因为， 所以． 同理． 所以． 即． 变式2．填空：如图，已知，则可推得：，理由如下： ∵（已知）， ∴_____．（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知）， ∴，（ _________________ ） ∴．（ _________ ） 【答案】 C 两直线平行，同旁内角互补 同角的补角相等 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴．（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知）， ∴，（两直线平行，同旁内角互补） ∴．（ 同角的补角相等 ） 故答案为：C，两直线平行，同旁内角互补， 同角的补角相等． 题型14根据平行线的性质求角的度数 例14．如图，，点E是上一点，平分，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的性质，设，先根据角平分线求得，，进而求得，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：设， ∵平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B 变式1．如图， ，则 _______________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，根据平行线的性质可得，，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 变式2．如图，已知五边形中，，求的度数． 【答案】 【分析】根据平行线的性质进行求解． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的度数为． 【点睛】该题为“铅笔头”模型，添加平行线是解答的关键． 题型15平行线的性质在生活中的应用 例15．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（   ） A．第一次向右拐，第二次向左拐 B．第一次向右拐，第二次向右拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．首先根据题意作出图形，利用平行线的性质求出答案，注意排除法在选择题中的应用． 【详解】解：当第一次向右拐时 （如图1）， 两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同， ， ∴第二次需要向左拐，故A、B错误； 当第一次向左拐时 （如图2）， 两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同， ， 第二次需要向右拐，故C错误；D正确． 故选：D． 变式1．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点C作，先由垂线的定义得到，再证明，由平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 变式2．如图、一艘轮船由B处向C处航行，C处在B处的北偏东方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西方向上，若轮船行驶到C处时测得，求从C处看A、B两处的视角的度数．    【答案】 【分析】根据方位角的概念，画出图形，再根据已知转向的角度结合三角形的内角和求解． 【详解】解：如图，在处测得处在的北偏东方向上， 则， 在海岛上的观察所测得在的南偏西方向上， 则， ∴，又， ∴， ， ．    【点睛】本题主要考查方向角的概念，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，再结合三角形的内角和求解． 题型16根据平行线判定与性质求角度 例16．如图，直线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、几何图形中的角度计算等知识点，正确作出辅助线、构造平行线是解题的关键． 如图：过点A作，过点B作，由平行线的性质可得；再说明可得，最后根据角的和差以及等量代换即可解答． 【详解】解：如图：过点A作，过点B作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选B． 变式1．两块含角的三角板如图所示叠放，现固定三角板不动，将三角板绕顶点顺时针转动，使两块三角板至少有一组边互相平行，则所有可能的度数为______． 【答案】或或或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．分四种情况：①，②，③，④，根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：由题意可知，，，． ①如图1，当点在上时， ∵， ∴， ∴，符合题意， ∴此时； ②如图2，当时， ∴， ∴； ③如图3，当时， ∴； ④如图4，当时， ∴∠BCD=180°－∠B=120°； 综上，所有可能的度数为或或或， 故答案为：或或或． 变式2．如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同角的补角相等，得到，即可得证； （2）证明，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型17根据平行线判定与性质证明 例17．四边形如图所示，是延长线上的一点，下列推理正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是判断相等或互补的两个角是哪两条直线被第三条直线所截形成的角． 【详解】解：A选项：和是直线和直线被直线所截形成的同位角，不能说明，故A选项错误； B选项：和是直线和直线被直线所截形成的内错角，不能说明，故B选项错误； C选项：和是直线和直线被直线所截形成的同旁内角，不能说明，故C选项错误； D选项：和是和直线被直线所截形成的同旁内角，可得，故D选项正确． 故选：D． 变式1．如图，给出下列条件：①；②；③，且；④，其中能推出的条件有______．（填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 根据平行线的性质和判定逐一判断即可． 【详解】解：①能推出，故①不符合题意； ②能推出，故②符合题意； ③由得出，结合可得，故能推出，故③符合题意； ④能推出，故④符合题意； 综上所述，能推出的条件有②③④． 故答案为：②③④． 变式2．如图，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质； （1）根据平角的定义可得，等量代换求出，然后根据平行线的判定定理得出结论； （2）先根据平行线的性质得出两组角相等，等量代换可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴． ✍强化巩固●过关练习 一、单选题 1．在同一平面内，两条不同的直线的位置关系是（     ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．平行或重合 【答案】C 【分析】本题考查同一平面内两条直线的位置关系，根据初中数学教材中的相关概念判断即可． 【详解】解：∵在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系为平行或相交，重合的直线视为同一条直线，不属于两条不同直线的位置关系． ∴两条直线的位置关系是平行或相交， 故选：C． 2．下列说法中可能错误的是（　　） A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两条直线相交，有且只有一个交点 D．若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直 【答案】B 【分析】此题考查了平行公理、垂线定义、相交线的性质，根据平行公理、垂线定义、相交线的性质判断即可． 【详解】解：A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，选项说法正确； B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项说法错误； C．两条直线相交，有且只有一个交点，选项说法正确； D．若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直，选项说法正确． 故选：B． 3．在正方体中，与棱平行的棱有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考查正方体的棱的平行关系，解题关键是明确正方体中棱的平行对应规律． 正方体中，棱属于一组平行棱，该组共有4条棱，除去自身，有3条棱与平行． 【详解】解：∵在正方体中，与平行的棱为、、． ∴与棱平行的棱有3条． 故选：C． 4．如图，直线，被直线所截，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握“同位角相等、内错角相等或者同旁内角互补，则两直线平行”是解题的关键． 根据平行线的判定定理逐项判定即可． 【详解】解：A、、是同位角，根据同位角相等，两直线平行，可以判定，故本选项不符合题意； B、、是内错角，根据内错角相等，两直线平行，可以判定，故本选项不符合题意； C、、是同位角，两个同位角的和为，无法判断两直线的关系，故本选项符合题意； D、、是同旁内角，同旁内角互补，两直线平行，可以判定，故本选项不符合题意； 故选：C． 5．下列图形中，由，能得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：选项A、∵，∴，故本选项不符合题意； 选项B、∵， ∴， ∵， ∴， 故本选项符合题意； 选项C、由，不能得到，故本选项不符合题意； 选项D、由，不能得到，故本选项不符合题意； 故选B． 6．如图，直线，直线l与、分别交于点E、F，的角平分线交于点G，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两直线平行同旁内角互补和角平分线的定义，先求得，再根据两直线平行内错角相等，可知，进而求得答案． 【详解】解： ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．如图，下列结论中，不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的综合判定，熟练掌握平行线判定方法是解题的关键； 根据平行线的判定定理逐项分析即可． 【详解】解：A、利用“内错角相等，两直线平行”即可判定原结论正确，不符合题意； B、当时，无法判定，原结论不一定正确，符合题意； C、利用“同位角相等，两直线平行”即可判定原结论正确，不符合题意； D、利用“两直线平行，同旁内角互补”即可判定原结论正确，不符合题意； 故选： B． 二、填空题 8．如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时，___________（填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是__________________． 【答案】 不能 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题主要考查了平行公理，关键是掌握并理解平行公理的内容．根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案． 【详解】解：不能， 与有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得不能同时与地面平行， 故答案为：不能，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 9．如图所示，直线，被直线，所截，下列条件能判定的是________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】③④ 【分析】此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行．据此逐个判断即可． 【详解】解：① ，则，故不能判定； ②，则，故不能判定； ③设的对顶角为， ， ， ∴∠3+∠6=180°， ∵和是同旁内角， ； ④∵， 和是同旁内角，   ． 故答案为：③④． 10．2023年5月底，由中国商飞公司制造的圆满完成商业首飞，对中国涉足国际航空领域大国政治具有象征意义．如图是机翼设计图，已知，∠BCD=153°，与水平线的夹角为，则等于______________． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质的实际应用，作，，则，根据平行线得到, ∠DCG=∠FDC=63°，最后根据∠CDE=∠FDC－∠FDE代入计算即可． 【详解】解：如图，作，，点在点右边，点在点右边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵∠BCD=153°， ∴∠DCG=∠BCD－∠BCG=153°－90°=63°， ∵， ∴∠DCG=∠FDC=63°， ∵与水平线的夹角为， ∴∠FDE=17°， ∴∠CDE=∠FDC－∠FDE=63°－17°=46°， 故答案为：． 11．如图，平分交于点，点为线段延长线上一点，，则下列结论正确的有______． ①；②；③；④    【答案】①②④ 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识，根据可证明，则，，即可判断①正确；根据角之间的关系得到，即可得到，故②正确；由角平分线和等量代换得到，即可判断④正确，无法判断③． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴ ∴， ∴，故②正确； ∴， ∵平分交于点， ∴ ∴，故④正确； ∴无法证明；故③不正确， 结论正确的有①②④； 故答案为：①②④ 三、解答题 12．如图，按要求作图并解答问题． (1)过上一点D作的平行线，交于点； (2)过点C作； (3)直线的位置关系是什么？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了平行线的作法，以及平行公理，关键是掌握平行于同一条直线的两直线平行． （1）根据平行线的定义画出图形； （2）根据平行线的定义画出图形； （3）根据平行于同一条直线的两直线平行解答即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求， （2）解：如图，直线即为所求， （3）解：∵，， ∴（平行于同一条直线的两直线平行）． 13．如图，一条直线分别与直线、直线、直线、直线相交于点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质； （1）根据对顶角相等结合已知条件可得，根据同位角相等两直线平行，即可得证； （2）根据平行线的性质可得，，即可证明． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴； （2）证明：∵ ∴ ∵， ∴， ∴． 14．如图，，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定方法及性质等； （1）由同位角相等，两直线平行得，由两直线平行，同位角相等得，即可求解； （2）由两直线平行，同位角相等得，由平行线的性质得，即可得证； 掌握平行线的判定方法及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ． 15．完成下面的证明过程，并在括号里填写推理的依据． 如图，点、分别在线段、上，点在线段的延长线上．，，，，求证：． 证明：，（已知） ______（等量代换） ______（______） ，（已知） （______） ______（______） （已证） （______） 【答案】2；；同位角相等，两直线平行；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练运用同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等判定定理，以及平行公理的推论． 先由已知角相等推出，再由同角的补角相等推出，最后根据平行公理的推论得到． 【详解】证明：（已知）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （已知）， （同角的补角相等）． （内错角相等，两直线平行）． （已证）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 故答案为：2；；同位角相等，两直线平行；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $