专题6.3.2 余弦定理讲义-2026年高一数学寒假班预修提升（沪教版)

2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题6.3.2 余弦定理 知识点1：余弦定理 1、公式表达： a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accosB， c2＝a2＋b2－2abcosC 2、语言叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 注：余弦定理的特点 （1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． （2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 3、推论： cos A＝， cos B＝， cos C＝ 知识点2：解三角形 1、解三角形：一般地，三角形的三个角，，和她们的对边，，叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 2、余弦定理在解三角形中的应用 （1）类型1：已知两边及一角，解三角形 方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路： 一是利用余弦定理的推论求出其余角； 二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； （2）类型2：已知三边解三角形 法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一 法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解 知识点3：判断三角形形状时常用到的结论 1、为直角三角形或或 2、为锐角三角形，且，且 3、为钝角三角形，且，且 4、若，则或 知识点4：反正弦反余弦反正切的表示 一般的，我们用表示满足的角； 用表示满足的角； 用表示满足的角； 【说明】符号、、在计算器上一般分别用、、表示； 题型01：已知两边及夹角解三角形 【名师点拨】已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理（已知两边和一边的对角）求解；若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题（在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的），故用余弦定理求解较好； 【例1】已知△ABC中，b=3，c=4，夹角A=60°，求边a的长度； 解：由余弦定理，代入得，故（边长为正，舍去负根） 【跟踪训练】 1．在中，已知，则的值为 . 【答案】 【分析】根据余弦定理求解. 【详解】由余弦定理，， . 故答案为：. 2．在中，若，则 ． 【答案】 【分析】根据余弦定理解三角形，求出边长即可. 【详解】由余弦定理得，代入得， 计算得； 故答案为： 3．的内角的对边分别为，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】利用已知条件先求的值，再根据余弦定理求解即可. 【详解】因为， 所以， 又，， 则， 所以，即， 故答案为：. 4.在中，，则（    ） A．3 B．5 C．4 D． 【答案】D 【分析】应用二倍角余弦公式求得，再应用余弦定理求边长. 【详解】由，且， 所以，可得. 故选：D 题型02：已知两边及一边对角解三角形． 【名师点拨】已知两边及其中一边的对角解三角形：可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边（注意边的取舍），再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角（注意角的取舍），再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后再利用正弦定理求出第三边； 【例2】在中，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理可得出关于的方程，即可解得的长. 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 即，整理得， 解得或（舍去），故. 故选：D. 【跟踪训练】 1.在中，内角的对边分别为，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据余弦定理列出关于的方程，然后解方程得到的值. 【详解】在中，由余弦定理得， 得， 整理得，解得或（舍去）. 所以. 故答案：2 2．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，则b＝　　． 【分析】利用余弦定理，即可得解． 【解答】解：由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bccosA， 所以5＝b2+4﹣4b×，化简得（4b+1）（b﹣4）＝0， 解得b＝4． 故答案为：4． 3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a＝3，c＝，B＝45°． （1）求sinC的值； （2）在边BC上取一点D，使得cos∠ADC＝﹣，求tan∠DAC的值． 【分析】（1）由题意及余弦定理求出b边，再由正弦定理求出sinC的值； （2）三角形的内角和为180°，cos∠ADC＝﹣，可得∠ADC为钝角，可得∠DAC与∠ADC+∠C互为补角，所以sin∠DAC＝sin（∠ADC+∠C）展开可得sin∠DAC及cos∠DAC，进而求出tan∠DAC的值． 【解答】解：（1）因为a＝3，c＝，B＝45°．，由余弦定理可得：b＝＝＝， 由正弦定理可得＝，所以sinC＝•sin45°＝＝， 所以sinC＝； （2）因为cos∠ADC＝﹣，所以sin∠ADC＝＝， 在三角形ADC 中，易知C为锐角，由（1）可得cosC＝＝， 所以在三角形ADC中，sin∠DAC＝sin（∠ADC+∠C）＝sin∠ADCcos∠C+cos∠ADCsin∠C＝， 因为∠DAC，所以cos∠DAC＝＝， 所以tan∠DAC＝＝． 【点评】本题考查三角形的正弦定理及余弦定理的应用，及两角和的正弦公式的应用，属于中档题． 题型03：已知三边解三角形 【名师点拨】已知三角形的三边解三角形的方法：1、先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角；2、利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角 【例3】已知△ABC中，a=3，b=4，c=5，求角C的大小； 解：由余弦定理变式，代入得；又因为，故 【例4】在中，内角，，的对边分别为，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用余弦定理列式求解. 【详解】由及余弦定理，得，而， 所以. 故选：C 【跟踪训练】 1.在中，，则最大的内角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由大边对大角及余弦定理求最大内角. 【详解】因为三条边中最大，所以最大的内角为， 由余弦定理得， 由，所以. 故选：C 2.在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知三边求角，利用余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理， 又，所以. 故选：B. 3.已知钝角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形边的特点及边角关系，结合余弦定理即可求解. 【详解】∵，且为钝角三角形，∴C为钝角. 由余弦定理，得， ∴，解得. 又中，两边之和大于第三边，即，∴. 综上，实数k的取值范围是. 故选：C 题型04：余弦定理边角互化的应用 【例5】已知的内角所对的边分别为，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理和特殊角的三角函数值解出答案； 【详解】因为，余弦定理可得 ， 解得. 故选：C. 【例6】在中，内角，，的对边分别为，，.若，，且，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用余弦定理表示出，利用条件变换求解即可. 【详解】因为， 由余弦定理知，， 解得. 故选：D. 【跟踪训练】 1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝ 【答案】； 【解析】由b2＝ac，又c＝2a，由余弦定理，得cos B＝＝＝； 2.若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为 【答案】； 【解析】由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos C＝2abcos 60°＝ab，则ab＋2ab＝4，∴ab＝； 3.在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据已知，应用余弦边角关系求，即可得角的大小. 【解答过程】由题设，则， 所以，又，可得. 故选：C. 4.已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（    ） A．60° B．90° C．150° D．120° 【答案】A 【解题思路】根据余弦定理计算直接得出结果. 【解答过程】由， 得， 即， 所以， 又，所以. 故选：A. 5.在中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据余弦定理计算即可. 【详解】因为， 所以由余弦定理可得. 故答案为： 题型05：余弦定理判断三角形的形状 【名师点拨】1、判断三角形的形状，可以从考察三边的关系入手，即把条件中的“边角关系”利用正弦定理或余弦定理转化为“边边关系”进行判断；也可以从三个角的关系入手，即把条件转化为角与角的关系，结合内角和定理作出判断；2、判断三角形形状时要注意“等腰直角三角形”与“等腰或直角三角形”的区别； 【例7】在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【分析】由已知条件，利用余弦定理角化边即可得到关系式. 【详解】因为，由余弦定理知， 所以， 整理得， 即的形状是直角三角形. 故选：B. 【跟踪训练】 1.（1）在△ABC中，若(a－ccos B)sin B＝(b－ccos A)sin A，判断△ABC的形状； （2）在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，判断△ABC的形状； （3）在△ABC中，若g sin A－lg cos B－lg sin C＝lg 2，判断△ABC的形状； 【解析】（1）结合正弦定理及余弦定理知，原等式可化为：·b＝·a， 整理，得(a2＋b2－c2)(a2－b2)＝0，所以，a2＋b2－c2＝0或a2＝b2， 故三角形为等腰三角形或直角三角形； （2）因为，b2＝ac，B＝60°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，所以，a＝c. 又B＝60°，所以，△ABC为等边三角形； （3）由条件得＝2，即2cos Bsin C＝sin A， 由正、余弦定理，得2××c＝a，所以，c＝b， 故△ABC为等腰三角形， 2.已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由余弦定理化角为边，整理后得，即得结论. 【详解】由和余弦定理得，， 化简得，， 整理得，，则得，或， 即为等腰或直角三角形. 故选：D. 3.记的内角的对边分别为．已知，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】利用二倍角公式和余弦定理化简给定条件，最后利用勾股定理逆定理求解即可. 【详解】因为，所以， 则，即， 得到，即， 则，即， 由勾股定理逆定理得为直角三角形，故B正确. 故选：B 4．在中，分别为内角的对边，如果，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】根据不等式的性质及余弦定理可判断为钝角，即可得解. 【详解】因为，所以， 所以，由，可知， 所以为钝角三角形， 故选：B 5．在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据余弦定理把题中条件化为边的关系式，即可判定. 【详解】根据余弦定理知， ， 所以，则, 故三角形为直角三角形， 故选： 题型06：利用余弦定理求范围或最值 【例8】的内角的对边分别为，满足，角为锐角，则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到，利用余弦定理，求得，结合角为锐角，即可求解. 【详解】由，可得，即， 又由余弦定理，可得， 又因为角为锐角，即，所以，即角的取值范围是. 故选：D. 【例9】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由余弦定理及基本不等式计算可得. 【详解】由余弦定理得， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． 故选：A. 【跟踪训练】 1. 的内角所对的边满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件变形结合余弦定理可得，再利用均值不等式即可求解. 【详解】由得， 根据余弦定理可得， 所以，解得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为， 故选：D 2. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理角化边求出，然后利用基本不等式求出的范围，最后根据面积公式即可求解. 【详解】因为， 所以，整理得， 则，解得. 因为，所以，取等条件为， 则的面积. 故选：A 3. 在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得答案. 【详解】在中，由余弦定理结合得： ， 当且仅当，即时等号成立， 由此可知A为锐角，而在上单调递减， 故，所以的最大值为. 故选：D 4. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由余弦定理及基本不等式计算可得. 【详解】由余弦定理得， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． 故选：A. 题型07：反正弦反余弦反正切的表示 【例10】已知，，则= 【提示】注意：由三角比的符号“精确”角的范围； 【答案】 【解析】由，，则； 又，而， 所以，，即； 【例11】已知，用反正弦形式表示； 【提示】由于角直接不在主值范围内，注意转化； 【答案】； 【解析】因为，，又由知，， 所以，，则，； 【例12】解方程：。 【提示】注意转化为只含的三角方程； 【解析】解法1、同除以得 得或，则或，； 解法2、，则， 则或，得或， 则则或，； 【跟踪训练】 1.已知，且，试分别用反正弦、反余弦、反正切表示对应的； 【提示】注意：理解反三角的定义与作用； 【答案】，，； 【解析】由已知，且，得，； 则据反正弦、反余弦、反正切的定义，得，，； 2.已知，且，试分别用反正弦、反余弦、反正切表示对应的； 【提示】注意：理解反三角的定义与作用； 【答案】，，； 【解析】已知，且，得，； 则据反正弦、反余弦、反正切的定义，得，，； 3.已知，根据下列条件，分别求对应的； （1）；（2）；（3）；（4）；（5）； 【提示】注意：利用单位圆的三角函数线直观表示，用反三角表示非特殊角； 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）或； （5）； 【解析】（1）由且，根据反正弦的定义知：，则； （2）由且，根据反正弦的定义知：；再由时，， 则； （3）由且，根据反正弦的定义知：；则； 再由，结合单位圆中（或诱导公式），得另一解为：； 综上，满足条件的为：或； （4）由且，同（3）满足条件的为：或； （5）由且，根据（4）的结论并结合终边相同角的表示，得： 或； 即或； 经化简，得满足条件的为：； 题型08：正弦定理、余弦定理综合 【例13】在中，． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理求的值； （2）求出c，再利用余弦定理求出b，然后利用三角形面积公式可求得答案. 【解析】（1）在中，因为， 由正弦定理得. （2）因为，所以， 由余弦定理得， 解得或（舍）， 所以的面积. 【例14】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a＝3，c＝，B＝45°． （1）求sinC的值； （2）在边BC上取一点D，使得cos∠ADC＝﹣，求tan∠DAC的值． 【分析】（1）由题意及余弦定理求出b边，再由正弦定理求出sinC的值； （2）三角形的内角和为180°，cos∠ADC＝﹣，可得∠ADC为钝角，可得∠DAC与∠ADC+∠C互为补角，所以sin∠DAC＝sin（∠ADC+∠C）展开可得sin∠DAC及cos∠DAC，进而求出tan∠DAC的值． 【解答】解：（1）因为a＝3，c＝，B＝45°．，由余弦定理可得：b＝＝＝， 由正弦定理可得＝，所以sinC＝•sin45°＝＝， 所以sinC＝； （2）因为cos∠ADC＝﹣，所以sin∠ADC＝＝， 在三角形ADC 中，易知C为锐角，由（1）可得cosC＝＝， 所以在三角形ADC中，sin∠DAC＝sin（∠ADC+∠C）＝sin∠ADCcos∠C+cos∠ADCsin∠C＝， 因为∠DAC，所以cos∠DAC＝＝， 所以tan∠DAC＝＝． 【点评】本题考查三角形的正弦定理及余弦定理的应用，及两角和的正弦公式的应用，属于中档题． 【跟踪训练】 1.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若． （i）求的值； （ii）求的面积． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）结合余弦定理，即可求解； （2）（i）结合三角函数的同角公式，以及正弦两角和公式，即可求解； （ii）结合正弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解. 【解析】（1）已知，由余弦定理， 则，又，则. （2）（i），由正弦定理有，得， 故， . （ii）由正弦定理可知，， 故的面积为. 2．在中，角，，所对的边分别为，，，，. (1)若，求的值； (2)的面积等于，求的值. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理求解即得. （2）利用三角形面积公式、余弦定理列出方程组求解即得. 【解析】（1）在中，由正弦定理，得， 所以的值是. （2）由的面积等于，得，解得， 由余弦定理，得，即， 解得或， 所以或. 3.在三角形中，已知，为的内角平分线，已知， (1)求角C的值； (2)求三角形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式可求得，即可得到角C的值. （2）根据正弦定理得，利用得，求出的值即可得到三角形的面积. 【详解】（1）∵，由正弦定理可得， ∴，即， ∵，∴， ∴. （2） 设三角形中，角所对的边分别为， 由余弦定理得，， ∴. ∵为的内角平分线，∴. ∵，∴， ∴，∴， ∴，解得或（舍）， ∴，即三角形的面积为. 一、选择题 1.在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理求出，再根据三角形内角范围及余弦函数的单调性求出范围. 【详解】由余弦定理得，当且仅当时取等号， 因为，在单调递减，所以，即A的最大值为． 故选：B． 2.若的三个内角满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【解题思路】利用二倍角公式将已知等式化为 ，然后利用正弦定理边角互化得，进而求得，即可判断. 【解答过程】利用二倍角公式将已知等式化为， 即 ，由正弦定理得，即，所以， 所以是直角三角形. 故选：A. 3．在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据二倍角公式可得，即可利用余弦定理化简得求解. 【详解】在中，由已知得，所以， 根据余弦定理，得 所以，即， 因此是直角三角形. 故选：B. 4.设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】A 【解题思路】由可得，已知，由即可得到半径. 【解答过程】因为， 所以，即， 则，又，则， 又，由正弦定理可得， 解得，即外接圆的半径为. 故选：A. 5.设的内角的对边分别为．，，则的最大值为（    ）． A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理得到与的关系式，然后利用基本不等式对其进行变形，从而求出的最大值. 【详解】由余弦定理，代入， 得 根据完全平方公式，则，将其代入上式可得： 因为基本不等式（当且仅当时取等号），所以 代入 设，则 即，两边同时乘以3得到 因为，所以 即 所以的最大值为 故选：D 6.在中，角的对边分别为，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解题思路】利用余弦定理结合整体代入思想求解即可. 【解答过程】因为，所以，而， 在中，，所以，故， 由余弦定理得，代入得， ，故， 故，故B正确. 故选：B. 二、填空题 7.已知在△ABC中，a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝________. 【答案】30°； 【解析】由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos C＝22＋42－2×2×4×＝12，所以，c＝2. 由正弦定理＝得，sin A＝＝＝. 因为，0°<A<120°，所以，A＝30°； 8.在中，角所对的边分别为，，，，则______ 【分析】由余弦定理计算求解即可. 【详解】在中，，，， 由余弦定理得， 所以. 9.已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，，，则_______ 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题可得， 因为，所以. 10.在中，角所对的边分别为，，，，则_______ 【解题思路】由余弦定理计算求解即可. 【解答过程】在中，，，， 由余弦定理得， 所以. 11.在中，，则________ 【分析】由余弦定理得到，进而得到. 【详解】因为，所以， 又，所以． 12.已知是三边长，若满足，则 【答案】 【解析】，即， ，，所以. 13.在中，满足，则________ 【分析】根据题意结合余弦定理可得，即可得结果. 【详解】因为，即， 所以，且，所以. 故选：A 14.在中，若，则________ 【解题思路】利用余弦定理即可得解. 【解答过程】因为，即，所以， 由余弦定理可得， 又，所以. 15.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为 【答案】； 【解析】由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－，且∠BAC∈(0，π)，因此∠BAC＝； 16. 若，，则用反余弦表示为 【答案】 ； 17.已知，则 【答案】； 18.在中， ________ 【答案】或； 3、 解答题 19.已知a＝7，b＝3，c＝5，求△ABC的最大角和sinC； 【解析】∵a>c>b，∴A为最大角． 由余弦定理，得cos A＝＝＝－. 又∵0°<A<180°，∴A＝120°，∴sin A＝. 由正弦定理，得sin C＝＝×＝. 20.已知，根据下列条件，分别求对应的； （1）；（2）；（3）；（4）；（5）； 【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）或； （5）； 21.已知，根据下列条件，分别求对应的； （1）；（2）；（3）；（4）；（5）； 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或； （5）； 22.在中，内角，，的对边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过正弦定理将边的关系化为角的关系，根据两角和的正弦公式即可得解； （2）通过余弦定理得到，最后根据三角形面积公式得结果. 【详解】（1）因为， 所以， 所以，所以，因为，所以. （2）由（1）知，，因为， ，，所以，解得， 所以的面积为. 23.已知的内角的对边分别为. (1)求的值； (2)若的面积为，且，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦求解出，从而求解出.(2)利用三角形的面积公式求解出，结合和余弦定理求解出，从而求解出的周长. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 可得， 即， 因为，可得，所以，即， 所以 （2）由（1）知，因为若的面积为， 可得，即，解得， 又因为，由余弦定理得 整理得，解得， 所以，所以的周长为 24.在锐角中，内角的对边分别为． (1)求角； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据已知条件，利用余弦定理求得，再根据，利用正弦的二倍角公式结合正弦定理求得，进而求得角. （2）首先根据面积公式求得，然后再利用余弦定理求得，进而求得，即可求解三角形的周长. 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以， 因为是锐角三角形，所以， 所以，则，因为为锐角，所以． （2）因为的面积为， 所以，即， 由余弦定理得，即， 所以，即， 故的周长为． 25. 在中，，，为边上一点，且平分.    (1)若，求； (2)若，求线段的长. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先利用正弦定理结合二倍角正弦公式求得，再利用余弦定理结合二倍角的余弦公式求解即可； （2）由，再利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）设（）. 因为平分，，故. 在中，由正弦定理知， 又由余弦定理有， 由，解得， 所以. （2）由，得. 又由 ， 得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题6.3.2 余弦定理 知识点1：余弦定理 1、公式表达： a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accosB， c2＝a2＋b2－2abcosC 2、语言叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 注：余弦定理的特点 （1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． （2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 3、推论： cos A＝， cos B＝， cos C＝ 知识点2：解三角形 1、解三角形：一般地，三角形的三个角，，和她们的对边，，叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 2、余弦定理在解三角形中的应用 （1）类型1：已知两边及一角，解三角形 方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路： 一是利用余弦定理的推论求出其余角； 二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； （2）类型2：已知三边解三角形 法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一 法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解 知识点3：判断三角形形状时常用到的结论 1、为直角三角形或或 2、为锐角三角形，且，且 3、为钝角三角形，且，且 4、若，则或 知识点4：反正弦反余弦反正切的表示 一般的，我们用表示满足的角； 用表示满足的角； 用表示满足的角； 【说明】符号、、在计算器上一般分别用、、表示； 题型01：已知两边及夹角解三角形 【名师点拨】已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理（已知两边和一边的对角）求解；若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题（在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的），故用余弦定理求解较好； 【例1】已知△ABC中，b=3，c=4，夹角A=60°，求边a的长度； 【跟踪训练】 1．在中，已知，则的值为 . 2．在中，若，则 ． 3．的内角的对边分别为，已知，，，则 ． 4.在中，，则（    ） A．3 B．5 C．4 D． 题型02：已知两边及一边对角解三角形 【名师点拨】已知两边及其中一边的对角解三角形：可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边（注意边的取舍），再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角（注意角的取舍），再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后再利用正弦定理求出第三边； 【例2】在中，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.在中，内角的对边分别为，若，则 ． 2．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，则b＝　　． 3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a＝3，c＝，B＝45°． （1）求sinC的值； （2）在边BC上取一点D，使得cos∠ADC＝﹣，求tan∠DAC的值． 题型03：已知三边解三角形 【名师点拨】已知三角形的三边解三角形的方法：1、先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角；2、利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角 【例3】已知△ABC中，a=3，b=4，c=5，求角C的大小； 【例4】在中，内角，，的对边分别为，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.在中，，则最大的内角为（    ） A． B． C． D． 2.在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 3.已知钝角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型04：余弦定理边角互化的应用 【例5】已知的内角所对的边分别为，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【例6】在中，内角，，的对边分别为，，.若，，且，则（    ） A． B． C． D．2 【跟踪训练】 1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝ 2.若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为 3.在中，若，则（   ） A． B． C． D． 4.已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（    ） A．60° B．90° C．150° D．120° 5.在中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若，则的值为 ． 题型05：余弦定理判断三角形的形状 【名师点拨】1、判断三角形的形状，可以从考察三边的关系入手，即把条件中的“边角关系”利用正弦定理或余弦定理转化为“边边关系”进行判断；也可以从三个角的关系入手，即把条件转化为角与角的关系，结合内角和定理作出判断；2、判断三角形形状时要注意“等腰直角三角形”与“等腰或直角三角形”的区别； 【例7】在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【跟踪训练】 1.（1）在△ABC中，若(a－ccos B)sin B＝(b－ccos A)sin A，判断△ABC的形状； （2）在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，判断△ABC的形状； （3）在△ABC中，若g sin A－lg cos B－lg sin C＝lg 2，判断△ABC的形状； 2.已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 3.记的内角的对边分别为．已知，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．在中，分别为内角的对边，如果，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 5．在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 题型06：利用余弦定理求范围或最值 【例8】的内角的对边分别为，满足，角为锐角，则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例9】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【跟踪训练】 1. 的内角所对的边满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 3. 在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为（   ） A． B． C． D． 4. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 题型07：反正弦反余弦反正切的表示 【例10】已知，，则= 【例11】已知，用反正弦形式表示； 【例12】解方程：。 【跟踪训练】 1.已知，且，试分别用反正弦、反余弦、反正切表示对应的； 2.已知，且，试分别用反正弦、反余弦、反正切表示对应的； 3.已知，根据下列条件，分别求对应的； （1）；（2）；（3）；（4）；（5）； 题型08：正弦定理、余弦定理综合 【例13】在中，． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【例14】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a＝3，c＝，B＝45°． （1）求sinC的值； （2）在边BC上取一点D，使得cos∠ADC＝﹣，求tan∠DAC的值． 【跟踪训练】 1.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若． （i）求的值； （ii）求的面积． 2．在中，角，，所对的边分别为，，，，. (1)若，求的值； (2)的面积等于，求的值. 3.在三角形中，已知，为的内角平分线，已知， (1)求角C的值； (2)求三角形的面积. 一、选择题 1.在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2.若的三个内角满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 3．在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 4.设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D．4 5.设的内角的对边分别为．，，则的最大值为（    ）． A．1 B． C．2 D． 6.在中，角的对边分别为，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 二、填空题 7.已知在△ABC中，a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝________. 8.在中，角所对的边分别为，，，，则______ 9.已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，，，则_______ 10.在中，角所对的边分别为，，，，则_______ 11.在中，，则________ 12.已知是三边长，若满足，则 13.在中，满足，则________ 14.在中，若，则________ 15.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为 16. 若，，则用反余弦表示为 17.已知，则 18.在中， ________ 3、 解答题 19.已知a＝7，b＝3，c＝5，求△ABC的最大角和sinC； 20.已知，根据下列条件，分别求对应的； （1）；（2）；（3）；（4）；（5）； 21.已知，根据下列条件，分别求对应的； （1）；（2）；（3）；（4）；（5）； 22.在中，内角，，的对边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，，求的面积. 23.已知的内角的对边分别为. (1)求的值； (2)若的面积为，且，求的周长. 24.在锐角中，内角的对边分别为． (1)求角； (2)若的面积为，求的周长． 25.在中，，，为边上一点，且平分.    (1)若，求； (2)若，求线段的长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $