专题6.2.2 二倍角公式 （5大知识点+8大题型+强化训练）寒假班预修提升讲义-2025-2026学年高一数学沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题6.2.2 二倍角公式 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 （）， （）， （） 2.降幂公式与升幂公式 ； ． 3.其他常用变式 ． 4、给角求值： （1）给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法． （2）给角求值问题的一般步骤 ①化简条件式子或待求式子； ②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手； ③将已知条件代入所求式子，化简求值． 5、给值求值： 三角函数的给值求值问题，主要应用和角公式、差角公式、倍角公式、半角公式等将未知角的 三角函数转化为已知角的三角函数。因此，将未知角用已知角表示出来是解决此类问题的关键。当已知角只有一个时，则应考虑将未知角用已知角和常用角表示出来。 6、给值求角： 解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角． 7.三角恒等变换的关键 抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． 题型01：二倍角公式的正用 【例1】已知求和的值. 【例2】已知,则( ) A. B.; C.; D.. 【例3】已知，则______． 【跟踪训练】 1. 已知求，和的值. 2. 已知. (1)求的值; (2)求的值. 3. 已知是第二象限的角，且，则的值为（    ） A． B． C． D．–3 4. 若，则（ ） A． B． C． D． 5. 已知，则（ ） A． B． C． D． 题型02：二倍角公式的逆用与变用 【例4】利用二倍角公式，求下列各式的值： （1）； （2） ；（3）. 【例5】已知，则的值为（  ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. 计算:_____________; 2. 已知，则的值为（  ） A． B． C． D． 3. （ ） A． B． C． D． 题型03：利用角的拆分求值 【例6】若，则的值为_______ 【例7】已知,且,那么___________; 【跟踪训练】 1. 若，则（    ） A． B． C． D． 2. 已知，则 . 题型04：利用二倍角化简与证明 【说明】证明问题的原则及一般步骤： 1、观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想； 2、证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的； 【例8】试用表示. 【例9】 证明：（1）； （2）. 【跟踪训练】 1. 求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B； 2. 求证：＝tan4A. 3. 求证下列恒等式： (1)； (2) 题型05：二倍角给角求值 对于给角求值问题，一般有两类： （1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角； （2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式； 【例10】求下列各式的值 ①cos 72°cos 36°；②＋. 【跟踪训练】 1. coscoscos的值为（ ） A．　　　　　 B．－ C． D．－ 2. 的值是 .. 题型06： 二倍角给值求值 解决给值求值问题的方法，给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： （1）有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化； （2）寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系． （3）注意几种公式的灵活应用，如： ①sin 2x＝cos＝cos＝2cos2－1＝1－2sin2； ②cos 2x＝sin＝sin＝2sincos. 【例11】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. 已知，，则（    ） A．0 B．2 C．0.5 D．0或2 2. 已知，则 ． 题型07：二倍角给值求角 【说明】解决条件求值（角）问题的方法： 1、有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系； 2、当遇到这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通： cos 2x＝ 类似的变换还有：cos 2x＝， ； 3、特别注意：根据三角比结合“角的取值范围”求角； 【例12】已知，，，则的值是（  ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知α∈，且sin 2α＝sin，求α. 2.已知，，且，，求的值. 3. 若，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型08：二倍角公式的综合应用 【例13】等腰三角形的底角的正弦值等于，求这个三角形的顶角的正弦、余弦和正切值. 【跟踪训练】 1.2002年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为,那么的值等于___________; 一、选择题 1. （24-25闵行区高一上期中）若，则（    ） A． B． C． D． 2.（24-25徐汇区高一上期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25奉贤区高一上期中）已知，，则（  ） A． B． C． D． 4. （24-25七宝中学高一上期中）已知、，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5. （24-25复旦附中高一上期中）若是第二象限角，且，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 是第一或第二象限角 6. （24-25宝山区高一上期中）计算:（   ） A． B． C． D． 7.（24-25上海高一上期中）对于任意，下列等式不能恒成立的（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2023上·上海浦东新·高三华师大二附中校考期中）已知，则 ． 9. （24-25上海高一上期中）若，则 ． 10. （24-25上海高一上期中）若，则的值为___________. 11. （24-25上海高一上期中）已知，则的值为 ． 12.（2023下·上海徐汇·高一上海中学校考期中）若，则 ． 13.（23-24高一下·上海·期中）已知，则的值为 . 14．（23-24高一下·上海嘉定·期中）若，则 ． 15．（2023上·上海松江·高三上海市松江一中校考期中）已知，，且，，则 ． 16. 计算： ． 3、 解答题 17. 已知，，且，. (1)求，； (2)求. 18. 求证：. 19．证明下列等式： (1) (2). 20．求证：． 21．已知、是方程的两个实数根. (1)求实数的值； (2)若，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题6.2.2 二倍角公式 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 （）， （）， （） 2.降幂公式与升幂公式 ； ． 3.其他常用变式 ． 4、给角求值： （1）给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法． （2）给角求值问题的一般步骤 ①化简条件式子或待求式子； ②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手； ③将已知条件代入所求式子，化简求值． 5、给值求值： 三角函数的给值求值问题，主要应用和角公式、差角公式、倍角公式、半角公式等将未知角的 三角函数转化为已知角的三角函数。因此，将未知角用已知角表示出来是解决此类问题的关键。当已知角只有一个时，则应考虑将未知角用已知角和常用角表示出来。 6、给值求角： 解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角． 7.三角恒等变换的关键 抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． 题型01：二倍角公式的正用 【例1】已知求和的值. 解：由，得，， 于是，，. 【例2】已知,则( ) A. B.; C.; D.. 【答案】A 【解析】. 【例3】已知，则______． 【答案】 【解析】， ∴． 故答案为：. 【跟踪训练】 1. 已知求，和的值. 解： 2. 已知. (1)求的值; (2)求的值. 【答案】（1）因为,所以, 所以,. (2) 3. 已知是第二象限的角，且，则的值为（    ） A． B． C． D．–3 【答案】C 【分析】利用诱导公式求出，根据三角函数的基本关系求出，最后由二倍角公式计算可得. 【详解】因为，所以， 又是第二象限的角，所以， 所以， 所以. 故选：C 4. 若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 分子分母同时除以，得．故选：D. 5. 已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，则.故选：A 题型02：二倍角公式的逆用与变用 【例4】利用二倍角公式，求下列各式的值： （1）； （2） ；（3）. 解： 【例5】已知，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， 故选：D． 【跟踪训练】 1. 计算:_____________; 【答案】 【解析】原式. 2. 已知，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 . 故选：B. 3. （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】.故选：C. 题型03：利用角的拆分求值 【例6】若，则的值为_______ 【解析】∵， ∴， ∵， 【例7】已知,且,那么___________; 【答案】 【解析】, 【跟踪训练】 1. 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以 . 故选：A 2. 已知，则 . 【答案】 【解析】因为，则. 故答案为：. 题型04：利用二倍角化简与证明 【说明】证明问题的原则及一般步骤： 1、观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想； 2、证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的； 【例8】试用表示. 解： . 【例9】 证明：（1）； （2）. 证明：（1） （2）. 【跟踪训练】 1. 求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B； 【证明】左边＝－ ＝ ＝(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B) ＝cos 2Acos 2B＝右边， ∴等式成立； 2. 求证：＝tan4A. 【证明】因为左边＝ ＝2＝2＝(tan2A)2＝tan4A＝右边， 所以＝tan4A. 3. 求证下列恒等式： (1)； (2) 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先通分，利用正切的二倍角公式化简即可； （2）先将正切化弦，通分得到原式，再用辅助角公式，最后利用二倍角公式，即可证明. 【详解】（1）. （2）左边 , 原式得证. 题型05：二倍角给角求值 对于给角求值问题，一般有两类： （1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角； （2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式； 【例10】求下列各式的值 ①cos 72°cos 36°；②＋. 【解析】①cos 36°cos 72°＝＝＝＝. ②原式＝ ＝ ＝＝＝4. 【跟踪训练】 1. coscoscos的值为（ ） A．　　　　　 B．－ C． D．－ 【答案】D； 【解析】∵cos＝－cos，cos＝－cos， ∴coscoscos＝coscoscos ＝ ＝ ＝＝ ＝－； 2. 的值是 .. 【答案】/0.25 【详解】原式 . 故答案为： 题型06： 二倍角给值求值 解决给值求值问题的方法，给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： （1）有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化； （2）寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系． （3）注意几种公式的灵活应用，如： ①sin 2x＝cos＝cos＝2cos2－1＝1－2sin2； ②cos 2x＝sin＝sin＝2sincos. 【例11】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以，所以， 所以 则 . 故选：D 【跟踪训练】 1. 已知，，则（    ） A．0 B．2 C．0.5 D．0或2 【答案】C 【分析】由正弦的二倍角公式求解即可. 【解析】因为，所以， 所以由得， 故选：C 2. 已知，则 ． 【答案】 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 题型07：二倍角给值求角 【说明】解决条件求值（角）问题的方法： 1、有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系； 2、当遇到这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通： cos 2x＝ 类似的变换还有：cos 2x＝， ； 3、特别注意：根据三角比结合“角的取值范围”求角； 【例12】已知，，，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，， 则， 可知，，则， 又因为， 可得， 所以. 故选：D. 【跟踪训练】 1.已知α∈，且sin 2α＝sin，求α. 【解析】∵sin 2α＝－cos＝－＝1－2cos2， sin＝－sin＝－cos＝－cos， ∴原式可化为1－2cos2＝－cos， 解得cos＝1或cos＝－. ∵α∈，∴α＋∈， 故α＋＝0或α＋＝，即α＝－或α＝； 2.已知，，且，，求的值. 【答案】 【分析】根据三角恒等变换的知识求得，进而求得. 【详解】，，， ， ， ，， 又，， ，. 3. 若，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的正切值及的取值范围，即可得出的值. 【详解】因为，，则， 又因为，则， 由二倍角正切公式可得， 所以，， 因为，，则，即， 因此，. 故选：B. 题型08：二倍角公式的综合应用 【例13】等腰三角形的底角的正弦值等于，求这个三角形的顶角的正弦、余弦和正切值. 解：设底角为，则顶角为，，， ， ， 【跟踪训练】 1.2002年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为,那么的值等于___________; 【答案】【解析】可以求出三角形三条边长, 一、选择题 1. （24-25闵行区高一上期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和角的余弦公式展开，再平方即得解. 【解析】解：由题得， 两边平方得. 故选：C 2.（24-25徐汇区高一上期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出，再利用二倍角的余弦公式计算即得. 【详解】由两边平方得：，而，，则， 因此， 3．（24-25奉贤区高一上期中）已知，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，即，由余弦的二倍角公式可得：，因为，所以，所以， 故选：B 4. （24-25七宝中学高一上期中）已知、，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由、，可计算出、、的值，利用计算即可得. 【详解】由，，则， 则，， 由，则， 又、，则， 故， . 故选：A. 5. （24-25复旦附中高一上期中）若是第二象限角，且，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 是第一或第二象限角 答案：C 6. （24-25宝山区高一上期中）计算:（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 , 所以原式. 故选： 7.（24-25上海高一上期中）对于任意，下列等式不能恒成立的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角的正余弦公式可判断AB，由切化弦的方法可判断C，取特殊值可判断D. 【详解】由二倍角的正弦公式可知A正确； 由可得，由二倍角的余弦公式可知B正确； 当时，由可知C正确； 当取时，左边，右边=，故D不正确. 故选：D 二、填空题 8．（2023上·上海浦东新·高三华师大二附中校考期中）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】先求得，，再利用二倍角正弦公式即可求得的值. 【解析】因为，且，则， 则 故答案为：. 9. （24-25上海高一上期中）若，则 ． 【答案】/ 【分析】利用二倍角的正切公式及两角差的正切公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 10. （24-25上海高一上期中）若，则的值为___________. 【答案】1或 【解析】, 所以或， 时，； 时，． 故答案为：1或． 11. （24-25上海高一上期中）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】由两角和差的正弦公式及辅助角、二倍角公式进行化简求值即可. 【详解】因为，化简得 所以 故答案为： 12.（2023下·上海徐汇·高一上海中学校考期中）若，则 ． 【答案】 【分析】利用正余的倍角公式，将转化成齐次式即可求出结果. 【解析】因为，又，所以. 故答案为：. 13.（23-24高一下·上海·期中）已知，则的值为 . 【答案】 【分析】利用二倍角的正切公式求出，再利用正余弦齐次式法求值. 【详解】由，得， 所以. 故答案为： 14．（23-24高一下·上海嘉定·期中）若，则 ． 【答案】/ 【分析】由二倍角公式和同角三角函数关系即可求解. 【解析】. 故答案为：. 15．（2023上·上海松江·高三上海市松江一中校考期中）已知，，且，，则 ． 【答案】 【分析】由二倍角的正切公式求出，最后根据两角差的正切公式计算可得. 【解析】因为，，且，， 所以， ∴. 故答案为：1 16. 计算： ． 【答案】 【解析】 . 故答案为： 3、 解答题 17. 已知，，且，. (1)求，； (2)求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据二倍角的余弦公式求解出的值，然后判断出的范围，再根据平方和关系求解出的值； （2）根据条件先判断出的范围，然后根据平方和关系求解出，利用角的配凑可得，结合两角和的正弦公式求解出的值，再根据的范围可求结果. 【详解】（1）由题意知，， 因为，所以，所以， 所以. （2）由，，可得，， 所以， ， 因为，所以. 18. 求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据二倍角的正、余弦公式化简即可得证. 【详解】证明：左边＝＝右边． 19．证明下列等式： (1) (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）左边右边，得证； （2）左边 右边，得证. 20．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】，证毕. 21．已知、是方程的两个实数根. (1)求实数的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为、是方程的两个实数根， 由韦达定理得， 由， 则， 所以； （2）因为， 所以 ， 所以， 因为 ， 所以，，， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $