专题08 二倍角公式、三角变换的应用（2大考点+7种题型）-【寒假自学课】2024年高一数学寒假提升学与练（沪教版2020）

学科网（北京）股份有限公司 专题08 二倍角公式、三角变换的应用（2大考点+7种题型） 思维导图 核心考点聚焦 考点一：二倍角的正弦、余弦和正切公式 考点二：半角的正弦、余弦和正切公式. 题型一：给角求值 题型二：给值求值、求角问题 题型三：化简证明问题 题型四：化简求值问题 题型五：三角恒等式的证明 题型六：恒等变换与三角函数图象性质的综合 题型七： 三角函数在实际问题中的应用 考点一：二倍角的正弦、余弦和正切公式 在两角和的正弦、余弦和正切公式中，用代入，就得到二倍角的正弦、余弦和正切公式 ， ， . 由于，因此二倍角的余弦公式还可以表示为 . 考点二：半角的正弦、余弦和正切公式 ，，. tan＝＝＝，tan＝＝＝ 它们分别叫做半角的正弦、余弦和正切公式. 其中，公示右侧的“”号，根据角所在的象限由左侧相应的符号确定. 题型一：给角求值 【例1】　(1)coscoscos的值为(　　) A.　　　　　 B．－ C. D．－ (2)求下列各式的值： ①cos415°－sin415°；②1－2sin275°；③； ④－. 【变式1】．求下列各式的值 (1)cos 72°cos 36°； (2)＋. 题型二：给值求值、求角问题 【例2】　(1)已知cos＝，≤α＜，求cos的值； (2)已知α∈，且sin 2α＝sin，求α. 题型三：化简证明问题 【例3】　(1)化简：＋＝________. (2)证明：＝－4. 【变式】求证：(1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B； (2)cos2θ(1－tan2θ)＝cos 2θ. 题型四：化简求值问题 【例4】　(1)设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin等于(　　) A.　　　 B. C．－ D．－ (2)已知π<α<，化简： ＋. 【变式】．已知cos θ＝－，且180°<θ<270°，求tan . 题型五：三角恒等式的证明 【例5】　求证：＝sin 2α. 【变式】．求证： ＝. 题型六：恒等变换与三角函数图象性质的综合 【例6】　已知函数f(x)＝cos－2sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期． (2)求证：当x∈时，f(x)≥－. 【变式】．已知函数f(x)＝sin＋2sin2(x∈R)． (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合． 题型七： 三角函数在实际问题中的应用 【例7】　如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？ 一、填空题 1、已知x∈，sin x＝－，则tan 2x＝ 2、设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________ 3、已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是 4、已知sin 2α＝，则cos2＝________ 5、已知sin＝，则cos的值等于 6、化简下列各式：(0<α<π)＝ 7、已知，则 8、已知cosα＝，270°<α<360°，那么cos的值为 9、设－3π<α<－，化简 的结果是 10、若cos xcos y＋sin xsin y＝，sin 2x＋sin 2y＝，则sin(x＋y)＝ 11、若cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β等于 12、在△ABC中，若sin Asin B＝cos2，则△ABC是 三角形； 二、选择题 13、若sin＝，cos＝－，则角α是(　　) A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 14、若＝，则tan 2α＝(　　) A．－　　B. C．－　　D. 15、已知|cos θ|＝，且<θ<3π，则sin，cos，tan的值分别为(　　) A．－，，2　B．－，－，2 C. ，－，2 D．－，－，－2 16、将cos 2x－sin2y化为积的形式，结果是(　　) A．－sin(x＋y)sin(x－y)　 B．cos(x＋y)cos(x－y) C．sin(x＋y)cos(x－y)　 D．－cos(x＋y)sin(x－y) 三、解答题 17、已知＜α＜π，cos α＝－； （1）求：tan α的值；（2）求：sin 2α＋cos 2α的值 18. 已知，，计