第01讲 不等式及其性质与一元一次不等式（知识详解+10典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册同步讲义与测试

第01讲 不等式及其性质与一元一次不等式 （知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】：不等式的概念 用不等号“>”“<”“≥”“≤”连接的式子,叫作不等式. 特别提醒：用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式. 注意：判断一个式子是否为不等式，关键是看所给式子是否含不等号； 不等号具有方向性，不等号两边的数(或式子) 不能随意交换. 2. 基本的表达形式： (1)常见的不等号： 符号 名称 实际意义 读法 举例 < 小于号 小于、不足 小于 3+2<6 > 大于号 大于、高出 大于 3+3>5 ≠ 不等于号 不相等 不等于 4 ≠ 5 (2)常见的不等式基本语言与符号表示： ① a 是正数表示为a ＞ 0，a 是负数表示为a ＜ 0； ② a，b 同号表示为ab ＞ 0，a，b 异号表示为ab ＜ 0. 【知识点02】：不等式的性质 不等式的性质1：对于任意给定的两个数a、b，在a>b、a<b、a=b三种情形中，有且只有一种情形成立. 不等式的性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.如果a＜b，b＜c，那么a＜c. 如同相等关系具有传递性，不等式性质2表明大于关系也具有传递性．同样地，“≥”“≤”与“<”也具有传递性. 不等式的性质3：不等式两边加（或减）同一个数，不等号的方向不变． 如果a＞b，那么a+m＞b+m,a-m＞b-m 不等式的性质4：不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变. 如果a＞b，那么am＞bm,＞ 不等式的性质5：不等式的两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变. 如果a＞b，m＜0，那么am＜bm,＜ 【知识点03】：一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 【知识点04】：解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 【知识点05】：一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 【知识点06】：由实际问题抽象出一元一次不等式 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 【知识点07】：一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 【题型一】不等式的定义 例1．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）的2倍与的和小于5.用不等式表示为 ． 变式1．（24-25七年级下·上海金山·期末）用适当的不等式表示“大于”为 ． 变式2．（24-25七年级下·上海·期中）不超过的最大整数是5，试用不等式表示应满足的条件： ． 【题型二】不等式的性质 例2．（24-25七年级下·上海·月考）若，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·上海·期末）如果的解集为，则的取值范围是 ． 变式2．阅读下列解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，第一步 ∴，第二步 故．第三步 (1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误． (2)请写出正确的解题过程． 【题型三】一元一次不等式的定义 例3．（24-25七年级下·上海·月考）下列为一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）下列不等式中属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【题型四】不等式的解集 例4．（24-25七年级下·上海松江·月考）某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 变式1．（22-23七年级上·上海杨浦）已知关于的不等式的解集是，求不等式的解集 【题型五】求一元一次不等式的解集 例5．（24-25七年级下·上海·月考）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·上海松江·期末）不等式的解集是 ． 变式2．（24-25七年级下·上海松江·月考）解不等式：． 【题型六】在数轴上表示不等式的解集 例6．（24-25七年级下·上海·月考）关于x的不等式的解集如图所示，则m的值是（    ） A．3 B． C．2 D． 变式1．（24-25七年级下·上海·期末）某关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，根据图示，该不等式组的解集为 ． 变式2．（24-25七年级下·上海·期末）解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 【题型七】求一元一次不等式的整数解 例7．（24-25七年级下·上海·月考）不等式的最大整数解是 ． 变式1．（24-25七年级下·上海金山·期中）不等式的非负整数解为 ． 变式2．（24-25七年级下·上海崇明·期末）解不等式：，并写出它的负整数解 【题型八】求一元一次不等式解的最值 例8．下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话： 小明：在求解的过程中要改变不等号的方向； 小强：求得不等式的最小整数解为． 根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（　　） A． B． C． D． 变式1．已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为 ． 变式2．已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 【题型九】列一元一次不等式 例9．“x的与x的和不超过5”可以表示为（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·上海·期中）“x的2025倍比y小”用不等式表示为 ． 变式2．（24-25七年级下·上海·期末）根据要求写出不等式“的一半与的倍的和是非负数”： ． 【题型十】用一元一次不等式解决实际问题 例10．（24-25七年级下·上海·期末）3月12日是我国的植树节，某校学生会组织七年级和八年级共65名同学参加植树活动，七年级学生平均每人植2棵树，八年级学生平均每人植4棵树，为了保证植树总数不少于220棵，则八年级学生参加活动的人数至少需（ ） A．50名 B．45名 C．40名 D．35名 例11．（24-25七年级下·上海·月考）在一次考试中，小明的语文和英语分别考了70分和83分，如果想使自己三门功课的平均分不低于80分，则小明的数学应该至少考 分． 变式1．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）某乒乓球馆有两种计费方案，如下表．小鸣和同学们打算周末去此乒乓球馆连续打球4小时，经服务生测算后，告知他们包场计费方案会比按人数计费方案便宜，若他们共有人，根据题意可列不等式 ． 包场计费：包场每场每小时50元，每人须另付入场费5元 人数计费：每人打球2小时20元，接着续打球每人每小时6元 变式2．（24-25七年级下·上海松江·期末）某校组织六年级和七年级共100名学生参加垃圾分类志愿者助力活动．六年级学生每人要完成2次助力分类，七年级学生每人要完成5次助力分类．为了保证垃圾分类助力总次数不少于360次，最少需要多少名七年级学生参加活动？ 一、单选题 1．一个不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式可能是（　　）    A． B． C． D． 2．把一些书分给名同学，若每人分本则不够，若每人分本，则正好剩余本．依题意，可列不等式为（   ） A． B． C． D． 3．如图，天平右盘中的每个砝码的质量是克，左盘中的每个小立方体的质量是克，则可以得到不等式（   ） A．2 B． C． D． 4．某人分两次在市场上买了同一批货物，第一次买了3件，平均价格为每件a元，第二次买了2件，平均价格为每件b元．后来他以每件元的价格全部卖出，结果发现自己赔钱了，赔钱的原因是(   ) A． B． C． D． 5．下列说法错误的是（    ） A．不等式的整数解有无数个 B．不等式的非负整数解有有限个 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 6．已知，且，则的最小值为(   ) A．9 B．10 C．11 D．12 二、填空题 7．已知，则 (填“”“”或“”) 8．不等式的解是 ． 9．写出一个解集为的不等式： ． 10．已知关于的方程的解是非负数，则的最小值为 ． 11．某弹簧测力计的测量范围是．小明未注意弹簧测力计的测量范围，用弹簧测力计测量一个物体．取下该物体后，发现弹簧没有恢复原状，则该物体的重力G的范围是 ． 12．已知方程组的解满足，则的取值范围是 ． 13．若关于x的方程的解是非负数，那么m的取值范围是 ． 14．进价为200元的商品，标价是300元，要使利润率不能少于5%，那么这种商品最多可以按 折销售？ 15．已知，且，则的取值范围是 ． 16．某市首届中学生足球比赛中，比赛规则是：胜一场积分，平一场积分，负一场积分．某校足球队共比赛场，以负场的成绩夺得了冠军，已知该校足球队最后的积分不少于分，则该校足球队获胜的场次最少是 17．如图，一个容量为的杯子中装有的水，先将颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出．若每个小玻璃球的体积是，每个小铁块的体积是．下面四个说法：①；②；③杯子中仅放入个小铁块，水一定不会溢出；④杯子中仅放入个小玻璃球，水一定会溢出，其中正确的有 ．（填写序号） 18．有下列说法：①若，则；②若，则；③若，且，则；④若，则．其中正确的是 （填序号）． 三、解答题 19．解不等式，并把不等式的解在数轴上表示出来． 20．下列解不等式的过程是否正确？如果不正确，请加以改正． (1)； 解：移项，得． 两边都除以，得． (2)． 解：移项，得． 合并同类项，得． 即． 21．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3) (4)． 22．如图，在计算程序图中，“■”内的数字印刷不清楚． (1)若“■”内的数字为，求输入的实数为101时最后输出的结果． (2)当开始输入的实数为100时，能经过一次运算（不用“返回”）输出结果．若“■”内的数字为正整数，求“■”内的数字的最小值． 23．阅读下列解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，第一步 ∴，第二步 故．第三步 (1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误． (2)请写出正确的解题过程． 24．为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，需购买A，两种跳绳若干．若购买3根A种跳绳和1根种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根种跳绳共需300元． (1)求，两种跳绳的单价各是多少元？ (2)若该班准备购买，两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购买种跳绳多少根？ 25．节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元． (1)求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？ (2)若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？ 26．某商店销售A，B两种水果，A水果标价14元/kg，B水果标价18元/kg．妈妈让小明到这家商店买A，B两种水果，要求B水果比A水果多买1 kg．设小明买m kg A水果． (1)若这两种水果按标价出售且合计付款不超过50元，求m的取值范围． (2)小明到这家商店后，发现A，B两种水果有优惠活动：A水果打七五折；一次性购买B水果不超过1 kg不优惠，超过1 kg后，超过1 kg的部分打七五折．若小明合计付款48元，求m的值（注：“打七五折”指按标价的75%出售）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 不等式及其性质与一元一次不等式 （知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】：不等式的概念 用不等号“>”“<”“≥”“≤”连接的式子,叫作不等式. 特别提醒：用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式. 注意：判断一个式子是否为不等式，关键是看所给式子是否含不等号； 不等号具有方向性，不等号两边的数(或式子) 不能随意交换. 2. 基本的表达形式： (1)常见的不等号： 符号 名称 实际意义 读法 举例 < 小于号 小于、不足 小于 3+2<6 > 大于号 大于、高出 大于 3+3>5 ≠ 不等于号 不相等 不等于 4 ≠ 5 (2)常见的不等式基本语言与符号表示： ① a 是正数表示为a ＞ 0，a 是负数表示为a ＜ 0； ② a，b 同号表示为ab ＞ 0，a，b 异号表示为ab ＜ 0. 【知识点02】：不等式的性质 不等式的性质1：对于任意给定的两个数a、b，在a>b、a<b、a=b三种情形中，有且只有一种情形成立. 不等式的性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.如果a＜b，b＜c，那么a＜c. 如同相等关系具有传递性，不等式性质2表明大于关系也具有传递性．同样地，“≥”“≤”与“<”也具有传递性. 不等式的性质3：不等式两边加（或减）同一个数，不等号的方向不变． 如果a＞b，那么a+m＞b+m,a-m＞b-m 不等式的性质4：不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变. 如果a＞b，那么am＞bm,＞ 不等式的性质5：不等式的两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变. 如果a＞b，m＜0，那么am＜bm,＜ 【知识点03】：一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 【知识点04】：解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 【知识点05】：一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 【知识点06】：由实际问题抽象出一元一次不等式 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 【知识点07】：一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 【题型一】不等式的定义 例1．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）的2倍与的和小于5.用不等式表示为 ． 【答案】 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查了不等式的定义，根据题意列出不等式是关键； 【详解】解：不等式表示为： 故答案为：. 变式1．（24-25七年级下·上海金山·期末）用适当的不等式表示“大于”为 ． 【答案】 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查了列不等式，解题关键是掌握不等式的定义．根据题意用“”，列出不等式即可． 【详解】解：不等式表示“大于”为： 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·上海·期中）不超过的最大整数是5，试用不等式表示应满足的条件： ． 【答案】/ 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查不等式的定义，熟练根据题意转换为的范围是解题的关键．利用不超过的最大整数是，分别探索上限和下限即可得出结果． 【详解】解：由不超过的最大整数是， 当时，不超过的最大整数小于； 当时，不超过的最大整数大于等于； 当时，不超过的最大整数是， 故答案为：． 【题型二】不等式的性质 例2．（24-25七年级下·上海·月考）若，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个整式，不等号的方向不变，不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质逐项进行判断即可 【详解】解：A、∵， ∴，故该选项不符合题意； B、∵， ∴，故该选项符合题意； C、∵， ∴，故该选项不符合题意； D、∵， ∴只有当时，，故该选项不符合题意； 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·上海·期末）如果的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据不等式的运算法则运算求解即可． 【详解】解：∵的解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．阅读下列解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，第一步 ∴，第二步 故．第三步 (1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质即可解答． 【详解】（1）解：上述解题过程中，从第二步开始出现错误，错误地运用了不等式的基本性质，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变． 故答案为：二． （2）解：正确的解题过程如下： ∵， ∴， ∴． 【题型三】一元一次不等式的定义 例3．（24-25七年级下·上海·月考）下列为一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．依此即可求解． 【详解】解：A、含有2个未知数，故A不符合题意； B、未知数的次数不是1，故B不符合题意； C、是一元一次方程，故C不符合题意； D、是一元一次不等式，故D符合题意． 故选D． 变式1．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）下列不等式中属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查了一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是的不等式是一元一次不等式，对各选项逐一分析即可求解，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解： 不等式含有两个未知数，且次数为，不一元一次不等式，该选项不合题意；   不等式是一元一次不等式，该选项符合题意；   不等式含有两个未知数，不一元一次不等式，该选项不合题意；    不等式含有一个未知数，但次数为，不一元一次不等式，该选项不合题意； 故选：． 变式2．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型四】不等式的解集 例4．（24-25七年级下·上海松江·月考）某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 【答案】C 【知识点】不等式的解集 【分析】本题考查了一元一次不等式的解的定义，不等式的解集是满足不等式的所有解的集合，使原不等式成立的数就是不等式的一个解，据此逐项分析求解即可． 【详解】解：A、∵某不等式的解集是， ∴0是这个不等式的解，故A不符合题意； B、∵某不等式的解集是， ∴不是这个不等式的解，故B不符合题意； C、∵某不等式的解集是， ∴大于的数都是这个不等式的解，大于且小于等于的数不是这个不等式的解，故C符合题意； D、∵某不等式的解集是， ∴小于的数都不是这个不等式的解，故D不符合题意． 故选：C 变式1．（22-23七年级上·上海杨浦）已知关于的不等式的解集是，求不等式的解集 【答案】 【知识点】不等式的解集、等式的性质 【分析】先把原不等式系数化为1，表示出解集，根据已知解集确定出a与b的关系，即可求出所求不等式的解集． 【详解】解：不等式的解集是， ，且， ，， 整理，得：，， 把代入，得， 解得：， ， 解集为：， 把代入得：， 不等式的解集． 【点睛】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出的关系是解题关键． 【题型五】求一元一次不等式的解集 例5．（24-25七年级下·上海·月考）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解不等式的基本步骤即可求解，掌握一元一次不等式解法是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 变式1．（24-25七年级下·上海松江·期末）不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的求解步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）以及不等式的基本性质是解题的关键．本题可通过对不等式进行移项、系数化为1等操作来求解．具体思路为：先将不等式中的常数项移到一边，含未知数的项留在另一边，然后将未知数的系数化为1，从而得到不等式的解集． 【详解】解： ， 解得：， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·上海松江·月考）解不等式：． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得． 【详解】解：， 去分母得 移项得 合并同类项得, 系数化为得：． 【题型六】在数轴上表示不等式的解集 例6．（24-25七年级下·上海·月考）关于x的不等式的解集如图所示，则m的值是（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查不等式，能从读取图像的信息，会解含有参数的不等式，用参数表示不等式的解，由图像可以知道，，只需要根据写出的解集，即可求出的值． 【详解】解：∵， ， 由图像可知， ， 解得：， 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·上海·期末）某关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，根据图示，该不等式组的解集为 ． 【答案】 【知识点】在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查的是利用数轴表示不等式组的解集，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 根据数轴表示的不等式组的解集，即可得到答案． 【详解】解：关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示， 该不等式组的解集为， 故答案为： 变式2．（24-25七年级下·上海·期末）解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴表示见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得：， 即不等式的解集为． 将不等式的解集在数轴上表示为： 【题型七】求一元一次不等式的整数解 例7．（24-25七年级下·上海·月考）不等式的最大整数解是 ． 【答案】1 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的最大整数解，先解一元一次不等式，求出不等式的解集，再取其最大整数解即可． 【详解】解：解不等式得：， ∴不等式的最大整数解是1， 故答案为：1． 变式1．（24-25七年级下·上海金山·期中）不等式的非负整数解为 ． 【答案】0或1或2或3 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解．移项合并，最后系数化为1，可求不等式的解集，进而可得非负整数解的个数． 【详解】解：， ， 解得，， ∴非负整数解为0或1或2或3， 故答案为：0或1或2或3． 变式2．（24-25七年级下·上海崇明·期末）解不等式：，并写出它的负整数解 【答案】， 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查求不等式的整数解，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，进而求出负整数解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， ∴， ∴不等式的负整数解为：． 【题型八】求一元一次不等式解的最值 例8．下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话： 小明：在求解的过程中要改变不等号的方向； 小强：求得不等式的最小整数解为． 根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式解的最值 【分析】先根据不等式的性质求出每个不等式的解集，再求出不等式的最小整数解，最后得出选项即可． 【详解】解：A．， ， ， ， ， （不等号的方向改变）， 所以不等式的最小整数解不是，故本选项不符合题意； B．， ， ， ， （不等号的方向改变了）， 所以不等式的最小整数解是，不是，故本选项不符合题意； C．， ， ， ， （不等号的方向改变了）， 所以不等式的最小整数解是，不是，故本选项不符合题意； D．， ， ， ， （不等号的方向改变）， 所以不等式的最小整数解是，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键． 变式1．已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为 ． 【答案】578 【知识点】求一元一次不等式解的最值 【分析】本题考查一元一次不等式，根据平方的非负性，求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∵， ∴时，的值最小， ∴，此时，满足题意； 故答案为：578． 变式2．已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 【答案】有最大值，4 【知识点】求一元一次不等式解的最值 【分析】该题考查了解一元一次不等式，根据题意，可以列出，然后解方程，最后根据x是整数，而得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得：． 所以有最大值，是4． 【题型九】列一元一次不等式 例9．“x的与x的和不超过5”可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据x的与x的和不超过5，得，即可作答． 【详解】解：依题意，x的与x的和不超过5， ∴， 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·上海·期中）“x的2025倍比y小”用不等式表示为 ． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系是关键．x的2025倍即为，小即“”，据此列不等式． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·上海·期末）根据要求写出不等式“的一半与的倍的和是非负数”： ． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查了不等式的列法，熟悉掌握不等式的列式方法是解题的关键． 根据题意列出式子即可． 【详解】解：由题意可得：； 故答案为：． 【题型十】用一元一次不等式解决实际问题 例10．（24-25七年级下·上海·期末）3月12日是我国的植树节，某校学生会组织七年级和八年级共65名同学参加植树活动，七年级学生平均每人植2棵树，八年级学生平均每人植4棵树，为了保证植树总数不少于220棵，则八年级学生参加活动的人数至少需（ ） A．50名 B．45名 C．40名 D．35名 【答案】B 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查用一元一次不等式解决实际问题，解题关键是根据题意列出不等式．设需要x名八年级学生参加活动，则参加活动的七年级学生为名，由“保证植树总数不少于220棵”列出不等式求解即可． 【详解】解：设需要x名八年级学生参加活动，则参加活动的七年级学生为名， 由题意得， ， 解得，， ∴八年级学生参加活动的人数至少需45名． 故选：B． 例11．（24-25七年级下·上海·月考）在一次考试中，小明的语文和英语分别考了70分和83分，如果想使自己三门功课的平均分不低于80分，则小明的数学应该至少考 分． 【答案】 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，小明的数学应该至少考分，根据三门功课的平均分不低于80分，列出不等式求解即可． 【详解】解：小明的数学应该考分， 根据题意：， 解得：， 则小明的数学应该至少考分， 故答案为：． 变式1．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）某乒乓球馆有两种计费方案，如下表．小鸣和同学们打算周末去此乒乓球馆连续打球4小时，经服务生测算后，告知他们包场计费方案会比按人数计费方案便宜，若他们共有人，根据题意可列不等式 ． 包场计费：包场每场每小时50元，每人须另付入场费5元 人数计费：每人打球2小时20元，接着续打球每人每小时6元 【答案】 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，解题关键是找出不等关系列出不等式．根据表中数据列出不等式求解，即可． 【详解】解：依题意，得， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·上海松江·期末）某校组织六年级和七年级共100名学生参加垃圾分类志愿者助力活动．六年级学生每人要完成2次助力分类，七年级学生每人要完成5次助力分类．为了保证垃圾分类助力总次数不少于360次，最少需要多少名七年级学生参加活动？ 【答案】最少需要54名七年级学生参加活动 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设需要x名七年级学生参加活动，则需要名六年级学生参加活动，根据要保证垃圾分类助力总次数不少于360次，可列出关于x的一元一次不等式，解得x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【详解】解：设需要x名七年级学生参加活动，则需要名六年级学生参加活动， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x的最小值为54． 答：最少需要54名七年级学生参加活动． 一、单选题 1．一个不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式可能是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法解答即可． 【详解】解：∵处是空心圆点，且折线向右， 故这个不等式的解集为， ∴这个不等式可能是． 故选：C． 【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”和空心点与实心点的区别是解答此题的关键． 2．把一些书分给名同学，若每人分本则不够，若每人分本，则正好剩余本．依题意，可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列不等式，解决问题的关键是弄清题意，找到关键语句，确定各量间的关系．根据题意，书的总数不变，每人分本不够，即总数小于；每人分本剩余本，即总数等于，从而列出不等式． 【详解】解：设书的总数为本， 每人分本不够， ， 每人分本，则正好剩余本， ， ， 故选：A． 3．如图，天平右盘中的每个砝码的质量是克，左盘中的每个小立方体的质量是克，则可以得到不等式（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质即可求解． 【详解】解：依题意，得，即． 故选：C． 4．某人分两次在市场上买了同一批货物，第一次买了3件，平均价格为每件a元，第二次买了2件，平均价格为每件b元．后来他以每件元的价格全部卖出，结果发现自己赔钱了，赔钱的原因是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先表示出5件货物的平均价格为元，而以每件元的价格把货物全部卖掉，结果赔了钱，所以有＞，继而得出a和b的关系． 【详解】解：∵5件货物的平均价格为 元， ∵以每件元的价格把货物全部卖掉，结果赔了钱， ∴ ＞， 解得：a＞b， 故选：B． 【点睛】本题主要考查不等式的性质，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，联系实际，进而找到所求的量之间的不等关系． 5．下列说法错误的是（    ） A．不等式的整数解有无数个 B．不等式的非负整数解有有限个 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的解和解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的方法和一元一次不等式解的定义是解题的关键．根据不等式的解和解一元一次不等式的相关概念求解并判断，即可解题． 【详解】解：A、不等式的整数解有无数个，正确，不符合题意； B、不等式的非负整数解有无限个，选项说法错误，符合题意； C、不等式的解集是，正确，不符合题意； D、， ，即是不等式的一个解，正确，不符合题意； 故选：B． 6．已知，且，则的最小值为(   ) A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】先根据已知求出，结合求出，再把变形为进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了幂的乘方逆运算、解一元一次不等式，熟练掌握运算公式是解答本题的关键． 二、填空题 7．已知，则 (填“”“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，不等式的基本性质：①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；据此解答即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 8．不等式的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题关键．将不等式两边同时除以2，即可求解． 【详解】解：， ， 即不等式的解是， 故答案为：． 9．写出一个解集为的不等式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了不等式的性质和解法，要构造解集为 的不等式，可以逆向思考：从结果出发，通过合理的变形得到不等式． 【详解】解：∵， 解得：， ∴ 故答案为：（答案不唯一）． 10．已知关于的方程的解是非负数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】把当作已知数表示出方程的解，根据方程的解为非负数列出不等式，确定出的范围即可． 【详解】解：方程， 解得：， ∵关于的方程的解是非负数， ∴， 解得：， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式．根据题意得出不等式是解题的关键． 11．某弹簧测力计的测量范围是．小明未注意弹簧测力计的测量范围，用弹簧测力计测量一个物体．取下该物体后，发现弹簧没有恢复原状，则该物体的重力G的范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的定义，能根据题意得出不等式是解此题的关键． 由弹簧测力计的测量范围是．再根据已知用弹簧测力计测量一个物体，取下物体后，发现弹簧没有恢复原状即可解答． 【详解】解：∵弹簧测力计的测量范围是，用弹簧测力计测量一个物体，取下物体后，发现弹簧没有恢复原状， ∴这个物体的重力大于，用不等式表示为：． 故答案为：． 12．已知方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式．将方程组内两个方程相加是解题的关键． 先把m当作已知条件求出的值，再由得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解： 得：， 即， ， ， 解得：， 故答案为：． 13．若关于x的方程的解是非负数，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次不等式， 先求出一元一次方程的解，再根据其解是非负数得出不等式，然后求出不等式的解集即可. 【详解】解：方程， 解得. ∵方程的解是非负数， ∴， 解得. 故答案为：. 14．进价为200元的商品，标价是300元，要使利润率不能少于5%，那么这种商品最多可以按 折销售？ 【答案】七/7 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，正确建立不等式是解题关键．设这种商品按折销售，根据利润率不低于建立不等式，解不等式即可得． 【详解】解：设这种商品按折销售， 由题意得：， 解得， 则这种商品最多能按七折销售， 故答案为：七． 15．已知，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式，根据，得到，结合，即可求出的取值范围． 【详解】解：， ， ， ， 解得， 故答案为：． 16．某市首届中学生足球比赛中，比赛规则是：胜一场积分，平一场积分，负一场积分．某校足球队共比赛场，以负场的成绩夺得了冠军，已知该校足球队最后的积分不少于分，则该校足球队获胜的场次最少是 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，解此题的关键在于根据题意设出未知数，找到题中不等量列出不等式进行求解设该校足球队获胜的场次为场，则平局为场，根据题意列出关于的不等式求解即可 【详解】解：设该校足球队获胜的场次为场，则平局为场， 由题意可得：， 解得：， 则该校足球队获胜的场次最少是场 故答案为 17．如图，一个容量为的杯子中装有的水，先将颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出．若每个小玻璃球的体积是，每个小铁块的体积是．下面四个说法：①；②；③杯子中仅放入个小铁块，水一定不会溢出；④杯子中仅放入个小玻璃球，水一定会溢出，其中正确的有 ．（填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用、一元一次不等式的应用等知识，正确列出运算式子，理解体积之间的关系是解题关键．将颗相同的小玻璃球放入这个杯中后的体积变化量除以小玻璃球的数量即可得①正确；根据直到放入第个相同的小铁块后，发现有水溢出可得，由此即可得②错误；求出，则可得，由此即可得③正确；求出，，由此即可得④正确． 【详解】解：，则①正确； ∵接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出， ∴，则②错误； 又∵接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出， ∴，即， ∴， ∴， ∴杯子中仅放入个小铁块，水一定不会溢出，则③正确； ∵，， ∴杯子中仅放入个小玻璃球，水一定会溢出，则④正确； 综上，正确的有①③④， 故答案为：①③④． 18．有下列说法：①若，则；②若，则；③若，且，则；④若，则．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 根据不等式的性质逐项判断即可得出答案． 【详解】解：若，当时，，∴①说法错误； 若，根据不等式的性质1，得，则，∴②说法正确； 若，当时，根据不等式的性质3，得，∴③说法错误； 若，可知，故，根据不等式的性质2，得，∴④说法正确． 故答案为：②④． 三、解答题 19．解不等式，并把不等式的解在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】根据解不等式的步骤计算即可． 【详解】， 整理得，， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并得，． 在数轴上表示为： 【点睛】本题考查解不等式，解题的关键是掌握解不等式的步骤和方法． 20．下列解不等式的过程是否正确？如果不正确，请加以改正． (1)； 解：移项，得． 两边都除以，得． (2)． 解：移项，得． 合并同类项，得． 即． 【答案】(1)原过程不正确，正确过程见解析 (2)原过程不正确，正确过程见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键。 （1）在系数化为1的那一步，不等式两边同时除以时不等号没有变号，据此求解即可； （2）在最后一步移项时，不等号应该不变号，据此求解即可； 【详解】（1）解：原过程不正确，正确过程如下： ； 移项，得． 两边都除以，得． （2）解：原过程不正确，正确过程如下： ． 移项，得． 合并同类项，得． 即． 21．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1)，图形见解析 (2)，图形见解析 (3)，图形见解析 (4)，图形见解析 【分析】考查知识点：一元一次不等式的解法、不等式的性质、数轴表示解集．解题关键：正确应用不等式性质，规范完成去分母、移项等步骤．易错点：除以负数时不等号未变号，去分母时漏乘常数项，数轴表示空心/实心圆点混淆． （1）对不含分母/括号的不等式：通过移项合并同类项，再系数化为1（注意负数变向）． （2）含括号的不等式：先去括号，再重复上述步骤． （3）含分母的不等式：先去分母（乘最小公倍数），再去括号、移项、系数化为1． （4）最后根据解集在数轴上标注（空心圆点对应“>”“<”，实心圆点对应“≥”“≤”）． 【详解】（1） 解集在数轴上表示如下： （2） 解集在数轴上表示如下： （3） 解集在数轴上表示如下： （4） 解集在数轴上表示如下： 22．如图，在计算程序图中，“■”内的数字印刷不清楚． (1)若“■”内的数字为，求输入的实数为101时最后输出的结果． (2)当开始输入的实数为100时，能经过一次运算（不用“返回”）输出结果．若“■”内的数字为正整数，求“■”内的数字的最小值． 【答案】(1)最后输出的结果是1613； (2)“■”内的数字的最小正整数为5． 【分析】此题考查有理数的混合运算，求不等式的整数解，掌握运算程序，理解题意是解决问题的关键． （1）根据计算程序代入可解答； （2）设“■”内的数字为，列出不等式，计算可解答． 【详解】（1）解：由题意得， ， 答：最后输出的结果是1613； （2）解：设“■”内的数字为， 由题意得， 解得， ∴“■”内的数字的最小正整数为5． 23．阅读下列解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，第一步 ∴，第二步 故．第三步 (1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质即可解答． 【详解】（1）解：上述解题过程中，从第二步开始出现错误，错误地运用了不等式的基本性质，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变． 故答案为：二． （2）解：正确的解题过程如下： ∵， ∴， ∴． 24．为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，需购买A，两种跳绳若干．若购买3根A种跳绳和1根种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根种跳绳共需300元． (1)求，两种跳绳的单价各是多少元？ (2)若该班准备购买，两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购买种跳绳多少根？ 【答案】(1)A种跳绳的单价为30元，种跳绳的单价为50元 (2)至多可以购买种跳绳20根 【分析】（1）设种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元．由题意：若购买3根种跳绳和1根种跳绳共需元；若购买5根A种跳绳和3根种跳绳共需300元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买种跳绳根，则购买A种跳绳根，由题意：总费用不超过1780元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设A种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元． 根据题意得：， 解得：， 答：A种跳绳的单价为30元，种跳绳的单价为50元． （2）设购买种跳绳根，则购买A种跳绳根， 由题意得：， 解得：， 答：至多可以购买种跳绳20根． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出不等关系，正确列出一元一次不等式． 25．节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元． (1)求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？ (2)若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？ 【答案】(1)每千米用电费用是0.3元，甲、乙两地的距离是100千米；(2)至少需要用电行驶60千米． 【分析】(1)根据从甲地行驶到乙地的路程相等列出分式方程解答即可； (2)根据所需费用不超过50元列出不等式解答即可． 【详解】解：(1)设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为(x+0.5)元， 可得：， 解得：x=0.3， 经检验x=0.3是原方程的解， ∴汽车行驶中每千米用电费用是0.3元，甲、乙两地的距离是30÷0.3=100千米； (2)至少需要用电行驶60千米． 汽车行驶中每千米用油费用为0.3+0.5=0.8元， 设汽车用电行驶ykm， 可得：0.3y+0.8(100-y)≤50， 解得：y≥60， 所以至少需要用电行驶60千米． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式． 26．某商店销售A，B两种水果，A水果标价14元/kg，B水果标价18元/kg．妈妈让小明到这家商店买A，B两种水果，要求B水果比A水果多买1 kg．设小明买m kg A水果． (1)若这两种水果按标价出售且合计付款不超过50元，求m的取值范围． (2)小明到这家商店后，发现A，B两种水果有优惠活动：A水果打七五折；一次性购买B水果不超过1 kg不优惠，超过1 kg后，超过1 kg的部分打七五折．若小明合计付款48元，求m的值（注：“打七五折”指按标价的75%出售）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：①找出数量关系，正确列出一元一次不等式；②找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设小明买水果，则买了水果．根据合计付款不超过元，列出一元一次不等式，解不等式，即可解决问题； （2）设小明买水果，则买了水果．根据小明合计付款元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设小明买水果，则买了水果． 由题意，得， 解得， 又∵， ∴的取值范围为． （2）解：设小明买水果，则买了水果． 由题意，得， 解得． 答：的值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $