第六章 平面向量及其应用 全章综合测试卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用全章综合测试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选好题，练基础，提能力！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 2．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 3．（2024高二·辽宁沈阳·学业考试）在中，，，所对的边分别为a，b，c，其中，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025高二·全国·假期作业）如图，一艘船上午在处测得灯塔在它的北偏东处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午到达处，此时又测得灯塔在它的北偏东处，且与它相距.此船的航速是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·宁夏石嘴山·期末）设向量，不平行，向量与平行，则实数（    ）． A． B． C． D． 6．（24-25高三上·山东德州·期中）在中，为边上的中线，且，则（ ） A． B． C． D． 7．（2025高一·全国·课后作业）已知向量，满足，||=2，且与的夹角为，则||=（    ） A．2 B．1 C． D． 8．（2025高一下·四川成都·期末）设锐角的内角、、所对的边分别为、、，且，，则的面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（2025高一下·全国·专题练习）若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（    ） A．可以表示平面内的所有向量 B．对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对 C．，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使 D．若存在实数，，使，则 10．（23-24高一下·四川绵阳·期末）如图，在中，点D为的中点，点E为的四等分点（靠近点C），，，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．是在上的投影向量 11．（24-25高二上·福建福州·期中）三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若面积为，则周长的最小值为12 C．当，时， D．若，，则面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2025高一下·上海·课后作业）设与的夹角为60°，，，则 ． 13．（2025高一下·四川成都·阶段练习）中，a，b，c分别是的对边，，则 . 14．（24-25高三上·陕西西安·期末）在中，在上，且，在上，且.若，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·四川乐山·期末）已知平面向量. （1）若，求实数的值； （2）若与的夹角为，求实数的值. 16．（15分）（24-25高一下·北京·阶段练习）已知向量，，，且向量与共线. （1）证明：； （2）求与夹角的余弦值； （3）若，求的值. 17．（15分）（2025高二·全国·课后作业）在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，，求及的面积． 18．（17分）（24-25高一下·浙江湖州·期末）在锐角中，内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）求的取值范围. 19．（17分）（2025高一下·上海·阶段练习）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地AOB分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且． （1）求扇形空地AOB的周长和面积； （2）当米时，求PQ的长； （3）综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．设，求面积的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量及其应用全章综合测试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选好题，练基础，提能力！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 【解题思路】根据零向量特点即可判断A；根据向量模的定义即可判断B，根据单位向量以及向量共线的性质即可判断CD. 【解答过程】对A，既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误； 对B，由于与方向相反，长度相等，故B正确； 对C，起点相同的单位向量，终点不一定相同，故C错误； 对D，若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等或相反，故D错误． 故选：B． 2．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【解题思路】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线. 【解答过程】对于A，，与不共线，A不正确； 对于B，，，则与不共线，B不正确； 对于C，，，则与不共线，C不正确； 对于D，， 即 ，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确． 故选：D． 3．（2024高二·辽宁沈阳·学业考试）在中，，，所对的边分别为a，b，c，其中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用正弦定理可求解. 【详解】，， ， 由正弦定理得， . 故选：B. 4．（2025高二·全国·假期作业）如图，一艘船上午在处测得灯塔在它的北偏东处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午到达处，此时又测得灯塔在它的北偏东处，且与它相距.此船的航速是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先设航速为，计算AB长度，再利用正弦定理列关系即求得. 【详解】设航速为 在中，，，， 由正弦定理得：，∴. 故选：C. 5．（24-25高二下·宁夏石嘴山·期末）设向量，不平行，向量与平行，则实数（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量共线列式计算即得. 【详解】由向量与平行，得，而向量不平行， 于是，所以. 故选：A 6．（24-25高三上·山东德州·期中）在中，为边上的中线，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用为边上的中线，得到，再结合，得到，运用向量的加减及数乘等运算把表示为与的线性关系 【详解】如图所示： ∵为边上的中线 ∴， ∵ ∴ ∴ 故选：A 7．（2025高一·全国·课后作业）已知向量，满足，||=2，且与的夹角为，则||=（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】利用平面向量的数量积运算，由求解. 【详解】因为向量，满足，||=2，且与的夹角为， 所以， 所以， 解得||=1. 故选：B. 8．（2025高一下·四川成都·期末）设锐角的内角、、所对的边分别为、、，且，，则的面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理、三角恒等变换求得，利用正弦定理求得，求出角的取值范围，结合三角形的面积公式以及正切函数的基本性质可求得结果. 【详解】因为，由正弦定理可得， 因为为锐角，则，所以，，即， 所以，，，，则，， ，由正弦定理，则有， 因为为锐角三角形，则，解得，所以，， 所以，. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（2025高一下·全国·专题练习）若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（    ） A．可以表示平面内的所有向量 B．对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对 C．，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使 D．若存在实数，，使，则 【答案】BC 【分析】根据平面向量基本定理结合线性运算分析判断. 【详解】由题意可知：，可以看成一组基底向量， 根据平面向量基本定理可知：A，D正确，B不正确； 对于C，当时，则， 此时任意实数均有，故C不正确； 故选：BC． 10．（23-24高一下·四川绵阳·期末）如图，在中，点D为的中点，点E为的四等分点（靠近点C），，，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．是在上的投影向量 【解题思路】对于A，由向量的加法法则分析判断，对于B，给两边平方化简可求出，对于C，将用表示，代入化简判断，对于D，利用投影向量的定义求解判断. 【解答过程】对于A，因为在中，点D为的中点，所以， 所以，所以A正确， 对于B，因为，，，， 所以， 所以，即，所以B错误， 对于C，因为， 所以 ，所以C错误， 对于D，因为点E为的四等分点（靠近点C），所以， 所以在上的投影向量为，所以D正确. 故选：AD. 11．（24-25高二上·福建福州·期中）三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若面积为，则周长的最小值为12 C．当，时， D．若，，则面积为 【答案】ABD 【分析】由题意可得，选项A：利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求角的大小；选项B：由三角形面积和角可得，利用均值不等式求周长最小值即可；选项C：利用边角互化后得到的解即可；选项D：利用正弦定理求，然后后面积公式求解即可. 【详解】因为， 由题意可得， 整理得， 由正弦定理边角互化得， 又由余弦定理得，所以，A正确； 当时，，所以，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以，B正确； 由当，时，，解得，C错误； 由，得，由正弦定理得解得， 又因为， 所以，D正确； 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2025高一下·上海·课后作业）设与的夹角为60°，，，则 ． 【答案】 【分析】首先求出，再根据平面向量数量积的运算律，将两边平方，解出． 【详解】解：． ，．．．解得． 故答案为：． 13．（2025高一下·四川成都·阶段练习）中，a，b，c分别是的对边，，则 . 【答案】 【分析】由，结合余弦定理得到求解. 【详解】因为， 所以， 即：， 因为， 所以， 故答案为： 14．（24-25高三上·陕西西安·期末）在中，在上，且，在上，且.若，则 . 【答案】/ 【分析】根据已知条件先确定，，再根据平面向量基本定理，把向量与向量作为一组基底表示出向量即可. 【详解】因为，所以，因为，所以， 因为， 所以，则， 因为，所以，则. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·四川乐山·期末）已知平面向量. （1）若，求实数的值； （2）若与的夹角为，求实数的值. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据向量的坐标运算，由数量积为0即可求解， （2）根据夹角公式即可求解. 【详解】（1）由可得， 由得，解得 （2），故， 解得 16．（15分）（24-25高一下·北京·阶段练习）已知向量，，，且向量与共线. （1）证明：； （2）求与夹角的余弦值； （3）若，求的值. 【解题思路】（1）根据向量共线得，列方程组解出，再利用向量垂直的坐标表示证明即可； （2）利用及向量数量积和模长的坐标表示求解即可； （3）利用向量数量积的运算律求解即可 【解答过程】（1）因为向量与共线，所以， 则，解得， 所以，， 因为， 所以. （2）由（1）得， 所以， 即与夹角的余弦值为. （3）因为，，， 所以，解得. 17．（15分）（2025高二·全国·课后作业）在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，，求及的面积． 【答案】（1）（2）， 【分析】（1）先利用余弦定理的推论求出，再结合角的范围进行求解； （2）先由正弦定理求出和，利用三角形的内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式求出，再利用三角形的面积公式进行求解. 【详解】（1）由得， 即，即， 又因为，所以． （2）因为，，， 所以， 又，所以，， 在中， ， 则． 18．（17分）（24-25高一下·浙江湖州·期末）在锐角中，内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）求的取值范围. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据平面向量数量积的定义和余弦定理可得，即可求出； （2）根据题意和锐角三角形的性质可得，利用三角恒等变换化简可得 ，根据三角函数的性质即可得出结果. 【详解】（1） 整理得，故 又，所以； （2）由锐角知， 得， 故 ， 因为，得， 所以. 19．（17分）（2025高一下·上海·阶段练习）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地AOB分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且． （1）求扇形空地AOB的周长和面积； （2）当米时，求PQ的长； （3）综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．设，求面积的最大值． 【答案】（1）周长为米，面积为平方米（2）米（3）平方米 【分析】（1）借助面积公式与周长公式计算即可得； （2）结合平行线的性质与余弦定理计算即可得； （3）结合题意，利用正弦定理与面积公式表示出面积后，借助三角恒等变换将其变形为正弦型函数，结合正弦函数的性质计算即可得. 【详解】（1），则扇形空地AOB的周长为， 面积； （2）由，故， 由余弦定理可得， 即，即有， 即，故（负值舍去）或， 即； （3）由，故，又， 由正弦定理可得，即， 则， 令， 则 ， 有最大值，此时，即，可取， 此时平方米. 1 学科网（北京）股份有限公司 $