第05讲 平面向量数量积的坐标表示寒假自学讲义-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

2025-2026学年高一数学寒假自学讲义 平面向量数量积的坐标表示 教学目标 1．能根据向量的坐标计算求数量积、向量的模、夹角及判定两个向量垂直； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：平面向量基本定理及其意义，平面向量的坐标表示； 难点：平面向量基本定理的探究，平面向量数量积的应用。 教学内容 平面向量数量积的坐标表示 1．平面向量数量积的坐标表示 （1）平面向量数量积的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 .又，，，所以 （2）平面向量长度（模）的坐标表示 若，则或 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么， 2．平面向量位置关系的坐标表示 （1）共线的坐标表示 设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数，使.如果 用坐标表示，可写为，即，消去，得.这就是说，向量 共线的充要条件是 （2）垂直的坐标表示 设，，则 （3）夹角的坐标表示 设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得 题型一：平面向量数量积的坐标计算 【例1-1】已知，则（    ） A． B． C．2 D． 【例1-2】在中，，设点D为的中点，点在上，且，则（    ） A．16 B．12 C．8 D． 【变式训练】 1．在边长为4的等边中，E，F分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D．6 2．在正方形中，，分别为，的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 题型二：向量共线、垂直的坐标表示 【例2-1】已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【例2-2】已知平面向量，若，则（    ） A． B． C．2 D．12 【变式训练】 1．已知向量. （1）若，求； （2）若与共线，求的值. 2．已知向量. （1）若单位向量与共线，求向量的坐标； （2）若与垂直，求的值. 题型三：坐标计算向量的模 【例3】已知平面向量，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】 1．已知向量，，若向量，则实数的值为（   ） A． B．3 C． D． 2．设，向量且，则（   ） A． B． C． D．10 题型四：向量夹角的坐标表示 【例4-1】已知向量.若与的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【例4-2】已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练】 1．已知向量，，则向量与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D．0 2．设，向量且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，若与的夹角为钝角，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型五：利用坐标研究投影向量 【例5】已知点，则向量在向量方向上的投影的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知向量，满足，，，则向量在方向上的投影向量坐标为（   ） A． B． C． D． 2．已知平面向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型六：平面向量数乘和数量积的综合 【例6】已知向量. （1）已知，求向量与的夹角； （2）若，求实数的值. 【变式训练】 1．已知平面向量，，，且与的夹角为. （1）求； （2）求 （3）若与垂直，求的值. 2．（1）已知点，点是直线上一点，且，求点的坐标； （2）已知与的夹角为，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 1．已知，若，则实数（    ） A． B．2 C． D．1 2．已知四边形为矩形，，，是的中点，则（   ） A． B． C．3 D．7 3．已知平面向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 4．设向量，则（ ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 5．已知向量，向量满足，则（   ） A． B． C． D． 6．已知向量，，，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 7．已知向量，且，则的值为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 8．（多选）已知向量，若，则以下结论正确的是（    ） A．时与同向 B．时与同向 C．时与反向 D．时与反向 9．（多选）设向量，，则 （    ） A． B． C． D．与的夹角为 10．（多选）已知，则下列叙述正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为5 D．若向量与向量的夹角为钝角，则 11．已知非零向量，满足，，若，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 12．已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则 ． 13．已知平面向量，，. （1）若，求； （2）若与的夹角为锐角，求x的取值范围. 14．已知向量，，. （1）若，，三点共线，求实数的值； （2）若为锐角，求实数的取值范围. 一、本节课我们学习的知识点有哪些： 二、本章重难点有： 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学寒假自学讲义 平面向量数量积的坐标表示 教学目标 1．能根据向量的坐标计算求数量积、向量的模、夹角及判定两个向量垂直； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：平面向量基本定理及其意义，平面向量的坐标表示； 难点：平面向量基本定理的探究，平面向量数量积的应用。 教学内容 平面向量数量积的坐标表示 1．平面向量数量积的坐标表示 （1）平面向量数量积的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 .又，，，所以 （2）平面向量长度（模）的坐标表示 若，则或 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么， 2．平面向量位置关系的坐标表示 （1）共线的坐标表示 设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数，使.如果 用坐标表示，可写为，即，消去，得.这就是说，向量 共线的充要条件是 （2）垂直的坐标表示 设，，则 （3）夹角的坐标表示 设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得 题型一：平面向量数量积的坐标计算 【例1-1】已知，则（    ） A． B． C．2 D． 【解题思路】根据向量的数量积的坐标表示计算即可. 【解答过程】因为， 所以， 所以. 故选：D. 【例1-2】在中，，设点D为的中点，点在上，且，则（    ） A．16 B．12 C．8 D． 【解题思路】以为原点，建立如图坐标系，结合向量的坐标运算即可. 【解答过程】在中，，，，以为原点，建立如图坐标系， 则，，，，设， 则，，， 由题意可知，即，解得. 则，所以. 故选：A. 【变式训练】 1．在边长为4的等边中，E，F分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，求出，利用数量积的坐标公式即可求解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，    因为在边长为4的等边中，E，F分别是，的中点，则， 所以， 所以. 故选：A. 2．在正方形中，，分别为，的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建系，设，标相关点，根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 设，则， 可得， 因为，可得， 所以. 故选：B. 题型二：向量共线、垂直的坐标表示 【例2-1】已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先利用平面向量坐标运算法则求出，再由向量，求出实数值. 【解答过程】因为向量，，可得， 因为，所以，解得：， 故选：C. 【例2-2】已知平面向量，若，则（    ） A． B． C．2 D．12 【解题思路】由，列方程可求出，再由，列方程可求出，即可求得. 【解答过程】因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以. 故选：C. 【变式训练】 1．已知向量. （1）若，求； （2）若与共线，求的值. 【解题思路】（1）根据向量垂直的坐标表示可得，进而可求； （2）根据向量共线的坐标表示求得. 【解答过程】（1）因为，则， 又因为，则， 解得， 则，所以. （2）由题意可得：， 因为∥，则， 解得. 2．已知向量. （1）若单位向量与共线，求向量的坐标； （2）若与垂直，求的值. 【解题思路】（1）根据单位向量的定义，结合共线向量的坐标运算公式求解即可； （2）根据向量平方和数量积的坐标运算公式进行计算即可. 【解答过程】（1）因为两向量共线，是单位向量， 所以设， 得到解得或 得或. （2）因为与垂直， 所以，而， 即， 解得. 题型三：坐标计算向量的模 【例3】已知平面向量，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】根据模的坐标运算得，根据垂直关系可得，再根据模长关系运算求解. 【解答过程】因为，所以，， 又因为，所以，则， 所以. 故选：C. 【变式训练】 1．已知向量，，若向量，则实数的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】先利用向量坐标的加减运算求出和，然后利用向量模的坐标运算列式求解即可. 【详解】因为向量，，所以， 由得，即， 解得. 故选：B 2．设，向量且，则（   ） A． B． C． D．10 【答案】C 【分析】根据向量垂直、平行列方程，求得，进而求得正确答案. 【详解】由于， 所以，解得， 所以， 所以. 故选：C 题型四：向量夹角的坐标表示 【例4-1】已知向量.若与的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意：，，，所以.故选：D 【例4-2】已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由已知可得，由可得，解得， 所以由与的夹角为钝角可得解得，且. 因此，当时，与的夹角不一定为钝角，则充分性不成立； 当与的夹角为钝角时，，且，即成立，则必要性成立. 综上所述，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B． 【变式训练】 1．已知向量，，则向量与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】由坐标计算向量夹角的余弦可得. 【详解】由已知，， 所以向量与的夹角的余弦值为. 故选：D. 2．设，向量且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用垂直关系求出，再利用向量夹角的坐标表示求得答案. 【详解】由向量且，得，则， 所以. 故选：B 3．已知，，若与的夹角为钝角，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量数量积的坐标表示与共线的坐标表示计算即可求得的取值范围. 【详解】因为，，所以， 的夹角为钝角； ，且不平行； ； 解得，且； 的取值范围为：． 故选：B． 题型五：利用坐标研究投影向量 【例5】已知点，则向量在向量方向上的投影的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量坐标运算法则求得，利用投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，可得， 则向量在向量方向上的投影为． 故选：C. 【变式训练】 1．已知向量，满足，，，则向量在方向上的投影向量坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影向量公式可求投影向量的坐标. 【详解】向量在方向上的投影向量为， 故选：A. 2．已知平面向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的定义计算即得. 【详解】∵，∴， 所以在上的投影向量为：. 故选：A. 题型六：平面向量数乘和数量积的综合 【例6】已知向量. （1）已知，求向量与的夹角； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）（2）或 【详解】（1）因为，所以， 故， 因为，所以向量与的夹角； （2）， ， 由于， 所以， 解得：或， 从而或. 【变式训练】 1．已知平面向量，，，且与的夹角为. （1）求； （2）求 （3）若与垂直，求的值. 【答案】（1）（2）（3） （1），，. （2），∴. （3）若与垂直，则， 即，∴，即，∴. 2．（1）已知点，点是直线上一点，且，求点的坐标； （2）已知与的夹角为，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1）的坐标为或；（2） 【详解】（1）设点的坐标，由， 得， 因为点是直线上一点，且， 所以或， 即 或， 解得或，所以点的坐标为或； （2）因为与的夹角为， 所以， ， 因为与的夹角为锐角，所以，即， 解得，又当与共线时有，解得，所以， 综上，实数的取值范围是． 1．已知，若，则实数（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】由向量坐标运算及垂直的坐标表示可求. 【详解】由题意，向量，则， 因为，可得，解得． 故选：C. 2．已知四边形为矩形，，，是的中点，则（   ） A． B． C．3 D．7 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，再利用坐标表示向量的数量积，从而可求解. 【详解】由题，以点为坐标原点，分别以，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 则，，则，故A正确； 故选：A. 3．已知平面向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据向量加减法计算得出，应用数量积公式计算判断A，应用平行坐标表示判断B，应用夹角公式计算判断C，根据模长公式计算判断D. 【详解】因为平面向量，满足，，则， 对于A：，所以A错误； 对于B：因为，，则，B选项错误； 对于C：，所以，C选项正确； 对于D：，所以，D选项错误. 故选：C. 4．设向量，则（ ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示以及充分条件、必要条件的定义逐项判断即可. 【详解】对A，当时，则，所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对C，当时，，故，所以，即充分性成立，故C正确； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 5．已知向量，向量满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据题意结合数量积的坐标运算求得，进而可求模长. 【详解】设，则，解得， 即，所以． 故选：A． 6．已知向量，，，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量模长的求法，结合向量数量积及夹角公式，直接求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，化简得，所以， 所以，而， 所以向量与的夹角是. 故选：C 7．已知向量，且，则的值为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【解析】因为，所以，解得，所以， 则，所以，故选：A 8．（多选）已知向量，若，则以下结论正确的是（    ） A．时与同向 B．时与同向 C．时与反向 D．时与反向 【答案】AD 【解析】，则即或， 当时，与的方向相同，故A成立； 当时，与的方向相反，故D成立.故选:AD. 9．（多选）设向量，，则 （    ） A． B． C． D．与的夹角为 【答案】CD 【解析】由题意，，， 则  ，   ，故A错误； 易知，由， 所以与不平行，故B错误； 又   ，即，故C正确； 因为   ， 又  ，所以与的夹角为，故D正确．故选：CD． 10．（多选）已知，则下列叙述正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为5 D．若向量与向量的夹角为钝角，则 【答案】AD 【解析】对于A，若，则，解得：，A正确； 对于B，若，则，解得：，B错误； 对于C，因为，所以，则当时，，，C错误； 对于D，若向量与向量的夹角为钝角，则，解得，由上可知，此时两向量不共线，D正确.故选：AD. 11．已知非零向量，满足，，若，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据已知求出.结合已知推得，求出，然后即可根据投影向量的意义求得结论. 【详解】由已知可得，.因为，所以， 所以，所以，所以， 解得或（舍去），所以， 所以，向量在向量方向上的投影向量为. 故答案为：. 12．已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则 ． 【答案】 【分析】由已知分别求出和，再根据平面向量数量积的运算律求解即可． 【详解】由得，， 因为向量在向量方向上的投影向量的坐标为， 所以，即， 所以， 所以， 故答案为：． 13．已知平面向量，，. （1）若，求； （2）若与的夹角为锐角，求x的取值范围. 【答案】（1）2或；（2） 【解析】（1）由题意得：，解得：或， 当时，，所以； 当时，， 所以； （2）因为与的夹角为锐角， 所以，且与不同向共线， 即， 解得：，且， 综上：x的取值范围是. 14．已知向量，，. （1）若，，三点共线，求实数的值； （2）若为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）解：因为，，， 所以，， 因为，，三点共线，所以与共线，所以，解得. 所以实数的值 （2）解：因为向量，，， 所以，， 因为为锐角，所以且与不共线，即，解得且， 所以，实数的取值范围是 一、本节课我们学习的知识点有哪些： 二、本章重难点有： 1 学科网（北京）股份有限公司 $