第08讲 正余弦定理的综合应用 寒假自学讲义-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

2025-2026学年高一数学寒假自学讲义 正余弦定理的综合应用 教学目标 1．能灵活使用正余弦定理，对边角转换内容熟练掌握； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合，转化的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：正余弦定理的边角转换； 难点：利用正余弦定理求范围问题。 教学内容 正余弦定理的综合应用 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ＝＝＝2R（R为△ABC外接圆半径） a2＝b2＋c2－2bccosA b2＝c2＋a2－2cacosB c2＝a2＋b2－2abcosC 常见变形 （1）a＝2Rsin A，b＝2RsinB，c＝2RsinC （2）sin A＝，sin B＝，sin C＝ （3）a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC （4）asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝ cos B＝ cos C＝ 面积公式 （1） （2） （3） （4） 注：在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心。 题型一：与三角函数结合问题 1、两角和与差的正余弦与正切 ① ② ③ 2、二倍角公式 ① ② ③ 3、降幂公式 4、辅助角公式 （其中）． 5、三角形中角的关系 （1）中，，= （2）， （3）， 【例1】在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由，结合正弦定理可得： 为锐角三角形，故. （2）结合（1）的结论有： . 由可得：，， 则，.即的取值范围是. 【变式1-1】已知以角B为钝角的的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，且. （1）求角B的大小； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为，所以，得：，由正弦定理化简得：，所以，为钝角，所以. （2）因为， 由（1）知，，，，故的取值范围是. 【变式1-2】在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 （Ⅰ）求A的大小； （Ⅱ）求的最大值. 【答案】（Ⅰ）120°；（Ⅱ）1. 【详解】（Ⅰ）， ,即. ，. （Ⅱ）， ，∴当即时，取得最大值1. 题型二：周长、面积问题 1、三角形面积和周长的最值、范围问题 （1）求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化 周长 （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） （3）求周长的模型： （4）基本不等式 ① ②（当且仅当时取“=”号） （5）利用三角恒等变换转化为内角有关的三角函数。 ①和差角公式：， ②辅助角公式： （其中）． 2、解题思路步骤 ①利用基本不等式：，再利用及，求出的取值范围或者利用 ②利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值 【例2-1】在中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足. （1）求的大小； （2）若的面积为，其外接圆半径，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 即， 又因为，所以， 由，可得，所以， 又由，所以. （2）由（1）知，所以的面积为，解得， 因为的外接圆半径， 由正弦定理可得，所以， 又由余弦定理得， 即， 解得，所以， 所以的周长为. 【例2-2】在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若，求的周长l的取值范围． 【答案】（1）（2） 【详解】（1）因为，所以， 解得或（舍去）， 又，所以. （2）由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以的周长， 即 ， 又，所以，解得，所以， 所以， 所以，即的周长l的取值范围为. 【例2-3】在锐角中，角A，，的对边分别为a，b，c，S为的面积，且. （1）求的值； （2）已知，求的面积的最大值. 【答案】（1）2（2）2 【详解】（1）因为，且， 可得， 即，所以. （2）因为， 又因为，即， 整理可得，解得或， 又因为，则，， 由余弦定理可得：，即， 整理可得， 又因为，即， 当且仅当时，等号成立， 且此时为为锐角三角形，符合题意， 所以的面积的最大值为. 【变式2-1】已知中，角、、的对边分别是、、，已知. （1）求角的大小； （2）若的面积为，若的周长为6，求三角形的边长. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由正弦定理得：， ∵，∴， ∴， 整理可得：， ∵，∴，∴，又，∴. （2）由（1）知，若的面积为，∴， 若的周长为6，∴， 由余弦定理，得， 解得. 【变式2-2】已知在锐角中，三边的对角分别为，且 （1）求角的值； （2）若，求的周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【小问1详解】 设的外接圆的半径为， 由正弦定理得，可得， 将其代入，可得 ， 根据余弦定理得， 由此可得，又为锐角，所以； 【小问2详解】 由（1）正弦定理， ， ， 又因为为锐角三角形，所以， 又， ， ，即， 所以， 又，，即， 故锐角的周长的取值范围为. 【变式2-3】在锐角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足． （1）求角B的大小； （2）若，求面积的取值范围． 【答案】（1）（2） 【详解】（1）因为，则， 整理可得， 利用正弦定理可得， 又因为，则，可得，即， 且，所以. （2）由正弦定理， 可得， 由题意可知：，解得， 则，可得，即， 又因为面积， 所以面积的取值范围为. 题型三：中线、角平分线问题 1、中线问题 如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长. 向量法：,两边平方即可。 2、角平分线问题 △ABC中，AD平分∠BAC. ①角平分线定理： ②等面积法 【例3-1】在中，角，，，所对边分别为，，，已知，且 （1）求C； （2）若为边的中点，且，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【小问1详解】 因为，由正弦定理得：， 则， 所以，则 所以，，或，，则，或， 又因为，所以，所以，故. 【小问2详解】 在中由余弦定理得：，所以①， 因为D为AB边的中点，所以， 所以， 所以②，  ②-①得：，  所以. 【例3-2】在中，角所对的边分别为，，，且，. （1）若边上的高，求证：为等边三角形； （2）已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【详解】（1）证明：在中，，， 由余弦定理得，即①. 又， 即，故②. 由①②得，即， 故. 所以为等边三角形. （2）在中，由， 得， 又直线为的平分线， 则， 所以，即③， 又由余弦定理可得，即.④， 由③④可知， 解得或（舍）， 所以的周长为. 【变式3-1】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． 问题：△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ． （1）求B； （2）若D为AC的中点，，，求△ABC的面积． 【答案】（1） （2） 【小问1详解】 若选①， 由正弦定理可得， 因为，所以， 即， 因为，所以，所以，则； 若选②，则， 由正弦定理可得，又， 所以，即， 因为，则； 若选③，则， 由正弦定理可得， 即， 所以， 所以，又，所以， 因为，则； 【小问2详解】 因为为的中点，所以，因为， 所以， 即，解得或（舍去）， 所以． 【变式3-2】在中，角的对边分别为，为边上的中线. （1）证明：； （2）若，，求的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【小问1详解】 方法一：为边上中线，， ， 在中，由余弦定理得：， ， ， . 方法二：为边上中线， 在中，， 在和中，由余弦定理得： ， 即， ， 即； 【小问2详解】 ，，由余弦定理可得， 故，即， 当且仅当时，即时等号成立， 所以， 所以取得最大值为. 【变式3-3】在中，内角A，B，C的对边分别是的面积记为，已知. （1）求； （2）若BC边上的中线长为1，AD为角的平分线，求CD的长. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由题设， 而，所以，， 所以. （2）如下示意图，是的中线，则， 所以， 由，则， 又，则， 即，则， 所以. 题型四：三角函数性质与正余弦定理综合运用 【例4】已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）若的外接圆的直径为，且锐角满足，求面积的最大值. 【答案】（1），；（2）最大值为. 【解析】（1） 令， 解得单调递增区间为，； （2），解得. 又令外接圆半径为，则， 所以， 又因为， 所以（当且仅当） 所以，所以面积最大值为. 【变式4-1】已知向量，，设函数. （1）求函数的最大值; （2）在锐角中，三个角，，所对的边分别为，，，若，，求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）因为，， 所以函数 ∴当时， （2）∵为锐角三角形，. 又 即 【变式4-2】在中，角的对边分别为.已知向量，向量，且. （1）求角的大小； （2）若，，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】（1） ，解得： （2）由余弦定理得： 由正弦定理得： 为锐角 题型五：正余弦定理在几何中的运用 【例5-1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求B； （2）已知，D为边上的一点，若，，求的长． 【答案】（1）．（2）． 【解析】（1）∵，根据正弦定理得，， 即， 所以，因为， 所以，所以， 因为，所以． （2）因为，，，根据余弦定理得 ，∴． ∵，∴． 在中，由正弦定理知，，∴， ∴，，所以 ∴，∴． 【例5-2】如图，在四边形中，的面积为．    （1）求； （2）证明：． 【答案】（1）（2）证明见解析 【解析】（1）设， 因为的面积为， 所以，解得， 所以． 在中，由余弦定理得，所以． 在中，，所以，所以； （2）由（1）可得，在中，由正弦定理得， 所以，且． 由（1）可得，又，所以． 【变式5-1】在中，角所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）已知，为边上的一点，若，，求的长. 【答案】（1）;（2）. 【解析】（1）因为，所以， 所以，，，所以，, 因为，所以. （2）因为，，， 根据余弦定理得: ，∴. 所以， 所以， 所以， 所以， 所以. 【变式5-2】在平面四边形 中. （1）求 ； （2）若 求. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）在中，解得. 因为所以 解得. （2）解法一：由（1）可得. . 在中，解得. 解法二：延长交于点，如图， 则为等边三角形. 在中，，解得.    【变式5-3】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3asinC=4ccosA，. （1）求； （2）如图，点M为边上一点，，，求的面积． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）由及正弦定理，得 ， 因为，所以， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以. （2）设， 易知，则， 在中，由余弦定理，得， 即，解得 （负值已舍去）， 所以， 在中，， ，即， 又，则， 所以. 所以. 题型六：实际应用 【例6】我缉私巡逻艇在一小岛A南偏西50°的方向，距小岛12海里的B处，发现隐藏在小岛边上的一艘走私船正开始向小岛北偏西10°的方向行驶，测得其速度为每小时10海里，问我巡逻艇需用多大的速度朝什么方向航行才能恰在两个小时后截获该走私船？（参考数据：sin 38°≈0.62） 【解析】如上图所示，AC所在射线即为走私船航行路线，假设我巡逻艇在C处截获走私船，我巡逻艇的速度为每小时x海里，则BC＝2x，AC＝20海里．依题意∠BAC＝180°－50°－10°＝120°， 由余弦定理BC2＝AB2＋CA2－2AB·ACcos 120°. ∴BC2＝784，BC＝28，∴x＝14海里． 又由正弦定理 sin ∠ABC＝＝≈0.62. ∴∠ABC＝38°. 在△ADB中，∠ABD＝40°. ∴∠EBC＝90°－38°－40°＝12°.即我巡逻艇用每小时14海里的速度向北偏东12°的方向航行． 【变式6-1】鱼中高一同学测量学校教学大楼的高度时，在跑道上选择了相距24米的两点，分别测得楼顶D的仰角，又测得楼底C与A的连线与跑道所成的角（三处在同一水平面上），则学校教学大楼的高度为（       ）． A．24 B．16 C．32 D．23 【答案】A 【解析】【详解】设楼高米，则，，又由余弦定理知：， 即，解得或（舍去），故楼高为24米.故选：A. 【变式6-2】如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，求塔高. 【答案】 【详解】， 由正弦定理得， 在直角三角形中，，. 1．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】由余弦定理可得， 又因为，所以.因为，所以.故选：B 2．在中，已知，则三角形的周长是（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【解析】 因为，所以又，所以故选：D 3．在中，点，在边上，且满足：，，若，，，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】因为，则M为BC中点，两边平方化简得到；因为，则AN为角平分线，，化简得到．解出，代入面积公式即可. 【解答过程】如图，在中，设,      因为，则M为BC中点，两边平方得到， ， 即，化简 因为，则AN为角平分线，， 即，条件代入化简得， ，则，且， 联立解得，解得（负值舍去）. 所以. 故选：D. 4．在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由正弦定理化简已知可得，再由是锐角，得到，然后根据正弦定理和三角形内角和将周长用表示，结合三角恒等变化和三角函数图象即可求得范围. 【解答过程】因为， 根据正弦定理得，， 因为为锐角，所以， 所以，即，而A为锐角， 所以， 因为根据正弦定理， 所以， 因为三角形周长为， 又因为，所以， 所以， 因为，即， 所以， 即，， 所以. 故选：C. 5．的内角的对边分别为，且，，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．的面积的最大值为 D．的周长的取值范围是 【解题思路】利用三角恒等变换结合正弦定理边化角判断AB，利用余弦定理和基本不等式求出和的范围判断CD即可. 【解答过程】选项A，由可得， 又是的内角，， 所以，由正弦定理得， 因为中，所以，即， 所以，A说法错误； 选项B，设的外接圆半径为，因为， 所以由正弦定理得， 所以，解得，B说法错误； 选项C：由正弦定理可得，解得， 由余弦定理得，即，解得， 当且仅当时等号成立， 所以的面积，C说法错误； 选项D，由C知， 解得，当且仅当时等号成立， 由三角形的性质知， 所以，D说法正确； 故选：D. 6．（多选）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D．中边中线长为 【解题思路】根据余弦定理即可求解A，根据正弦定理即可求解BC，根据向量的模长公式即可求解D. 【解答过程】因为， 由余弦定理得，，所以，A正确， 由正弦定理得， 所以，，所以B正确，C错误， 设中边中线为,则,故故D正确． 故选：ABD． 7．（多选），，分别为内角，，的对边.已知，且，则（ ） A． B． C．的周长为 D．的面积为 【答案】ABD 【解析】∵，∴，∴. 由余弦定理得，整理得，又， ∴，.周长为. 故的面积为.故选：ABD 8．某课外活动小组，为测量山高，如图，他们在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进后到达处，又测得山顶的仰角为，则此山的高度约为 . 【解题思路】过点D作，交BC于E，计算出、，在中，由正弦定理计算出，在中即可计算出山高. 【解答过程】过点D作，交BC于E， 因为，所以，则. 又因为，所以 在中，由正弦定理，得， 在中，，故山高度约为. 故答案为：. 9．已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，若，则的取值范围是 . 【解题思路】根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得，利用换元法，结合三角函数的性质以及二次函数的性质即可求解范围. 【解答过程】由正弦定理得： ， 又，即，可得， 又是锐角三角形， 可得，即，解得， 令，则， 则，开口向上，对称轴， 即在上单调递增， 所以，即 即的取值范围是 故答案为： 10．在中，角、、的对边分别为、、，且． （1）求角的大小； （2）若，的面积，求的周长． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， 因为，所以，即， 因为，所以. （2），所以， 由余弦定理得， 所以的周长为． 11．在中，是，B，所对应的分边别为，，，且满足. （1）求角； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）因为，所以由正弦定理得， 因为，所以，所以， 因为所以，又因为，所以； （2）因为，所以， 又由余弦定理得， ，所以， 又由，所以的周长为：． 12．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，求面积的最大值． 【解题思路】（1）利用正弦定理、诱导公式、二倍角公式化简计算即可； （2）利用余弦定理、三角形面积公式、基本不等式计算即可. 【解答过程】（1）因为， 所以， 易知，则，即， 则或，所以或（舍去）， 故； （2）由余弦定理知， 即，当且仅当时取得等号， 所以， 即面积的最大值为. 13．如图，某人开车在山脚下水平公路上自向行驶，在处测得山顶处的仰角，该车以的速度匀速行驶3分钟后，到达处，此时测得仰角，且． （1）求此山的高OP的值； （2）求该车从A到行驶过程中观测点的仰角正切值的最大值． 【解题思路】（1），在中和中，利用正切函数可表示出，然后在中利用余弦定理可求出； （2）设是线段AB上一动点，连结OC，PC，当时，OC最短，此时观测点的仰角正切值的最大，从而可求出其最大值. 【解答过程】（1）设，在中，因为，所以， 同理，在中，， 在中，由余弦定理得， 所以，得， 所以此山的高为． （2）由（1）得， 设是线段AB上一动点，连结OC，PC， 则在点处观测点的仰角为， 当时，OC最短， 由得， 所以， 所以该车从到行驶过程中观测点仰角正切值的最大值为． 14．在中，内角，，所对的边分别是，，，且满足，． （1）求； （2）若，求的面积． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）解：因为所以．则． 因为，所以． （2）解：因为，则．所以． 得．则．所以，． 因为，则所以. 15．记的内角的对边分别为，已知． （1）求角A的大小； （2）若，，当的周长最小时，求的值． 【答案】（1）（2）． 【解析】由正弦定理，得，所以，即， 又，所以. （2）解：由余弦定理得，把代入，整理得， 因为，所以的周长为， 当且仅当，即时取等号， 所以当的周长最小时，． 16．已知，，函数． （1）求函数的解析式及对称中心； （2）若，求的值； （3）在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，，求周长的取值范围． 【解题思路】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可； （2）由得出，再根据两角差的余弦公式，辅助角公式计算即可； （3）由得出，根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化为三角函数，根据为锐角三角形得出的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解． 【解答过程】（1）， 令，则，， 函数的对称中心为． （2）由可知，， 化简有， 则 ． （3）由可得，即， 又，所以， 由正弦定理有， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则， 所以，则， 所以周长的取值范围为． 一、本节课我们学习的知识点有哪些： 二、本章重难点有： 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一数学寒假自学讲义 正余弦定理的综合应用 1.能灵活使用正余弦定理，对边角转换内容熟练掌握 2.经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合，转化的思 教学目标 想： 3.体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 重点：正余弦定理的边角转换； 教学重难点 难点：利用正余弦定理求范围问题。 教学内容 预 正余弦定理的综合应用 趣味导入 1 对于△ABC,边长分别为a,b,c,所对角为A,B,C 正弦定理：SAABC=ab sinC=acsin B=besinA or a b sin A sin B sin C =2R外接圆 a2 b2 +c2-2bc cos A 余弦定理： b2 =a2 +c2-2ac cos B c2=a2+b2-2ab cos C 知识典例 定理 正弦定理 余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA 公式 ===2R(R为△ABC外接圆半径) b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC (1)a=2Rsin A,b=2RsinB,c=2RsinC cosA= (2)sin 4=,sin B=,sin C= 常见变形 cos B= (3)a b c=sinA sinB sinC cos C= (4)asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A 面积公式 (1)S-ah,-bh.-ch. (2)s=号absinC=-号bcsinA 2 2 2 acsinB (3)S=1 a+b+c)r 2 (4)S=a+b+c 4R 注： 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,边BC,CA,AB边上的高分别记作h,hb,h, r为内切圆半径，R为外接圆半径，O为内切圆心。 题型一：与三角函数结合问题 1、两角和与差的正余弦与正切 、sin(a±β)=sin a cos B±cosa sin B ① ②cosa±B)=coc年sinsin tan(a±B)= tana±tanB 1干tana tan阝 2、二倍角公式 ①sin2au=2 sina cosa 2cos2a=cosa-sina=2cosa-1=1-2sina 2tana ③tan2a= 1-tan2a 3、降幂公式 1 2cosa=1+cos2a sin a cosa=sin2a;sin-cos2 2 4、辅助角公式 asina+bcosa=a2+b2sin(a+) sing=b ’C0s=0 、6 Va2+b2 ，tan= (其中 va2+b2 a 5、三角形中角的关系 A B.C π (1) △MBC中，A+B+C= 2222 多 (2) sin(A+B)=sin(-C)=sin C cos(A+B)=cos(-C)=-cos C sin C C (3) 22 2 3 【例1】在锐角△1BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且2 bsin A-③a=0」 (1)求角B的大小： (2)求cosA+cosB+cosC的取值范围. 【变式1-1】已知以角B为纯角的△48C的内角A、B、C的对边分别为a,,m=(a,2b),万=(N5,-sin,且 m上i (1)求角B的大小： (2)求cosA+cosC的取值范围. 2asin A=(26+c)sin B+(2c+b)sin C. 【变式1-2】在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且 (I)求A的大小： sin B+sin C (Ⅱ)求 的最大值. 题型二：周长、面积问题 1、三角形面积和周长的最值、范围问题 (1)求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化 =a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)=(a+c)+b 周长 S,ABC=absin C=Ibcsin 4= -acsin B (2)面积公式： 2 S.ABC=ab =-(a+b+c)·r 4R2 (r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R,r.) (3)求周长的模型： [a2=b2+c2-2bccos A (b+c)2=a2+2bc+2bccos A (b+c)2=b2+2bc+c2 (4)基本不等式 a,beRt→2-≥vab ab≤a+也2 2 ① ② (当且仅当Q=力时取“号) A、B、C (5)利用三角恒等变换转化为内角 有关的三角函数。 sin(au±B)=sina cos B±cosa sin B cos(a±B)=cosa cos B千sina sin B ①和差角公式： ②辅助角公式： asina+bcosa=va2+bsin(a+o) b sinΦ= coso=-a (其中 +6’tan=b ) 2、解题思路步骤 cos4=bi+c'-a2_(b+cp-2bc-a 2be 2bc ①利用基本不等式： ，再利用 b+c22bc及b+c>a,求出b+C的 及 cos4= 2+c2-a2、2bc-a2 > 2bc 2bc 取值范围或者利用 ②利用三角函数思想： b+c=2Rsin B+2Rsin C=2Rsin B+2Rsin(+B) 结合辅助角公式及三角函数求最 值 2b+e__cosC 【例2-1】在。ABC中，己知a,b,c分别是角A,B,C的对边，且满足a=cosA: (1)求A的大小： (2)若△ABC的面积为2V3,其外接圆半 R=227 3,求△ABC的周长 5 【例2-2】在锐角三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知5cosA-3=cos2A. (1)求角A的大小： (2)若a=3,求△ABC的周长1的取值范围. 【例2-3】在锐角△1BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,,S为△ABC的面积，且2S=a-(b-c (1)求sinA+2c0sA的值： (2)已知a=2,求△ABC的面积的最大值. 【变式2】已知1BC中，角A、8.C 的对边分别是“、b、C,已知2 2acosC+c=2b (1)求角A的大小： (2)若△ABC的面积为V5,若△ABC的周长为6，求三角形的边长a 6 【变式2-2】已知在锐角△ABC中，三边a,b,c的对角分别为A,B,C,且asinA+csinC=bsinB+asinC (1)求角B的值： (2)若b-2,求△1BC 周长的取值范围. 【变式2-3】在锐角△1BC中，角A、R、C的对边分别是a、b、G,且满足2a-cB1.BC=cCBC (1)求角B的大小： (2)若C=3,求△ABC面积的取值范围. 7 题型三：中线、角平分线问题 1、中线问题 如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A,求中线AD长. B D AD-14B+4C 向量法： 2 ,两边平方即可。 2、角平分线问题 △ABC中，AD平分∠BAC. D C ABBD ①角平分线定理：ACCD ②等面积法 ABX 4Cxsin A=4Bx4Dxsin4+ACxADxsin4 1 、A,1 SMABC=SMBD+SMDc→2 22 2 【例3-1】在△ABC中，角A,B,C,所对边分别为a,b,c,已知acosA+asinA=bcosB+bsinB,且 a≠b. (1)求C: 8 ②》若D为边的中点，且6=1，C0- 2,求△ABC的面积 【例3-2】在△BC中，角B,C所对的边分别为abe,且4=骨 3’a=4 (1)若C边上的高D=25 BC 尖证：△ABC 为等边三角形： (2)已知直线AM为∠BAC的平分线，且与BC交于点M,若AM-2V6 3,求△ABC的周长. 【交式3】在Dacs8+V5hsn4=2a巴6sm8+C=aos分：@2aosC+分-会这三个条件中任 选一个，补充在下面问题中，并解答. 问题：△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知 (1)求B: (2)若D为4C的中点，BD=V7,C=2,求△ABC的面积. 9 【变式3-2】在△MBC中，角4B,C的对边分别为ab,C,MD为边BC上的中线， (1)证明： 2262+c-a (2)若A=3,a=2,求4D的最大位 【变式33】在△1BC中，内角4，B,C的对边分别是 ,b,C,△ABC 的面积记为S,已知 acossin B=3sin C 3csinC= S (1)求A; (2)若BC边上的中线长为1，AD为角A的平分线，求CD的长. 题型四：三角函数性质与正余弦定理综合运用 【例4】已知函数f(x)=(sinx+cosx2+V3-2V3cos2x(xeR). 10