第04讲 平面向量基本定理及线性运算的坐标表示寒假自学讲义-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

2025-2026学年高一数学寒假自学讲义 平面向量基本定理及线性运算的坐标表示 教学目标 1．理解平面向量基本定理及其意义，掌握两个向量的和、差及向量数乘的坐标运算法则； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：平面向量基本定理及其意义及加、减、数乘运算的坐标表示； 难点：平面向量基本定理的探究。 教学内容 平面向量基本定理及线性运算的坐标表示 知识点一：平面向量的基本定理 1．平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 .若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 2．定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 题型一：平面向量基底的辨析 【例1】设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（　　） A． 和 B．和 C． 和 D．和 【答案】B 【解析】是平面内所有向量的一组基底，所以不共线； 所以和不共线，和不共线，和不共线； 所以选项A,C,D都可以作为基底； B中，， 所以和共线，不能作为基底．故选：B 【变式训练】 1．（多选）已知是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】ABD 【解析】对于A，与不共线，故可作为一组基底，故A正确； 对于B，和不共线，故可作为一组基底，故B正确； 对于C，，故不能作为一组基底，故C错误； 对于D，和不共线，故可作为一组基底，故D正确. 故选：ABD. 2．若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（   ） ①和                ②和 ③和                    ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的共线定理，以及基底向量的定义，逐个判定，即可求解. 【详解】对于①中，由和，可得， 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量； 对于②中，设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于③中，设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于④中，设，可得，解得 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量. 故选：B. 题型二：用基底表示向量 【例2】如图，在平行四边形中，点是的中点，且，设，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】以，表示出，，，设，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可. 【解答过程】因为，， ， 设，则， 即， 又，不共线，所以，解得，所以. 故选：C. 【变式训练】 1．如图所示，在中，，，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 故选：B 2．如图，在中，满足条件，若，则（    ） A．8 B．4 C．2 D． 【答案】A 【解析】因为，,所以， 即，又，所以，故.故选：A. 3．如图，梯形的腰的中点为，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据图形，利用向量的几何运算得到，即可求解. 【解答过程】因为，又，所以， 又为腰的中点，所以， 故选：A. 知识点二：平面向量的正交分解及坐标表示 1、平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 2、平面向量的坐标表示 （1）在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使， 把有序数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. （2）向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设、，则，. （3）若是坐标原点，设，则向量的坐标就是终点的坐标，即若，则点坐标为，反之亦成立. （4）特殊向量的坐标：． 注：①在直角坐标平面内，以原点为起点的向量，点A的位置被向量a唯一确定， 此时点A的坐标与向量a的坐标统一为（x，y）． ②平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关； 应把向量坐标与点坐标区别开来，只有起点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等． ③向量a＝（x，y）中间用等号连接，而点的坐标A（x，y）中间没有等号． 知识点三：平面向量的坐标运算 1、已知，则，． 2、若，则 3、三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． 题型三：用坐标表示平面向量 【例3】已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能. 【解答过程】因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或. 故选：C. 【变式训练】 1．已知，记的相反向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标表示和相反向量的概念进行求解即可. 【详解】因为，所以， 所以它的相反向量. 故选：A. 2．已知知两点，，且点P为线段AB的中点.则的坐标为 ． 【答案】 【分析】由中点坐标以及向量坐标，可得答案. 【详解】点P为线段AB的中点，所以，则， 故答案为：. 题型四：向量线性运算的坐标表示及参数问题 【例4-1】已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能. 【解答过程】因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或. 故选：C. 【例4-2】已知向量，满足，，，则（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【解题思路】设出向量，的坐标，根据条件列出坐标方程，即可解出坐标，即可进一步列出含参数的坐标方程，从而解出参数 【解答过程】设，，所以，且，解得，，即，.所以，则，解得，故. 故选：B. 【例4-3】如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（   ）    A． B． C．2 D． 【解题思路】建立直角坐标系，求出三点坐标，利用坐标表示向量，然后根据条件求解即可 【解答过程】    如图，，又扇形的半径为，所以， 即， 所以， 由，得， 所以， 故选：B. 【变式训练】 1．已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的减法表示，进而得到，再根据向量加法的坐标运算法则计算即可. 【详解】因为，所以， 解得. 故选：C 2．如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，由，利用向量相等求解. 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系： 则， 所以， 因为， 所以， 则，解得， 所以， 故选：B 题型五：用坐标解决三点共线问题 【例5】已知三点共线，则（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用向量共线的坐标表示求解. 【详解】依题意，，且，则， 所以. 故选：A 【变式训练】 1．已知非零向量，，若A，B，C三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．无解 【答案】A 【分析】利用非零向量定义以及向量共线的坐标表示解方程即可. 【详解】根据A，B，C三点共线可知存在实数满足， 可知且， 解得，此时，满足题意. 故选：A 2．已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由共线求出，检验即可得解. 【详解】因为，，， 所以， 若不重合的三点，，共线， 则，解得或， 当时，重合，矛盾， 当时，都不重合，故满足题意， 所以. 故选：A. 【考点1：平面向量的基本定理】 1．如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件得到，由共线定理的推论得到方程，求出答案. 【详解】，故， ，故， 因为三点共线，故，解得. 故选：C 2．已知为所在平面内的一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形的几何性质分解向量即可得解. 【详解】如图所示， 由题意得. 故选：C. 3．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由不共线的两个非零向量才可以作为基底，结合共线定理对各项逐一判断. 【详解】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底； 对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底； 对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底； 对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底； 故选：C. 4．在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的加法法则和数乘向量的运算法则即可求出. 【详解】由点是线段的中点，得， 由，且四边形为平行四边形，得， 则 ， 故.    故选：A 5．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基底满足的条件逐一分析判断即可. 【详解】对于A，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故A不符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故B不符合题意； 对于C，由，所以与共线， 故不能作为平面向量的基底，故C符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故D不符合题意. 故选：C. 6．如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算与共线定理用基底表示向量，结合平面向量基本定理即可得的值. 【详解】因为， 所以， 则， 故，. 故选：B. 7．如图，在平行四边形中，，，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知结合向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解． 【详解】在平行四边形中，，， 所以 ， 若，则，所以．故选：A． 8．第一次诊断性考试数学试题）在中，是边上靠近的一个三等分点，若与平行，则实数 ． 【答案】4 【分析】利用定比分点将化简，由平面向量共线定理计算可得结果. 【详解】根据题意可得， 所以， 由与平行可得， 即，又不共线， 所以，解得. 故答案为：4 9．如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点． （1）令，，用，表示； （2）求线段的长． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）由向量的线性运算求解； （2）利用三点共线，三点共线，求得，同时证明是等边三角形，然后把平方可得． 【详解】（1）∵，分别为，的中点， ∴； （2）设， ∵，分别为，的中点， 所以， 因为三点共线，三点共线， 所以，解得， 即， 由已知与平行且相等，因此是平行四边形， 所以，是等边三角形， 所以． 【考点二：平面向量正交分解及加、减、数乘运算的坐标表示】 1．已知点，，若点与，共线，则实数（    ） A． B．13 C．12 D． 【答案】D 【分析】根据向量的共线满足的坐标关系即可求解. 【详解】由，可得，， 因为共线，故共线，可得，解得， 故选：D 2．若向量，，则与共线的向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出向量的坐标，利用共线向量的坐标表示可得出合适的选项. 【详解】若向量，，则， D选项满足要求，而其它选项不合题意. 故选：D. 3．已知三点，若和是相反向量，则D点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由已知条件求出和的坐标，根据和是相反向量即可求解. 【详解】设，∵， ∴，. ∵和是相反向量， ∴，即，解得. 故选：A. 4．已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量线性运算的坐标表示和向量共线的坐标运算求解. 【详解】，，则，， 由，得，解得. 故选：B 5．已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示可求的坐标. 【详解】设，则， 故，即，解得， 故点的坐标为. 故答案为：. 6．平面上三点分别为，，，若，为的中点，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 解得，即， 所以，即， 故答案为：. 7．设向量其中为坐标原点，  ，若三点共线，  则的最小值为 . 【答案】 【分析】由向量共线的坐标表示可得，再应用基本不等式及“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】由， 由三点共线，且， 所以， 则， 当且仅当时取等. 故答案为：6 8．设点，，，，当为何值时，与共线且方向相同，此时，，，，能否在同一条直线上？ 【答案】，，，，不在同一条直线上． 【分析】 首先求出、、的坐标，根据向量共线的坐标表示求出的值，再检验，从而确定的值，再判断与不共线，即可得解. 【详解】 因为，，，， 所以，， ， 由与共线，所以，解得， 当时，，此时，即与共线同向； 当时，，此时，即与共线反向； 综上可得. 此时，，，而，所以与不共线， 所以，，三点不在同一条直线上． 所以，，，不在同一条直线上． 一、本节课我们学习的知识点有哪些： 二、本章重难点有： 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学寒假自学讲义 平面向量基本定理及线性运算的坐标表示 教学目标 1．理解平面向量基本定理及其意义，掌握两个向量的和、差及向量数乘的坐标运算法则； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：平面向量基本定理及其意义及加、减、数乘运算的坐标表示； 难点：平面向量基本定理的探究。 教学内容 平面向量基本定理及线性运算的坐标表示 知识点一：平面向量的基本定理 1．平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 .若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 2．定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 题型一：平面向量基底的辨析 【例1】设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（　　） A． 和 B．和 C． 和 D．和 【变式训练】 1．（多选）已知是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（   ） ①和                ②和 ③和                    ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 题型二：用基底表示向量 【例2】如图，在平行四边形中，点是的中点，且，设，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图所示，在中，，，若，，则（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，满足条件，若，则（    ） A．8 B．4 C．2 D． 3．如图，梯形的腰的中点为，且，记，则（    ） A． B． C． D． 知识点二：平面向量的正交分解及坐标表示 1、平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 2、平面向量的坐标表示 （1）在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使， 把有序数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. （2）向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设、，则，. （3）若是坐标原点，设，则向量的坐标就是终点的坐标，即若，则点坐标为，反之亦成立. （4）特殊向量的坐标：． 注：①在直角坐标平面内，以原点为起点的向量，点A的位置被向量a唯一确定， 此时点A的坐标与向量a的坐标统一为（x，y）． ②平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关； 应把向量坐标与点坐标区别开来，只有起点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等． ③向量a＝（x，y）中间用等号连接，而点的坐标A（x，y）中间没有等号． 知识点三：平面向量的坐标运算 1、已知，则，． 2、若，则 3、三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． 题型三：用坐标表示平面向量 【例3】已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式训练】 1．已知，记的相反向量为，则（   ） A． B． C． D． 2．已知知两点，，且点P为线段AB的中点.则的坐标为 ． 题型四：向量线性运算的坐标表示及参数问题 【例4-1】已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【例4-2】已知向量，满足，，，则（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【例4-3】如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（   ）    A． B． C．2 D． 【变式训练】 1．已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 题型五：用坐标解决三点共线问题 【例5】已知三点共线，则（   ） A．1 B．3 C． D． 【变式训练】 1．已知非零向量，，若A，B，C三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．无解 2．已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（   ） A． B． C． D． 【考点1：平面向量的基本定理】 1．如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知为所在平面内的一点，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 5．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 7．如图，在平行四边形中，，，若，则（　　） A． B． C． D． 8．第一次诊断性考试数学试题）在中，是边上靠近的一个三等分点，若与平行，则实数 ． 9．如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点． （1）令，，用，表示； （2）求线段的长． 【考点二：平面向量正交分解及加、减、数乘运算的坐标表示】 1．已知点，，若点与，共线，则实数（    ） A． B．13 C．12 D． 2．若向量，，则与共线的向量可以是（    ） A． B． C． D． 3．已知三点，若和是相反向量，则D点坐标为（   ） A． B． C． D． 4．已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是 ． 6．平面上三点分别为，，，若，为的中点，则点的坐标为 . 7．设向量其中为坐标原点，  ，若三点共线，  则的最小值为 . 8．设点，，，，当为何值时，与共线且方向相同，此时，，，，能否在同一条直线上？ 一、本节课我们学习的知识点有哪些： 二、本章重难点有： 1 学科网（北京）股份有限公司 $