精品解析：山东济南市钢城区2025-2026学年度上学期期末诊断性评价八年级（五四学制）数学试题

2025—2026学年度上学期期末诊断性评价 初三数学试题 注意事项： 1．答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确． 2．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，由监考教师把答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合要求．） 1. 下列图形是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若分式的值为0，则实数x的值为（ ） A. 2 B. 0 C. 1 D. 3. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是( ) A. 正六边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形 5. 古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导青少年要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音为，，，，，．有关这一组数，下列说法错误的是（ ） A. 平均数是 B. 中位数是 C. 众数是 D. 极差是 6. 已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 7. 如图，在中，的平分线交于点M．若，则的长为（ ） A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1 8. 若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 9. 如图，在矩形中，，，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交，于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点F；再以B为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为6的正方形中，E是边上一动点（不与端点重合），将沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F，连接、，、分别与交于点P、Q，连接，．则以下结论中正确的个数为（ ） ①；②；③；④若，则为等腰直角三角形；⑤若连接，则的最小值为 A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 第Ⅱ卷（非选择题110分） 二、填空题（本题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分） 11. 写出一个比大且比小的整数________． 12. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 13. 某校八年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择______． 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点C作，交于点E，连接，若，则的长为___． 15. 在正方形中，E为上一点，作的垂直平分线交于点F，交于点G，，，则的长为______． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） （2） 17. 先化简，再求值：，再从0、1、2三个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值． 18. 解下列分式方程： （1） （2） 19. 已知：如图，、是平行四边形对角线上的两个点，且．求证：． 20. 已知，求下列代数式的值． （1）； （2）． 21. 为落实《“健康中国2030”规划纲要》中全民健康的战略主题，某校开展八年级体育百分制测试，助力激发学生运动热情，筑牢体能根基．从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息： a：抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下： 组别 成绩/分 人数（频数） A 1 B 5 C m D 16 E 20 b：D组的数据： 60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，69，70，71，74，75，79 请根据以上信息回答下列问题： （1）求随机抽取的学生人数； （2）统计表中的________，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为________度； （3）抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为________分； （4）若该校八年级共有600名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数． 22. 某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，现需要采购一批劳动工具开展种植活动．据了解，市场上型劳动工具的单价比型劳动工具的单价低5元，用400元购买型劳动工具的数量和用500元购买型劳动工具的数量相同． （1）求，两种型号劳动工具的单价各是多少元？ （2）学校计划购买，两种型号的劳动工具共100把，且型劳动工具的购买数量不超过型劳动工具的购买数量的两倍，则如何购买花费最少？最少费用是多少？ 23. 如图，在四边形中，点E是的中点，，交于点F，，． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）若，，，求的长． 24. 阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题： （1）与________互为有理化因式，将分母有理化得________； （2）①比较大小：________（填，，，或中的一种） ②计算以下式子的值： （3）已知整数a，b满足，求a，b的值． 25. 【探索发现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点，连接．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，，，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明即可推导出来． ①请你猜想，，之间的数量关系是______． ②小新对图1的进一步研究中发现，延长与交于一点，通过证明也可推导出，，之间的数量关系，请你证明． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期期末诊断性评价 初三数学试题 注意事项： 1．答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确． 2．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，由监考教师把答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合要求．） 1. 下列图形是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出． 【详解】解：．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形也是中心对称图形，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 若分式的值为0，则实数x的值为（ ） A. 2 B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的值为零的条件．根据分子为零且分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：∵， ∴且， 解得， 当时，，满足条件， ∴实数的值为2． 故选：A． 3. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含能开方的因数（即不含平方因子）且被开方数不含分母，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此可得答案． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 4. 一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是( ) A. 正六边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形 【答案】C 【解析】 【分析】多边形的外角和是360度，因为是正多边形，所以每一个外角都是45°，即可得到外角的个数，从而确定多边形的边数． 【详解】解：360÷45=8，所以这个正多边形是正八边形． 故选C． 5. 古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导青少年要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音为，，，，，．有关这一组数，下列说法错误的是（ ） A. 平均数是 B. 中位数是 C. 众数是 D. 极差是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查统计量定义及求法，涉及中位数、平均数、众数、极差的定义及求法，熟记相关统计量的定义及求法是解决问题的关键． 根据中位数、平均数、众数、极差的定义求解即可． 【详解】解∶将这一组数按照由小到大重新排序，，，，，， 则平均数为，故A正确； 中位数应该是，故B错误； 众数为，故C正确， 极差为，故D正确． 故选∶B． 6. 已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴上a点的位置，判断出（a−1）和（a−2）的符号，再根据非负数的性质进行化简． 【详解】解：由图知：1＜a＜2， ∴a−1＞0，a−2＜0， 原式＝a−1-＝a−1＋（a−2）＝2a−3． 故选D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a−1＞0，a−2＜0是解题关键． 7. 如图，在中，的平分线交于点M．若，则的长为（ ） A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定，解题的关键是利用平行四边形的性质和角平分线的性质得出等腰三角形，进而求出的长度．根据平行四边形的性质和角平分线的性质，得出，从而得到的长度． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 平分， ． 又， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 8. 若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，解题的关键是把字母m看作一个常数来解，本题是常见的题型要求掌握．按照一般步骤解方程，用含有m的代数式表示x，然后根据x的取值，求m的范围． 【详解】解：方程去分母得， ∴， ∵关于的方程的解为正数， ∴， 解得． 又， ∴， 则m的取值范围是且． 故选：D． 9. 如图，在矩形中，，，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交，于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点F；再以B为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图—角平分线，角平分线的性质和勾股定理．根据题意判断出为的平分线是解题关键．过点F作于Q．由勾股定理可求出．根据题意可判定为的平分线，又可得出，从而可得出，，进而可求出．设，则，在中，根据勾股定理可列出关于x的等式，求出x，即得出的长，再利用勾股定理可求出的长，从而可求出的长． 【详解】解：如图，过点F作于Q． ∵在矩形中，，， ∴． 根据题意可知为的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 设，则． ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 10. 如图，在边长为6的正方形中，E是边上一动点（不与端点重合），将沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F，连接、，、分别与交于点P、Q，连接，．则以下结论中正确的个数为（ ） ①；②；③；④若，则为等腰直角三角形；⑤若连接，则的最小值为 A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】通过正方形的对称性证明三角形全等，结合折叠性质推导出角度和线段的等量关系；再利用旋转构造全等三角形，结合勾股定理与三角形三边关系判断线段和差结论的正误；最后通过确定动点轨迹，依据 “两点之间线段最短” 求出线段的最小值，从而逐一验证所有结论的正确性． 【详解】解：∵四边形是正方形，为对角线， ∴，，， ∴（）， ∴，故①正确； ∵沿翻折得， ∴，，， ∴， ∵， ∴（）， ∴， ∵四边形内角和为，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； 将 绕点 逆时针旋转 得 ，则， ∴ ，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ （）， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 、 、 能构成三角形， ∴ ，故结论③错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，故④正确； 如图，连接、， ∵四边形是正方形，边长为， ∴， ∵沿翻折得， ∴， ∴点在以为圆心、为半径的圆上， ∵两点之间线段最短， ∴， ∴的最小值为，故⑤正确； 综上，①②④⑤均正确，共4个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定及动点轨迹求最值，熟练掌握正方形的性质、折叠前后对应边与角相等的性质，以及利用两点之间线段最短求最值是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题110分） 二、填空题（本题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分） 11. 写出一个比大且比小的整数________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的大小的估算，其中“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．先估算无理数，，然后即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，, ∴比大且比小的整数是． 故答案为：． 12. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 13. 某校八年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择______． 【答案】乙同学 【解析】 【分析】本题考查的是运用方差和平均数作决策，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．根据平均环数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度． 结合表中数据，先找出平均数最大的同学；再根据方差的意义，找出方差最小的同学即可． 【详解】解：从平均数的角度分析， ∴乙和丁同学平均成绩最高， 从方差角度分析， ∴乙和甲方差最小，最稳定， ∴选择乙同学参加比赛， 故答案为：乙同学 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点C作，交于点E，连接，若，则的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，由菱形的性质得，进而由直角三角形斜边上的中线性质得，则，再由勾股定理得，然后由菱形面积求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 在正方形中，E为上一点，作的垂直平分线交于点F，交于点G，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点G作于点H，证明，连接，设，，，利用勾股定理解答即可. 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型. 【详解】解：过点G作于点H， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 连接， ∵作的垂直平分线交于点F， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴ 设， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴ 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算. （1）先化简二次根式，计算二次根式的除法运算，再合并即可. （2）先利用乘法公式计算二次根式的乘法运算，再合并即可. 【小问1详解】 解： . 【小问2详解】 解： . 17. 先化简，再求值：，再从0、1、2三个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的减法运算，再计算分式的除法运算，得到化简的结果，结合分式有意义的条件最后把代入计算即可. 【详解】解： ， 要使分式的值有意义， 且， 当时， ∴. 18. 解下列分式方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解法. （1）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可. （2）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可. 【小问1详解】 解： 方程两边同乘得：， 解得：， 检验：当时，最简公分母， 是原方程的根． 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘得：， 解得：， 检验：当时，最简公分母， 是原方程的增根，舍去． 原方程无解． 19. 已知：如图，、是平行四边形对角线上的两个点，且．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．根据平行四边形的性质证明得到，再由等角的补角相等得到，即可证明平行． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 20. 已知，求下列代数式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）首先求出，，根据平方差公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解； （2）首先求出，根据完全平方公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 21. 为落实《“健康中国2030”规划纲要》中全民健康的战略主题，某校开展八年级体育百分制测试，助力激发学生运动热情，筑牢体能根基．从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息： a：抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下： 组别 成绩/分 人数（频数） A 1 B 5 C m D 16 E 20 b：D组的数据： 60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，69，70，71，74，75，79 请根据以上信息回答下列问题： （1）求随机抽取的学生人数； （2）统计表中的________，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为________度； （3）抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为________分； （4）若该校八年级共有600名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数． 【答案】（1）（人） （2），144 （3）69.5 （4）估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数为432人 【解析】 【分析】本题考查频数分布表，扇形统计图，求中位数，利用样本估计总体等： （1）用B组人数除以所占百分比即为所求； （2）m等于总人数减去其它各组的人数，E组人数占总人数的比例乘以360度即为对应的圆心角的度数； （3）根据中位数的定义求解； （4）利用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：（人） 答：随机抽取的学生人数为50人； 【小问2详解】 解：， 扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为：， 故答案为：8，144； 【小问3详解】 解：将50人成绩从低到高排序，第25和26人的平均分为中位数， ，， 第25和26人在D组，结合 D组数据可得第25和26人成绩为69分，70分， 抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为分， 故答案为：69.5； 【小问4详解】 解：（人） 答：估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数为432人． 22. 某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，现需要采购一批劳动工具开展种植活动．据了解，市场上型劳动工具的单价比型劳动工具的单价低5元，用400元购买型劳动工具的数量和用500元购买型劳动工具的数量相同． （1）求，两种型号劳动工具的单价各是多少元？ （2）学校计划购买，两种型号的劳动工具共100把，且型劳动工具的购买数量不超过型劳动工具的购买数量的两倍，则如何购买花费最少？最少费用是多少？ 【答案】（1）A型劳动工具单价为20元，B型劳动工具单价为25元 （2）购买A型号的劳动工具66把，B种型号的劳动工具34把，最少费用是2170 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式． （1）设B型劳动工具单价为x元，则A型劳动工具单价为元，由用400元购买A型劳动工具的数量和用500元购买B型劳动工具的数量相同，再建立分式方程求解即可； （２）确定，再根据函数的增减性即可求解． 【小问1详解】 解：设B型劳动工具单价为x元，则A型劳动工具单价为元， ， 整理得，， 解得， 经检验：是原分式方程的解， ， 答：A型劳动工具单价为20元，B型劳动工具单价为25元； 【小问2详解】 解：设购买A型劳动工具m把，则购买B型劳动工具把，购买花费为w元， 根据题意得：， 解得， 所以m得最大值为66， ， ∵ ∴w随m增大而减小 ∴时，w取得最小值2170元，此时A工具66把，B工具34把． 答：购买A型号的劳动工具66把，B种型号的劳动工具34把，最少费用是2170． 23. 如图，在四边形中，点E是的中点，，交于点F，，． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）因为，所以是的中点，而是的中点，根据三角形中位线定理得，即，因为，所以四边形是平行四边形； （2）由是的中点，是的中点，，根据三角形中位线定理，由平行四边形的性质可得，而，，根据勾股定理得． 【小问1详解】 证明：点E是的中点， ． ， 是的中位线， ∴， ∴． ∵， 四边形为平行四边形． 【小问2详解】 解：由（1）知是的中位线， ． 四边形为平行四边形， ． ，， ，， ． 【点睛】本题考查三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、化为最简二次根式、勾股定理等知识，推导出，进而证明四边形是平行四边形是解题的关键． 24. 阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题： （1）与________互为有理化因式，将分母有理化得________； （2）①比较大小：________（填，，，或中的一种） ②计算以下式子的值： （3）已知整数a，b满足，求a，b的值． 【答案】（1）， （2）①；②34 （3）a的值是，b的值为 【解析】 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算. （1）根据分母有理化的含义可得答案； （2）①由，可得，进一步可得结论；②先把各项分母有理化，再合并即可. （3）把条件化为，再结合实数的性质进一步解答即可. 【小问1详解】 解：∵， ， ∴与互为有理化因式，将分母有理化得. 【小问2详解】 解：①∵， ， 而， ∴， ∴； ② . 【小问3详解】 解：∵， ∴， 即， ， 解得， 即a的值是，b的值为． 25. 【探索发现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点，连接．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，，，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明即可推导出来． ①请你猜想，，之间的数量关系是______． ②小新对图1的进一步研究中发现，延长与交于一点，通过证明也可推导出，，之间的数量关系，请你证明． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）①，理由见解析；②证明见解析；（2），证明见解析；（3）的长度为或 【解析】 【分析】（1）①先证明，可得，推出，再运用勾股 即可证得结论；②延长交于，由正方形的性质可得，，再利用可证得； （2）延长交于，连接，可证得，得出，，再由线段垂直平分线的性质可得，再运用勾股定理即可得出答案； （3）设，分两种情况讨论：当点在线段上时；当点在的延长线上时，结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）①猜想：，理由如下： 如图： ， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， ∴； ②证明：如图，延长交于， ， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴； （2）结论：， 证明：如图，延长交于，连接， ， ∵是矩形的中心， ∴点是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，即， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴； （3）设， 当点在线段上时，连接， ， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴此时线段的长度为； 当点在延长线上时，作，交的延长线于，连接、， ， 同理可得：， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴此时线段的长度为， 综上所述，线段的长度为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，根据勾股定理列方程解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $