精品解析：山东省济南市钢城区2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2024-2025学年度上学期期末测试初二数学试题 注意事项： 1．答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确． 2．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，由监考教师把答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题40分） 一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. 0.6 C. π D. 2. 京剧是我国的国粹，下列京剧脸谱构成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若长度为的三条线段能组成一个三角形，则的值可以是（ ） A. 2 B. 5 C. 10 D. 12 4. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则点在（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 5. 如图，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点A，B是格点，如果点P也是图中的格点，且使得是以为腰的等腰直角三角形；则点P的个数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 7. 点，在函数的图象上，则、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线经过一、二、四象限，则直线只能是图中的（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点长为（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复地轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第次变换后点的对应点的坐标为（　　） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题110分） 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 11. 的相反数是____；8的立方根为____． 12. 将一次函数的图象沿轴向下平移个单位长度，则平移之后图象的函数表达式为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，若点在轴上，则点的坐标是 ___________． 14. 如图，在中，，于点，，分别是上的任意两点．若的面积为，则图中阴影部分的面积为____________ ． 15. 勾股定理是数学中一颗璀璨的明珠，在人类的文明史上有杰出的贡献．如图1，在中，，，分别以的各边为一边向外部作正方形，把两个较小正方形按图2放置，若图形①的面积是4，则图形②的面积是______． 三、解答题（本大题共10小题，共90分） 16. 如图，在等边中，是的中点，于点，求的长． 17. 已知一个正数的两个不相等的平方根分别是与． （1）求a的值及这个正数； （2）求关于x的方程的解． 18. 如图，已知中，垂直平分，点为垂足，交于点，连接． （1）求的周长； （2）求的度数． 19. 某综合实践小组学习了“勾股定理”之后，设计方案测量风筝的垂直高度、测得水平距离的长为15米；风筝线的长为25米；牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． （1）画出关于轴对称的的坐标为 ； （2）在轴上画一点，使得的值最小，并写出点的坐标． 21. 如图，直线与轴，轴交于点，点在直线上，点的横坐标为1． （1）求点的坐标； （2）求面积． 22. 某数学兴趣小组设计方案测量河两岸两点间的距离．如图所示：在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点在同一直线上，且，在的延长线上取点，使得，测得，，的长度为米．请你根据以上数据求出两点间的距离，并说明理由． 23. 甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段表示货车离甲地距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系，折线表示轿车离甲地距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题： （1）求货车平均速度？ （2）轿车到达乙地时，货车距乙地多少千米？ （3）若的解析式为：，则货车行驶多长时间轿车开始行驶？ （4）轿车追上货车时，货车从甲地出发多少小时？ 24. 我们把一只手掌，大拇指与小拇指尽量张开，两指间距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果表明，一般情况下人的身高和指距成某种关系．数学综合与实践小组从函数角度进行了身高与指距的关系进行如下探究： [观察测量] 数学综合与实践小组通过对我校师生抽样调查，收集数据，并抽取部分作为样本得到下表： 指距 19 20 21 22 23 身高 151 160 169 175 187 [探究发现] （1）小组建立如图所示的平面直角坐标系，横轴表示指距，纵轴表示身高，描出以表格中所有数据为坐标的各点． （2）经过观察思考，实践小组发现表格中有一组身高的数据有误，重新测量后证实了这一发现．经过纠正，该组数据应为：指距为 时，身高约为 ． （3）在平面直角坐标系中，描出这些数据对应的点，发现这些点大致位于同一个函数图象上，则这个函数最有可能是 ．（填写函数类型） [结论应用] （4）应用上述发现的规律推测： ①小婉的指距为，则她的身高约为 ． ②李老师的身高为，则他的指距约为 ． 25. 数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． （1）【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称为“手拉手模型”． 求证：，请你完善下列过程． 证明：∵， ∴即 在和中， ∴（ ）③ （2）【模型应用】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求：的度数．小颖同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点E，使，最后使问题得到了解决．请你帮她写出解答过程． （3）【拓展延伸】如图，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点向右下方延伸．仍在射线上取点，使，请直接写出与数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度上学期期末测试初二数学试题 注意事项： 1．答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确． 2．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，由监考教师把答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题40分） 一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. 0.6 C. π D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．先化简，再根据有理数、无理数的定义判断即可． 【详解】解：A、是有理数，故此选项不符合题意； B、0.6是有理数，故此选项不符合题意； C、π是无理数，故此选项符合题意； D、是有理数，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 京剧是我国的国粹，下列京剧脸谱构成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项C能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 3. 若长度为的三条线段能组成一个三角形，则的值可以是（ ） A. 2 B. 5 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边”，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：∵长度为的三条线段能组成一个三角形， ∴，即， 观察四个选项可知，只有选项B符合， 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则点在（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限内点的坐标特征为，第二象限内点的坐标特征为，第三象限内点的坐标特征为，第四象限内点的坐标特征为，在x轴上的点纵坐标为0，在y轴上的点横坐标为0．因为点在轴上，故，则，即可作答． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴点在二象限， 故选：B． 5. 如图，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，能灵活运用全等三角形的性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等．根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质得出，求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点A，B是格点，如果点P也是图中的格点，且使得是以为腰的等腰直角三角形；则点P的个数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了在格点图中画等腰三角形，根据是以为腰的等腰直角三角形，进行作图，即可作答． 【详解】解：∵是以为腰的等腰直角三角形， ∴当时，结合正方形小网格的特征，或 如下图所示： ∴当时，结合正方形小网格的特征，或 如下图所示： 综上：满足是以为腰的等腰直角三角形的点P有个， 故选：A 7. 点，在函数的图象上，则、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由函数中，则随的增大而减小，由此进行判断即可，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵函数中， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：． 8. 已知直线经过一、二、四象限，则直线只能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质．根据直线经过一、二、四象限，可得，，即可求解． 详解】解：直线经过一、二、四象限， ，， 直线经过一、三、四象限， 故选：D． 9. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质，勾股定理的逆定理，如图，过点D作于点H．利用勾股定理的逆定理证明，再证明，利用面积法求解． 【详解】解：如图，过点D作于点H． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复地轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第次变换后点的对应点的坐标为（　　） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形规律，读懂图形，找出规律是解答关键． 由题意知，每经过4次变换后点回到原来的位置，且经过第次变换与经过第4次变换后点的对应点相同，进而可得答案． 【详解】解：由题意知，每经过4次变换后点回到原来的位置，坐标是． ∵， ∴经过第次变换与经过第4次变换后点的对应点相同， ∴经过第次变换后点的对应点的坐标为． 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题110分） 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 11. 的相反数是____；8的立方根为____． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的性质和立方根，根据互为相反数和立方根的定义进行解答即可． 【详解】解：的相反数是，8的立方根为2， 故答案为：；2． 12. 将一次函数的图象沿轴向下平移个单位长度，则平移之后图象的函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，根据“上加下减”平移规律，进行求解即可，解题的关键是熟练掌握“上加下减”平移规律． 【详解】解：∵一次函数的图象沿轴向下平移个单位长度， ∴平移之后图象的函数表达式为， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，若点在轴上，则点的坐标是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质和点的坐标得出，，即可得出答案． 本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的性质的应用，解此题的关键是求出，， 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴点的坐标是， 故答案为：． 14. 如图，在中，，于点，，分别是上的任意两点．若的面积为，则图中阴影部分的面积为____________ ． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及轴对称性质；利用轴对称发现并利用和的面积相等是正确解答本题的关键．根据等腰三角形是轴对称图形知，和的面积相等，所以阴影部分的面积是三角形面积的一半． 【详解】解：，， ， ， ， 阴影部分面积为， 故答案为：． 15. 勾股定理是数学中一颗璀璨的明珠，在人类的文明史上有杰出的贡献．如图1，在中，，，分别以的各边为一边向外部作正方形，把两个较小正方形按图2放置，若图形①的面积是4，则图形②的面积是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，先根据勾股定理求出，再根据得出答案． 【详解】解：根据勾股定理，得， ∴． ∵①的面积是4， ∴②的面积是5． 故答案为：5． 三、解答题（本大题共10小题，共90分） 16. 如图，在等边中，是的中点，于点，求的长． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及含角的直角三角形的性质．根据等边三角形的性质得到的长，又由，可求得，则可求得的长，即可求得答案． 【详解】解：是等边三角形， ， 是AC的中点， ， ， ， ． 17. 已知一个正数的两个不相等的平方根分别是与． （1）求a的值及这个正数； （2）求关于x的方程的解． 【答案】（1），这个正数为； （2） 【解析】 【分析】本题考查平方根的意义及求平方根，关键是要掌握一个正数有两个平方根，互为相反数． （1）由一个正数的两个平方根互为相反数求a值即可，再根据平方根的定义即可求解这个正数； （2）将a代入，利用平方根的定义求解即可． 小问1详解】 解：∵一个正数的两个不相等的平方根分别是与， ∴， 解得； ∵， ∴这个正数为； 【小问2详解】 解：把代入，得， ∴， ∴． 18. 如图，已知中，垂直平分，点为垂足，交于点，连接． （1）求的周长； （2）求的度数． 【答案】（1）16 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． （1）由于垂直平分，所以，的周长等于．由于，周长也可以表示为，即．已知，所以周长为． （2）根据线段的垂直平分线的性质写出答案即可． 【小问1详解】 解：垂直平分， ， 的周长； 【小问2详解】 解：垂直平分， ， ， ， ， ． 19. 某综合实践小组学习了“勾股定理”之后，设计方案测量风筝的垂直高度、测得水平距离的长为15米；风筝线的长为25米；牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）8米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出的长，即可得出结论； （2）根据勾股定理求出的长，即可得出结论． 【小问1详解】 解：由勾股定理得， （米）, （米）, 【小问2详解】 解：如图，在上截取米，连接， 由勾股定理得，（米）, （米）, 他应该往回收线8米． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． （1）画出关于轴对称的的坐标为 ； （2）在轴上画一点，使得的值最小，并写出点的坐标． 【答案】（1）见解析， （2）见解析， 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称性质作图，即可得出答案． （2）连接与x轴交于点P，则点P即为所求，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 由图可得，． 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图，连接与x轴交于点P，连接， 此时，最小值， 则点P即为所求． 由图可得，点P的坐标为． 21. 如图，直线与轴，轴交于点，点在直线上，点的横坐标为1． （1）求点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的几何综合，一次函数与坐标轴的交点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为直线与轴，轴交于点，故当时，，当时，，然后把代入计算，即可作答． （2）先得，结合，故，即可作答． 【小问1详解】 解：∵直线与轴，轴交于点， 当时，， 当时，，解得：， ，， 当时，则， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 22. 某数学兴趣小组设计方案测量河两岸两点间的距离．如图所示：在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点在同一直线上，且，在的延长线上取点，使得，测得，，的长度为米．请你根据以上数据求出两点间的距离，并说明理由． 【答案】米，见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．证明得出，即可推出结果． 【详解】解：，， ． ． 在与中， ， ． ． ， ． 即米． 答：两点间的距离米． 23. 甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段表示货车离甲地距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系，折线表示轿车离甲地距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题： （1）求货车的平均速度？ （2）轿车到达乙地时，货车距乙地多少千米？ （3）若的解析式为：，则货车行驶多长时间轿车开始行驶？ （4）轿车追上货车时，货车从甲地出发多少小时？ 【答案】（1）60千米／小时 （2）30千米 （3）1.5小时 （4）3.9小时 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． （1）根据速度=路程÷时间计算即可； （2）根据“甲、乙两地之间的距离-轿车到达乙地时货车距甲地的距离”列式计算即可； （3）将代入的解析式，求出对应x的值即可； （4）设货车从甲地出发t小时轿车追上货车，根据“轿车追上货车时两车与甲地的距离相等”列关于t的方程并求解即可． 【小问1详解】 解：根据图象信息：货车的速度（千米／小时）． 答：货车的平均速度是60千米／小时； 【小问2详解】 解：Q轿车到达乙地的时间为货车出发后4.5小时， 轿车到达乙地时，货车行驶的路程为：（千米）， 可得到货车距乙地的路程为：（千米）． 答：轿车到达乙地后，货车距乙地30千米； 【小问3详解】 解：当时，， 解得：， 答：货车行驶1.5小时轿车开始行驶； 【小问4详解】 解：轿车加速后的速度为（千米／小时） 设货车出发x小时时，轿车追上货车 解得： 答：轿车追上货车时，货车从甲地出发3.9小时． 24. 我们把一只手掌，大拇指与小拇指尽量张开，两指间的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果表明，一般情况下人的身高和指距成某种关系．数学综合与实践小组从函数角度进行了身高与指距的关系进行如下探究： [观察测量] 数学综合与实践小组通过对我校师生抽样调查，收集数据，并抽取部分作为样本得到下表： 指距 19 20 21 22 23 身高 151 160 169 175 187 [探究发现] （1）小组建立如图所示的平面直角坐标系，横轴表示指距，纵轴表示身高，描出以表格中所有数据为坐标的各点． （2）经过观察思考，实践小组发现表格中有一组身高的数据有误，重新测量后证实了这一发现．经过纠正，该组数据应为：指距为 时，身高约为 ． （3）在平面直角坐标系中，描出这些数据对应的点，发现这些点大致位于同一个函数图象上，则这个函数最有可能是 ．（填写函数类型） [结论应用] （4）应用上述发现的规律推测： ①小婉的指距为，则她的身高约为 ． ②李老师的身高为，则他的指距约为 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）一次函数；（4）①；② 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的图象特征、待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）根据表格中的数据对在平面直角坐标系中描点即可； （2）与其它各点不在同一条直线上的那个点对应的数据对有错误，纠正即可； （3）根据这些点的分布情况判断函数类型即可； （4）①利用待定系数法求出h与d之间的函数关系式，将代入该函数，求出对应h的值即可； ②将代入该函数，求出对应d的值即可． 【详解】解：（1）描点如图所示： （2）经过纠正，该组数据应为：指距为时，身高约为， 故答案为：22，178． （3）∵这些点大致位于同一条直线上， ∴这个函数最有可能是一次函数． 故答案为：一次函数． （4）①设h与d之间的函数关系式为（k、b为常数，且）． 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴h与d之间的函数关系式为． 当时，得， ∴小婉的指距为，则她的身高约为； 故答案为：133． ②当时，得， 解得， ∴李老师的身高为，则他的指距约为. 故答案为：21.5． 25. 数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． （1）【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称为“手拉手模型”． 求证：，请你完善下列过程． 证明：∵， ∴即 在和中， ∴（ ）③ （2）【模型应用】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求：的度数．小颖同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点E，使，最后使问题得到了解决．请你帮她写出解答过程． （3）【拓展延伸】如图，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点向右下方延伸．仍在射线上取点，使，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1），， （2），过程见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解本题的关键． （1）由全等三角形的判定可得出结论； （2）在上取一点，使，证明，由全等三角形的性质得出，由三角形内角和定理可得出答案； （3）在延长线上取一点，使得，由全等三角形的性质可得出结论． 【小问1详解】 证明：， ，即， 在和中， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图，在上取一点，使， ，， ，， ， ， ， ， 又，，， ， ， 设和交于点， ， ； 【小问3详解】 解：， 理由：如图，在延长线上取一点，使得， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$