专题07认识三角形题型突破讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练+寒假预习)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题07认识三角形题型突破讲义 基础 过关题 1.三角形的识别与有关概念 2.三角形的分类方法 3.等腰三角形的定义与识别 4.三角形角平分线的定义与性质 5.重心的概念与识别 6.三角形高的画法与识别 7.直角三角形两个锐角互余的性质 8.构成三角形的条件 能力 提升题 9.三角形的个数问题 10.三角形内角和定理的证明 11.确定第三边的取值范围 12.三角形三边关系的应用 13.与三角形的高有关的计算问题 14.重心的性质与应用 拓展 拔高题 15.利用网格求三角形面积 一、三角形的基本概念 1.定义：由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接围成的封闭平面图形。 2.组成：3 条边、3 个内角、3 个顶点。 二、三角形的边的关系（重中之重） 1.三边关系定理 任意两边之和 大于 第三边 任意两边之差 小于 第三边 2.判断三条线段能否构成三角形：只需要看较短两条之和 > 最长边即可。 3.已知两边求第三边范围：设两边为 a、b（a > b），则第三边 c 满足：a−b<c<a+b 三、三角形的角的关系 1.内角和定理三角形三个内角的和等于 180°。 2.外角性质 三角形的一个外角 等于 与它不相邻的两个内角之和。 三角形的一个外角 大于 任何一个与它不相邻的内角。 四、三角形按角分类 锐角三角形：三个内角都 小于 90° 直角三角形：有一个内角 等于 90° 直角三角形两锐角 互余（和为 90°） 钝角三角形：有一个内角 大于 90° 且小于 180° 五、三角形按边分类 不等边三角形：三边都不相等 等腰三角形：至少有两条边相等 相等的两边叫腰，第三边叫底边 两腰所对的角叫底角，底边所对的角叫顶角 等边三角形（特殊等腰）：三边都相等，三个角都是 60° 六、三角形中的重要线段（会识别、会画） 1.三角形的高 从顶点向对边作垂线，顶点与垂足间线段。 锐角三角形：三条高都在内部 直角三角形：两条高是直角边，一条在内部 钝角三角形：两条高在外部，一条在内部 2.三角形的中线 连接顶点与对边中点的线段。 一条中线把三角形分成面积相等的两部分。 3.三角形的角平分线 平分内角，端点在顶点与对边上的线段。 分得的两个角相等。 七、必须掌握的易错点（高频失分） 1.三条线段能否成三角形：只看短边之和 > 最长边，不要三条都加。 2.已知两边求第三边：差 < 第三边 < 和，别漏一边。 3.高、中线、角平分线都是线段，不是直线或射线。 4.直角三角形两锐角互余，直接用来快速算角。 5.外角等于不相邻两内角和，别和相邻内角混。 【题型1.三角形的识别与有关概念】 1．如图，在中，的对边是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查三角形的组成元素，关键是掌握对边是指这个角对面的那条边． 【详解】解：在中，的对边是． 故选C． 2．如图，共有 个三角形；在中，所对的角是 ；在中，所对的边是 ；以为边的三角形有 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了与三角形有关的概念，理解这些概念是关键；由三角形相关概念即可完成． 【详解】解：图中共有3个三角形：； 在中，所对的角是；在中，所对的边是；以为边的三角形有； 故答案为：3；；；． 3．如图，若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 【答案】B 【详解】解：以BC为公共边的“共边三角形”有：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC三对． 故选：B． 【题型2.三角形的分类方法】 4．若一个三角形三边的长度比为，周长为 cm，则这个三角形三边的长分别为 ，按边分，这个三角形是 三角形． 【答案】 8 cm，12 cm，12 cm 等腰 【分析】本题考查了三角形的分类，根据题意设三角形三边的长度比为，即可列方程求解． 【详解】解：设三角形三边的长度比为， 则：， 解得： ∴ 故答案为：①8 cm，12 cm，12 cm②等腰 5．下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形按边分类，根据分类情况分为三边不相等的三角形和等腰三角形，而等腰三角形分为腰和底不相等的三角形、等边三角形，根据分类的情况即可得到答案． 【详解】解：根据三角形按边分类情况：等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项A错误，不符合题意； 分类正确，故选项B正确，符合题意； 等腰三角形包含等边三角形，故选项C错误，不符合题意； 分类不完整，故选项D错误，不符合题意； 故选：B 6．如图，根据图形填空． （1）以为边的三角形是 ； （2）的三个内角是 ，其中的对边是 ； （3）以为一个内角的三角形是 ； （4）图中共有 个三角形． 【答案】 6 【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可． 【详解】解：以为边的三角形是； 的三个内角是；其中的对边是； 以为一个内角的三角形是； 图中共有，个三角形； 故答案为：；；；；； 【题型3.等腰三角形的定义与识别】 7．四边形的边长如图所示，线段的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，线段的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的三边关系是解题的关键．分两种情况，①时，②时，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：分两种情况： ①时， 在中，，符合题意； ②时， 在中，，不能构成三角形，不符合题意； 综上所述，线段的长为3， 故答案为：3． 8．已知一个等腰三角形的一边长为3，另一边长为7，那么它的周长为（    ） A．13 B．13或17 C．17 D．12或16 【答案】C 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形三边关系，掌握等腰三角形的定义及分类讨论是解题的关键． 分两种情况讨论，当等腰三角形的腰长为，当等腰三角形的腰长为，再分别得到三角形的三边，结合三角形三边的关系，从而可得答案． 【详解】解：当等腰三角形的腰长为，则三边分别为：3，3，7， ，故围不成三角形； 当等腰三角形的腰长为，则三边分别为：3，7，7， ，能围成三角形； ∴它的周长为． 故选：C． 9．若等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分腰长为和腰长为两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当腰长为，底边长为时，三边分别为，因为，不符合三角形三边关系，所以不能构成三角形，该种情况不合题意； 当腰长为，底边长为时，三边分别为，符合三角形三边关系，此时周长为； 综上，它的周长为， 故答案为：． 【题型4.三角形角平分线的定义与性质】 10．如图，，分别是的中线和角平分线，则： ； ． 【答案】 【分析】根据，分别是的中线和角平分线，得到为线段的中点，平分，进行作答即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴是线段的中点， ∴， ∵是的角平分线， ∴平分， ∴； 故答案为：，，，． 【点睛】本题考查三角形的中线和角平分线的定义．熟练掌握三角形的中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段，三角形的一个角的平分线与这个内角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线，是解题的关键． 11．下列结论正确的是（   ） A．钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部 B．锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部 C．三角形的重心是三角形三条中线的交点 D．直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点 【答案】C 【分析】本题考查了三角形角平分线、高、中线、重心等概念，根据三角形角平分线、高、中线、重心等概念逐一排除即可，掌握三角形的重要概念是解题的关键． 【详解】解：、钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意； 、锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意； 、三角形的重心是三角形三条中线的交点，原选项结论正确，符合题意； 、直角三角形的三条中线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意； 故选：． 12．如图，是的角平分线，则平分 ， ，且点在边上． 【答案】 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义，熟练掌握三角形角平分线的定义是解题的关键． 根据三角形角平分线的定义即可直接得出答案． 【详解】解：是的角平分线，则平分，，且点在边上， 故答案为：，，． 【题型5.重心的概念与识别】 13．如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形 的交点．    【答案】三条中线 【分析】三角形三条中线的交点叫做三角形的重心． 【详解】解：因为三角形卡片质地均匀 所以小明支起的这个点是三角形的重心，即三角形三条中线的交点 故答案为：三条中线 【点睛】本题考查重心的定义．掌握相关结论是解题关键． 14．一个三角形中的三条中线（   ） A．都在这个三角形内 B．都在这个三角形外 C．可能在这个三角形内，也可能在这个三角形外 D．可能和这个三角形的一边重合 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中线，熟记概念是解题的关键． 根据三角形的中线的概念即可解答． 【详解】解：三角形的三条中线都在三角形的内部， 故答案为：A． 15．如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查三角形的重心，根据三角形的重心是三角形的三条中线的交点，得到分别为的中点，进而得到，即可得出结果． 【详解】解∶∵点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E． ∴，， ∴． 故答案为：5． 【题型6.三角形高的画法与识别】 16．如图，在中，边上的高是线段 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的高，根据在三角形中，从一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点到垂足之间的线段来确定高是． 【详解】解：由图可知，中，边上的高是． 故答案为：． 17．数学课上，同学们在作的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的概念判断即可． 【详解】解：A、不是中边上的高，本选项不合题意； B、不是中边上的高，本选项不合题意； C、不是中边上的高，本选项不合题意； D、是中边上的高，本选项符合题意； 故选：D． 18．如图，中，为上一点，于点E，下列说法中，错误的是（   ） A．中，是上的高 B．中，是上的高 C．中，是上的高 D．中，是上的高 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的概念判断即可． 【详解】解：A、中，是上的高，不是上的高，故本选项说法错误，符合题意； B、中，是上的高，说法正确，不符合题意； C、中，是上的高，说法正确，不符合题意；     D、中，是上的高，说法正确，不符合题意； 故选：A． 【题型7.直角三角形两个锐角互余的性质】 19．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（ ） A．120° B．90° C．60° D．30° 【答案】D 【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 【详解】解：∵直角三角形中，一个锐角等于60°，∴另一个锐角的度数=90°﹣60°=30°． 故选D． 【点睛】本题考查直角三角形两锐角的关系． 20．把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据邻补角定义求出∠4，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可． 【详解】解：∵∠1＝47°， ∴∠3＝90°−∠1＝90°−47°＝43°， ∴∠4＝180°−43°＝137°， ∵直尺的两边互相平行， ∴∠2＝∠4＝137°． 故选：D．    【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，邻补角的定义，是基础题，准确识图是解题的关键． 解答题 21．如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，   (1)试说明CD是△CBE的角平分线；   (2)和∠B相等的角是 ． 【答案】（1）证明见解析；（2）∠CEB、∠CDF． 【分析】（1）根据∠A=30°，∠B=70°，得∠ACB=80°，由角平分线的定义得∠BCE=40，根据三角形的内角和定理得∠BCD=20°，从而得出CD是△BCE的角平分线． （2）由直角三角形两个锐角互余，得∠B=∠CEB．根据等角的余角相等，得∠B=∠CDF． 【详解】解：（1）∵∠A=30°，∠B=70°， ∴∠ACB=80°． ∵CE平分∠ACB， ∴∠BCE=40． ∵∠B=70°，∠CDB=90°， ∴∠BCD=20°． ∴∠ECD=∠BCD=20°． ∴CD是△BCE的角平分线． （2）∵∠ECD=20°，∠CDE=90°， ∴∠CEB=70°． ∴∠B=∠CEB． ∵∠CFD=90°，∠FCD=20°， ∴∠CDF=70°． ∴∠CDF=∠B． ∴与∠B相等的角是：∠CEB、∠CDF． 【题型8.构成三角形的条件】 22．用一根长度为小木棒与两根长度分别为的小木棒组成一个三角形，那么这根小木棒的长度x可以是 ． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查构成三角形的条件，根据三角形的三边关系，确定的取值范围，进行求解即可． 【详解】解：由三角形三边关系得， 所以x的取值范围是． 故答案为：4（答案不唯一）． 23．老师让同学们分别将一根长的铁丝剪开，剪成的三段首尾顺次相接后能围成三角形．下列四位同学的剪法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查构成三角形的条件，比较两条较短线段的长度之和与较长线段的长度的大小关系，即可得出结果． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，能构成三角形，符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选C． 24．设是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了绝对值非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边关系以及周长的求法． 先根据绝对值非负数的性质求出，，再根据等腰三角形的定义分情况解答即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 分两种情况： （1）当2为底边长时，腰长为5， ，能组成三角形， 此时三角形的周长为； （2）当5为底边长时，腰长为2， ，不能组成三角形． 综上可知，此三角形的周长为12． 故答案为：12． 【题型9.三角形的个数问题】 25．如图，共有 个三角形． 【答案】6 【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形数出三角形的个数． 【详解】解：图中有：△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC，共6个． 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的定义，数三角形时，要不重不漏． 26．如图，以为高的三角形共有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．由于于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线上，由此即可确定以为高的三角形的个数． 【详解】解：∵于D， 而图中有一边在直线上，且以A为顶点的三角形有6个，分别为 ∴以为高的三角形有6个． 故选：C． 27．如图，图①中有个三角形，在图①中的三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与三角形的个顶点得到图②，图②中共有4个三角形．若在图②中的一个小三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与该小三角形的个顶点得到图③．在虚线框中画出图③，图③中共有 个三角形．（写出所有可能的值） 【答案】或 【分析】本题考查了画三角形，根据题意画出图形即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：如图所示，共有两种情况： 由图可知，图③中共有或个三角形， 故答案为：或． 【题型10.三角形内角和定理的证明】 28．若两条直线被第三条直线所截，有一对同位角相等，则其中一对同旁内角的角平分线 A．互相垂直 B．互相平行 C．相交或平行 D．不相等 【答案】A 【分析】先由题意画出图形，结合图形根据平行线的判定与性质可得∠BPQ＋∠DQP＝180°，再由角平分线的定义可求得∠MPQ＋∠NQP＝90°，利用三角形的内角和为180°可求得∠POQ＝90°，进而求解． 【详解】解：如图， ∵∠APE＝∠CQE， ∴AB∥CD， ∴∠BPQ＋∠DQP＝180°， ∵PM平分∠BPQ，QN平分∠DQP， ∴∠BPQ＝2∠MPQ，∠DQP＝2∠NQP， ∴∠MPQ＋∠NQP＝90°， ∴∠POQ＝90°， 即PM⊥QN， 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理及垂线的定义，能求解∠POQ＝90°是解决问题的关键． 解答题 29．试说明三角形的内角和． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，过的顶点A作，由平行线的性质得到，再由平角的定义可推出． 【详解】解：如图所示，过的顶点A作， ∴， ∵， ∴． 【题型11.确定第三边的取值范围】 30．已知三角形的三边分别为，则a的整数值可能是 ．（填一种即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据题意得：，即，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：，即， 所以a的整数值可能是3，4，5， 故答案为：3（答案不唯一） 31．有两根木棒，它们的长分别是和，若要再选一根木棒与这两根木棒一起钉成一个三角形框架，则应在下列木棒中选取（    ） A．的木棒 B．的木棒 C．的木棒 D．的木棒 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答的关键．根据三角形的三边关系得出第三边的取值范围即可做出选择． 【详解】解：设第三边长为，则 ， 即， 选项B符合题意． 故选：B． 32．已知a，b，c是的三边长，满足，c为偶数，则的最大周长为 ． 【答案】17 【分析】本题考查了非负数的性质与三角形三边关系，掌握绝对值、平方数的和为时，各项分别为；三角形三边关系是解题的关键． 根据非负数的性质求出和的值，再根据三角形三边关系确定的取值范围，结合为偶数，取的最大值，从而得到最大周长． 【详解】解：由， 得，， 解得，． 根据三角形三边关系，有． 为偶数，故或． 当时，周长最大，为． 故答案为：17． 33．如图，小深在池塘一侧选取了点，测得，，那么池塘两岸，间的距离可能是（    ）． A．9 B．8 C．5 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：根据三角形的三边关系可得：， 即， 逐一核对选项，只有选项C符合， 故选：C 解答题 34．已知中，，，且为奇数． (1)求的周长． (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)16 (2)等腰三角形，理由见解析 【分析】此题考查了三角形的三边关系，三角形的分类，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差的绝对值，而小于两边的和． （1）首先根据三角形的三边关系定理可得，再根据ACAC为奇数，确定的值，进而可得周长； （2）根据等腰三角形的判定可得是等腰三角形． 【详解】（1）解：在中，根据三角形三边关系得： 即． 是奇数 ． 的周长为16． （2）解：为等腰三角形，理由如下： 由（1）可知， 为等腰三角形． 【题型12.三角形三边关系的应用】 35．小刚参加一项跳跃泥潭障碍的体能训练，他平时助跑跳跃距离约为，但不确定自己是否能够跳过如图所示的这个泥潭（的长度），于是测量了相关长度，由于米尺长度有限，小刚测得，，根据小刚的测量，他 完成这项训练挑战．（填“能”或“不能”） 【答案】能 【分析】此题考查了三角形三边关系定理的应用，熟练掌握三角形任意两边长之和大于第三边是解题的关键．根据，可得答案. 【详解】解：由题意可知，， ∴小刚能完成这项训练挑战． 故答案为：能． 36．已知等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是（    ） A．10 B．13 C．17 D．13或17 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形三边关系．分腰为3或7两种情况讨论，判断能否构成三角形，再计算周长． 【详解】解：∵等腰三角形两边长为3和7， 若腰为3，则三边为3、3、7， ∵，不满足三角形三边关系， ∴不能构成三角形． 若腰为7，则三边为7、7、3， ∵，，满足三角形三边关系， ∴能构成三角形，周长为． 故选：C． 37．设a，b，c是的三边，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用、化简绝对值，由三角形三边关系可得，，，再根据绝对值的意义化简即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵a，b，c是的三边， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 38．在学习完三角形三边关系后，小明用三根木棍首尾相连拼三角形有三根长度分别为、、的木棍，若想三角形的边长均为整数，则可将的木棍进行裁切，这样小明最多可以拼出不同的三角形个数为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设第三根木棒的长度是，由三角形三边关系定理得到，即可得到第三根木棒的长度，于是得到答案． 本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 【详解】解：设第三根木棒的长度是， 由三角形三边关系定理得到：， 故， 第三根木棒的长度是整数且不大于， 故，且x是正整数， 第三根木棒的长度是、、、、、， 小明最多可以拼出不同的三角形个数为个． 故选：C． 解答题 39．化简求值：，其中a，b满足，a是最小的正整数，等腰三角形的三边长为3，6，b． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的加减与化简求值，等腰三角形的定义，三角形三边关系；先根据整式的加减化简，再求得，，进而代入求值，即可求解． 【详解】解： ∵a是最小的正整数， ∴， ∵等腰三角形的三边长为3，6，b． 当时，，不能构成三角形， 当时，，能构成三角形， ∴ 当，时，原式． 【题型13.与三角形的高有关的计算问题】 40．如图，于点B，则图中以为高线的三角形有 个 【答案】3 【分析】此题主要考查了三角形的高，关键是掌握三角形高的定义．利用三角形的高的定义可得答案． 【详解】解：图中以为高线的三角形有，，，共3个， 故答案为：3． 41．如图是梯形转化成三角形的过程，如果梯形的面积是，高是，那么转化后的三角形的底是（    ）． A．16 B．12 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了三角形，梯形面积的计算，理解图示中两个图形面积的关系，面积公式是解题的关键． 根据题意，三角形的面积和梯形的面积相等，根据三角形的面积公式，梯形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：根据题意，梯形的面积是，高是，那么转化后的三角形面积是，高是， ∴， 解得，三角形底， 故选：B ． 42．我们知道三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．由此解决下面的问题：一个三角形两条高的长分别为和，第三条高的长也是整数（单位），则这样的整数有 个． 【答案】20 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，三角形面积的计算，熟练掌握三角形三边关系，是解题的关键．设长度为和的高所对应的边分别为、，第三条边及其边上的高分别为、，的面积为，则，，，根据三角形三边关系得出，整理得出，根据第三条高的长是整数，得出答案即可． 【详解】解：设长度为和的高所对应的边分别为、，第三条边及其边上的高分别为、，的面积为，则，，， 根据三角形三边关系可知：， 即， 即， ∴， ∴， ∴， ∵第三条高的长是整数， ∴这样的整数有个． 故答案为：20． 解答题 43．如图，已知中，，，，的高交于点O． (1)求； (2)请你猜想与的关系，并简述理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形的面积公式，四边形的内角和以及平角的定义，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式，利用等面积法可得，由此求解即可； （2）由为的高和四边形的内角和可得出，再利用平角的定义与等量代换即可求解． 【详解】（1）解：，，， 为的高， ， 即 解得， 则的长为； （2），理由如下： 为的高， ， 在四边形中，， 又， ． 【题型14.重心的性质与应用】 44．已知的两条中线长分别为5和4，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】如图，由题意易得点O是△ABC的重心，，则有，要使△ABC的面积最大，即满足AD与BF互相垂直时为最大，则问题可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：AD、BF分别是的中线，即， ∴点O是△ABC的重心，， ∴， ∴要使△ABC的面积最大，即满足AD与BF互相垂直时为最大， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查三角形的重心，熟练掌握三角形的重心是解题的关键． 45．如图，已知点G是ABC的重心，那么等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5 【答案】B 【分析】连接AG延长交BC于点D，由G是重心可得D是BC的中点，所以S△ABD＝S△ACD，S△BDG＝S△CDG，又由重心定理可AG＝2GD，进而得到3S△BCG＝S△ABC，即可求解． 【详解】解：连接AG延长交BC于点D， ∵G是△ABC的重心， ∴D是BC的中点， ∴S△ABD＝S△ACD，S△BDG＝S△CDG， ∵AG＝2GD， ∴2S△BGD＝S△ABG，2S△CGD＝S△ACG， ∴3S△BCG＝S△ABC， ∴S△BCG：S△ABC＝1：3， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的重心，熟练掌握三角形重心定理，利用等底、等高三角形面积的特点求解是解题的关键． 46．如图，已知△ABC三条中线相交于点O，则△ABO与△DBO的面积之比为 【答案】 【分析】根据三角形的重心性质得，过点B作交AD的延长线于点G，则BG是和的高，根据三角形的面积公式即可得． 【详解】解：由题可知，点O是的重心， ∴， 如图所示，过点B作交AD的延长线于点G， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的重心及重心性质，解题的关键是掌握这些知识点． 【题型15.利用网格求三角形面积】 47．如图，小方格都是边长为1的正方形，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了格点三角形面积，根据图形得的面积等于正方形的面积减去个直角三角形的面积；掌握割补法求三角形的面积是解题的关键． 【详解】解： ； 故选：C． 48．如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了网格中求三角形的面积，利用网格的特点进行解答即可． 【详解】解：根据网格特点可知，交的延长线于点D， ∵ ∴的面积， 故答案为：3 49．在如图正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，、两点在格点上，格点的面积为1，则格点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积问题，能够结合图形进行求解．以为腰可得出4个等腰直角三角形，其面积为1，又有两个钝角三角形，其面积也为1，故满足条件的点共有6个． 【详解】解：如图， 这样的点共有6个． 故选：． 解答题 50．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请在图中画出符合要求的图形． (1)请在图中画出的边上的高 (2)请在图中画出的中线 (3)请直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)12 【分析】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，掌握概念是解本题的关键． （1）结合网格信息，连接的网格对角线交于点H即可； （2）结合网格信息，根据中线的定义可得D点，连接即可得到答案； （3）根据三角形面积公式的求法，结合网格信息，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ； （2）解：如图，即为所求； （3）解：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07认识三角形题型突破讲义 基础 过关题 1.三角形的识别与有关概念 2.三角形的分类方法 3.等腰三角形的定义与识别 4.三角形角平分线的定义与性质 5.重心的概念与识别 6.三角形高的画法与识别 7.直角三角形两个锐角互余的性质 8.构成三角形的条件 能力 提升题 9.三角形的个数问题 10.三角形内角和定理的证明 11.确定第三边的取值范围 12.三角形三边关系的应用 13.与三角形的高有关的计算问题 14.重心的性质与应用 拓展 拔高题 15.利用网格求三角形面积 一、三角形的基本概念 1.定义：由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接围成的封闭平面图形。 2.组成：3 条边、3 个内角、3 个顶点。 二、三角形的边的关系（重中之重） 1.三边关系定理 任意两边之和 大于 第三边 任意两边之差 小于 第三边 2.判断三条线段能否构成三角形：只需要看较短两条之和 > 最长边即可。 3.已知两边求第三边范围：设两边为 a、b（a > b），则第三边 c 满足：a−b<c<a+b 三、三角形的角的关系 1.内角和定理三角形三个内角的和等于 180°。 2.外角性质 三角形的一个外角 等于 与它不相邻的两个内角之和。 三角形的一个外角 大于 任何一个与它不相邻的内角。 四、三角形按角分类 锐角三角形：三个内角都 小于 90° 直角三角形：有一个内角 等于 90° 直角三角形两锐角 互余（和为 90°） 钝角三角形：有一个内角 大于 90° 且小于 180° 五、三角形按边分类 不等边三角形：三边都不相等 等腰三角形：至少有两条边相等 相等的两边叫腰，第三边叫底边 两腰所对的角叫底角，底边所对的角叫顶角 等边三角形（特殊等腰）：三边都相等，三个角都是 60° 六、三角形中的重要线段（会识别、会画） 1.三角形的高 从顶点向对边作垂线，顶点与垂足间线段。 锐角三角形：三条高都在内部 直角三角形：两条高是直角边，一条在内部 钝角三角形：两条高在外部，一条在内部 2.三角形的中线 连接顶点与对边中点的线段。 一条中线把三角形分成面积相等的两部分。 3.三角形的角平分线 平分内角，端点在顶点与对边上的线段。 分得的两个角相等。 七、必须掌握的易错点（高频失分） 1.三条线段能否成三角形：只看短边之和 > 最长边，不要三条都加。 2.已知两边求第三边：差 < 第三边 < 和，别漏一边。 3.高、中线、角平分线都是线段，不是直线或射线。 4.直角三角形两锐角互余，直接用来快速算角。 5.外角等于不相邻两内角和，别和相邻内角混。 【题型1.三角形的识别与有关概念】 1．如图，在中，的对边是（   ） A． B． C． D． 2．如图，共有 个三角形；在中，所对的角是 ；在中，所对的边是 ；以为边的三角形有 ． 3．如图，若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 【题型2.三角形的分类方法】 4．若一个三角形三边的长度比为，周长为 cm，则这个三角形三边的长分别为 ，按边分，这个三角形是 三角形． 5．下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，根据图形填空． （1）以为边的三角形是 ； （2）的三个内角是 ，其中的对边是 ； （3）以为一个内角的三角形是 ； （4）图中共有 个三角形． 【题型3.等腰三角形的定义与识别】 7．四边形的边长如图所示，线段的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，线段的长为 ． 8．已知一个等腰三角形的一边长为3，另一边长为7，那么它的周长为（    ） A．13 B．13或17 C．17 D．12或16 9．若等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为 ． 【题型4.三角形角平分线的定义与性质】 10．如图，，分别是的中线和角平分线，则： ； ． 11．下列结论正确的是（   ） A．钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部 B．锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部 C．三角形的重心是三角形三条中线的交点 D．直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点 12．如图，是的角平分线，则平分 ， ，且点在边上． 【题型5.重心的概念与识别】 13．如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形 的交点．    14．一个三角形中的三条中线（   ） A．都在这个三角形内 B．都在这个三角形外 C．可能在这个三角形内，也可能在这个三角形外 D．可能和这个三角形的一边重合 15．如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则 ． 【题型6.三角形高的画法与识别】 16．如图，在中，边上的高是线段 ． 17．数学课上，同学们在作的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 18．如图，中，为上一点，于点E，下列说法中，错误的是（   ） A．中，是上的高 B．中，是上的高 C．中，是上的高 D．中，是上的高 【题型7.直角三角形两个锐角互余的性质】 19．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（ ） A．120° B．90° C．60° D．30° 20．把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 解答题 21．如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，   (1)试说明CD是△CBE的角平分线；   (2)和∠B相等的角是 ． 【题型8.构成三角形的条件】 22．用一根长度为小木棒与两根长度分别为的小木棒组成一个三角形，那么这根小木棒的长度x可以是 ． 23．老师让同学们分别将一根长的铁丝剪开，剪成的三段首尾顺次相接后能围成三角形．下列四位同学的剪法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 24．设是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是 ． 【题型9.三角形的个数问题】 25．如图，共有 个三角形． 26．如图，以为高的三角形共有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 27．如图，图①中有个三角形，在图①中的三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与三角形的个顶点得到图②，图②中共有4个三角形．若在图②中的一个小三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与该小三角形的个顶点得到图③．在虚线框中画出图③，图③中共有 个三角形．（写出所有可能的值） 【题型10.三角形内角和定理的证明】 28．若两条直线被第三条直线所截，有一对同位角相等，则其中一对同旁内角的角平分线 A．互相垂直 B．互相平行 C．相交或平行 D．不相等 解答题 29．试说明三角形的内角和． 【题型11.确定第三边的取值范围】 30．已知三角形的三边分别为，则a的整数值可能是 ．（填一种即可） 31．有两根木棒，它们的长分别是和，若要再选一根木棒与这两根木棒一起钉成一个三角形框架，则应在下列木棒中选取（    ） A．的木棒 B．的木棒 C．的木棒 D．的木棒 32．已知a，b，c是的三边长，满足，c为偶数，则的最大周长为 ． 33．如图，小深在池塘一侧选取了点，测得，，那么池塘两岸，间的距离可能是（    ）． A．9 B．8 C．5 D．2 解答题 34．已知中，，，且为奇数． (1)求的周长． (2)判断的形状，并说明理由． 【题型12.三角形三边关系的应用】 35．小刚参加一项跳跃泥潭障碍的体能训练，他平时助跑跳跃距离约为，但不确定自己是否能够跳过如图所示的这个泥潭（的长度），于是测量了相关长度，由于米尺长度有限，小刚测得，，根据小刚的测量，他 完成这项训练挑战．（填“能”或“不能”） 36．已知等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是（    ） A．10 B．13 C．17 D．13或17 37．设a，b，c是的三边，则 ． 38．在学习完三角形三边关系后，小明用三根木棍首尾相连拼三角形有三根长度分别为、、的木棍，若想三角形的边长均为整数，则可将的木棍进行裁切，这样小明最多可以拼出不同的三角形个数为（       ） A． B． C． D． 解答题 39．化简求值：，其中a，b满足，a是最小的正整数，等腰三角形的三边长为3，6，b． 【题型13.与三角形的高有关的计算问题】 40．如图，于点B，则图中以为高线的三角形有 个 41．如图是梯形转化成三角形的过程，如果梯形的面积是，高是，那么转化后的三角形的底是（    ）． A．16 B．12 C．6 D．3 42．我们知道三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．由此解决下面的问题：一个三角形两条高的长分别为和，第三条高的长也是整数（单位），则这样的整数有 个． 解答题 43．如图，已知中，，，，的高交于点O． (1)求； (2)请你猜想与的关系，并简述理由． 【题型14.重心的性质与应用】 44．已知的两条中线长分别为5和4，则面积的最大值为 ． 45．如图，已知点G是ABC的重心，那么等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5 46．如图，已知△ABC三条中线相交于点O，则△ABO与△DBO的面积之比为 【题型15.利用网格求三角形面积】 47．如图，小方格都是边长为1的正方形，则的面积是（   ） A． B． C． D． 48．如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，则的面积为 ． 49．在如图正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，、两点在格点上，格点的面积为1，则格点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 解答题 50．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请在图中画出符合要求的图形． (1)请在图中画出的边上的高 (2)请在图中画出的中线 (3)请直接写出的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $