精品解析：海南海口市美丽沙侨中、人大附中海口学校等校2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷

2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确 1. 下列判断正确的是（ ） A. 立方根是 B. 49的算术平方根是 C. 的立方根是 D. 的平方根是 2. 下列实数中，属于无理数的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，那么的值为（　　） A B. C. D. 5. 若，则m与n的值分别是（　　） A. B. 1 C. D. 6. 如图，为了测量出池塘、两点之间的距离，小育在平地上选取了能够直接到达点和点的一点．他连接并延长，使；又连接并延长，使，连接．只要测量出的长度，也就得到了、两点之间的距离，这样测量的依据是（　　） A. B. C. D. 7. 下列定理中，逆命题错误的是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 直角三角形两锐角互余 C 对顶角相等 D. 同位角相等，两直线平行 8. 如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的定长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，作，垂足为，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 三条角平分线的交点落在上 10. 在中，，，．现将按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的长是（ ） A. B. C. 4 D. 5 11. 市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子以上．如图是某款自带勺子的杯子的简化图，杯身是一个圆柱形杯子的内径是，杯子内侧高度为，则勺子的长度至少为（ ）厘米． A. B. C. D. 12. 如图，已知长方形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BC上由点C向点B运动，若AEP与BPQ全等，则点Q的运动速度是（ ） A. 2或 B. 6或 C. 2或6 D. 1或 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 写出一个3到4之间的无理数____． 14. 已知，，则______． 15. 一块钢板形状如图所示，已知AB＝12cm，BC＝13cm，CD＝4cm，AD＝3cm，∠ADC＝90°，则这块钢板的面积是 ______cm2． 16. 如图，矩形中，，点E在射线上一个动点，把沿直线折叠，当点B的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，的长是______． 三、解答题：本大题共6小题，共72分． 17. 计算： （1）． （2）． （3）先化简，再求值：，其中． 18. 分解因式 （1）； （2）． 19. 某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂”活动，推出了以下四种选修课程：A.绘画；B.唱歌；C.演讲；D.十字绣.学校规定：每个学生都必须报名且 只能选择其中的一个课程.学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计， 并绘制了如下两幅不完整的统计图.请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）这次学校抽查的学生人数是 ，C 所占圆心角为 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）如果该校共有1000名学生，请你估计该校报D的学生约有多少人？ 20. 如图，已知． （1）实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为，交于点E．（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（）的基础上，连接，若，，求的度数． 21. 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，．请用含、、的最简代数式分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______ ______ ______． 则它们满足的关系式经过化简后为______，即可得到勾股定理． 知识运用： 如图2所示，表示一条铁路，、是两个城市，它们到铁路所在直线的垂直距离分别为千米，千米，且千米，现要在之间设一个中转站．求出应建在离点多少千米处，才能使它到、两个城市的距离相等． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，直接写出代数式的最小值． 22. 问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． （1）证明：； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请写出与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确 1. 下列判断正确的是（ ） A. 的立方根是 B. 49的算术平方根是 C. 的立方根是 D. 的平方根是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查立方根、平方根及算术平方根的概念及求法，熟记立方根、平方根及算术平方根的计算方法是解决问题的关键． 【详解】解：A、的立方根是，判断正确，符合题意； B、49的算术平方根是，判断错误，不符合题意； C、的立方根是，判断错误，不符合题意； D、的平方根是，判断错误，不符合题意； 故选：A． 2. 下列实数中，属于无理数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）． 根据无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是分数，属于有理数，故不符合题意； B．是整数，属于有理数，故不符合题意； C．是有限小数，属于有理数，故不符合题意； D．是无理数，故符合题意． 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，解题的关键是熟整式的运算法则． 【详解】解：A、 不是同类项，不能合并，故不正确； B、，原计算不正确； C、，原计算正确； D、，原计算不正确； 故选C． 4. 已知，那么的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，利用算术平方根和绝对值的非负性求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 解得，， ∴， 故选：． 5. 若，则m与n的值分别是（　　） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据多项式乘以多项式，即可解答． 【详解】 ∴ ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是熟记多项式乘以多项式． 6. 如图，为了测量出池塘、两点之间的距离，小育在平地上选取了能够直接到达点和点的一点．他连接并延长，使；又连接并延长，使，连接．只要测量出的长度，也就得到了、两点之间的距离，这样测量的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．利用“” 证明，即可获得答案． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴． 故选：B． 7. 下列定理中，逆命题错误的是（ ） A 两直线平行，内错角相等 B. 直角三角形两锐角互余 C. 对顶角相等 D. 同位角相等，两直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断逆命题的真假，先写出各项的逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：A、逆命题为：内错角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意； B、逆命题为：两锐角互余的三角形为直角三角形，是真命题，不符合题意； C、逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，符合题意； D、逆命题为：两直线平行，同位角相等，是真命题，不符合题意； 故选C． 8. 如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形中“三线合一”是解题关键．由三线合一知，由等腰三角形两底角相等即可求解． 【详解】解：∵，是的中点，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 9. 如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的定长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，作，垂足为，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 三条角平分线的交点落在上 【答案】C 【解析】 【分析】由作法可知，平分，利用角平分线的性质定理，即可判断B选项；证明，即可判断A选项；根据三角形角平分线的定义，即可判断D 选项；由，根据等边对等角以及三角形内角和定理，推出，，而题干没有给出这个条件，即可判断C选项． 【详解】解：由题意可知，平分， ，， ，故B选项正确； 在和中， ， ， ，故A选项正确； 是的角平分线， 三条角平分线的交点落在上，故D选项正确； 若，则， ，， ， ， ，，题干没有给出这个条件，故C选项不正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了作图——角平分线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，根据题意得出平分是解题关键． 10. 在中，，，．现将按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的长是（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先利用勾股定理求得的长，再设，再根据图形翻折变换的性质得出，，再根据勾股定理求出x的值． 【详解】解：设，则， ∵是翻折而成， ∴， 在中，，即， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，熟知“折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等”的知识是解答此题的关键． 11. 市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子以上．如图是某款自带勺子的杯子的简化图，杯身是一个圆柱形杯子的内径是，杯子内侧高度为，则勺子的长度至少为（ ）厘米． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．当勺子的底端在点时，勺子的长度最长．然后根据勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，当勺子的底端在点时，勺子的长度最长， 在中，，， ∴， 所以勺子的长度至少为． 故选：D． 12. 如图，已知长方形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BC上由点C向点B运动，若AEP与BPQ全等，则点Q的运动速度是（ ） A. 2或 B. 6或 C. 2或6 D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】设Q运动的速度为x cm/s，则根据△AEP与△BQP得出AP=BP、AE=BQ或AP=BQ，AE=BP，从而可列出方程组，解出即可得出答案． 【详解】解：∵长方形ABCD， ∴∠A=∠B=90°， ∵点E为AD的中点，AD=8cm， ∴AE=4cm， 设点Q的运动速度为x cm/s， ①经过y秒后，△AEP≌△BQP，则AP=BP，AE=BQ， ， 解得：， 即点Q的运动速度cm/s时，能使两三角形全等． ②经过y秒后，△AEP≌△BPQ，则AP=BQ，AE=BP， ， 解得：， 即点Q的运动速度6cm/s时，能使两三角形全等． 综上所述，点Q的运动速度或6cm/s时能使两三角形全等． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，涉及了动点的问题使本题的难度加大了，解答此类题目时，要注意将动点的运用时间t和速度的乘积当作线段的长度来看待，这样就能利用几何知识解答代数问题了． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 写出一个3到4之间的无理数____． 【答案】π（答案不唯一）． 【解析】 【详解】考点：估算无理数大小． 分析：按要求找到3到4之间的无理数须使被开方数大于9小于16即可求解． 解：3到4之间的无理数π． 答案不唯一． 14. 已知，，则______． 【答案】13 【解析】 【分析】现将进行平方，然后把代入，即可求解． 【详解】 ， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记公式的几个变形公式是解题的关键． 15. 一块钢板的形状如图所示，已知AB＝12cm，BC＝13cm，CD＝4cm，AD＝3cm，∠ADC＝90°，则这块钢板的面积是 ______cm2． 【答案】24 【解析】 【分析】连接AC．利用勾股定理可求出AC的长，根据△ABC的三边关系可得△ABC是直角三角形，根据三角形的面积公式可求出△ABC与△ACD的面积，进而求出四边形ABCD的面积． 【详解】连接AC，由勾股定理得：AC5． ∵AB=12，BC=13，AC2+AB2=BC2，即52+122=132，故△ABC是直角三角形，∠CAB=90°，故四边形ABCD的面积=S△ABC﹣S△ACD=AB•ACAD•CD=12×54×3=30﹣6=24（cm2）． 故答案为24． 【点睛】本题考查了勾股定理以及其逆定理的运用．解题的关键是首先证明△ABC是直角三角形，从而利用三角形面积公式求出S△ABC． 16. 如图，矩形中，，点E在射线上一个动点，把沿直线折叠，当点B的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，的长是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，垂直平分线的性质，解方程，分情况讨论是解题的关键，分点F在矩形内部和外部两种情况计算即可． 【详解】解：分两种情况： ①如图1，当点F在矩形内部时，作的垂直平分线，交于，交于， ∵点F在的垂直平分线上， ∴；， ∵， 由勾股定理得， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 即的长为． ②如图2，当点F在矩形外部时，作的垂直平分线，交于，交于， 同①的方法可得，， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 即的长为10． 综上所述，点F刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为或10． 故答案为：或10． 三、解答题：本大题共6小题，共72分． 17. 计算： （1）． （2）． （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）分别计算绝对值，有理数乘方，算术平方根和立方根，再计算加减； （2）利用平方差公式和单项式乘以多项式法则计算，再合并同类项； （3）先利用多项式乘以多项式法则和平方差公式进行括号内计算，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式，最后代入求值即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： ， 当时，原式． 18. 分解因式 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． （）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂”的活动，推出了以下四种选修课程：A.绘画；B.唱歌；C.演讲；D.十字绣.学校规定：每个学生都必须报名且 只能选择其中的一个课程.学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计， 并绘制了如下两幅不完整的统计图.请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）这次学校抽查的学生人数是 ，C 所占圆心角为 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）如果该校共有1000名学生，请你估计该校报D的学生约有多少人？ 【答案】（1）40，90°(2)详见解析；（3）100人. 【解析】 【分析】(1)由A的人数除以所占的百分比即可求出总人数, 再用总人数减去其他人数，求出C的人数，C的人数除以总数人再乘以360°，即为C所对应的圆心角的度数； (2)用总人数减去其他人数，求出C的人数, ，补全图形； (3)用该学校的总人数乘以D的百分比即可求出答案. 【详解】(1)这次学校抽查的学生人数是12÷30%=40(人)， C的人数为40−12−14−4=10(人),故C 所占圆心角为，故答案为40、90° (2)C的人数为40−12−14−4=10(人), 条形统计图补充为： (3)估计全校报D的学生有1000×=100(人). 【点睛】本题主要考查了统计图表，解本题关键在于通过图表得出想要的数据，从而求出答案. 20. 如图，已知． （1）实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为，交于点E．（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（）的基础上，连接，若，，求的度数． 【答案】（1）作图见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）依据线段垂直平分线的作法画出图形即可； （2）根据题意画图，根据作图可知垂直平分，则，由等边对等角得出，最后通过角度和差即可求解； 本题主要考查了基本作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，作垂直平分线， ∴即为所求； 【小问2详解】 解：如图，根据题意画图， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 21. 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，．请用含、、的最简代数式分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______ ______ ______． 则它们满足的关系式经过化简后为______，即可得到勾股定理． 知识运用： 如图2所示，表示一条铁路，、是两个城市，它们到铁路所在直线的垂直距离分别为千米，千米，且千米，现要在之间设一个中转站．求出应建在离点多少千米处，才能使它到、两个城市的距离相等． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，直接写出代数式的最小值． 【答案】小试牛刀：；，；；知识运用：点应建在离点千米处，才能使它到、两个城市的距离相等；知识迁移：代数式的最小值为． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，轴对称-最短路径的知识，解题的关键是掌握勾股定理的应用，轴对称-最短路径的几何意义，进行解答，即可． 小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积，表示出梯形、四边形、的面积，即可； 知识运用：连接，作的垂直平分线交于点，，设，根据勾股定理，可得；，解出，即可； 知识迁移：根据轴对称-最短路径，进行解答，即可． 【详解】解：小试牛刀：连接，设和的交点为点， ∵， ∴，，， ∴， 由图可得，；； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；，；； 知识运用：连接，作的垂直平分线交于点， ∴， ∵千米，千米，且千米， ∴设， ∴， ∴；， ∴， 解得：， ∴点应建在离点千米处，才能使它到、两个城市的距离相等； 知识迁移：如图，先作出点关于的对称点，连接，过点作的延长线于点， 设，，，， ∴，，， ∴，， ∴代数式的最小值为， ∴， ∴代数式的最小值为． 22. 问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． （1）证明：； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），，理由见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）由即可证明； （2）先证明，可得，由是等腰直角三角形，是边上的高，可得即可得结论； （3）先证明，可得，设，根据等腰三角形性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，，即， ∴， ∴， ∵等腰直角三角形，点B、D、E共线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形，是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：∵和都是等腰三角形，， ∴，，，即， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵点B、D、E共线， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $