精品解析：广东阳江市江城区2025-2026学年八年级上学期期末质量监测数学试题

机密★启用前 2025—2026学年度第一学期期末质量监测试卷 八年级数学 本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名和准考证号填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 国产人工智能大模型横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，其运用的数学知识是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形的任意两边之和大于第三边 C. 三角形的内角和等于 D. 三角形的稳定性 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. “春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据0.0000004用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在高考期间需停工两天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如果等腰三角形的一个内角为，那么该等腰三角形底角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 10. 两组邻边分别相等的四边形我们称它为等形．如图，在四边形中，，，与相交于点，下列结论正确的有（ ） ①是的垂直平分线；②互相平分；③平分和；④平分和；⑤；⑥等形的面积为 A. ①②③ B. ③⑥ C. ①④⑥ D. ①③⑥ 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 若是完全平方式，则的值是______． 12. 若，，则______． 13. 如图，，请补充一个条件：______使．（填其中一种即可） 14. 分解因式：x2－9＝______． 15. 重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 已知，如图所示，在中，． （1）作的角平分线交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） （2）若，，求的面积． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，B，E，C，F是直线l上的四点，相交于点G，，，．求证： （1）； （2）是等腰三角形． 20. 在今年的全国两会上，国家卫生健康委表示将持续推进“体重管理年”行动，实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式．为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考查，有、两种型号的健身器材可供选择．已知每套型健身器材的价格比每套型健身器材的价格多万元，用万元购买型健身器材的数量与用万元购买型健身器材的数量相等， （1）求每套型健身器材的价格； （2）市政府计划采购这两种健身器材共套，总费用不超过万元，则至少购买型健身器材多少套？ 21. 综合与实践： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让李明想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从地出发到河边饮马，然后再到地军营视察，怎样走路径最短？ 可以转化为数学模型：如图1，，是直线同旁的两个定点．在直线上确定一点，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 已知：如图2，点A是锐角内部任意一点， 在的两边，上各取一点B，C，组成三角形，使的周长最小． （1）借助直角三角板在图2中找出符合条件的点B和C； （2）若（1）中的，，求的最小周长． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【追本溯源】数形结合是一种非常重要的数学思想方法．利用数形结合的思想，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形角度解决代数问题．我们在学习整式乘法公式时．通过构造几何图形，用等积法直观地验证了平方差公式和完全平方公式，如图和：，． （1）【初步应用】请利用图来验证完全平方公式并简单写明你的验证思路，同时写出该数学等式_____________________________． （2）【拓展应用】 请利用上述验证的恒等式解决如下问题： ①若，求的值； ②正方形和如图所示方式摆放，已知，求图中阴影部分的面积． 23. 完成下列各题： （1）问题的提出：如图（1），在中，，请你运用所学的全等知识，证明：． （2）知识的运用：如图（2），已知是等边三角形，若是边的中点，点在射线上，若为轴对称图形，则的度数为 ． （3）拓展延伸：如图（3），已知是等边三角形，若在边上，，与的外角平分线交于点，于点，求、、之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 2025—2026学年度第一学期期末质量监测试卷 八年级数学 本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名和准考证号填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 国产人工智能大模型横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项D能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 故选：D． 2. 以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，判断各组线段是否能组成三角形，通过比较每组中最小两边之和与最大边的大小关系进行判断即可． 【详解】解：对于A，最小两边1和2之和，∴不能组成三角形，不符合题意； 对于B，最小两边4和6之和，∴能组成三角形，符合题意； 对于C，最小两边5和6之和，∴不能组成三角形，不符合题意； 对于D，最小两边2和3之和，∴不能组成三角形，不符合题意． 故选：B． 3. 如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，其运用的数学知识是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形的任意两边之和大于第三边 C. 三角形的内角和等于 D. 三角形的稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．熟练掌握常见的三角形的稳定性在实际生活中的应用，如钢架桥、房屋架梁等是解题的关键．根据三角形具有稳定性解答． 【详解】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性． 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方、同底数幂相乘、积的乘方和合并同类项，准确的计算是解决本题的关键． 根据相关运算规则进行判断即可． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项正确，符合题意． 故选D． 5. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义，根据分母不为0进行分析，即可作答． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：D． 6. “春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据0.0000004用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数据0.0000004用科学记数法表示为， 故选：A． 7. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求解，掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴对称的点的坐标是， 故选：． 8. 施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在高考期间需停工两天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设原计划每天铺设x米，则实际施工时每天铺设（x+50）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间＝2，列出方程即可． 【详解】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+50）米， 根据题意，可列方程：2， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程． 9. 如果等腰三角形的一个内角为，那么该等腰三角形底角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，等腰三角形的定义，等腰三角形的一个角可能是顶角或底角，需分情况讨论求出底角的度数即可． 【详解】解：∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为 ①若为顶角，则底角的度数为， ②若为底角，则底角的度数为 ∴该等腰三角形底角的度数为或， 故选：C． 10. 两组邻边分别相等的四边形我们称它为等形．如图，在四边形中，，，与相交于点，下列结论正确的有（ ） ①是的垂直平分线；②互相平分；③平分和；④平分和；⑤；⑥等形的面积为 A. ①②③ B. ③⑥ C. ①④⑥ D. ①③⑥ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定可判定①和②；证明可判定③；由条件无法证明，可判定④和⑤；由可判定⑥，综上即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：①∵，， ∴点和点都在线段的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线，故①正确； ②互相垂直，不一定平分，故②错误； ③在和中， ， ∴， ∴，, 即平分和，故③正确； ④题中条件无法证明， ∴不一定平分和，故④错误； ⑤题中条件无法得出，故⑤错误； ⑥∵是的垂直平分线， ∴，故⑥正确； 综上，结论正确的有①③⑥， 故选：． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 若是完全平方式，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式是解本题的关键． 利用完全平方式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵是完全平方式，即， ∴， 故答案为：． 12. 若，，则______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆用，求代数式的值，利用指数运算法则，将转化为，再代入已知值计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：30． 13. 如图，，请补充一个条件：______使．（填其中一种即可） 【答案】（或） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据全等三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴当添加时，则可根据“”判定； 当添加时，则可根据“”判定； 故答案为（或）． 14. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 15. 重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查重心的定义，三角形的中线分出的三角形的面积相等；根据重心可得点D，E，F为三边中点，然后根据三角形的中线分出的三角形的面积相等得到，然后根据同高的两个三角形的面积比等于对应边的比解答即可． 【详解】解：∵G为的重心， ∴，，是的中线，即，，是，，的中线， ∴，，，， ∴，即， 同理， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则和完全平方公式与平方差公式是解题的关键． 根据题意，先用平方差公式和完全平方公式化简，再按整式的混合运算法则计算，即可求解． 【详解】解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值．先对括号内的分式进行通分运算，再将除法转化为乘法，通过因式分解进行约分，得到最简形式后，代入求值． 【详解】解： ， 当时，． 18. 已知，如图所示，在中，． （1）作的角平分线交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）15 【解析】 【分析】（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，交AB、BC于点G、E，然后以G、E为圆心，大于长为半径画弧，交于点F，连接BF，交AC于点D，则问题得解； （2）由（1）图，过点D作DH⊥AB交AB于点H，易得DH=3，然后根据三角形面积计算公式可求解． 【小问1详解】 解：∠B的平分线BD如图所示： 【小问2详解】 过点D作DH⊥AB交AB于点H，如图所示： ∵BD平分∠ABC，∠C=90°， ∴DC=DH， ∵CD=3，AB=10， ∴DH=3， ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线的尺规作图及性质定理，熟练掌握角平分线的尺规作图及性质定理是解题的关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，B，E，C，F是直线l上的四点，相交于点G，，，．求证： （1）； （2）是等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）根据即可证明； （2）由全等三角形得到，再由等角对等边即可证明． 【小问1详解】 证明： ， ， 即 在和中， 【小问2详解】 证明：由（1）可知，≌， ， ， 是等腰三角形． 20. 在今年的全国两会上，国家卫生健康委表示将持续推进“体重管理年”行动，实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式．为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考查，有、两种型号的健身器材可供选择．已知每套型健身器材的价格比每套型健身器材的价格多万元，用万元购买型健身器材的数量与用万元购买型健身器材的数量相等， （1）求每套型健身器材的价格； （2）市政府计划采购这两种健身器材共套，总费用不超过万元，则至少购买型健身器材多少套？ 【答案】（1）每套型健身器材的价格是万元 （2）至少购买型健身器材套 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）每套型健身器材的价格是万元，则每套型健身器材的价格是万元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买型健身器材套，则购买型健身器材套，根据题意列一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每套型健身器材的价格为万元，则每套型健身器材的价格为万元， 依题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 每套型健身器材的价格为， （万元）， 答：每套型健身器材的价格是万元． 【小问2详解】 解：设购买型健身器材套，则购买型健身器材套， 依题意得：， 解得：， 答：至少购买型健身器材套． 21. 综合与实践： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让李明想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从地出发到河边饮马，然后再到地军营视察，怎样走路径最短？ 可以转化为数学模型：如图1，，是直线同旁的两个定点．在直线上确定一点，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 已知：如图2，点A是锐角内部任意一点， 在的两边，上各取一点B，C，组成三角形，使的周长最小． （1）借助直角三角板在图2中找出符合条件的点B和C； （2）若（1）中的，，求的最小周长． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】本题考查轴对称的最短路径问题，掌握作对称点构造将军饮马模型是解题的关键． （1）作点关于、的对称点，，连接交相交于，则点B，C即为所求； （2）根据对称性可得，，即可得到为等边三角形，然后根据等边三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 解（1）作点关于的对称点，关于的对称点，连接，与相交于两点，即为所求． 【小问2详解】 连接 ． 由对称性可知是的垂直平分线， ∴， ∴为等腰三角形，， 同理可证得：是的垂直平分线，是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 连接，则， ∴， 由两点之间，线段最短可知，此时最小， ∴的周长最小值为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【追本溯源】数形结合是一种非常重要的数学思想方法．利用数形结合的思想，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形角度解决代数问题．我们在学习整式乘法公式时．通过构造几何图形，用等积法直观地验证了平方差公式和完全平方公式，如图和：，． （1）【初步应用】请利用图来验证完全平方公式并简单写明你的验证思路，同时写出该数学等式_____________________________． （2）【拓展应用】 请利用上述验证的恒等式解决如下问题： ①若，求的值； ②正方形和如图所示方式摆放，已知，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何意义、完全平方公式的变形应用以及平方差公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征及其变形，能结合图形面积分析数量关系是解题的关键。 （1）从图形面积的角度出发，大正方形边长为，面积为；它又可拆分为一个边长为的正方形、一个边长为的正方形和两个长为、宽为的长方形，总面积为。通过面积相等验证完全平方和公式。 （2）①已知与的值，先对平方得到，再利用的变形公式，代入数值计算②先确定，对其平方后，结合已知求出；再利用完全平方公式求出，最后通过图形面积关系或平方差公式计算阴影部分面积． 【小问1详解】 解：由图可知： 故答案为：； 【小问2详解】 解：①， ， 又， ， ②如图，则 ， 即 ， 解得 23. 完成下列各题： （1）问题的提出：如图（1），在中，，请你运用所学的全等知识，证明：． （2）知识的运用：如图（2），已知是等边三角形，若是边的中点，点在射线上，若为轴对称图形，则的度数为 ． （3）拓展延伸：如图（3），已知是等边三角形，若在边上，，与的外角平分线交于点，于点，求、、之间的关系． 【答案】（1） 证明：如图，作的平分线交于点D， 则， 在与中， ， ∴， ∴； （2）或或 （3） 【解析】 【分析】（1）作的平分线交于点D，证明即可； （2）为轴对称图形，它必是等腰三角形，分三种情况考虑：；；；利用等腰三角形的性质即可求解； （3）在上取，则得是等边三角形，，则可证明，有，得，由此即可得、、之间的关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形，D为的中点， ∴， 当时，如图，则； 当时，如图，则， ∴； 当时，如图，则； 综上，的度数分别为或或； 【小问3详解】 解：如图，在上取，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∵为的外角平分线，的外角为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 此即、、之间的关系． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度直角三角形的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是（3）的解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $