第4讲 平行线的判定(平行公理-三线八角-平行线判定)培优讲义2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册

本讲义聚焦初中数学平行线的判定核心知识点，系统梳理平行公理（含定义、位置关系及推论），三线八角（同位角、内错角、同旁内角的定义与图形特征），以及五大判定定理，构建从概念到公理再到判定应用的完整学习支架。 资料亮点在于知识梳理用表格对比角的位置特征与图形结构（如“F”“Z”“U”形），培养几何直观（数学眼光），真题精讲结合生活情境（如光的折射、三角板旋转）设计问题，提升推理能力（数学思维），课后分层练习助力巩固知识，帮助学生查漏补缺，强化应用意识（数学语言）。

第4讲 平行线的判定 (平行公理+三线八角+平行线判定+课后巩固)培优讲义 本节课主要针对第16章平行线专题讲解。在本节课中，我们梳理了平行公理；同位角、内错角、同旁内角；平行线判定定理相关概念；解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。 知识点一 平行线及平行公理 1．平行线 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 记作：a∥b； 读作：直线a平行于直线b． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． 2．平行公理及推论 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． （3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 知识点二 同位角、内错角、同旁内角 1.同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 2.内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． 3.同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． 要点：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 角的名称 位置特征 基本图形 图形结构特征 同位角 在两条被截直线同旁，在截线同侧 形如字母“F” （或倒置） 内错角 在两条被截直线之内，在截线两侧 形如字母“Z” 同旁内角 在两条被截直线之内，在截线同侧 形如字母“U” 知识点三 平行线判定定理 （1） 定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2） 定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行（平行线传递性）． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行. 一．1.平行公理（共7小题） 1．下列说法中正确的是（　　） A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D．平面内，如果直线a与b相交，b与c相交，那么a与c相交 【分析】根据平行公理及推论，垂线的定义，点到直线的距离的定义逐一判断即可解答． 【解答】解：A、平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故不符合题意； B、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故符合题意； C、直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段的长叫做这个点到这条直线的距离，故不符合题意； D、平面内，如果直线a与b相交，b与c相交，那么a与c不一定相交，故不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了平行公理及推论，垂线的定义，点到直线的距离的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 2．下列说法中正确的是（　　） A．角的大小与边的长短有关 B．邻补角的角平分线互相垂直 C．两条不相交的直线叫做平行线 D．两条射线组成的图形叫做角 【分析】分别根据角的定义，邻补角的定义，平行线的定义判断即可． 【解答】解：A、角的大小与边的长短无关，故不符合题意； B、邻补角的角平分线互相垂直，故符合题意； C、在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，故不符合题意； D、有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，故不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了角的概念，邻补角的定义，平行线的定义，熟记角的定义，邻补角的定义，平行线的定义是解题关键． 3．已知在同一平面内有三条不同的直线a，b，c，下列说法错误的是（　　） A．如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c B．如果b∥a，c∥a，那么b∥c C．如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c D．如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c 【分析】根据如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行进行分析即可． 【解答】解：A、如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c，说法正确； B、如果b∥a，c∥a，那么b∥c，说法正确； C、如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c，说法错误； D、如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，说法正确； 故选：C． 【点评】此题主要考查了平行公理及推论，关键是熟练掌握所学定理． 4．在同一平面内，两条不相重合的直线位置关系有两种：　相交　 和　平行　 ． 【分析】同一平面内，直线的位置关系通常有两种：平行或相交． 【解答】解：平面内的直线有平行或相交两种位置关系． 故答案为：相交，平行． 【点评】本题主要考查了在同一平面内的两条直线的位置关系，属于基础题，应熟记这一知识点． 5．在同一平面内，已知直线a、b、c，且a∥b，b⊥c，那么直线a和c的位置关系是a⊥c ． 【分析】根据平行线的性质进行解答即可． 【解答】解：如图所示： 同一平面内，已知直线a、b、c，且a∥b，b⊥c， ∵a∥b， ∴∠1＝∠2， ∴b⊥c， ∴∠2＝90°， ∴∠1＝90°， ∴a⊥c． 故答案为：a⊥c． 【点评】本题考查的是平行公理及其推论，即若两条平行线中的一条垂直于另一条直线，那么另一条也垂直于这条直线． 6．在相交线与平行线这一章节中我们学习了垂直的定义，仿照垂直的定义方法给出以下新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是60°，就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线AB、CD互为完美交线，O为它们的完美点，OE⊥AB，则∠EOC的度数为　30或150°　 ． 【分析】分当OE在直线AB的上方时及当OE在直线AB的下方时两种情况进行讨论，求得∠EOC的度数． 【解答】解：如图所示，当OE在直线AB的上方时， 由题意可得：∠BOC＝60°， ∵OE⊥AB， ∴∠COE＝∠BOE﹣∠BOC＝30°， 如图所示，当OE在直线AB的下方时， 由题意可得：∠BOC＝60°， ∵OE⊥AB， ∴∠COE＝∠BOE+∠BOC＝150°， 故答案为：30°或150°． 【点评】本题考查了垂直定义和邻补角定义，熟练掌握概念是解题的关键． 7．如图，取一张长方形的硬纸板ABCD，将硬纸板ABCD对折使CD与AB重合，EF为折痕．把长方形ABEF平放在桌面上，另一个面CDEF无论怎么改变位置，总有CD∥AB存在，理由是　平行于同一条直线的两条直线平行　 ． 【分析】根据平行于同一条直线的两条直线平行即可求解． 【解答】解：∵CD∥EF，EF∥AB，平行于同一条直线的两条直线平行， ∴CD∥AB， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行． 【点评】本题考查了平行公理，正确理解平行公理及推论是解题的关键． 二．同位角、内错角、同旁内角（共10小题） 8．如图，直线a被直线b，c所截，下列是内错角的是（　　） A．∠1和∠5 B．∠4和∠7 C．∠3和∠5 D．∠3和∠8 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． 【解答】解：A、∠1与∠5是同位角，故此选项不符合题意； B、∠4与∠7不是内错角，故此选项不符合题意； C、∠3与∠5是内错角，故此选项符合题意； D、∠3与∠8是同旁内角，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握这几个定义是解题的关键． 9．如图，按各组角的位置判断错误的是（　　） A．∠1与∠4是同旁内角 B．∠3与∠4是内错角 C．∠5与∠6是同旁内角 D．∠2与∠5是同位角 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行解答即可． 【解答】解：A、∠1和∠A是同旁内角，说法正确； B、∠3和∠4是内错角，说法正确； C、∠5和∠6不是两条直线被第三条直线截成的角，说法错误； D、∠2和∠5是同位角，说法正确． 故选：C． 【点评】此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是熟记同位角、内错角、同旁内角的定义． 10．下列说法正确是（　　） A．对顶角相等 B．两点之间，直线最短 C．同位角相等 D．同旁内角互补 【分析】根据对顶角相等以及平行线的性质逐项进行判断即可． 【解答】解：A．对顶角相等，因此选项A符合题意； B．两点之间线段最短，因此选项B不符合题意； C．两直线平行，同位角相等，若两直线不平行，同位角也不相等，因此选项C不符合题意； D．两直线平行，同旁内角互补，若两直线不平行，同旁内角也不互补，因此选项D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查对顶角、同位角、内错角、同旁内角，掌握对顶角相等以及平行线的性质是正确解答的关键． 11．如图，直线BF、DE被直线AC所截，则图中∠FAE的内错角是　∠AED ． 【分析】根据内错角的概念，在截线两侧，且在两被截线之间的角是内错角． 【解答】解：根据内错角的概念，∠FAE的内错角是∠AED， 故答案为：∠AED． 【点评】本题考查了内错角的概念，掌握内错角的概念是解题的关键． 12．如图，直线b、c被直线a所截，如果∠1＝55°，∠2＝100°，那么∠3与其内错角的角度之和等于 　135°　 ． 【分析】先根据对顶角的性质得∠3＝∠1＝55°，根据邻补角的性质得∠4＝80°，再根据∠3与∠4是内错角，即可得出答案． 【解答】解：如图， ∵∠1＝55°， ∴∠3＝∠1＝55°， ∵∠2＝100°， ∴∠4＝180°﹣∠2＝80°， ∵∠3与∠4是内错角， ∴∠3+∠4＝55°+80°＝135°． 故答案为：135°． 【点评】本题主要考查了对顶角、邻补角的性质和内错角的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行判断． 13．如图，直线L截直线a，b所得的同位角有　4　 对；内错角有　2　 对，它们是　∠4与∠8，∠3与∠5　 ；同旁内角有　2　 对，它们是　∠4与∠5，∠3与∠8　 ；对顶角　4　 对，它们是　∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与∠8　 ． 【分析】根据同位角，内错角，同旁内角，对顶角的定义解答． 【解答】解：直线l截直线a，b所得的同位角有4对，分别是∠6与∠4，∠5与∠1，∠7与∠3，∠8与∠2； 内错角有2对，它们是∠4与∠8，∠3与∠5； 同旁内角有2对，它们是∠4与∠5，∠3与∠8； 对顶角有4对，它们是∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与∠8． 【点评】此题主要考查了同位角，内错角，同旁内角，对顶角的定义． 14．如图所示的五个角中，∠2的同位角是 　∠4　 ． 【分析】根据同位角的定义判断即可． 【解答】解：由图可得∠2的同位角是∠4． 故答案为：∠4． 【点评】本题考查了同位角，内错角，同旁内角等知识点，能熟记同位角的定义是解此题的关键． 15．如图，∠BAD与∠ADC是直线AB 与直线CD 被直线AD 所截得到的内错角． 【分析】两直线被第三条直线所截，在截线的两侧，被截线的内部的两个角是内错角，结合图形即可得出答案． 【解答】解：根据内错角的定义可知： ∠BAD与∠ADC是直线AB与直线CD被直线AD所截得到的内错角． 故答案为：AB，CD，AD． 【点评】本题考查了内错角的定义，熟练掌握该知识点是关键． 16．如图，下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠2和∠3是对顶角．其中判断正确的有 　4　 个． 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义逐个判断即可． 【解答】解：①∠A与∠1是同位角，正确； ②∠A与∠B是同旁内角，正确； ③∠4与∠1是内错角，正确； ④∠2与∠3不是同位角，正确； 所以其中判断正确的有4个． 故答案为：4． 【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角、对顶角与邻补角，熟练掌握这几个定义是解题的关键． 17．如图所示，将筷子EF的一端放在水里，一端露出水面，筷子会变弯吗？它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变． （1）与∠1是同旁内角的有哪些角？　∠MOE，∠AOE，∠ADE （现图中符合条件的所有角）； （2）与∠2是内错角的有哪些角？　∠MOE，∠AOE （现图中符合条件的所有角）． （3）若∠1＝115°，∠BOM＝145°，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由． 【分析】（1）根据同旁内角的定义结合图形进行解答即可； （2）根据内错角的定义结合图形进行解答即可； （3）根据平行线的性质，邻补角的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）与∠1是同旁内角的有∠MOE，∠AOE，∠ADE， 故答案为：∠MOE，∠AOE，∠ADE； （2）与∠2是内错角的有∠MOE，∠AOE， 故答案为：∠MOE，∠AOE； （3）∵∠1＝115°， ∴∠2＝180°﹣115°＝65°， ∵AB∥CD， ∴∠BOE＝180°﹣65°＝115°， ∴∠MOE＝∠BOM﹣∠BOE＝145°﹣115°＝30°， 即从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了30度． 【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角，理解同位角、内错角、同旁内角的定义是正确解答的关键． 三．平行线的判定（共18小题） 18．如图，以下条件不能推出a∥b的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠1＝∠4 C．∠2＝∠4 D．∠2+∠3＝180° 【分析】按照同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行进行判断即可． 【解答】解：A．∵∠1和∠3为同位角，∠1＝∠3， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行），所以选项A不符合题意； B．∠1＝∠4，不能得出a∥b，所以选项B符合题意； C．∵∠2和∠4是内错角，∠2＝∠4， ∴a∥b（内错角相等，两直线平行），所以选项C符合题意； D．∵∠2和∠3为同旁内角，∠2+∠3＝180°， ∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行），所以选项D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 19．如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠5 B．∠3＝∠4 C．∠3+∠5＝180° D．∠3＝∠5 【分析】根据平行线的判定方法逐项判断即可． 【解答】解：A、∵∠1＝∠5， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），所以A选项正确，不符合题意； B、∵∠3＝∠4， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），所以B选项正确，不符合题意； C、∵∠3+∠5＝180°， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），所以C选项正确，不符合题意； D、同旁内角相等证明不了AB∥CD，所以D选项不符合题意，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 20．将一定宽度的纸带与一直角三角尺按如图所示的方式放置，下列结论中能判定纸带边a∥b的有（　　） ①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2+∠4＝90°；④∠4+∠5＝180°；⑤∠1+∠4＝90°． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据同位角相等，两直线平行可判定①⑤，根据内错角相等，两直线平行可判定②，根据同旁内角互补可判断④． 【解答】解：①∵∠1＝∠2， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行），故①可以； ②∵∠3＝∠4， ∴a∥b（内错角相等，两直线平行），故②可以； ③∠2+∠4＝90°，无法得出a∥b，故③不可以； ④∵∠4+∠5＝180°， ∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行），故④可以； ⑤∵∠2+∠4＝90°，∠1+∠4＝90°， ∴∠1＝∠2， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行），故⑤可以． 综上所述，能判定纸带边a∥b的有4个． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行线的判定，关键是平行线判定定理的应用． 21．如图，下列说法中：①若∠3＝∠8，则AB∥CD；②若∠1＝∠5，则AB∥CD；③若∠DAB+∠ABC＝180°，则AB∥CD；④若∠2＝∠6，则AB∥CD．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可得到答案． 【解答】解：①∠3＝∠8，不能判断AB∥CD，故①错误，不符合题意； ②∠1＝∠5，可以判断AD∥BC，不能判断AB∥CD，故②错误，不符合题意； ③∠DAB+∠ABC＝180°，可以判断AD∥BC，不能判断AB∥CD，故③错误，不符合题意； ④∠2＝∠6，可以判断AB∥CD，故④正确，符合题意； ∴正确的有1个． 故选：A． 【点评】本题考查了平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定条件：①内错角相等，两直线平行；②同位角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． 22．小明在复习《第3章图形的初步认识》和《第4章相交线和平行线》时，总结的这两章的基本事实如下：①两点确定一条直线；②两点之间直线最短；③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑤同位角相等，两直线平行．他总结的正确的基本事实的序号为　①③⑤　 ． 【分析】根据平行线的判定定理、平行公理及推论等知识判断求解即可． 【解答】解：两点确定一条直线，故①符合题意； 两点之间线段最短，故②不符合题意； 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③符合题意； 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故④不符合题意； 同位角相等，两直线平行，故⑤符合题意； 故答案为：①③⑤． 【点评】此题考查了平行线的判定、平行公理及推论等知识，熟记平行线的判定、平行公理及推论是解题的关键． 23．一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中∠D＝30°，∠OAB＝45°．若固定三角板AOB，改变三角板ACD的位置（其中点A的位置始终不变），当∠BAD＝　15°或165°　 时，CD∥OB． 【分析】分两种情况画出图形解答即可求解． 【解答】解：如图1，当CD∥OB时，∠AED＝∠O＝90°， ∴∠EAD＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BAD＝60°﹣45°＝15°； 如图2，当CD∥OB时，过点A作AM∥OB，AM∥CD， ∴∠OAM＝∠O＝90°，∠DAM＝∠D＝30°， ∴∠BAD＝90°+45°+30°＝165°； 故答案为：15°或165°． 【点评】本题考查了三角板的角度运算问题，平行线的性质，正确画出图形运是解题的关键． 24．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若∠3+∠4＝115°48′，则∠2﹣∠1＝　64.2　 度． 【分析】由平行线的性质推出∠4+∠2＝180°，∠1＝∠3，而∠3+∠4＝115°48′，即可得到∠2﹣∠1＝180°﹣（∠3+∠4）． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠4+∠2＝180°， ∴AE∥BF， ∴∠1＝∠3， 由条件可知∠3+∠4＝∠4+∠2﹣（∠2﹣∠3）＝180°﹣（∠2﹣∠3）＝115°48′， ∴∠2﹣∠1＝∠2﹣∠3＝180°﹣115°48′＝64°12′＝64.2°， 故答案为：64.2． 【点评】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握该知识点是关键． 25．将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的四个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55.5°；②∠2＝2∠1；③∠1+∠2＝90°；④∠ACB＝∠1+∠2；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有　①⑤　 （填序号）． 【分析】根据平行线的判定解答即可． 【解答】解：①∵∠1＝25.5°，∠ABC＝30°， ∴∠1+∠ABC＝55.5°， ∵∠2＝55.5°， ∴∠2＝∠1+∠ABC， 所以，m∥n，故①符合题意； ②没有指明∠1的度数，当∠1≠30°，∠2≠∠1+30°，不能判断直线m∥n， 即∠2＝2∠1，不能判断直线m∥n，故②不符合题意； ③∵∠1+∠2＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠1+∠ABC不一定等于∠2， ∴m和n不一定平行，故③不符合题意； ④∠ACB＝∠1+∠2，不能判断直线m∥n，故④不符合题意； ∵∠ABC＝∠2﹣∠1， ∴∠2＝∠ABC+∠1， ∴m∥n，故⑤符合题意； 故答案为：①⑤． 【点评】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 26．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，若固定三角尺AOB，改变三角尺ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD的度数为 　150°或30°　 时，CD∥AB． 【分析】如图①，当∠BAD＝∠D＝30°时，CD∥AB；如图②，当∠BAC＝∠C＝60°时，CD∥AB，得到∠BAD＝150°，即当∠BAD＝150°时，CD∥AB，于是得到答案． 【解答】解：如图①， 当∠BAD＝∠D＝30°时，CD∥AB； 如图②， 当∠BAC＝∠C＝60°时，CD∥AB， ∵∠DAC＝90°， ∴∠BAD＝∠DAC+∠BAC＝150°， 即当∠BAD＝150°时，CD∥AB， ∴当∠BAD的度数为150°或30°时，CD∥AB， 故答案为：150°或30°． 【点评】本题考查平行线的判定，关键是要分两种情况讨论． 27．如图1，用尺规作图的方法“过直线l外一点P作直线l的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，所用方法正确的是 　甲和乙　 ． 【分析】对于图甲，由作图痕迹得∠1＝∠2，则根据同位角相等两直线平行得到PD∥l；对于图乙由作图痕迹得PA＝PB，PE平分∠DPB，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质证明∠DPE＝∠PAB，则根据同位角相等两直线平行得到PE∥l． 【解答】解：对于图甲： 由作图痕迹得∠1＝∠2， ∴PD∥l，所以甲图的作法正确； 对于图乙： 由作图痕迹得PA＝PB，PE平分∠DPB， ∴∠PAB＝∠PBA，∠DPE＝∠BPE， ∵∠DPB＝∠PAB+∠PBA， ∴∠DPE＝∠PAB， ∴PE∥l，所以乙图的作法正确． 故答案为：甲和乙． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了等腰三角形的性质和平行线的判定． 28．如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．试说明AD∥BC． 【分析】由AB与AC垂直，根据垂直的定义得到∠BAC为90°，再由图形可得：同旁内角∠B与∠BAD的和为∠B，∠BAC与∠1三角的度数之和，求出度数为180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可得出AD与BC平行，得证． 【解答】证明：∵AB⊥AC（已知）， ∴∠BAC＝90°（垂直定义）， 又∠1＝30°，∠B＝60°（已知）， ∴∠B+∠BAD＝∠B+∠BAC+∠1＝60°+90°+30°＝180°（等量代换）， ∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）． 【点评】此题考查了平行线的判定，垂直的定义，是一道证明题，其中平行线的判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 29．如图，已知：在△ABC中，AC⊥BC，∠B+∠BCD＝90°，点E、F分别为边AB、AC上的点，且∠AFE＝∠B． 求证：EF∥CD． 证明：∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°（ 　垂直的定义　 ）， ∴∠ACD+∠BCD＝90°． 又∵∠B+∠BCD＝90°， ∴∠ACD ＝∠B ． ∵∠AFE＝∠B， ∴∠AFE＝∠ACD ． ∴EF∥CD（ 　同位角相等，两直线平行　 ）． 【分析】由余角的性质推出∠ACD＝∠B，得到∠AFE＝∠ACD．判定EF∥CD． 【解答】证明：∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°（垂直的定义）， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， 又∵∠B+∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠B， ∵∠AFE＝∠B， ∴∠AFE＝∠ACD， ∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义；ACD；B；ACD；同位角相等，两直线平行． 【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行． 30．科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图（1）所示，图（2）是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图．如图（2），∠EOF+∠OFC＝180°，OE平分∠AOC，CF平分∠OCD．求证：AB∥CD． 【分析】由同旁内角互补，两直线平行推出OE∥CF，得到∠COE＝∠OCF，由角平分线定义得到∠AOC＝∠OCD，推出AB∥CD． 【解答】解：∵∠EOF+∠OFC＝180°， ∴OE∥CF， ∴∠COE＝∠OCF， ∵OE平分∠AOC，CF平分∠OCD， ∴∠AOC＝2∠COE，∠OCD＝2∠OCF， ∴∠AOC＝∠OCD， ∴AB∥CD． 【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法：内错角相等，两直线平行． 31．已知：如图，BE平分∠ABC，∠1＝∠2．求证：BC∥DE． 【分析】由BE平分∠ABC，可得∠1＝∠3，利用已知，等量代换可得到一对内错角相等，即∠2＝∠3，故有两直线平行． 【解答】证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠1＝∠3， ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3， ∴BC∥DE． 【点评】本题利用了角平分线的性质，以及平行线的判定中内错角相等，两直线平行的知识． 32．如图，已知AD交BE于F，C在AB的延长线上，∠A＝∠ADE． （1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数； （2）若∠C＝∠E．求证：BE∥CD． 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出∠C的度数； （2）根据AC∥DE，∠C＝∠E，即可得出∠C＝∠ABE，进而判定BE∥CD． 【解答】解：（1）∵∠A＝∠ADE， ∴AC∥DE， ∴∠EDC+∠C＝180°， 又∵∠EDC＝3∠C， ∴4∠C＝180°， 即∠C＝45°； （2）∵AC∥DE， ∴∠E＝∠ABE， 又∵∠C＝∠E， ∴∠C＝∠ABE， ∴BE∥CD． 【点评】本题主要考查了平行线的性质以及判定的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 33．如图，AC平分∠DAB，∠1＝∠2．填空： 解：∵AC平分∠DAB（已知）， ∴∠1＝DAC （ 　角平分线的定义　 ）， 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠2＝DAC （ 　等量代换　 ）， ∴AD ∥BC （ 　内错角相等，两直线平行　 ）． 【分析】由角平分线定义可得∠1＝∠DAC，再结合已知条件∠1＝∠2即可求证． 【解答】解：∵AC平分∠DAB（已知）， ∴∠1＝∠DAC（角平分线的定义 ）， 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠2＝∠DAC（等量代换）， ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：DAC；角平分线的定义；DAC；等量代换；AD，BC，内错角相等，两直线平行． 【点评】本题考查了角平分线的定义，平行的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题关键． 34．如图，CD⊥DA，DA⊥AB，∠1＝∠2．请判断DF与AE的位置关系，并说明理由． 【分析】先通过垂直和已知条件得到∠FDA＝∠EAD，再通过直线平行的判定定理得出两直线平行． 【解答】解：DF∥AE，理由如下： ∵CD⊥DA于点D，AB⊥DA于点A， ∴∠CDA＝∠DAB＝90°， ∵∠1＝∠2． ∴∠FDA＝∠EAD， ∴DF∥AE． 【点评】此题考查垂直的定义、垂线的性质、平行的判定，做题关键在于找到判定两直线平的相等的同位角、相等的内错角或互补的同旁内角． 35．如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由． 解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（ 　已知　 ）， ∠AGC+∠AGD＝180°（ 　邻补角的定义　 ）， 所以∠BAG＝∠AGC（ 　同角的补角相等　 ）． 因为EA平分∠BAG， 所以∠1 　∠BAG （ 　角平分线的定义　 ）． 因为FG平分∠AGC， 所以∠2 　∠AGC ， 得∠1＝∠2（ 　等量代换　 ）， 所以AE∥GF（ 　内错角相等，两直线平行　 ）． 【分析】根据邻补角的定义及题意得出∠BAG＝∠AGC，再根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，即可判定AE∥GF． 【解答】解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知）， ∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的定义）， 所以∠BAG＝∠AGC（同角的补角相等）， 因为EA平分∠BAG， 所以∠1∠BAG（角平分线的定义）， 因为FG平分∠AGC， 所以∠2∠AGC， 得∠1＝∠2（等量代换）， 所以AE∥GF（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：已知；邻补角的定义；同角的补角相等；∠BAG；角平分线的定义；∠AGC；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键． 四．拓展题型（共2小题） 36．如图（1），把一把含30°角的三角尺ABC的边BC放置于直尺DEFG的边EF上． （1）填空：如图（1），∠1＝　120　 °，∠2＝　90　 °； （2）如图（2），现把三角尺ABC绕点B逆时针方向旋转n°，当0＜n＜90且点C恰好落在边DG上，若∠2恰好是∠1的倍，求n的值． （3）按图（1）所示的方式放置三角尺ABC和直尺DEFG，现将射线BF绕点B以每秒1°的速度逆时针方向旋转得到射线BM，同时射线QA绕点Q以每秒2°的速度顺时针方向旋转得到射线QN．当射线QN旋转至第一次与QB重合时，射线BM、QN均停止转动，设旋转时间为t秒．在旋转过程中，是否存在BM∥QN？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）依据题意，根据邻补角的定义和平行线的性质解答； （2）依据题意，根据∠2恰好是∠1的倍列方程，计算可求解； （3）依据题意，分两种情况，根据∠AQN＝∠ABM画出图形，列方程可解得答案． 【解答】解：（1）由题意，∵DG∥EF， ∴∠AQG＝∠ABC＝60°，∠2＝∠ACF＝90°， ∴∠1＝180°﹣60°＝120°； 故答案为：120，90； （2）由题意，∵∠2恰好是∠1的倍， ∴90+n（120﹣n）， ∴n＝36． （3）存在BM∥NQ，理由如下： 如图：则∠FBM＝t°，∠AQN＝2t°， ∵BM∥NQ， ∴∠AQN＝∠ABM＝∠ABF﹣∠FBM， ∴2t＝60﹣t， ∴t＝20； 如图： ∵BM∥NQ， ∴∠ABM＝∠BQN， ∴t﹣60＝180﹣2t， ∴t＝80． 综上所述，t的值为20或80． 【点评】本题主要考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用． 37．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）： （1）①若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为 　135°　 ； ②若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数 　40°　 ； （2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由； （3）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）①根据∠DCE和∠ACD的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠BCE求得∠ACB的度数；②根据∠BCE和∠ACB的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠ACD求得∠DCE的度数； （2）根据∠ACE＝90°﹣∠DCE以及∠ACB＝∠ACE+90°，进行计算即可得出结论； （3）分五种情况进行讨论：当CB∥AD时，当EB∥AC时，当CE∥AD时，当EB∥CD时，当BE∥AD时，分别求得∠ACE角度． 【解答】（1）①∵∠DCE＝45°，∠ACD＝90°， ∴∠ACE＝45°， ∵∠BCE＝90°， ∴∠ACB＝90°+45°＝135°， 故答案为：135°； ②∵∠ACB＝140°，∠ECB＝90°， ∴∠ACE＝140°﹣90°＝50°， ∴∠DCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣50°＝40°， 故答案为：40°； （2）猜想：∠ACB+∠DCE＝180°， 理由如下：∵∠ACE＝90°﹣∠DCE， 又∵∠ACB＝∠ACE+90°， ∴∠ACB＝90°﹣∠DCE+90°＝180°﹣∠DCE， 即∠ACB+∠DCE＝180°； （3）存在，30°、45°、120°、135°、165°． 理由：当CB∥AD时，∠ACE＝30°； 当EB∥AC时，∠ACE＝45°； 当CE∥AD时，∠ACE＝120°； 当EB∥CD时，∠ACE＝135°； 当BE∥AD时，∠ACE＝165°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 1．对于同一平面内的三条不同直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则直线a、c的位置关系是a∥c ． 【分析】根据平行公理，平行于同一直线的两直线互相平行解答． 【解答】解：a∥b，b∥c， ∴a∥c． 故答案为：a∥c． 【点评】本题主要考查了平行公理，是基础题，需要熟记． 2．如图，不是∠B的同旁内角的是（　　） A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠BCD 【分析】观察图形，根据同旁内角、内错角和同位角的定义，对各个选项中的角与∠B的关系进行判断即可． 【解答】解：A．∵观察图形可知：∠1和∠B是同旁内角，∴此选项不符合题意； B．∵观察图形可知：∠2和∠B是同旁内角，∴此选项不符合题意； C．∵观察图形可知：∠3和∠B不是同旁内角，也不是内错角，也不是同位角，∴此选项符合题意； D．∵观察图形可知：∠BCD和∠B是同旁内角，∴此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了同位角、内错角和同旁内角，解题关键是正确识别图形，能够能够准确判断同位角、内错角和同旁内角． 3．如图，下列结论中错误的是（　　） A．∠1与∠3是同位角 B．∠4与∠5是同旁内角 C．∠3与∠6是对顶角 D．∠1与∠4是内错角 【分析】根据两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角；据此分别进行分析可得答案． 【解答】解：A、∠1与∠3是同位角，正确，A不符合题意； B、∠4与∠5是同旁内角，正确，B不符合题意； C、∠3与∠6是对顶角，正确，C不符合题意； D、∠1与∠4不是内错角，不正确，D符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角和对顶角的定义，掌握同位角，内错角，同旁内角和对顶角的定义是解题的关键． 4．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件能证明a∥b的是 　①③④　 （填序号）． ①∠1＝∠3；②∠3＝∠5；③∠2＝∠6；④∠2+∠3＝180°． 【分析】根据平行线的判定进行逐项判断即可求解． 【解答】解：①∵∠1和∠3是直线a、b被直线c所截得的一组同位角，且∠1＝∠3， ∴a∥b； ∴所以①说法正确，符合题意； ②∵∠3与∠5是对顶角，由“对顶角相等”的性质可知∠3＝∠5，但无法证明a∥b； ∴所以②说法错误，不符合题意； ③∵∠2和∠6是直线a、b被直线c所截得的一组内错角，且∠2＝∠6， ∴a∥b； ∴所以③说法正确，符合题意； ④∵∠2与∠3是直线a、b被直线c所截得的一组同旁内角，且∠2+∠3＝180°， ∴a∥b； ∴所以④说法正确，符合题意． 故答案为：①③④． 【点评】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的各种判定方法是解题关键． 5．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若∠2﹣∠1＝75°，则∠3与∠4的度数和是 　105°　 ． 【分析】由平行线的性质推出∠4+∠2＝180°，∠1＝∠3，而∠2﹣∠1＝75°，即可得到∠4+∠3＝105°． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠4+∠2＝180°， ∴AE∥BF， ∴∠1＝∠3， ∵∠2﹣∠1＝75°， ∴∠2﹣∠3＝75°， ∴∠4+∠2﹣（∠2﹣∠3）＝180°﹣75°＝105°， ∴∠4+∠3＝105°． 故答案为：105°． 105°． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠4+∠2＝180°，∠1＝∠3． 6．已知：如图，∠B＝∠D，∠1＝∠E．求证：AB∥CD． 【分析】由内错角相等，两直线平行推出AD∥BE，得到∠D＝∠DCE，因此∠B＝∠DCE，即可证明AB∥CD． 【解答】证明：∵∠1＝∠E， ∴AD∥BE， ∴∠D＝∠DCE， ∵∠D＝∠B， ∴∠B＝∠DCE， ∴AB∥CD． 【点评】本题考查平行线的判定和性质，关键是由平行线的性质推出∠B＝∠DCE． 1．如图所示，下列说法正确的是（　　） A．∠B与∠C是同位角 B．∠C与∠DAB是内错角 C．∠DAC与∠B是同位角 D．∠CAB与∠B是同旁内角 【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义进行判断即可． 【解答】解：由所给图形可知， 因为∠B与∠C是同旁内角， 所以A选项不符合题意； 因为∠C与∠DAB不是内错角， 所以B选项不符合题意； 因为∠DAC与∠B是同位角， 所以C选项不符合题意； 因为∠CAB与∠B是同旁内角， 所以D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，熟知同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 2．下列说法错误的个数是（　　） ①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离； ④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据平行公理，点到直线的距离，可得答案． 【解答】解：①经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误； ②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故②错误； ③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，故③错误； ④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故④正确； 故选：C． 【点评】本题考查了平行公理，注意平行公理是在同一个平面内． 3．如图，直线AC和FD相交于点B，下列判断：①∠GBD和∠HCE是同位角；②∠ABD和∠ACH是同位角；③∠FBC和∠ACE是内错角；④∠FBC和∠HCE是内错角；⑤∠GBC和∠BCE是同旁内角．其中正确的是 　②③⑤　 ．（填序号） 【分析】同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．根据同位角、同旁内角、内错角的特征进行判断． 【解答】解：①∠GBD和∠HCE不符合同位角的定义，故本选项错误； ②∠ABD和∠ACH是同位角，故本选项正确； ③∠FBC和∠ACE是内错角，故本选项正确； ④∠FBC和∠HCE不符合内错角的定义，故本选项错误； ⑤∠GBC和∠BCE是同旁内角，故本选项正确． 故答案为：②③⑤． 【点评】本题考查了同位角、同旁内角、内错角的定义，正确且熟练掌握同位角、同旁内角、内错角的定义和形状，是解题的关键． 4．如图，∠ADE与∠CED是直线AB和直线AC被直线 DE 所截而得到的 　内错　 角． 【分析】结合图形即可得出答案． 【解答】解：根据两直线被第三条直线所截，在截线的同一侧，被截线的内部的两个角是内错角， ∴如图，∠ADE与∠CED是直线AB和直线AC被直线DE所截而得到的内错角， 故答案为：DE；内错． 【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，对顶角，邻补角，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 5．如图所示， （1）∠AED和∠ABC可看成是直线 ED 、BC 被直线 AB 所截得的 　同位　 角； （2）∠EDB和∠DBC可看成是直线 ED 、BC 被直线 BD 所截得的 　内错　 角； （3）∠EDC和∠C可看成是直线 ED 、BC 被直线 AC 所截得的 　同旁内　 角． 【分析】（1）根据同位角的定义求解； （2）根据内错角的定义求解； （3）根据同旁内角的定义求解． 【解答】解：（1）∠AED和∠ABC可看成是直线ED、BC被直线AB所截得的同位角； （2）∠EDB和∠DBC可看成是直线ED、BC被直线BD所截得的内错角； （3）∠EDC和∠C可看成是直线ED、BC被直线AC所截得的同旁内角． 故答案为：ED，BC，AB，同位；ED，BC，BD，内错；ED，BC，AC，同旁内． 【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． 6．如图，已知∠CDA＝∠CBA，DE平分∠CDA，BF平分∠CBA，且∠1＝∠2，说明DE∥BF的理出． 解：∵DE平分∠CDA（已知）， ∴（ 　角平分线的定义　 ）． 同理， 又∵∠CDA＝∠CBA（已知）， ∴∠　1　 ＝∠　3　 ， 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠　2　 ＝∠　3　 （ 　等量代换　 ）， ∴DE∥BF（ 　同位角相等，两直线平行　 ）． 【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义可进行求解． 【解答】解：∵DE平分∠CDA（已知）， ∴，（角平分线的定义）． 同理， 又∵∠CDA＝∠CBA，（已知） ∴∠1＝∠3， 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠2＝∠3（等量代换）， ∴DE∥BF（同位角相等，两直线平行）； 故答案为：角平分线的定义，1，3，2，3，等量代换，同位角相等，两直线平行． 【点评】本题主要考查角平分线的定义及平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 7．如图，已知∠1＝∠C，∠B＝∠C，请写出所有的平行线，并说明理由． 【分析】根据同位角相等两直线平得出AB∥CD；根据等量代换可得∠B＝∠1，进而根据内错角相等两直线平行，可得CE∥BD，即可求解． 【解答】解：∵∠1＝∠C，∠B＝∠C， ∴AB∥CD，∠B＝∠1， ∴CE∥BD． 【点评】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 8．如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为点D、G，∠1＝∠2，试说明DE∥AC的理由． 【分析】先证明AD∥FG，得到∠1＝∠CAD，再由∠1＝∠2，得到∠CAD＝∠2，由此即可证明DE∥AC． 【解答】证明：∵AD⊥BC，FG⊥BC， ∴AD∥FG， ∴∠1＝∠CAD， ∵∠1＝∠2， ∴∠CAD＝∠2， ∴DE∥AC． 【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． 9．如图所示，已知∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2，请说明AE∥PF的理由． 【分析】先判定PD∥AB，再根据平行线的性质，即可得到∠CPD＝∠CAB，再根据等式性质即可得出∠CPF＝∠CAE，进而判定AE∥PF． 【解答】证明：如图所示，∵∠BAP+∠APD＝180°， ∴PD∥AB， ∴∠CPD＝∠CAB， 又∵∠1＝∠2， ∴∠CPD﹣∠2＝∠CAB﹣∠1，即∠CPF＝∠CAE， ∴AE∥PF． 【点评】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行． 10．已知：如图，∠A＝∠ABC＝90°，∠1+∠BFE＝180°，那么BD∥EF吗？为什么？ 【分析】根据平行线的判断可得AD∥BC，由平行线的性质可得∠1＝∠DBF，由已知条件和等量关系可得∠DBF+∠BFE＝180°，根据平行线的判定可证明EF∥BD． 【解答】解：∵∠A＝∠ABC＝90°， ∴AD∥BC， ∴∠1＝∠DBF， ∵∠1+∠BFE＝180°， ∴∠DBF+∠BFE＝180°， ∴BD∥EF． 【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c． 11．如图所示，他们将两个直角三角板的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°． （1）猜想∠ACD与∠BCE存在怎样的数量关系，并说明理由； （2）若∠BCD＝2∠ACE，则∠BCD的度数为 　120°　 ； （3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，当∠BCD的度数为 　150°或30°　 时，CE∥AB．（直接在横线上写出答案） 【分析】（1）根据直角三角形的性质解答即可； （2）设∠ACE＝α，则∠BCD＝3α，根据∠BCD与∠ACE之间的倍数关系和（1）中推出的结论列出方程，解方程即可解决问题； （3）分两种情况进行探究，根据平行线的性质和角的度数分别求出∠BCD的度数即可． 【解答】解：（1）∠ACD＝∠BCE， 理由如下： ∵∠ACD+∠ACE＝90°，∠BCE+∠ACE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE； （2）设∠ACE＝α，则∠BCD＝2α， ∵∠BCD+∠ACE＝180°， ∴2α+α＝180°， ∴α＝60°， ∴∠BCD＝2α＝120°， 故答案为：120°； （3）分两种情况： ①如图2， ∵AB∥CE， ∴∠BCE+∠B＝180°， ∵∠B＝60°， ∴∠BCE＝120°， 又∵∠DCE＝90°， ∴∠BCD＝360°﹣120°﹣90°＝150°； ②如图3， ∵AB∥CE， ∴∠BCE＝∠B＝60°， 又∵∠DCE＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°； 综上所述，∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB． 故答案为：150°或30°． 【点评】本题主要考查旋转的性质，平行线的判定与性质以及直角三角形的性质，深入理解题意是解决问题的关键． 12．如图1，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝110°，CD与AB在直线EF异侧． （1）若∠DCF＝70°，试判断射线AB与CD的位置关系，并说明理由． （2）如图2，若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 【分析】（1）根据邻补角的定义得到∠ACD＝180°﹣∠DCF＝110°，根据平行线的判定定理即可得到结论； （2）分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解； ②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解； ③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解． 【解答】解：（1）AB∥CD， 理由：∵∠DCF＝70°， ∴∠ACD＝180°﹣∠DCF＝110°， ∵∠BAF＝110°， ∴∠BAF＝∠ACD， ∴AB∥CD； （2）解：存在．分三种情况： 如图①，AB与CD在EF的两侧时， ∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°， ∴∠ACD＝180°﹣60°﹣（6t）°＝120°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°， 要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAF， 即120°﹣（6t）°＝110°﹣t°， 解得t＝2； 此时（180°﹣60°）÷6＝20， ∴0＜t＜20； ②CD旋转到与AB都在EF的右侧时， ∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°， ∴∠DCF＝360°﹣（6t）°﹣60°＝300°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°， 要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC， 即300°﹣（6t）°＝110°﹣t°， 解得t＝38， 此时（360°﹣60°）÷6＝50， ∴20＜t＜50； ③CD旋转到与AB都在EF的左侧时， ∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°， ∴∠DCF＝（6t）°﹣（180°﹣60°+180°）＝（6t）°﹣300°，∠BAC＝t°﹣110°， 要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC， 即（6t）°﹣300°＝t°﹣110°， 解得t＝38， 此时t＞50， ∵38＜50， ∴此情况不存在． 综上所述，t为2秒或38秒时，CD与AB平行． 【点评】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 平行线的判定 (平行公理+三线八角+平行线判定+课后巩固)培优讲义 本节课主要针对第16章平行线专题讲解。在本节课中，我们梳理了平行公理；同位角、内错角、同旁内角；平行线判定定理相关概念；解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。 知识点一 平行线及平行公理 1．平行线 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 记作：a∥b； 读作：直线a平行于直线b． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． 2．平行公理及推论 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． （3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 知识点二 同位角、内错角、同旁内角 1.同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 2.内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． 3.同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． 要点：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 角的名称 位置特征 基本图形 图形结构特征 同位角 在两条被截直线同旁，在截线同侧 形如字母“F” （或倒置） 内错角 在两条被截直线之内，在截线两侧 形如字母“Z” 同旁内角 在两条被截直线之内，在截线同侧 形如字母“U” 知识点三 平行线判定定理 （1） 定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2） 定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行（平行线传递性）． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行. 一．1.平行公理（共7小题） 1．下列说法中正确的是（　　） A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D．平面内，如果直线a与b相交，b与c相交，那么a与c相交 2．下列说法中正确的是（　　） A．角的大小与边的长短有关 B．邻补角的角平分线互相垂直 C．两条不相交的直线叫做平行线 D．两条射线组成的图形叫做角 3．已知在同一平面内有三条不同的直线a，b，c，下列说法错误的是（　　） A．如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c B．如果b∥a，c∥a，那么b∥c C．如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c D．如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c 4．在同一平面内，两条不相重合的直线位置关系有两种：　 　 和　 　 ． 5．在同一平面内，已知直线a、b、c，且a∥b，b⊥c，那么直线a和c的位置关系是　 　 ． 6．在相交线与平行线这一章节中我们学习了垂直的定义，仿照垂直的定义方法给出以下新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是60°，就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线AB、CD互为完美交线，O为它们的完美点，OE⊥AB，则∠EOC的度数为　 　 ． 7．如图，取一张长方形的硬纸板ABCD，将硬纸板ABCD对折使CD与AB重合，EF为折痕．把长方形ABEF平放在桌面上，另一个面CDEF无论怎么改变位置，总有CD∥AB存在，理由是　 　 ． 二．同位角、内错角、同旁内角（共10小题） 8．如图，直线a被直线b，c所截，下列是内错角的是（　　） A．∠1和∠5 B．∠4和∠7 C．∠3和∠5 D．∠3和∠8 9．如图，按各组角的位置判断错误的是（　　） A．∠1与∠4是同旁内角 B．∠3与∠4是内错角 C．∠5与∠6是同旁内角 D．∠2与∠5是同位角 10．下列说法正确是（　　） A．对顶角相等 B．两点之间，直线最短 C．同位角相等 D．同旁内角互补 11．如图，直线BF、DE被直线AC所截，则图中∠FAE的内错角是　 　 ． 12．如图，直线b、c被直线a所截，如果∠1＝55°，∠2＝100°，那么∠3与其内错角的角度之和等于 　 　 ． 13．如图，直线L截直线a，b所得的同位角有　 　 对；内错角有　 　 对，它们是　 　 ；同旁内角有　 　 对，它们是　 　 ；对顶角　 　 对，它们是　 　 ． 14．如图所示的五个角中，∠2的同位角是 　 　 ． 15．如图，∠BAD与∠ADC是直线　 　 与直线　 　 被直线　 　 所截得到的内错角． 16．如图，下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠2和∠3是对顶角．其中判断正确的有 　 　 个． 17．如图所示，将筷子EF的一端放在水里，一端露出水面，筷子会变弯吗？它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变． （1）与∠1是同旁内角的有哪些角？　 　 （现图中符合条件的所有角）； （2）与∠2是内错角的有哪些角？　 　 （现图中符合条件的所有角）． （3）若∠1＝115°，∠BOM＝145°，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由． 三．平行线的判定（共18小题） 18．如图，以下条件不能推出a∥b的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠1＝∠4 C．∠2＝∠4 D．∠2+∠3＝180° 19．如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠5 B．∠3＝∠4 C．∠3+∠5＝180° D．∠3＝∠5 20．将一定宽度的纸带与一直角三角尺按如图所示的方式放置，下列结论中能判定纸带边a∥b的有（　　） ①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2+∠4＝90°；④∠4+∠5＝180°；⑤∠1+∠4＝90°． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 21．如图，下列说法中：①若∠3＝∠8，则AB∥CD；②若∠1＝∠5，则AB∥CD；③若∠DAB+∠ABC＝180°，则AB∥CD；④若∠2＝∠6，则AB∥CD．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．小明在复习《第3章图形的初步认识》和《第4章相交线和平行线》时，总结的这两章的基本事实如下：①两点确定一条直线；②两点之间直线最短；③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑤同位角相等，两直线平行．他总结的正确的基本事实的序号为　 　 ． 23．一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中∠D＝30°，∠OAB＝45°．若固定三角板AOB，改变三角板ACD的位置（其中点A的位置始终不变），当∠BAD＝　 　 时，CD∥OB． 24．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若∠3+∠4＝115°48′，则∠2﹣∠1＝　 　 度． 25．将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的四个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55.5°；②∠2＝2∠1；③∠1+∠2＝90°；④∠ACB＝∠1+∠2；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有　 　 （填序号）． 26．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，若固定三角尺AOB，改变三角尺ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD的度数为 　 　 时，CD∥AB． 27．如图1，用尺规作图的方法“过直线l外一点P作直线l的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，所用方法正确的是 　 　 ． 28．如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．试说明AD∥BC． 29．如图，已知：在△ABC中，AC⊥BC，∠B+∠BCD＝90°，点E、F分别为边AB、AC上的点，且∠AFE＝∠B． 求证：EF∥CD． 证明：∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°（ 　 　 ）， ∴∠ACD+∠BCD＝90°． 又∵∠B+∠BCD＝90°， ∴∠　 　 ＝∠　 　 ． ∵∠AFE＝∠B， ∴∠AFE＝∠　 　 ． ∴EF∥CD（ 　 　 ）． 30．科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图（1）所示，图（2）是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图．如图（2），∠EOF+∠OFC＝180°，OE平分∠AOC，CF平分∠OCD．求证：AB∥CD． 31．已知：如图，BE平分∠ABC，∠1＝∠2．求证：BC∥DE． 32．如图，已知AD交BE于F，C在AB的延长线上，∠A＝∠ADE． （1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数； （2）若∠C＝∠E．求证：BE∥CD． 33．如图，AC平分∠DAB，∠1＝∠2．填空： 解：∵AC平分∠DAB（已知）， ∴∠1＝　 　 （ 　 　 ）， 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠2＝　 　 （ 　 　 ）， ∴　 　 ∥　 　 （ 　 　 ）． 34．如图，CD⊥DA，DA⊥AB，∠1＝∠2．请判断DF与AE的位置关系，并说明理由． 35．如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由． 解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（ 　 　 ）， ∠AGC+∠AGD＝180°（ 　 　 ）， 所以∠BAG＝∠AGC（ 　 　 ）． 因为EA平分∠BAG， 所以∠1 　 　 （ 　 　 ）． 因为FG平分∠AGC， 所以∠2 　 　 ， 得∠1＝∠2（ 　 　 ）， 所以AE∥GF（ 　 　 ）． 四．拓展题型（共2小题） 36．如图（1），把一把含30°角的三角尺ABC的边BC放置于直尺DEFG的边EF上． （1）填空：如图（1），∠1＝　 　 °，∠2＝　 　 °； （2）如图（2），现把三角尺ABC绕点B逆时针方向旋转n°，当0＜n＜90且点C恰好落在边DG上，若∠2恰好是∠1的倍，求n的值． （3）按图（1）所示的方式放置三角尺ABC和直尺DEFG，现将射线BF绕点B以每秒1°的速度逆时针方向旋转得到射线BM，同时射线QA绕点Q以每秒2°的速度顺时针方向旋转得到射线QN．当射线QN旋转至第一次与QB重合时，射线BM、QN均停止转动，设旋转时间为t秒．在旋转过程中，是否存在BM∥QN？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 37．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）： （1）①若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为 　 　 ； ②若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数 　 　 ； （2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由； （3）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由． 1．对于同一平面内的三条不同直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则直线a、c的位置关系是　 　 ． 2．如图，不是∠B的同旁内角的是（　　） A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠BCD 3．如图，下列结论中错误的是（　　） A．∠1与∠3是同位角 B．∠4与∠5是同旁内角 C．∠3与∠6是对顶角 D．∠1与∠4是内错角 4．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件能证明a∥b的是 　 　 （填序号）． ①∠1＝∠3；②∠3＝∠5；③∠2＝∠6；④∠2+∠3＝180°． 5．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若∠2﹣∠1＝75°，则∠3与∠4的度数和是 　 　 ． 6．已知：如图，∠B＝∠D，∠1＝∠E．求证：AB∥CD． 1．如图所示，下列说法正确的是（　　） A．∠B与∠C是同位角 B．∠C与∠DAB是内错角 C．∠DAC与∠B是同位角 D．∠CAB与∠B是同旁内角 2．下列说法错误的个数是（　　） ①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离； ④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，直线AC和FD相交于点B，下列判断：①∠GBD和∠HCE是同位角；②∠ABD和∠ACH是同位角；③∠FBC和∠ACE是内错角；④∠FBC和∠HCE是内错角；⑤∠GBC和∠BCE是同旁内角．其中正确的是 　 　 ．（填序号） 4．如图，∠ADE与∠CED是直线AB和直线AC被直线 　 　 所截而得到的 　 　 角． 5．如图所示， （1）∠AED和∠ABC可看成是直线 　 　 、　 　 被直线 　 　 所截得的 　 　 角； （2）∠EDB和∠DBC可看成是直线 　 　 、　 　 被直线 　 　 所截得的 　 　 角； （3）∠EDC和∠C可看成是直线 　 　 、　 　 被直线 　 　 所截得的 　 　 角． 6．如图，已知∠CDA＝∠CBA，DE平分∠CDA，BF平分∠CBA，且∠1＝∠2，说明DE∥BF的理出． 解：∵DE平分∠CDA（已知）， ∴（ 　 　 ）． 同理， 又∵∠CDA＝∠CBA（已知）， ∴∠　 　 ＝∠　 　 ， 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠　 　 ＝∠　 　 （ 　 　 ）， ∴DE∥BF（ 　 　 ）． 7．如图，已知∠1＝∠C，∠B＝∠C，请写出所有的平行线，并说明理由． 8．如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为点D、G，∠1＝∠2，试说明DE∥AC的理由． 9．如图所示，已知∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2，请说明AE∥PF的理由． 10．已知：如图，∠A＝∠ABC＝90°，∠1+∠BFE＝180°，那么BD∥EF吗？为什么？ 11．如图所示，他们将两个直角三角板的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°． （1）猜想∠ACD与∠BCE存在怎样的数量关系，并说明理由； （2）若∠BCD＝2∠ACE，则∠BCD的度数为 　 　 ； （3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，当∠BCD的度数为 　 　 时，CE∥AB．（直接在横线上写出答案） 12．如图1，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝110°，CD与AB在直线EF异侧． （1）若∠DCF＝70°，试判断射线AB与CD的位置关系，并说明理由． （2）如图2，若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $