16.2 平行线的判定与性质（综合）（讲义） 2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册

本讲义聚焦平行线判定与性质的综合运用，前承三线八角的概念认知，通过梳理易错点（如纠正“同位角相等”等错误命题）、重点（判定与性质的互逆运用）、难点（内拐外拐模型、反证法）构建学习支架，助力学生形成完整知识体系。 该资料以核心素养为引领，三线八角辨析培养抽象能力，拐角模型总结发展几何直观，反证法例题提升推理意识。题型覆盖全面，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用与逻辑表达。

沪教版2024七年级数学下册同步教学讲义（知识点梳理+题型归纳+例题讲解+变式训练+过关检测） 16.2 平行线判定与性质(综合) 知识梳理 知识点 相关题型 易错点：三线八角 三线八角的辨析与理解 重 点：判定与性质的综合 先判定后性质的综合 先性质后判定的综合 判定-性质的灵活运用 难 点：平行线导角的几种模型 反证法 内拐模型外拐模型 用反证法证明 知识点讲解 1.三线八角 定义：两条直线被第三条直线所截，在两个交点处形成八个角叫作“三线八角”.没有公共顶点的两个角中有同位角、内错角、同旁内角. 易错点：这两条直线不一定平行,所以以下命题都是错误的： ①同位角相等；(╳)理由：两直线不平行时，同位角不相等。改正：两直线平行，同位角相等。 ②内错角相等；(╳)理由：两直线不平行时，内错角不相等。改正：两直线平行，内错角相等。 ③同旁内角互补.(╳)理由：两直线不平行时，同旁内角不互补。改正：两直线平行，同旁内角互补。 2.平行线的判定与性质综合 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有1条直线与该直线平行。 平行公理推论：在同一平面上，如果直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 几何语言： ∵a//b，b//c ∴a//b （3）平行线的判定与性质 判定与性质是互逆命题，由角的关系得到平行属于判定，由平行得到角的关系属于性质. 3. 平行线的几种拐角模型 平行的拐角模型很多，名称很复杂概括起来实则就两种：内拐和外拐. 内拐 结论：∠BOD=∠B+∠D 结论：∠BOD+∠B+∠D=360 外拐 结论：∠BOD=∠D-∠B 结论：∠BOD=∠B-∠D 共性 过拐点作平行，利用平行公理的推论及平行线的判定与性质证明 4.反证法的证题步骤： (1) 先假设求证的结论是错误的； (2) 由此推导出与已知定义、公理、定理或条件等相矛盾的结果； (3)从而否定开始的假设，肯定先前求证的结论的正确性. 例题讲解 【题型1】三线八角的辨析与理解 【例1】（25-26七年级下·辽宁·期中）下列说法中正确的是（　　） A．同一平面内，两条直线一定互相平行 B．内错角相等 C．有一条公共边的角叫邻补角 D．对顶角相等 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质及邻补角、对顶角的知识，解决本题的关键是注意结合定义及定理判断． 根据对顶角定义，邻补角定义，两条直线的位置关系，平行线的性质逐一进行判断即可． 【详解】A、在同一平面内，两条直线不一定互相平行，也可能相交，故此选项不正确； B、两直线平行，内错角相等，故此选项不正确； C、两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角，故此选项不正确； D、对顶角相等，故此选项正确； 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·月考）在下列说法中，正确的个数有（   ） ①同位角相等；②对顶角相等；③同旁内角不一定互补；④两条不相交的直线叫做平行线． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线及对顶角的知识，掌握其定义及性质是解决此题的关键． 根据平行线的定义及性质可以判定①③④；根据对顶角的性质可以判断②． 【详解】解：对于①，只有当两直线平行时，同位角才相等，说法错误； 对于②，根据对顶角的性质，对顶角相等，说法正确； 对于③，只有当两直线平行时，同旁内角才互补，故同旁内角不一定互补，说法正确； 对于④，根据平行线的定义，平行线是在同一个平面上定义的，故④错误； 正确说法的有②③． 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，下列说法中，错误的是（    ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是内错角 【答案】B 【分析】本题考查三线八角，涉及三线八角定义及图形，根据定义及图形逐项验证即可得到答案，熟记三线八角定义、识别图形是解决问题的关键． 【详解】解：A、与是同位角，说法正确，不符合题意； B、与是同位角，说法错误，符合题意； C、与是内错角，说法正确，不符合题意； D、与是内错角，说法正确，不符合题意； 故选：B． 【题型2】先判定后性质的综合 【例2】如图,∠1=∠2,∠3=50°,∠ABC等于多少度? 【详解】：∵∠1=∠2 ∴a//b ∴∠ABC=∠ 3=50. 【题型3】先性质后判定的综合 【例3】 如图已知直线a//b,∠1=∠3,那么直线c与d平行吗?为什么? （1） 【解析】；∵a//b ∴∠1=∠2 ∵∠1=∠3 ∴∠2=∠3 ∴c//d 【题型4】判定与性质的灵活运用 【例4】（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线和直线被直线所截，，求证：． 证明：， ______ ， ____________． 即______． ______ 【答案】两直线平行，内错角相等 内错角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理与性质定理求证即可． 【详解】证明：， 两直线平行，内错角相等． ， ． 即． （内错角相等，两直线平行． 【变式1】（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，已知：平分，平分，，求证：． 证明：∵， ∴____________，（______）． ∴______，（______）， ∵平分，平分， ∴，∠______． ∴． ∴． 【答案】；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等； 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义．根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据，即可得到结果． 【详解】证明：∵， ∴，（同旁内角互补，两直线平行）． ∴，（两直线平行，同位角相等）， ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴． 【变式2】（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，点P在上，已知，，请说明的理由． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据两直线平行，内错角相等得，则，即，运用内错角相等，两直线平行得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 【题型5】拐角模型 【例5】（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，作，根据平行线的性质求出，，进而可求出的度数． 【详解】解：如图，作 ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 【变式1】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）将一块含角的直角三角板如图放置，已知直线，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，能正确作出辅助线是解此题的关键． 过C作，求出，根据平行线的性质得出，，即可求出答案． 【详解】解：如图，过C作直线， ∵直线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期中）【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为、之间一点，连接、，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【实际运用】 （2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台、延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角______°． 【深入探索】 （3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线从开始，绕点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间秒（）的值． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）3秒或9秒 【分析】本题主要考查了旋转的定义、平行线的性质、三角形外角的性质、垂直的定义等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． （1）如图，过E点作，根据平行线的性质、角的和差以及等量代换即可解答； （2）如图：延长相交于点P，过P作，易得则、，由垂直的定义可得，然后根据角的和差以及平行线的性质即可解答； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合，然后根据题意分情况画出图形，根据旋转的性质列出关于t的方程求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，过E点作， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图：延长相交于点P，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合， 根据题意得，， ∴， 由题意可得：， ∴，解得：； 根据题意得，， 由题意可得：， ∴， ∴，解得：； 根据题意得，， 由题意可得：， ∴， ∴，解得：（不符合题意）； 综上所述，运动时间秒为3或9． 【题型6】反证法 【例6】（25-26八年级上·全国·课后作业）反证法是数学中一种常用的证明方法，通常先假设求证的结论是错误的，再由此推导出与已知、公理、定理或条件等相矛盾的结果，从而否定开始的假设，肯定先前求证结论的正确性．在证明“两直线平行，内错角相等”时，采用反证法． 如图1，已知：与是直线，被直线所截得到的一对内错角，，直线，分别与直线相交于点，．求证：． 证明：假设 ，过点N画一条直线，使得， 如图2所示，根据 ，可得， 又因为，这样直线、都过点N，这与 矛盾． 说明假设不成立，所以 ． 【答案】 内错角相等，两直线平行 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】本题考查的是反证法，利用反证法的一般步骤解答即可． 【详解】证明：假设， 过点N画一条直线，使得，如图2所示，根据内错角相等，两直线平行，可得， 又因为，这样直线、都过点N， 这与过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行矛盾． 说明假设不成立，所以， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，． 【变式1】（24-25七年级下·上海松江·月考）用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 证明：假设 ，那么它们相交于一点． 因为，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“ ”矛盾，故假设不成立．所以． 【答案】与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题主要考查了反证法，同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，先假设结论不成立，即假设与不平行，那么它们相交于一点，则可推出过点的两条直线、都与直线垂直，这与“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，故假设不成立，据此求解即可． 【详解】证明：假设与不平行，那么它们相交于一点． ，，过点的两条直线、都与直线垂直． 这与基本事实“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾， 故假设不成立． 所以． 故答案为：与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 过关练习 1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．同位角相等 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】本题考查了定理的概念，定理是经过逻辑推理为真命题的陈述句． 根据定理是真命题进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、 在直线上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B、如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，是假命题，不是定理，不符合题意； C、 同位角相等，是命题；同位角不一定相等，故不是定理，不符合题意； D、同角的补角相等，真命题，是定理，符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，与位置关系为同旁内角的角是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同旁内角的定义判断即可．同旁内角在截线的同旁，在被截直线的内侧．熟练掌握同旁内角的特征是解题的关键． 【详解】解：A、与是同位角，故不符合题意； B、与既不是同位角，也不是内错角，也不是同旁内角，故不符合题意； C、与是同位角，故不符合题意； D、与同旁内角，故符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级上·河北邢台·月考）某天辽宁舰带两艘战舰在南海航行，三艘战舰呈品字形向前方驶去．若表示辽宁舰，表示护卫舰，表示驱逐舰，在的北偏东的方向上，在的南偏西的方向上，若测得．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方向角的知识，平行线的性质，根据方向角得到，，再根据得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，是南北方向，则， 由题意可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）探照灯、卫星天线、汽车灯等都是利用凹面镜的原理，由它的焦点处发出的光线反射后将会平行射出，如图：由焦点O处发出的光线经反射后沿着与平行的方向射出，已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，由题意可知，，根据平行线的性质可得，，由此即可求解出的度数． 【详解】解：由题意可知：，， 而，， ， ， ． 故选：D． 5．（2025·山西临汾·二模）如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点P作，则，根据平行线的性质可得，据此先求出的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6．（25-26八年级上·四川达州·开学考试）如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质得出，进而利用角的关系解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：B． 7.（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，，求证：． 证明： ____________（______） ____________（______） （______） 【答案】 内错角相等，两直线平行 平行于同一直线的两条直线互相平行 两直线平行，内错角相等 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定定理与性质定理求证即可． 【详解】证明：， （内错角相等，两直线平行）， ， （平行于同一直线的两条直线互相平行）， （两直线平行，内错角相等）， 故答案为：；；内错角相等，两直线平行；；；平行于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等． 8．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知点D、E在线段上，点F在线段上，射线、相交于点M，平分，，求证． 把以下证明过程补充完整． 证明：∵平分，∴， 又∵，∴____________________． ∴____________________（__________）． ∴____________________（__________）． ∴． 【答案】；；；；同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，同位角相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，由角平分线的定义和已知条件可证明，则可证明得到，据此可证明． 【详解】证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∴． 9．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，已知直线、、被直线所截．若，，且，求的度数．把以下解答过程补充完整． 解：如图，将与相邻的补角记为． ，， ． ． ， ， ． 【答案】同位角相等，两直线平行；；；平行于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行，同位角相等； 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【详解】解：如图，将与相邻的补角记为． ， ． 同位角相等，两直线平行． ， 平行于同一直线的两条直线互相平行 两直线平行，同位角相等 ， ． 故答案为：同位角相等，两直线平行；；；平行于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行，同位角相等；． 10．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知，与交于点，，，则的度数为多少？ 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定及性质．过点P作，可得，根据平行线的性质求出，，进而根据角的和差即可求解． 【详解】解：过点P作， ∵，， ∴， ∴， ， ∴． 11．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在四边形中，，平分，E是上一点，交于点F．    (1)求的大小； (2)若，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键． （1）根据平行线的性质可得，即可算出的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据平行线的性质即可得出答案； （2）根据平行线的性质可得，由已知和三角形的内角和可得，即可算出的度数，根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12.（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，已知，直线交线段的延长线于点M，按下列步骤完成证明：． 步骤一、 假设，则______（______） ∵， ∴________ ∴________________ 这与________矛盾， 即不等于． 步骤二、（请自己写出后面的证明过程） 【答案】见解析 【分析】本题考查反证法，平行线的判定与性质，假设，得出，再证明得出，这与直线交的延长线于点M矛盾，即不等于．假设，则，得出，与矛盾，即不小于． 【详解】步骤一、假设，则（等边对等角） ∵， ∴ ∴， 这与直线交的延长线于点M矛盾， 即不等于． 步骤二、 假设，则， ∵， ∴ ∵， ∴ 与矛盾 即不小于． 13.（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在学习了《相交线与平行线》后，数学小组进行探究平行线的“等角转化”功能的活动． (1)如图1，已知，． ①求证：； ②探究与之间有怎样的数量关系？并说明理由： (2)实际应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮与支撑平台平行，如果，那么的度数为 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，添加平行线求解是解答的关键． （1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点作，根据两直线平行，内错角相等得出，，进而即可求解； （2）过点作，根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； ②，理由如下， 如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：如图所示，过点作， 依题意，， ∴ ∴，， ∵，， ∴． 试卷第1页，共3页 0242 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $沪教版2024七年级数学下册同步教学讲义（知识点梳理+题型归纳+例题讲解+变式训练+过关检测） 16.2 平行线判定与性质(综合) 知识梳理 知识点 相关题型 易错点：三线八角 三线八角的辨析与理解 重 点：判定与性质的综合 先判定后性质的综合 先性质后判定的综合 判定-性质的灵活运用 难 点：平行线导角的几种模型 反证法 内拐模型外拐模型 用反证法证明 知识点讲解 1.三线八角 定义：两条直线被第三条直线所截，在两个交点处形成八个角叫作“三线八角”.没有公共顶点的两个角中有同位角、内错角、同旁内角. 易错点：这两条直线不一定平行,所以以下命题都是错误的： ①同位角相等；(╳)理由：两直线不平行时，同位角不相等。改正：两直线平行，同位角相等。 ②内错角相等；(╳)理由：两直线不平行时，内错角不相等。改正：两直线平行，内错角相等。 ③同旁内角互补.(╳)理由：两直线不平行时，同旁内角不互补。改正：两直线平行，同旁内角互补。 2.平行线的判定与性质综合 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有1条直线与该直线平行。 平行公理推论：在同一平面上，如果直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 几何语言： ∵a//b，b//c ∴a//b （3）平行线的判定与性质 判定与性质是互逆命题，由角的关系得到平行属于判定，由平行得到角的关系属于性质. 3. 平行线的几种拐角模型 平行的拐角模型很多，名称很复杂概括起来实则就两种：内拐和外拐. 内拐 结论：∠BOD=∠B+∠D 结论：∠BOD+∠B+∠D=360 外拐 结论：∠BOD=∠D-∠B 结论：∠BOD=∠B-∠D 共性 过拐点作平行，利用平行公理的推论及平行线的判定与性质证明 4.反证法的证题步骤： (1) 先假设求证的结论是错误的； (2) 由此推导出与已知定义、公理、定理或条件等相矛盾的结果； (3)从而否定开始的假设，肯定先前求证的结论的正确性. 例题讲解 【题型1】三线八角的辨析与理解 【例1】（25-26七年级下·辽宁·期中）下列说法中正确的是（　　） A．同一平面内，两条直线一定互相平行 B．内错角相等 C．有一条公共边的角叫邻补角 D．对顶角相等 【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·月考）在下列说法中，正确的个数有（   ） ①同位角相等；②对顶角相等；③同旁内角不一定互补；④两条不相交的直线叫做平行线． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，下列说法中，错误的是（    ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是内错角 【题型2】先判定后性质的综合 【例2】如图,∠1=∠2,∠3=50°,∠ABC等于多少度? 【题型3】先性质后判定的综合 【例3】 如图已知直线a//b,∠1=∠3,那么直线c与d平行吗?为什么? 【题型4】判定与性质的灵活运用 【例4】（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线和直线被直线所截，，求证：． 证明：， ______ ， ____________． 即______． ______ 【变式1】（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，已知：平分，平分，，求证：． 证明：∵， ∴____________，（______）． ∴______，（______）， ∵平分，平分， ∴，∠______． ∴． ∴． 【变式2】（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，点P在上，已知，，请说明的理由． 【题型5】拐角模型 【例5】（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，，，，求的度数． 【变式1】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）将一块含角的直角三角板如图放置，已知直线，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期中）【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为、之间一点，连接、，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【实际运用】 （2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台、延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角______°． 【深入探索】 （3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线从开始，绕点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间秒（）的值． 【题型6】反证法 【例6】（25-26八年级上·全国·课后作业）反证法是数学中一种常用的证明方法，通常先假设求证的结论是错误的，再由此推导出与已知、公理、定理或条件等相矛盾的结果，从而否定开始的假设，肯定先前求证结论的正确性．在证明“两直线平行，内错角相等”时，采用反证法． 如图1，已知：与是直线，被直线所截得到的一对内错角，，直线，分别与直线相交于点，．求证：． 证明：假设 ，过点N画一条直线，使得， 如图2所示，根据 ，可得， 又因为，这样直线、都过点N，这与 矛盾． 说明假设不成立，所以 ． 【变式1】（24-25七年级下·上海松江·月考）用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 证明：假设______ ，那么它们相交于一点． 因为，，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“ ”矛盾，故假设不成立．所以． 过关练习 1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．同位角相等 D．同角的补角相等 2．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，与位置关系为同旁内角的角是（    ）    A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北邢台·月考）某天辽宁舰带两艘战舰在南海航行，三艘战舰呈品字形向前方驶去．若表示辽宁舰，表示护卫舰，表示驱逐舰，在的北偏东的方向上，在的南偏西的方向上，若测得．则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）探照灯、卫星天线、汽车灯等都是利用凹面镜的原理，由它的焦点处发出的光线反射后将会平行射出，如图：由焦点O处发出的光线经反射后沿着与平行的方向射出，已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山西临汾·二模）如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·四川达州·开学考试）如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 7.（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，，求证：． 证明： ____________（______） ____________（______） （______） 8．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知点D、E在线段上，点F在线段上，射线、相交于点M，平分，，求证． 把以下证明过程补充完整． 证明：∵平分，∴， 又∵，∴____________________． ∴____________________（__________）． ∴____________________（__________）． ∴． 9．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，已知直线、、被直线所截．若，，且，求的度数．把以下解答过程补充完整． 解：如图，将与相邻的补角记为． ，， ． ． ， ， ． 10．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知，与交于点，，，则的度数为多少？ 11．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在四边形中，，平分，E是上一点，交于点F．    (1)求的大小； (2)若，求的大小． 12.（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，已知，直线交线段的延长线于点M，按下列步骤完成证明：． 步骤一、 假设，则______（______） ∵， ∴________ ∴________________ 这与________矛盾， 即不等于． 步骤二、（请自己写出后面的证明过程） 13.（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在学习了《相交线与平行线》后，数学小组进行探究平行线的“等角转化”功能的活动． (1)如图1，已知，． ①求证：； ②探究与之间有怎样的数量关系？并说明理由： (2)实际应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮与支撑平台平行，如果，那么的度数为_____ 试卷第1页，共3页 0242 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $