精品解析：河南省安阳市第一中学等学校2026届高三上学期第六次模拟考试数学试题

安阳一中、正一中学2026届高三第六次模拟考试 数学试题卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，则A的非空真子集共有（ ） A. 5个 B. 8个 C. 7个 D. 6个 2. 在三角形中，“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 若某社交APP的用户数每月增长，则用户数从100万户增加到1000万户需要的时间约为（ ） A. 15月 B. 25月 C. 35月 D. 45月 4. 已知函数的图象关于点对称，则（ ） A. B. 10 C. 2 D. 5. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F，，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正三棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥外接球的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 已知，若函数存在两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列说法错误的有（ ） A. 命题的否定是 B. 若，则，的夹角为锐角 C. 若方程有两个不等的正实数根，则 D. 中，若角，则有两解 10. 下列说法正确的是（ ） A. 将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是 B. 将5个相同小球放入6个编号不同的盒子中，每个盒子至多放1个小球，而且小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是 C. 将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，每个盒子至少放1个小球，那么不同的放法种数是 D. 将6个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，每个盒子放2个小球，那么不同的放法种数是 11. 设点是单位圆内接正六边形边上的动点，记，则（ ） A. 集合的子集个数为个 B. 集合中元素的模的最大值为4 C. 的取值范围为 D. 集合中任意两个元素的数量积全都相加，它们的和为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知，则___________. 13. 首项为正数的数列满足，若对一切，都有，则的取值范围________． 14. 一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只．现从口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球，表示次取球中取到红球的次数，，则的数学期望为______（用表示）． 四、解答题（15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分） 15. 设为数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式. （2）求数列的前项和. 16. 有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人.设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计. （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 （2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. （i）若答题活动设置且道题，甲仅答对其中10道题的概率最大，求的值. （ii）若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用表示在本次答题的题目数量，求的分布列和期望. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 一个轴截面顶角为 圆锥被某平面所截，得到如图所示的几何体， 为圆锥的顶点，截面为一个椭圆， 是椭圆长轴的两个端点， 是椭圆短轴的两个端点，椭圆的离心率为 ， 为线段 上一动点. （1）证明 平面 ； （2）若 为线段 上靠近 的四分之一点，求二面角 的余弦值. 18. 已知在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数． （1）求动点的轨迹的方程； （2）已知直线与轨迹交于两点． ①求的取值范围； ②已知点，直线与直线分别交于点，平面内是否存在一定点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数 . （1）若曲线在处切线在轴上的截距为，求的值； （2）若有2个极值点 ，求的取值范围； （3）当且时，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安阳一中、正一中学2026届高三第六次模拟考试 数学试题卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，则A的非空真子集共有（ ） A. 5个 B. 8个 C. 7个 D. 6个 【答案】D 【解析】 分析】求出集合，再根据集合非空真子集个数计算公式即可得到答案. 【详解】， 则A的非空真子集共有个. 故选：D. 2. 在三角形中，“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的性质和充分必要条件的定义进行判断即可. 【详解】因在三角形中，，， 所以，则，所以“”是“”的充分条件； 由于，所以或，又因为三角形中，， 所以，所以. 所以“”是“”的必要条件； 综上，“”是“”的充要条件. 故选：C. 3. 若某社交APP的用户数每月增长，则用户数从100万户增加到1000万户需要的时间约为（ ） A. 15月 B. 25月 C. 35月 D. 45月 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列方程，再两边同时取对数计算即可. 【详解】设用户数从100万户增加到1000万户需要的时间为月，则，即， 两边取常用对数得，所以. 故选：B. 4. 已知函数的图象关于点对称，则（ ） A. B. 10 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用中心对称的性质列式求出，进而求出目标值. 【详解】函数， 则， 由函数的图象关于点对称，得恒成立， 即恒成立， 因此，解得，所以. 故选：C 5. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是（　　） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，确定圆心到直线的距离的取值范围，根据点到直线的距离公式及不等式的性质，求得的取值范围. 【详解】由题意，圆的圆心为，半径， 圆心到直线，即的距离， 由圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个， 得，即， 解得或． 故选：C． 6. 椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F，，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质可知，结合椭圆的焦半径范围建立齐次式计算即可. 【详解】由题意，椭圆上存在点，使得线段垂直平分线过点，即， 因为， 设点，则，则， 所以 ， 所以，即， 整理可得，可得，故， 又因为，故， 所以该椭圆离心率的取值范围是. 故选：D． 7. 已知正三棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥外接球的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，根据题意可得棱切球的球心即为底面正三角形的中心，再求出三棱锥的高，利用勾股定理即可求解外接球半径. 【详解】因为球与该正三棱锥的各棱均相切， 所以平面截球得到的截面圆与的三边均相切， 所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面垂直的直线上， 又因为底面边长为， 所以底面正三角形的内切圆的半径为， 又因为球的半径为1， 所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点，连接PO，即为三棱锥的高， 如图，过球心作的垂线交于，则， 又因为，所以, 又与相似， 所以，则，即. 因为外接圆的半径为，正三棱锥外接球的球心在上， 设半径为，则，即, 解得. 故选：D. 8. 已知，若函数存在两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，构造函数得，再构造函数，结合图象即可得答案． 【详解】由，，知 故， 即 即 令则上述式子即为 由于，且， 故在是单调递增函数， 故由可得 即，令， ， 由，得， 当时，， 当时，， 故，，且当时，恒成立， 由此可得出的大致图象如下： 由题意要求函数存在两个零点，等价于函数与的图象有两个交点， 由图可得：． 故选：C． 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列说法错误的有（ ） A. 命题的否定是 B. 若，则，的夹角为锐角 C. 若方程有两个不等的正实数根，则 D. 在中，若角，则有两解 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，根据特称命题的否定是全称命题求解判断；对B，由数量积和向量夹角的范围求解；对C，由一元二次方程根的分布列式求解；对D，由正弦定理求解判断. 【详解】对于A，命题的否定是，故A正确； 对于B，若，可得，的夹角为锐角或，B错误； 对于C，若方程有两个不等的正实数根， 则，解得，故C正确； 对于D，由正弦定理，，不符合题意， 此时三角形无解，故D错误. 故选：BD . 10. 下列说法正确的是（ ） A. 将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是 B. 将5个相同的小球放入6个编号不同的盒子中，每个盒子至多放1个小球，而且小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是 C. 将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，每个盒子至少放1个小球，那么不同的放法种数是 D. 将6个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，每个盒子放2个小球，那么不同的放法种数是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用分步计数原理判断选项A；结合组合数的定义判断选项B；利用捆绑分组法判断选项C；由平均分组分配法判断选项D. 【详解】对于A，将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中， 由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数是，A选项正确； 对于B，将5个相同的小球放入6个编号不同的盒子中，每个盒子至多放1个小球，而且小球必须全部放入盒中， 则需要在6个盒子选出5个放入小球，不同的放法种数是，B选项正确； 对于C，将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，每个盒子至少放1个小球， 将其中2个球捆绑在一起，与另两个球分别放入3 个盒子中，不同的放法种数是，C选项错误 对于D， 将6个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，每个盒子放2个小球， 把6个球平均分成3组，再分别放入3个盒子中，不同的放法种数是，D选项正确. 故选：ABD. 11. 设点是单位圆内接正六边形边上的动点，记，则（ ） A. 集合的子集个数为个 B. 集合中元素的模的最大值为4 C. 的取值范围为 D. 集合中任意两个元素的数量积全都相加，它们的和为 【答案】BC 【解析】 【分析】先得出集合的元素个数，再判断子集个数，判断A；列举可判断B；由展开可得，先求出的范围，即可求的范围，判断C；由对称性可判断D. 【详解】由对称性，可得，其中， 当时，；当时，； 当时，； 所以不同的序数对有：， 共19种； 则集合共有19个元素，其子集个数为个，故A错误； B选项，，列举可得，故B正确； C选项， ， 当在正六边形边的中点时，， 当在正六边形边的顶点时，， 则，则，故C正确； D选项，由对称性，对于任意非零向量，存在，则， 则集合中任意两个元素的数量积全都相加，它们的和为0，故D错误； 故选：BC. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由同角三角函数商的关系结合弦化切即可求解. 【详解】由， 可得，解得， 所以， 故答案为： 13. 首项为正数的数列满足，若对一切，都有，则的取值范围________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的恒成立的不等式及递推公式，列出关于的不等式，求解作答. 【详解】因为，又对一切，都有成立， 因此对一切，，解得或对一切成立， 于是或，又数列的首项为正数，即有或， 所以的取值范围为. 故答案为： 14. 一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只．现从口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球，表示次取球中取到红球的次数，，则的数学期望为______（用表示）． 【答案】 【解析】 【分析】由题知，，利用，可求得. 【详解】由题知， ， ， ， . 故答案为：. 四、解答题（15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分） 15. 设为数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式. （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用和的关系得到，利用，求出，验证，从而得到是等比数列，利用等比数列的通项公式求解； （2）先求出目标数列，再利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 由①，得当时，②. ①－②得，则. 将代入，得到，，， ，，， 故当时，也适合， 可得数列是首项为1，公比为2的等比数列，故. 【小问2详解】 ，， ，，， ， 数列的前项和为 . 16. 有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人.设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计. （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 （2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. （i）若答题活动设置且道题，甲仅答对其中10道题的概率最大，求的值. （ii）若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用表示在本次答题的题目数量，求的分布列和期望. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，认为学生报名参加答题活动与性别有关联 （2）（i）；（ii）的分布列见解析, 【解析】 【分析】（1）根据题设，结合条件概率的定义求出数据，进而完成列联表，再计算出的值判断即可； （2）（i）设随机变量Y为甲答对题目的个数，则，根据二项分布的概率性质建立不等式组即可求解；（ii）写出的所有可能取值，结合独立事件的概率特征求出对应的概率，从而可写出的分布列及期望. 【小问1详解】 因为，所以愿意报名参加答题活动人数为， 又因为，所以愿意报名参加答题活动的男生人数为，愿意报名参加答题活动的女生人数为，则可得到列联表为： 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001； 【小问2详解】 （i）设随机变量Y为甲答对题目的个数，则. 则， 假设最有可能答对题目的数量是10次，则 即： 解得，又，则； （ii）的所有可能取值为：1，2，3，4， ，，， ， 所以的分布列为： X 1 2 3 4 P 故. 17. 一个轴截面顶角为 的圆锥被某平面所截，得到如图所示的几何体， 为圆锥的顶点，截面为一个椭圆， 是椭圆长轴的两个端点， 是椭圆短轴的两个端点，椭圆的离心率为 ， 为线段 上一动点. （1）证明 平面 ； （2）若 为线段 上靠近 的四分之一点，求二面角 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理证明，再由勾股定理证明，由线面垂直的判定定理得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值即可. 【小问1详解】 由题意， ，又 ， ， ， ， 又由题意设椭圆中心点为 ，离心率为 ， 即 ， 可得: ， ，， 又 平面 ， 平面 【小问2详解】 如图，建立以 为原点， ， ，过 垂直于平面 的直线分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系 . 则 ， ， . 设平面 的法向量为 ，则 ， 则令 为平面 的一个法向量. 同理设平面 的法向量为 ， 则 ，令 ， 为平面 的一个法向量. 由为线段 上靠近 的四分之一点，二面角 显然为钝角， 设二面角 为 ， 则 . 18. 已知在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数． （1）求动点的轨迹的方程； （2）已知直线与轨迹交于两点． ①求的取值范围； ②已知点，直线与直线分别交于点，平面内是否存在一定点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①或；②存在，. 【解析】 【分析】（1）利用已知条件可得出关于、的等式，化简可得出轨迹的方程； （2）①直线方程联立椭圆方程消元，利用判别式求解可得；②利用直线表示出点的坐标，结合韦达定理求出中点坐标，结合为平行四边形求解可得. 【小问1详解】 由题得：，两边平方并化简得， 所以，轨迹的方程为. 【小问2详解】 ①设，， 由，得， 由直线与轨迹交于两点，得， 所以或. ②存在点使得四边形为平行四边形，理由如下： 因为在椭圆上，所以易知， 设直线的方程为， 令，得，同理， 又由①知，所以， 所以 ， 所以线段的中点坐标为， 连接，若四边形为平行四边形，则线段的中点坐标也为， 由于，可得得， 所以点的坐标为. 19. 已知函数 . （1）若曲线在处的切线在轴上的截距为，求的值； （2）若有2个极值点 ，求的取值范围； （3）当且时，证明： 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用导数的几何意义，求得切线方程，结合切线在轴上的截距为，列出方程，即可求解； （2）根据题意，转化为有两个不同的正根，列出不等式组，求得，再由，令，利用导数求得的单调性和最小值，进而求得其范围； （3）由（2）知，得到，令，求得，结合累加法和对数的运算性质，得到，进而证得成立. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 则且，所以， 因为切线在轴上的截距为， 令，可得，解得. 【小问2详解】 解：若有2个极值点，则有两个不同的正根， 即方程有两个不同的正根， 则满足，解得， 由 ， 令，可得， 令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 因为，当时，，所以， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 证明：由（2）知，当时，， 即，当且仅当时，等号成立， 令，则，整理得， 所以， 将上述的不等式两边相加， 可得， 整理得， 所以，其中且， 故当且时，不等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $