精品解析：广东深圳大学附属中学2025-2026学年九年级上学期1月阶段性数学学情自测

2025-2026学年九年级上学期1月阶段性质量检测数学试题 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一项是正确的） 1. 下列正面摆放的几何体中，左视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据左视图逐项分析判断即可求解． 【详解】A.左视图是长方形，故该选项不符合题意； B.左视图是长方形，故该选项不符合题意； C.左视图是三角形，故该选项符合题意； D.左视图是梯形，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了三视图的定义，掌握三视图的定义是解题的关键． 2. 设，是一元二次方程的两个根，则的值是（　　） A. B. 4 C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．直接利用根与系数的关系求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， 故选：C． 3. 在中，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键． 先根据题意画出的草图，再结合，推出的度数，根据为特殊角即可求解其余弦值． 【详解】解：如图， ∵， ∴为直角三角形，为斜边， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4. 已知与相似，，那么的度数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质． 利用相似三角形的性质，对应角相等，但对应顶点不确定，需讨论对应或的情况，从而求出的可能值． 【详解】解：∵与相似， ∴对应角相等． ∵， ∴，故不对应． 情况1∶若对应，则， ∴； 情况2∶若对应，则； ∴可能为或． 只有C符合． 故选：C． 5. 黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点C恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ）cm． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，理解题意是解决本题的关键． 由题意可得，则，把，代入求解即可． 【详解】解：∵交点C恰好是线段的黄金分割点， ∴， ， ∵， ， ， 或（舍去）． 故选：A． 6. 某种玉米种子在相同条件下的发芽实验结果如下表： 每批粒数 100 200 300 500 2000 5000 10000 发芽的粒数 65 128 168 285 1260 2950 6000 发芽的频率 0.65 0.64 0.56 0.57 0.63 0.59 0.6 则任取一粒种子，估计它发芽的概率是（　　） A. 0.65 B. 0.56 C. 0.57 D. 0.6 【答案】D 【解析】 【分析】利用频率估计概率：在相同条件下，多次重复试验，某一事件发生的频率会稳定在一个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率，由表中数据即可得到答案． 【详解】解：由频率估计概率，结合表中数据可知任取一粒种子，估计它发芽的概率是0.6， 故选：D． 【点睛】本题考查用频率估计概率，理解：在相同条件下，多次重复试验，某一事件发生频率会稳定在一个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率是解决问题的关键． 7. 下列命题中真命题的个数是（　　） ①菱形是中心对称图形，不是轴对称图形 ②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 ③依次连结矩形各边的中点，所得四边形是菱形 ④两条对角线相等的四边形是矩形 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形，矩形，菱形的判定及菱形性质逐项判断即可． 【详解】①菱形是中心对称图形，不是轴对称图形是假命题； ②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形是假命题，如图所示： ③依次连结矩形各边的中点，所得四边形是菱形是真命题， 如图，在矩形中，点E、F、G、H为各边的中点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点E、F、G、H为中点， ∴， ， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 故是真命题； ④两条对角线相等的四边形是矩形是假命题，因为有可能是等腰梯形． ∴真命题有1个， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握正方形，矩形，菱形的判定． 8. 如图，矩形中，，对折矩形使得与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点的对应点落在上，折痕是，连接，若，则点的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形性质和折叠性质可得，，，，可得，从而可得，可得，从而可得的长，，即可求解，进而求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ， 由折叠性质可得：，，，， 在中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查折叠性质，长方形的性质，角的直角三角形等知识点，解题的关键是利用边之间的关系推出． 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知为锐角，且，则______度． 【答案】50 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值，即可求得． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：50． 【点睛】本题考查了特殊角的三角形函数值，熟记特殊角的三角形函数值是解决本题的关键． 10. 方程中，的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的判别式，能够识别系数，，的值和掌握判别式是是解题的关键． 根据一元二次方程的一般形式，确定系数，，的值，然后计算判别式即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 故答案为：． 11. 若点，在抛物线上，则_____．（填“”，“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的对称性是解题的关键．先求得抛物线的对称轴，然后根据二次函数的对称性即可判断． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为，开口向上， 时，y随x的增大而增大， ∵，在抛物线上， ∴关于直线的对称点在抛物线上， ， ∴． 故答案为：． 12. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，，则菱形的面积是______ 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，由菱形的性质可得，由勾股定理可求，即可求菱形的面积． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积， 故答案为：24． 13. 在边长为24的正方形中，E在上，，P在边上运动（不与B，C重合），过点P作，交于Q，则的最大值为___ ． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了数形结合思想．先证明，得到与有关的比例式，设，则，代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值． 【详解】解：四边形是正方形，， ， ， ． 又， ， ， 设，则， ，化简得， 整理得：， 所以当时，y有最大值为8． 故答案为：8． 三．解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先提公因式，再移项，最后运用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先移项，再系数化为，最后运用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， 解得：，． 15. 如图，在正方形中，点为边上的动点，于点于点． （1）求证：； （2）当时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）的值为 【解析】 【分析】（1）证明，进而可得； （2）设，则，，由勾股定理得，，，，即，整理得，，解得，，（舍去），证明，则，即，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 证明：∵正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设，则，， 由勾股定理得，，，， ∴，整理得，， 解得，，（舍去）， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 16. 教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时接通电源，水温（℃）与时间（）的关系如图所示： （1）分别写出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式； （2）怡萱同学想喝高于50℃的水，请问她最多需要等待多长时间？ 【答案】（1）与的函数关系式为： ，与的函数关系式每分钟重复出现一次；（2）她最多需要等待分钟； 【解析】 【分析】（1）分情况当，当时，用待定系数法求解；（2）将代入，得，将代入，得，可得结果. 【详解】（1）由题意可得， ， 当时，设关于的函数关系式为：， ，得， 即当时，关于的函数关系式为， 当时，设， ，得， 即当时，关于的函数关系式为， 当时，， ∴与的函数关系式为： ，与的函数关系式每分钟重复出现一次； （2）将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴怡萱同学想喝高于50℃的水，她最多需要等待分钟； 【点睛】考核知识点：一次函数和反比例函数的综合运用.根据实际结合图象分析问题是关键. 17. 教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．2023年3月，鄂州市教育局发布了“义务教育学校教育质量评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如下统计图： （1）________，_______，请将条形统计图补充完整； （2）若该校学生总人数为1600人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4次及以上的学生人数； （3）在此次调查活动中，九（1）班有两个学生一周劳动次数1次及以下，九（2）班有两个学生一周劳动次数1次及以下．现从这4个学生中任选2个学生参加学校组织的劳动教育宣传活动，用列表法或画树状图的方法求选出的2人来自同一班级的概率． 【答案】（1）86，27，补图见解析 （2）432人 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据劳动2次的人数及所占百分比求出总人数即可求解； （2）根据样本估计总体求解即可； （3）根据题意列表，求出等可能的结果数和符合要求的结果数，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：被调查总人数为人 ∴，， ∴， 补充统计图如图所示： 【小问2详解】 解：由题意可得：人， ∴估计该校一周劳动4次及以上的学生人数约为432人． 【小问3详解】 解：由题意可得：列表如下： ∴等可能结果共有12个，选出的2人来自同一班级的事件有4个， ∴选出的2人来自同一班级的概率为． 【点睛】本题考查了概率与统计，熟练掌握知识点和解题方法是关键． 18. 某广场计划修建一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上（水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足二次函数关系），以水管下端点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，某方向上抛物线路径的形状如图所示． （1）经实验测量发现：当OA长为2米时，水流所形成的抛物线路径的最高点距地面3米，距OA所在直线1米，求抛物线的解析式； （2）计划在小型喷泉周围建一个半径为米的圆形水池，在不改变抛物线路径形状的情况下，仅改变水管OA出水口点A的高度，以保证水流的落地点B不会超出水池边缘，则水管OA最多可以设计为几米？ 【答案】（1） （2）米 【解析】 【详解】解：（1）由题意，得：抛物线顶点为 ∵ ∴ 设抛物线解析式为 ∴ ∴ ∴ （2）∵抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，对称轴为直线 ∴设平移后的抛物线为 ∴由题意：得：抛物线过点 ∴ ∴ ∴ 当时， ∴此时点A坐标为 ∴水管最多可以设计为米 19. 在中，，是中点，是的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，证明是解题的关键． （1）先证明，推出，结合，推出四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，从而推出四边形是菱形即可； （2）过点作交延长线于点，则，根据菱形的性质和推出和都是等边三角形，得出，再求出，根据所对的直角边等于斜边的一半，得出，最后根据勾股定理求解和即可． 【小问1详解】 证明：∵是的中点，是的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，是的中点， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 过点作交延长线于点，则， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中， ∴根据勾股定理，， ∴， ∵在中， ∴根据勾股定理，， ∴CF的长是． 20. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、点，直线：与x轴、y轴分别交于点C、点D，直线与交于点． （1）求m的值和直线的表达式； （2）点G是x轴上的一个动点，连接，求的最小值和此时点G的坐标； （3）在直线上是否存在一点P，使得面积等于5，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）的最小值为； （3）存在，点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）把点代入求得点E（2，2），设直线AB的解析式为y=kx+b，解方程组即可得到结论； （2）作点B关于x轴的对称点F，连接交x轴于G，则此时的值最小，求得，利用待定系数法求得直线的解析式为，于是得到，根据勾股定理即可求解； （3）当点P在y轴的左侧时，如图，当点P在y轴的右侧时，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：把点代入得， ∴点， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：作点B关于x轴的对称点F，连接交x轴于G， 则此时的值最小， ∵， ∴， 同理，直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， 故的最小值为； 【小问3详解】 解：存在， 当点P在y轴的左侧时，如图， ∴， ∵， ∴， 把代入得，， ∴， 当点P在y轴的右侧时，同理可得， 综上所述，存在，点P的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理轴对称-最短路径问题，三角形的面积的计算，正确地求出一次函数的解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期1月阶段性质量检测数学试题 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一项是正确的） 1. 下列正面摆放几何体中，左视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 设，是一元二次方程的两个根，则的值是（　　） A. B. 4 C. 0 D. 1 3. 在中，，，则（ ）． A. B. C. D. 4. 已知与相似，，那么的度数可能是（ ） A B. C. D. 5. 黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点C恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ）cm． A. B. C. D. 6. 某种玉米种子在相同条件下发芽实验结果如下表： 每批粒数 100 200 300 500 2000 5000 10000 发芽的粒数 65 128 168 285 1260 2950 6000 发芽的频率 0.65 0.64 0.56 0.57 0.63 0.59 0.6 则任取一粒种子，估计它发芽概率是（　　） A. 0.65 B. 0.56 C. 0.57 D. 0.6 7. 下列命题中真命题的个数是（　　） ①菱形是中心对称图形，不是轴对称图形 ②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 ③依次连结矩形各边的中点，所得四边形是菱形 ④两条对角线相等的四边形是矩形 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，矩形中，，对折矩形使得与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点的对应点落在上，折痕是，连接，若，则点的长是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知为锐角，且，则______度． 10. 方程中，的值为___． 11. 若点，在抛物线上，则_____．（填“”，“”或“”） 12. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，，则菱形的面积是______ 13. 在边长为24的正方形中，E在上，，P在边上运动（不与B，C重合），过点P作，交于Q，则的最大值为___ ． 三．解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 解方程 （1）； （2）． 15. 如图，在正方形中，点为边上的动点，于点于点． （1）求证：； （2）当时，求的值． 16. 教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时接通电源，水温（℃）与时间（）的关系如图所示： （1）分别写出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式； （2）怡萱同学想喝高于50℃的水，请问她最多需要等待多长时间？ 17. 教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．2023年3月，鄂州市教育局发布了“义务教育学校教育质量评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如下统计图： （1）________，_______，请将条形统计图补充完整； （2）若该校学生总人数为1600人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4次及以上的学生人数； （3）在此次调查活动中，九（1）班有两个学生一周劳动次数1次及以下，九（2）班有两个学生一周劳动次数1次及以下．现从这4个学生中任选2个学生参加学校组织的劳动教育宣传活动，用列表法或画树状图的方法求选出的2人来自同一班级的概率． 18. 某广场计划修建一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上（水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足二次函数关系），以水管下端点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，某方向上抛物线路径的形状如图所示． （1）经实验测量发现：当OA长为2米时，水流所形成的抛物线路径的最高点距地面3米，距OA所在直线1米，求抛物线的解析式； （2）计划在小型喷泉周围建一个半径为米的圆形水池，在不改变抛物线路径形状的情况下，仅改变水管OA出水口点A的高度，以保证水流的落地点B不会超出水池边缘，则水管OA最多可以设计为几米？ 19. 在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形菱形； （2）若，，求的长． 20. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、点，直线：与x轴、y轴分别交于点C、点D，直线与交于点． （1）求m的值和直线的表达式； （2）点G是x轴上的一个动点，连接，求的最小值和此时点G的坐标； （3）在直线上是否存在一点P，使得的面积等于5，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $