第八章 实数 单元测试-2025-2026学年人教版七年级数学下册

第八章 实数 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列各数是无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．若一个数的平方根是，则这个数是（   ） A．5 B．25 C． D． 3．下列结论正确的是（   ） ①在数轴上只能表示无理数； ②任何一个有理数都能用数轴上的点表示； ③实数与数轴上的点一一对应； ④两个无理数的和仍为无理数． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 4．若，则的平方根是（    ） A．3 B．－3 C．±2 D．±3 5．如图是两个面积为2的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正方形的边长为（   ）． A． B．2 C． D．4 6．数轴上点和点表示的数如图所示，且点与点关于点对称，则点表示的数是（　　） A． B． C． D． 7．若实数，则的值所在的范围是（    ） A． B． C． D． 8．在实数范围内，下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 10．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．下列说法中，不正确的有（   ） A． B．对100连续求根整数，3次之后结果为1 C．若，则所有满足题意的x的整数值的和为5 D．若对正整数a只需进行3次连续求根整数运算后结果变为1，则a的最大值为255． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．4的算术平方根是 ． 12．比较大小： ．（填“”“”或“”） 13．已知，则 ． 14．某正数m的两个不相等的平方根分别是和，则m为 ． 15．如图，若数轴上点，对应的实数分别为和，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于点（在点的右侧），则点对应的实数是 ． 16．规定一种新的运算，那 ． 17．已知a、b满足，则的值是 ． 18．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数时，该程序无法输出值，则的值为 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）计算： 20．（8分）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 21．（8分）请把下列各数的序号填入相应的集合中：①，②5.2，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧2005，⑨（每两个3之间的0依次多一个） (1)整数集合：{____________…}； (2)分数集合：{____________…}； (3)负有理数集合：{____________…}； (4)无理数集合：{____________…}． 22．（8分）已知某数的平方根是与，且的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的立方根． 23．（8分）在综合实践课上，小明用铁丝围成一个面积为正方形区域后，打算重新弯折铁丝，围成一个面积为的长方形区域，且长与宽之比为． (1)求原来正方形区域的边长及铁丝的总长度； (2)铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 24．（8分）定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，=2，=3，=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (2)已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 25．（10分）阅读理解： 同学们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部地写出来，于是小伟用来表示的小数部分，事实上，小伟的表示方法非常有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分，又如：，即，的整数部分是2，小数部分是． 请参考小伟思考问题的方法解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)如果的小数部分是a，的整数部分是b，求的值． (3)已知m是的整数部分，n是其小数部分，直接写出的值． 26．（10分）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 实数 单元测试 总分：120分（参考答案） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B B D B A C D C C 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 2 12. 13. 1 14. 100 15. 16. 17. 18. 0或1或负数 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分） 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、绝对值的性质、立方根及实数的混合运算，先计算算术平方根，再计算绝对值部分，紧接着计算立方根，最后将三部分结果代入原式，合并同类项后即可得到结果． 【详解】解：原式 ．（6分） 20．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根， （1）利用平方根的定义直接得出的值； （2）先将方程化为，再根据立方根的定义求解． 【详解】（1）根据平方根的定义得， 则， 即；（4分） （2）， 移项得， 则，即．（8分） 21．（8分） 【答案】(1)③⑥⑧ (2)①②⑤⑦ (3)⑥⑦ (4)④⑨ 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键．分别根据整数、分数、负数和无理数的定义进行解答即可． （1）根据整数的概念求解即可； （2）根据分数的概念求解即可； （3）根据负有理数的概念求解即可； （4）根据无理数的概念求解即可． 【详解】（1）解：， 整数集合：③⑥⑧；（2分） （2）解：分数集合：①②⑤⑦；（4分） （3）解：负有理数集合：⑥⑦；（6分） （4）解：无理数集合：④⑨．（8分） 22．（8分） 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，求算术平方根，求立方根， 对于（1），根据一个正数有两个平方根，且互为相反数求出a，再根据算术平方根求出b； 对于（2），根据a，b的值求出代数式的值，再求出立方根即可． 【详解】（1）解：因为某数的平方根是与， 所以， 解得； 因为的算术平方根是3， 所以， 解得；（4分） （2）解：因为，， 所以， 所以8的立方根是2．（8分） 23．（8分） 【答案】(1)正方形区域的边长为，铁丝的总长度为 (2)铁丝不够用 【分析】本题考查算术平方根，掌握正方形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据正方形的面积公式即可得出答案； （2）求出长方形的长、宽，周长，再比较正方形的周长与长方形周长的大小关系即可． 【详解】（1）解：∵正方形面积为， ∴边长为， ∴周长为，即铁丝总长度；（4分） （2）解：设长方形长为，宽为，则面积为， 解得， ∴长为，宽为， ∴周长为，铁丝总长度为， ∵，，， ∴，故铁丝不够用（8分） 24．（8分） 【答案】(1)见解析，最小算术平方根是4，最大算术平方根是12 (2)1或100 【分析】此题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键． （1）根据“和谐组合”的定义分别求解算术平方根即可； （2）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，分别列方程求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ，8，18这三个数是“和谐组合”， 故最小算术平方根是4，最大算术平方根是12；（4分） （2）解：分三种情况：①当时，可得，解得：（舍去）， ②当时，可得，解得：，经检验符合题意， ③当时，可得，解得：，经检验符合题意． 综上所述，的值为1或100．（8分） 25．（10分） 【答案】(1)， (2)5 (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小和求代数式的值，能估算出无理数的大小是解此题的关键． （1）先估算出的范围，再求解即可； （2）先估算出和的范围，再求出、的值，最后求出代数式的值即可； （3）先求出的范围，再求出、的值，最后代入求出即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，；（3分） （2）解：，， ，， ，， ；（6分） （3）解：， ， ，， ．（10分） 26．（10分） 【答案】(1) (2) (3)或1或3 【分析】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）参照题干材料进行猜想、验证，可得答案； （2）根据与互为相反数，可得与5互为相反数，由此可解； （3）将所给等式变形为，根据0，，1的立方根等于它本身，可得答案． 【详解】（1）解：因为，所以是两位数； 其次观察立方数．猜想个位数字是8； 接着将195112往前移动3位小数点后约为195，因为，，所以的十位数字应为5，于是猜想、验证，得195112的立方根是58； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到， 故答案为：．（3分） （2）解：， 与互为相反数， 与5互为相反数， ， ， 故答案为：；（6分） （3）解：， ， 或， 解得或1或3．（10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 实数 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列各数是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，关键是熟练应用定义解题；无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数之比． 【详解】解：∵ A. 是分数，有理数； B. =2，整数，有理数； C. 是无理数； D. 2026 是整数，有理数． ∴故选：C． 2．若一个数的平方根是，则这个数是（   ） A．5 B．25 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根的定义，已知一个数的平方根，通过平方运算可求出原数. 【详解】解：∵一个数的平方根是， ∴这个数为， 故选：B． 3．下列结论正确的是（   ） ①在数轴上只能表示无理数； ②任何一个有理数都能用数轴上的点表示； ③实数与数轴上的点一一对应； ④两个无理数的和仍为无理数． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，实数与数轴上的点一一对应，实数包括有理数和无理数，据此可判断①②③；根据和都是无理数，但是它们的和为0可判断④． 【详解】解：①数轴上的点既能表示有理数也能表示无理数，原说法错误； ②任何一个有理数都能用数轴上的点表示，原说法正确； ③实数与数轴上的点一一对应，原说法正确； ④两个无理数的和不一定是无理数，例如和都是无理数，但是它们的和为0，是有理数，原说法错误； ∴正确的有②和③， 故选：B． 4．若，则的平方根是（    ） A．3 B．－3 C．±2 D．±3 【答案】D 【分析】先求方程 的根，得到 ，再计算 ，最后求 9 的平方根． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 的平方根为 ， 故选：D. 【点睛】本题主要考查的是立方根和平方根的定义和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 5．如图是两个面积为2的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正方形的边长为（   ）． A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根、正方形的面积公式，根据题意可得大正方形的面积为，再根据正方形的边长等于其面积的算术平方根即可求解． 【详解】解：∵两个面积为2的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 故选：B． 6．数轴上点和点表示的数如图所示，且点与点关于点对称，则点表示的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，设点表示的数是，利用对称点到对称中心的距离相等得到． 【详解】解：点与点关于点对称， ， 设点表示的数是， ， ， 故选：A． 7．若实数，则的值所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算． 通过估算的范围，进而确定的值的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即的值所在的范围是． 故选：C． 8．在实数范围内，下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据实数的性质和立方根的概念，需逐一判断各选项的正确性. 本题考查实数的性质，立方根的意义. 【详解】解：∵ 选项A：若，则或， ∴ A错误. ∵ 选项B：若，如但， ∴ B错误. ∵ 选项C：若，则或， ∴ C错误. ∵ 选项D：若，两边立方得，且在实数范围内立方根唯一， ∴ D正确. 故选：D 9．如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 【答案】C 【分析】本题考查立方根的性质，被开方数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 10．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．下列说法中，不正确的有（   ） A． B．对100连续求根整数，3次之后结果为1 C．若，则所有满足题意的x的整数值的和为5 D．若对正整数a只需进行3次连续求根整数运算后结果变为1，则a的最大值为255． 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义运算以及不等式的应用，熟练掌握根整数的定义并结合不等式求解是解题的关键． 根据根整数的定义，分别对每个选项进行分析计算． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意． 第一次：； 第二次：； 第三次：， ∴对100连续求根整数，3次之后结果为1，故选项B正确，不符合题意． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足题意的x的整数值为2、3、4，它们的和为，故选项C错误，符合题意． 设第3次运算的数为x，则， ∴，即； 第2次运算的数为y，则， ∴， ∵， ∴取，则； 第1次运算的数为a，则， ∴，取，则， ∴a的最大值为255，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．4的算术平方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义求解即可．如果一个正数x的平方等于a，即，那么x叫做a的算术平方根． 【详解】解：∵， ∴4的算术平方根是2． 故答案为：2． 12．比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，有理数的乘方运算，求一个数的绝对值，先计算和 的具体数值，然后比较大小即可． 【详解】解：，，，， ∴． 故答案为：． 13．已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是非负数的性质，求解代数式的值，根据非负数的性质可得 且 ，再进一步求解即可. 【详解】解：∵ ， ∴ 且 ， 解得 ，， ∴ ． 故答案为：． 14．某正数m的两个不相等的平方根分别是和，则m为 ． 【答案】100 【分析】本题考查了平方根的定义，根据平方根的定义，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，由此列出关于a的方程，求解a后，再求平方根的值，进而求出m． 【详解】解：由题意，得， 整理得， 解得， 则平方根为和， 故 故答案为：100． 15．如图，若数轴上点，对应的实数分别为和，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于点（在点的右侧），则点对应的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，用点表示数轴上的数，二次根式的加法法则，求出半径，即可解答． 【详解】解：∵数轴上点，对应的实数分别为和， ∴， 又∵以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于点（在点的右侧）， ∴， ∴点对应的实数是， 故答案为． 16．规定一种新的运算，那 ． 【答案】 【分析】本题考查新运算的定义，解题关键在于理解新运算的规则，将行列式中的元素代入公式 进行计算即可求解. 【详解】解：由运算定义，， 故答案为：. 17．已知a、b满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，求一个数的立方根等知识，根据算术平方根的非负性求出a的值，再代入求出b的值，然后计算的立方根． 【详解】解：由题意，和都有意义， 则且， 解得， 代入得， 所以， 故． 故答案为：． 18．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数时，该程序无法输出值，则的值为 ． 【答案】0或1或负数 【分析】本题考查了实数的运算，关键是掌握立方根及算术平方根的求解． 根据最后都是无理数输出，可得的值为或或负数． 【详解】解：因为按照计算流程发现最后都是无理数输出，所以取或时该程序无法输出值， 因为负数没有算术平方根，所以取负数时该程序无法输出值， 故答案为：或或负数． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）计算： 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、绝对值的性质、立方根及实数的混合运算，先计算算术平方根，再计算绝对值部分，紧接着计算立方根，最后将三部分结果代入原式，合并同类项后即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 20．（8分）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根， （1）利用平方根的定义直接得出的值； （2）先将方程化为，再根据立方根的定义求解． 【详解】（1）根据平方根的定义得， 则， 即； （2）， 移项得， 则，即． 21．（8分）请把下列各数的序号填入相应的集合中：①，②5.2，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧2005，⑨（每两个3之间的0依次多一个） (1)整数集合：{____________…}； (2)分数集合：{____________…}； (3)负有理数集合：{____________…}； (4)无理数集合：{____________…}． 【答案】(1)③⑥⑧ (2)①②⑤⑦ (3)⑥⑦ (4)④⑨ 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键．分别根据整数、分数、负数和无理数的定义进行解答即可． （1）根据整数的概念求解即可； （2）根据分数的概念求解即可； （3）根据负有理数的概念求解即可； （4）根据无理数的概念求解即可． 【详解】（1）解：， 整数集合：③⑥⑧； （2）解：分数集合：①②⑤⑦； （3）解：负有理数集合：⑥⑦； （4）解：无理数集合：④⑨． 22．（8分）已知某数的平方根是与，且的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的立方根． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，求算术平方根，求立方根， 对于（1），根据一个正数有两个平方根，且互为相反数求出a，再根据算术平方根求出b； 对于（2），根据a，b的值求出代数式的值，再求出立方根即可． 【详解】（1）解：因为某数的平方根是与， 所以， 解得； 因为的算术平方根是3， 所以， 解得； （2）解：因为，， 所以， 所以8的立方根是2． 23．（8分）在综合实践课上，小明用铁丝围成一个面积为正方形区域后，打算重新弯折铁丝，围成一个面积为的长方形区域，且长与宽之比为． (1)求原来正方形区域的边长及铁丝的总长度； (2)铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】(1)正方形区域的边长为，铁丝的总长度为 (2)铁丝不够用 【分析】本题考查算术平方根，掌握正方形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据正方形的面积公式即可得出答案； （2）求出长方形的长、宽，周长，再比较正方形的周长与长方形周长的大小关系即可． 【详解】（1）解：∵正方形面积为， ∴边长为， ∴周长为，即铁丝总长度； （2）解：设长方形长为，宽为，则面积为， 解得， ∴长为，宽为， ∴周长为，铁丝总长度为， ∵，，， ∴，故铁丝不够用 24．（8分）定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，=2，=3，=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (2)已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 【答案】(1)见解析，最小算术平方根是4，最大算术平方根是12 (2)1或100 【分析】此题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键． （1）根据“和谐组合”的定义分别求解算术平方根即可； （2）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，分别列方程求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ，8，18这三个数是“和谐组合”， 故最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （2）解：分三种情况：①当时，可得，解得：（舍去）， ②当时，可得，解得：，经检验符合题意， ③当时，可得，解得：，经检验符合题意． 综上所述，的值为1或100． 25．（10分）阅读理解： 同学们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部地写出来，于是小伟用来表示的小数部分，事实上，小伟的表示方法非常有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分，又如：，即，的整数部分是2，小数部分是． 请参考小伟思考问题的方法解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)如果的小数部分是a，的整数部分是b，求的值． (3)已知m是的整数部分，n是其小数部分，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)5 (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小和求代数式的值，能估算出无理数的大小是解此题的关键． （1）先估算出的范围，再求解即可； （2）先估算出和的范围，再求出、的值，最后求出代数式的值即可； （3）先求出的范围，再求出、的值，最后代入求出即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； （2）解：，， ，， ，， ； （3）解：， ， ，， ． 26．（10分）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1或3 【分析】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）参照题干材料进行猜想、验证，可得答案； （2）根据与互为相反数，可得与5互为相反数，由此可解； （3）将所给等式变形为，根据0，，1的立方根等于它本身，可得答案． 【详解】（1）解：因为，所以是两位数； 其次观察立方数．猜想个位数字是8； 接着将195112往前移动3位小数点后约为195，因为，，所以的十位数字应为5，于是猜想、验证，得195112的立方根是58； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到， 故答案为：． （2）解：， 与互为相反数， 与5互为相反数， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， 或， 解得或1或3． 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第八章 实数 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列各数是无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．若一个数的平方根是，则这个数是（   ） A．5 B．25 C． D． 3．下列结论正确的是（   ） ①在数轴上只能表示无理数； ②任何一个有理数都能用数轴上的点表示； ③实数与数轴上的点一一对应； ④两个无理数的和仍为无理数． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 4．若，则的平方根是（    ） A．3 B．－3 C．±2 D．±3 5．如图是两个面积为2的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正方形的边长为（   ）． A． B．2 C． D．4 6．数轴上点和点表示的数如图所示，且点与点关于点对称，则点表示的数是（　　） A． B． C． D． 7．若实数，则的值所在的范围是（    ） A． B． C． D． 8．在实数范围内，下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 10．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．下列说法中，不正确的有（   ） A． B．对100连续求根整数，3次之后结果为1 C．若，则所有满足题意的x的整数值的和为5 D．若对正整数a只需进行3次连续求根整数运算后结果变为1，则a的最大值为255． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．4的算术平方根是 ． 12．比较大小： ．（填“”“”或“”） 13．已知，则 ． 14．某正数m的两个不相等的平方根分别是和，则m为 ． 15．如图，若数轴上点，对应的实数分别为和，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于点（在点的右侧），则点对应的实数是 ． 16．规定一种新的运算，那 ． 17．已知a、b满足，则的值是 ． 18．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数时，该程序无法输出值，则的值为 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）计算： 20．（8分）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 21．（8分）请把下列各数的序号填入相应的集合中：①，②5.2，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧2005，⑨（每两个3之间的0依次多一个） (1)整数集合：{____________…}； (2)分数集合：{____________…}； (3)负有理数集合：{____________…}； (4)无理数集合：{____________…}． 22．（8分）已知某数的平方根是与，且的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的立方根． 23．（8分）在综合实践课上，小明用铁丝围成一个面积为正方形区域后，打算重新弯折铁丝，围成一个面积为的长方形区域，且长与宽之比为． (1)求原来正方形区域的边长及铁丝的总长度； (2)铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 24．（8分）定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，=2，=3，=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (2)已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 25．（10分）阅读理解： 同学们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部地写出来，于是小伟用来表示的小数部分，事实上，小伟的表示方法非常有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分，又如：，即，的整数部分是2，小数部分是． 请参考小伟思考问题的方法解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)如果的小数部分是a，的整数部分是b，求的值． (3)已知m是的整数部分，n是其小数部分，直接写出的值． 26．（10分）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $