第八章 实数题型过关专练 -2025-2026学年人教版七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】

第八章 实数 思维导图 【类型一】求一个数的平方根 1．9的平方根是（   ） A．3 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义，是解题的关键． 根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数． 【详解】解：∵， ∴ 9的平方根是． 故选：C． 2．下列说法正确的是（    ） A．16的平方根是4 B．0的平方根是0 C．81的平方根是－9 D．负数的平方根有两个 【答案】B 【分析】本题主要考查的是平方根和算术平方根的定义，掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键． 根据平方根的定义，正数有两个平方根，的平方根是，负数没有实数平方根，逐一判断即可. 【详解】解：A、的平方根是，而非仅，该选项说法错误，不符合题意； B、的平方根是，该选项说法正确，符合题意； C、的平方根是，而非仅，该选项说法错误，不符合题意； D、负数在实数范围内无平方根，该选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 3．若一个正数的算术平方根是，则这个正数的平方根是 ． 【答案】± 【分析】本题考查了算术平方根和平方根． 根据“算术平方根是指一个正数的正的平方根”即可求解． 【详解】解：∵一个正数的算术平方根是， ∴这个正数是， 故这个正数的平方根是． 故答案为：． 【类型二】求一个数的算术平方根 1．的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．规定：0的算术平方根是0．根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是， 故选：A． 2．的值是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，直接计算的算术平方根，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴的值是5， 故选：A． 3．的算术平方根是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了求算术平方根，先计算的值，再求其算术平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 故的算术平方根是， 故答案为：． 【类型三】求一个数的立方根 1．下列说法中错误的是（   ） A．9的算术平方根是3 B．4的平方根是 C．27的立方根为 D．立方根等于1的数是1 【答案】C 【分析】本题考查了对算术平方根，平方根，立方根的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 根据算术平方根，平方根，立方根的定义求出每个的值，再判断即可． 【详解】解：A．9的算术平方根是3，正确； B．4的平方根是，正确； C．27的立方根是3，不是，错误； D．立方根等于1的数是1，即若，则，正确． 故选C． 2．8的立方根为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴8的立方根为2， 故选：B． 3．若，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义，得到，进而得到的值，求出的值，再求出的值，然后根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得． ∴， ∴， ∴的立方根为：． 故答案为： ． 【类型四】无理数 1．古希腊数学家希帕索斯是最早发现无理数的人，下列各数中，为无理数的是（　　） A．0.121212 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数是无限不循环小数，判断各选项是否可表示为分数或整数． 【详解】A： 0.121212是有限小数，是有理数； B：不是完全平方数，则是无理数； C：是分数，是有理数； D：，是有理数． 故选：B． 2．无理数的发现，引发了首次数学危机，也引发了数学家们对无理数的深入研究．下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数，无限不循环小数是无理数，据此判断即可求解，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：、是有限小数，属于有理数，该选项不符合题意； 、，是整数，属于有理数，该选项不符合题意； 、是分数，属于有理数，该选项不符合题意； 、是无限不循环小数，是无理数，该选项符合题意； 故选：． 3．在数，，，，，， 中，无理数共有 个． 【答案】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开方开不尽才是无理数，无限不循环小数为无理数．根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：在数，，，，，， 中， 无理数有：，，共2个， 故答案为：2． 【类型五】实数的概念 1．实数的相反数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 根据相反数的含义以及求法，在实数的前边加上“”，求出实数的相反数即可． 【详解】解： 的相反数为，   故选： A． 2．实数是2025的（   ） A．绝对值 B．相反数 C．倒数 D．以上都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了实数及相反数，熟练掌握实数及相反数的意义是解题的关键；因此此题可根据相反数的意义进行求解 【详解】解：实数是2025的相反数； 故选：B ． 3．下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了实数的相关概念，无理数的概念，倒数的概念，绝对值的定义，解题的关键在于熟练掌握相关概念．根据相关概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：①实数分为有理数和无理数，故①错误； ②无限不循环小数叫作无理数，故②正确； ③，既不是正数也不是负数，故③错误； ④倒数等于它本身的数是，故④正确； ⑤开方开不尽的数是无理数，故⑤错误． 综上所述，正确的有②④， 故答案为：②④． 【类型六】实数比较大小 1．下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 通过计算或比较每个选项的数值或表达式，判断其正确性即可． 【详解】解：A、，，且， ， ， ，故该选项说法错误，不符合题意； B、∵ > ， ∴ ， ∴ ，该选项说法正确，符合题意； C、，，且， ，故该选项说法错误，不符合题意； D、∵ ， ∴ ，该选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 2．在，，，0这四个数中，最小的实数是（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据正数大于零，负数小于零，即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴四个数中，最小的实数是． 故选：B． 3．比较大小： （填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，可采用移项法，将被比较的式子变形，然后通过平方比较变形后两边正数的大小，从而得出原式的大小关系． 【详解】解：比较与的大小，即比较与的大小，也就是比较与的大小 ∵，，， ∴， 两边同时减去2，得， 即. 故答案为：． 【类型一】(算术)平方根、立方根的综合 1．的立方根与的算术平方根的和是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的运算，算术平方根，立方根，掌握实数的运算，算术平方根，立方根是解题的关键．先求出的立方根与的算术平方根，再求出其和即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是； ∵， ∴的算术平方根是， ∴． 故选：A． 2．一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是 ． 【答案】0 或 64 【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的定义，比较难，要想同时去掉二次根号和三次根号，必须在方程的两边同时6次方，即2和3的最小公倍数．在运算过程中要细心，防止在去根号时把指数弄错． 设这个数为x，根据已知条件即可列出关于x的方程，先在方程的两边同时6次方，去掉根号后，再解方程即可． 【详解】解：设这个数是， 则． 两边同时6次方，得， 即， ∴或， 或． 故答案为：0 或 64． 3．已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了立方根、平方根及算术平方根，熟知立方根、平方根及算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根，算术平方根的定义即可解决问题； （2）先求出的值，再结合平方根的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：的立方根是3， ， ， 的算术平方根是4， ， ∴； （2）解：当，时，， ∵36的平方根是， 的平方根是． 【类型二】实数中的数轴 1．如图，已知数轴上的点A，O，B，C，D分别表示数，0， 1，2，3，则表示数的点P应落在线段（　　） A．上 B．上 C．上 D．上 【答案】C 【分析】此题主要考查的是实数的比较大小，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解决此题的关键．先求出的取值范围，从而求出的取值范围，然后根据数轴即可得出结论． 【详解】解：， ，即， 由数轴可知表示的点应落在线段上． 故选：C． 2．已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，化简绝对值，整式的加减，利用绝对值的性质化简绝对值是解题的关键．根据点的位置，可得,，根据绝对值的性质化简绝对值，然后可得答案． 【详解】解：根据数轴可得，,， ∴ ∴ 故答案为：． 3．如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题考查了非负数的性质、算术平方根、求代数式的值、数轴上两点之间的距离，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上两点的间的距离公式计算即可得出结果； （2）由（1）可得，将其代入所求式子计算即可得出结果； （3）根据非负数的性质求出，，再求出的值，再根据算术平方根的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴ ； （3）解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴的算术平方根为． 【类型三】实数中的程序 1．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（   ） A．8 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算、算术平方根、立方根等知识点，理解流程图是解题的关键． 根据流程图进行计算，直至结果为无理数，即可输出结果． 【详解】解：按照流程依次输出：是有理数，是有理数；再次求算术平方根得是无理数，输出． 故选C． 2．如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入x为时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握算术平方根，立方根，有理数是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得∵， ∴，是有理数， ∵， ∴，是有理数， ∵， ∴，是无理数，可以输出， ∴， 故答案为：． 3．如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【答案】(1) (2)输入x的值可能是，理由见解析 (3)2或4 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的识别，正确理解题意是解题的关键． （1）先计算9的算术平方根，由结果为无理数则输出，若为有理数则把计算的结果作为新数输入再取算术平方根，直至结果为无理数输出即可； （2）运算无意义，则输入的数没有算术平方根，即输入的数为负数，据此可得答案； （3）第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为的平方，第二次取算术平方根后输出的结果为，则输入的数为的平方的平方，据此可得所有可能输入的数，进而得到答案． 【详解】（1）解：是有理数， 是无理数， ∴当输入x的值为9时，输出； （2）解：输入x的值可能是，理由如下： ∵运算无意义，即输入的数没有算术平方根， ∴输入的数为负数， ∴输入x的值可能是； （3）解：当第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为2， 当第二次取算术平方根后输出的结果为时，则第一次取算术平方根后的结果为2， ∴输入的数为， 同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为，……， ∴输入的数可以为2或4． 【类型四】利用平方根、立方根解方程 1．求下列各式中的x (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了平方根和立方根，关键是掌握一个正数有两个平方根． （1）首先两边同时除以4，再两边直接开平方； （2）首先两边直接开立方得：，再解方程． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 2．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了根据立方根和平方根解方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或 ， 或． （2）解：， ， ， ． 3．求x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求平方根和求立方根的方法是解题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以4，最后把方程两边同时开平方即可得到答案； （2）先把方程两边同时除以2，再把方程两边开立方得到一个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【类型五】(算术)平方根的应用 1．观察图1：每个小正方形的边长均是1，我们可以得到小正方形的面积为 (1)图1中阴影正方形的面积是______，并由面积求正方形的边长，可得边长 AB长为______； (2)在图2，正方形方格中，由题的解题思路和方法，设计一个方案画出长为的线段． (3)如图3，网格中每个正方形边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，则新正方形的边长是______． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，算术平方根，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 利用数形结合的思想解决问题即可； 利用一个面积为的正方形，正方形的边长为所求； 求出阴影部分的面积可得结论． 【详解】（1）解：阴影正方形的面积为四个正方形面积的一半 ∴边长为 故答案为：2，； （2）如图，线段即为所求； ∵大正方形的面积为，空白部分的面积为：， 故阴影部分的面积为：， 故阴影正方形的边长为：， 故为所求； （3）阴影部分的面积， 新正方形的边长 故答案为： 2．有边长分别为和的两个正方形，还有一个大正方形，其面积为这两个正方形的面积之和．那么，这个大正方形的边长是多少厘米？当，时，这个大正方形的边长又是多少厘米？ 【答案】，． 【分析】本题考查了算术平方根的应用，根据正方形面积公式，大正方形的面积等于两个小正方形面积之和，因此边长是面积的算术平方根，然后把，代入计算即可，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：由边长为的正方形面积为；边长为的正方形面积为； 所以大正方形的面积为； 所以大正方形的边长为， 当，时，； 故，时，这个大正方形的边长是． 3．已知自由落体运动公式．其中，是重力加速度，取，是物体降落的时间，是物体在时间t内降落的高度．如果，那么物体降落的时间t是多少秒？（结果精确到） 【答案】 【分析】题目主要考查算术平方根的实际应用，理解题意，代入数值计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 下落的时间为． 【类型六】立方根的应用 1．如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 【答案】(1)长、宽、高分别为，， (2) 【分析】此题主要考查了立方根的计算以及长方体体积公式，熟练掌握长方体体积公式是解题关键． （1）设长方体水池的长、宽、高分别为，，，根据题意体积为列出方程，然后利用立方根的定义求得的值后分别代入，中计算即可； （2）根据题意列式，利用立方根的定义求得的值并精确到即可． 【详解】（1）解：∵长方体水池的长、宽、高之比为2∶2∶4，其体积为， ∴设长方体水池的长、宽、高分别为，，， ， ， ， 解得， ，， 故长方体水池的长、宽、高分别为，，． （2）解：已知该小球的半径为， 则， ， ． 故该小球的半径约为． 2．熔铸工艺是将物料经高温熔化后，直接浇铸成为成品的方法．张师傅想要将一个长，宽，高的长方体铁块熔铸成一个正方体铁块，熔铸成的正方体铁块的棱长是多少分米？不计损耗 【答案】分米 【分析】本题考查认识立体图形，掌握长方体、正方体的形体特征以及体积的计算方法是正确解答的关键．根据熔铸前后的体积相等，求出长方体的体积，即正方体的体积，再根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：根据熔铸前后体积不变可得， 熔铸成的正方体铁块的棱长为（分米）， 答：熔铸成的正方体铁块的棱长是分米． 3．小林想测量一个铁球的半径，先将铁球放在一个圆柱形小水桶中，然后装满水，拿出铁球后，小水桶中水面下降了，量得小水桶的底面直径为，求铁球的半径．（球的体积公式为，r为球的半径） 【答案】铁球的半径为 【分析】本题主要考查了利用立方根解决几何问题，解题的关键是掌握立方根运算法则． 设铁球的半径为，根据球体的体积等于水下降的体积，列出方程，利用立方根求解即可． 【详解】解：设铁球的半径为，根据题意得， 铁球的体积， ， 解得， ∴铁球的半径为． 【类型一】估算无理数 1．下列整数中，与最接近的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算． 先估算出的取值范围，再减去2，进而作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与最接近的是3． 故选：C． 2．下列整数与的值最接近的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，通过比较与相邻整数的差，判断其最接近的整数. 【详解】解：， ， ， 又，，， 与更接近， 与的值最接近的是. 故选：C． 3．若为正整数，且满足，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数大小的估算，找到相邻的整数是关键．通过比较完全平方数，确定在哪两个相邻的整数之间即可． 【详解】解：，且， ， ． 故答案为：． 【类型二】实数中的规律问题 1．已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． 【答案】(1)； (2)；证明见解析 【分析】本题主要考查了实数的有关运算、数字变化的规律，能根据题意发现的变化规律是解题的关键． （1）分别求出，，根据定义即可求出，； （2）根据的规律猜想出的表达式，再利用裂项相消法证明该猜想． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，． （2）猜想：． 证明如下： ． 2．（1）观察发现： （） … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … 表格中________，________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向________移动________位； （3）规律运用： ①已知，则________； ②已知，，则________． 【答案】（1）0.1  10   （2）右  1   （3）①22.4  ②25 【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【详解】解：（1）由表格可知，，． （2）观察发现， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． （3）①从5到500，小数点向右移动了2位，所以算术平方根的小数点向右移动1位，即． ②由及（2）中的规律可知， 则 ∴ 即． 3．观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 【答案】(1)三；一 (2)①；②； (3)． 【分析】本题考查的知识点是算术平方根、立方根有关的规律探索问题，解题关键是由题意总结出规律． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】（1）解：结合表格内容得，被开方数的小数点向右（或左）移动三位，其立方根的小数点向右（或左）移动一位， 故答案为：三；一； （2）解：根据总结的规律可得：， ， 故答案为：①；②； （3）解：类比可得，被开方数的小数点移动两位，其平方根的小数点移动一位， ，， ． 【类型三】实数中的新定义问题 1．对于非负实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如，，． (1)计算：__________；__________； (2)若，则满足条件的的取值范围是__________． (3)如图，数轴上的点，表示的数分别为和，是数轴上一点，且点是的中点．设点表示的数为，求． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了实数的运算，实数与数轴，估算无理数的大小，理解符号表示不大于的最大整数是解题的关键． （1）先求出，，再根据符号表示不大于的最大整数求解即可； （2）先根据符号表示不大于的最大整数求出的取值范围，再求解即可； （3）根据数轴上两点间距离求出的值，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， 又∵符号表示不大于的最大整数， ∴； ∵， ∴， ∵符号表示不大于的最大整数， ∴； （2）∵， 又∵符号表示不大于的最大整数， ∴， ∴； （3）∵点，表示的数分别为和， ∴． ∵点表示的数为，点表示的数为，由数轴可知点在点的左边， ∴． ∵点是的中点， ∴， ， ， ， ∴点表示的数为． ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 2．在实数范围内定义运算“※”：，例如：． (1)若，，计算的值． (2)若，求x的值． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据，并代入，计算即可得出结果； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果； （3）根据，进行化简，再整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：由题意可得：， 整理可得：， 解得：； （3）解：∵， ∴ ． 3．定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数374，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 （1）三位数265、473、683是“极差数”的是_____． （2）最小的“极差数”是_____ 【建模推理】 （3）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为、、，则与、的关系式为_____； （4）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】（1）473（2）110（3）（4）能被11整除；理由见解析 【分析】（1）根据定义，计算解答即可． （2）根据百位数字=十位数字-个位数字，且百位数字最小为1，解答即可． （3）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为、、，根据定义，得； （4）根据自然数的数位表示法，结合被11整除的特点解答即可． 本题考查了自然数的特点，数位表示法，整除，熟练掌握数位表示，整数的特征是解题的关键． 【详解】（1）解：根据定义，得，故265不是“极差数”； ，故473是“极差数”； ，故683不是“极差数”； 故答案为：473； （2）解：根据定义，得百位数字=十位数字-个位数字，且百位数字最小为1， 且， 故最小的“极差数”是110， 故答案为：110． （3）解：根据定义，得， 故答案为：． （4）解：能被11整除 理由如下：设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a、b、c， 则这个极差数为 ∵ ∴ ∴这个极差数能被11整除． 【类型四】整数部分与小数部分 1．我们知道：，它是无限不循环小数，它的整数部分是3，可以用来表示它的小数部分，请根据上述方法解答： (1)的整数部分__________； (2)为的整数部分，为的小数部分，求解的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了无理数的估算． （1）先估算出所在的范围，进而作答即可； （2）先估算出所在的范围，进而求出的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2； 故答案为：2； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为， ∴， ∴． 2．阅读下面的文字： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1．将减去其整数部分1，所得的差，即就是其小数部分． 根据以上的内容，解答下面的问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)的整数部分是________，小数部分是________； (3)若设的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】(1)2   (2)4   (3) 【分析】本题考查了无理数的整数部分与小数部分的分离方法，掌握通过平方数比较确定无理数的取值范围是解题的关键． （1）通过平方数比较确定​的取值范围，从而得到其整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分； （2）先分别确定​和​的取值范围，相加后得到的范围，进而确定整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分； （3）先确定的取值范围，从而得到的范围，分离出整数部分和小数部分，再代入代数式计算． 【详解】（1）解：且 ∴的整数部分是；小数部分是． （2）解：，，且， ， ，，且， ， ， 的整数部分是，小数部分：． （3）解：， ， ，， ． 3．阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，所以，所以的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答： (1)求的整数部分和小数部分； (2)已知，其中是整数，且，请你确定、的值． 【答案】(1)的整数部分是，小数部分是 (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算． （1）由得到，即可求解； （2）由得到的整数部分与小数部分，即可解答． 【详解】（1）解：∵，所以， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是． （2）解：∵ ∴， ∴ ∴， ∴的整数部分是7，小数部分是， 所以． 【类型五】华罗庚口算立方根 1．据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速又准确地计算出来的吗？ (1)【发现与思考】因为，，，所以是两位数．因为的个位数字是，所以的个位数字是______．因为，，所以的十位数字是______，所以=______． (2)【运用并解决】类比上述的【发现与思考】，推理求出的立方根． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了求一个数的立方根； （1）根据推导过程即可完成填空； （2）结合（1）中的推导过程即可求解． 【详解】（1）解：因为的个位数字是，所以的个位数字是．因为，，所以的十位数字是，所以． 故答案为：；；． （2）解：，； 又； 是两位数； 的个位数字是； 的个位数字是． ，； 的十位数字是5． ． 2．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，你能确定是几位数吗？ (2)由59319的个位上的数是9，你能确定的个位上的数是几吗？ (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你能确定的十位上的数是几吗？ (4)已知17576，103823都是整数的立方，按照上述方法，你能确定它们的立方根吗？ 【答案】(1)两位数 (2)9 (3)3 (4)26；47 【分析】本题主要考查了立方根以及数的立方，正确理解题意是解题的关键． （1）根据59319大于1000而小于1000000，即可确定59319的立方根是两位数； （2）根据一个数的立方的个位上的数就是这个数的个位上的数的立方的个位上的数，据此即可确定； （3）根据数的立方的计算方法即可确定； （4）根据（1）（2）（3）即可得到答案． 【详解】（1）解：因为， 所以，所以是两位数； （2）解：只有个位数是9的立方数的个位数依然是9，所以的个位数是9； （3）解：因为，所以，即， 所以的十位上的数是3． （4）解：通过同样的方法可得，17576的立方根是两位数，17576的立方根的个位数字是6，十位数字是2，故17576的立方根是26；同理可得，103823的立方根是47． 3．据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出，得到正确答案．邻座乘客十分惊讶，忙问其中奥妙．华罗庚给出了如下的解题步骤： (1)由，因为，所以是________位数； (2)已知59319的个位上的数字是9，所以的个位上的数字是________； (3)如果划掉59319的后面三位319，得到59，而由，因为，所以的十位上的数字是________； (4)综上所述，________；已知，是整数的立方，请你仿照华罗庚的方法，计算：． 【答案】(1)两 (2)9 (3)3 (4)39；49 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根： （1）根据题意可得，则是两位数； （2）根据只有个位数字是的数的立方的个位数字是即可得到答案； （3）根据，即可得到的十位数字是， （4）根据前面所求可得；然后仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴是两位数， 故答案为：两； （2）解：∵的个位上的数是，只有个位数字是的数的立方的个位数字是， ∴的个位数字是； （3）解：如果划去后面的三位得到数，而，所以，即的十位数字是， 故答案为：3． （4）解；由（1）（2）（3）可知； 第一步：因为，，， 所以． 第二步：因为的个位上的数是9，只有个位数字是9的数的立方的个位数字是9，∴的个位数字是9． 第三步：如果划去后面的三位得到数，而，， ∵， ∴的十位数字是4， ∴． 故答案为：39；． 1．（25-26九年级上·重庆·月考）以下是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的识别，掌握有理数的定义是解决本题的关键． 整数和分数统称为有理数，据此进行判断即可． 【详解】解：A：是无理数，不符合题意； B：是无理数，不符合题意； C：是分数也是有理数，符合题意； D：中是无理数，则也是无理数，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级上·山西·月考）一个正数的两个不同的平方根分别是和，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查平方根的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，列出方程求解即可． 【详解】解：一个正数的两个不同的平方根分别是和，根据题意得： ， 即， 解得， 故选：B． 3．（25-26九年级上·重庆·月考）估计的值应在（    ） A．8到9之间 B．7到8之间 C．6到7之间 D．5到6之间 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数取值范围的估计，判断无理数在有理数之间的范围是解题的关键．首先通过估算的近似值，再确定的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则， ∴估计的值应在6到7之间． 故选：C． 4．（25-26八年级上·河南周口·月考）若我们约定：表示不大于x的最大整数，例如：，，，记，则的值为（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，实数的运算，无理数的估算等知识，理解题中新定义是关键；由新定义知，当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个，则中，共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5，由此即可求解． 【详解】解：， ， ， 当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个， 则中，共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5， ， ， 故选：B． 5．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）已知实数、在数轴上的位置如图所示，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查数轴的性质．熟悉实数在数轴上的位置与数的正负、绝对值的关系，以及有理数的加法法则，异号两数相加的符号判定，是解题的关键． 从数轴判断和的正负，以及绝对值的取值范围，利用有理数加法法则判断和的符号： 异号两数相加，和的符号由绝对值较大的数的符号决定，继而得出答案． 【详解】解：∵位于与之间，故是负数，且， 位于与之间，故是正数，且， ∵， ∴的符号与（正数）一致，即． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·浙江·月考）对于任意非零实数a，b，定义新运算“”：，，，，…，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义下的有理数的混合运算，乘方运算，解题的关键是总结出新定义的运算法则． 通过观察给定的例子，发现运算“⊕”满足关系式 ，代入，即可求解． 【详解】解：由定义，， 代入，， 得， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·山东青岛·月考）定义：一种对于三位数（其中在中，a在百位，b在十位，c在个位，a、b、c不完全相同）的“F运算”：重排的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差（允许百位数字为零），例如时，则经过大量运算，我们发现任意一个三位数经过若干次“F运算”都会得到一个固定不变的值：类比联想到：任意一个四位数经过若干次这样的“F运算”也会得到一个定值，这个定值为 ． 【答案】6174 【分析】本题主要考查了新定义在有理数的混合运算中的运用，读懂题意并选取相对简单的四位数是解题的关键． 设四位数为1000，再依次进行“F运算”即可得到这个定值． 【详解】解：∵任意一个四位数经过若干次这样的“F运算”也会得到一个定值， 设这个四位数为,， ∴最大数为，最小数为， ∴进行“F运算”得：， ∴这个定值一定是9的倍数， 可以以这个四位数为1000为例，依次进行“F运算”得： ①， ②， ③， ④， ⑤， ⑥ … ∵6174是9的倍数， ∴这个定值为6174， 故答案为：6174． 8．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）（1）计算：． （2）求式中x的值：． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查实数的混合运算、乘方、平方根、立方根，熟练掌握和运用运算法则是解题的关键． （1）分别算出乘方，算术平方根，立方根的值，最后算加减即可； （2）利用平方根定义即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）， 移项得，， 系数化为1得，， ， ， 9．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，已知点A表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B． (1)点B表示的数为______； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的算术平方根． 【答案】(1) (2)的算术平方根是3． 【分析】（1）根据A点表示的数及平移的方向与距离，列出算式求出B点表示的数； （2）先根据绝对值、算术平方根的非负性，求出c、d，再代入，求出的算术平方根． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B， ∴点B表示的数为， 故答案为：； （2）解：∵与互为相反数， ∴，， ∴，， ∴的算术平方根是， 即的算术平方根是3． 【点睛】本题考查了绝对值非负性，求一个数的算术平方根，利用算术平方根的非负性解题，实数与数轴，已知字母的值，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 10．（25-26七年级上·山东东营·月考）如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点表示的数为． (1)图中正方形的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值， (3)若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，如图所示，我们把点滚到与数轴上，记为第一次翻滚，点与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第三次翻滚，与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第四次翻滚，与数轴的交点记为，…，以此类推，请问点表示的数为多少？ 【答案】(1)正方形的面积为，正方形的边长为，这个值在3与4之间 (2) (3) 【分析】（1）先求得正方形的面积，再开方求得正方形的边长为，再根据，可得，从而可得这个值在3与4之间； （2）先根据，得出，从而可得，再代入求值即可； （3）先写出前几个，再找出规律，然后利用规律求解即可． 【详解】（1）解：正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∴这个值在3与4之间； （2）∵阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，， ∴， ∴， ∴ （3）∵点表示的数为，正方形的边长为， ∴把点滚到与数轴上，记为第一次翻滚，点与数轴的交点记为， ∴点表示的数为， ∵点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，与数轴的交点记为； ∴点表示的数为， ∵点翻滚到数轴上时，记为第三次翻滚，与数轴的交点记为， ∴点表示的数为， ∵点翻滚到数轴上时，记为第四次翻滚，与数轴的交点记为， ∴点表示的数为， … 以此类推， 点表示的数为． 【点睛】本题考查了无理数的大小估算，无理数整数部分的有关计算，图形类规律探索，实数与数轴等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）下列整数中与最接近的是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的大小估算．先整理，再结合，即，所以与最接近的整数是3，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即与最接近的整数是3， 故选：B． 2．（23-24七年级下·云南楚雄·期中）给出下列各数：，，，0，，，0.3131131113…，其中无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数的定义，求算术平方根， 首先计算算术平方根，然后根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断每个数． 【详解】解：，0，是有理数， ∴无理数有，，，，共4个． 故选：C． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，将边长为2的正方形各边四等分，把一长度为的绳子一端固定在点A处，并沿逆时针方向缠绕正方形，则另一端点E将落在下列哪条线段上（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的估算，由题意得到是解题的关键． 由题意可得，进而得到，再结合即可解答． 【详解】解：∵正方形的边长为2， ∴， ∴， ∵， ∴另一端点E将落在线段上． 故选：D． 4．（25-26七年级上·福建三明·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，取，则有，按此规律继续计算，则第2025次“F”运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，能通过计算发现从第5次“F”运算的结果开始，后面的第奇数次“F”运算输出的结果都是1，第偶数次“F”运算输出的结果都是4是解题的关键．根据题意，依次求出第1，2，3，4，…，次“F”运算的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵， ∴第1次“F”运算的结果为3，第2次“F”运算的结果为10，第3次“F”运算的结果为5，第4次“F”运算的结果为16，第5次“F”运算的结果为1，第6次“F”运算的结果为4，第7次“F”运算的结果为1，……， 由此可知，从第5次“F”运算的结果开始，后面的第奇数次“F”运算输出的结果都是1，第偶数次“F”运算输出的结果都是4， ∵2025是奇数， ∴2025次“F”运算的结果为1． 故选：A． 5．（25-26八年级上·四川巴中·期中）若，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，先根据绝对值和算术平方根的非负性求出m、n的值，然后代入计算，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）比较大小： （填入>、或）． 【答案】> 【分析】本题考查实数比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．计算两数的差，判断差正负，若差大于零，则被减数大；若差等于零，两数相等；若差小于零，则减数大． 【详解】解： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： >． 7．（25-26八年级上·湖南永州·期中）将按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则 ①表示的数是 ； ②与表示的两数的平方和为 ． 【答案】 【分析】先确定每行使用的自然数范围，再根据行数的奇偶性决定该行是递增还是递减排列． 【详解】①解：第1排： 第2排：，（从左到右依次增大） 第3排：，，（从左到右依次减小） 第4排：，，，（从左到右依次增大） 第5排：，，，，（从左到右依次减小） 奇数排（1，3，5，…）的数字从左到右是从大到小排列． 偶数排（2，4，…）的数字从左到右是从小到大排列． 数字是自然数开根号，不重复，顺序是连续填充的． 前m排数字的总个数：， 前一排（第排）的总个数是， 所以第m排的第1个数是序列中的第个数的平方根． 当 m为奇数时， 第m排有m个数，从左到右依次是：，，…，， 即最左是，最右是， 因此奇数排的第n个数（从左向右数）是：， 当m为偶数时， 第m排有m个数，从左到右依次是：，，…，， 即最左是，最右是， 因此偶数排的第 n个数是：， ，为偶数， ， 所代表的数为， 故答案为：； ②，为偶数，， ， ，为奇数，， ， 它们的平方和为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字类规律探索，用代数式表示数、图形的规律，用有序数对表示位置，求一个数的算术平方根解题关键是根据“蛇形”排列规则推导出第m排第n个数所对应的自然数序号． 8．（25-26八年级上·江西九江·期中）已知，的立方根是，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根及其非负性，立方根的计算，理解题意，掌握平方根，立方根的计算是关键． （1）根据算术平方根及其非负性，可得，可求出a的值，再由立方根的性质可得，可求出b的值，再估算出的大小，可求出c的值． （2）把代入，再根据平方根的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，解得：， ∵的立方根是， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴； （2）解：当时，， ∴的平方根为． 9．（25-26八年级上·广东深圳·期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去它的整数部分，差就是该数的小数部分，即的整数部分是1，小数部分是 (1)的整数部分是______，的小数部分是______； (2)数学中常用“比差法”比较两个数大小的方法，即： 例如：比较与2的大小． ，又， ， 请利用上述“比差法”，比较与3的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）仿照题干作答即可． 【详解】（1）解：，，而， ， 的整数部分是5，小数部分为， 故答案为：5，； （2）解：．理由： ． 又，且， ． ， 即． ． 10．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为．花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？可参考二次根式乘法法则，参考数据：， 【答案】(1)这块长方形空地的周长为160米 (2)宽度为米的农药喷洒车不能在走道上正常通行 【分析】本题考查了长方形和正方形的面积、周长计算，以及利用比例关系建立方程求解的能力，解题的关键是根据长宽比例设未知数，结合面积公式列方程求出边长，再通过边长关系计算走道宽度，判断车辆能否通行． （1）设长方形空地的长为米，则宽为米，根据面积为1500平方米列式，利用平方根的性质求出x，得到长方形空地的长和宽，然后即可计算周长； （2）设花坛2的宽为y米，则长为米，正方形花坛1的边长为米，根据总面积为1200平方米列式，利用平方根的性质求出y，计算出“T字型”走道的宽，进行比较即可． 【详解】（1）解：设长方形空地的长为米，则宽为米， 由题意得：，即， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴这块长方形空地的周长为米； （2）设花坛2的宽为米，则长为米，正方形花坛1的边长为米， 由题意得：，， 解得：（负值已舍去）， ∴花坛2的宽为米，正方形花坛1的边长为， ∵， ∴宽度为米的农药喷洒车不能在走道上正常通行． 1．（25-26八年级上·重庆·期末）下面四个数中属于无理数的是（     ） A．2 B． C． D．0.08 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义．无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①含的某些数；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，根据无理数的特征即可解答． 【详解】解：A、2是有理数，故本选项不符合题意； B、是无限循环小数，是有理数，故本选项不符合题意； C、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，是无理数，故本选项符合题意； D、0.08是有限小数，是有理数，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26七年级上·浙江衢州·期末）如图，通过计算，我们可以得到一系列越来越接近的近似值．类似地，可求得精确到十分位的近似值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，根据例题的方法估算出，再求近似数，即可求解． 【详解】解：∵，，则， ，，则， ∴，即精确到十分位的近似值是 故选：B． 3．（25-26八年级上·福建福州·期末）两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为32，图中阴影部分的面积为24，则每个长方形的周长为（   ） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了图形面积，平方根的运用，理解图示，正确表示出图形面积，平方根的计算是关键，根据题意设,，由此列式得到，根据周长的计算即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴设,， ∴， 整理得，， 解得，或（负值舍去）， ∴， ∴， 故选：C ． 4．（25-26七年级上·重庆大渡口·期末）定义新的运算：对于任意的有理数a，b，都有，，如，时，，．下列说法： ①若，则；②若，则；③若，则的最小值为7． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查新定义运算的理解和计算、代数式求值、解方程、绝对值最值等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据新定义运算法则、代数式求值、解方程、绝对值最值逐项判断即可． 【详解】解：①当时，， ， ∴成立，符合题意； ②化简方程：左边， 右边，则， 解得：，成立，符合题意； ③当时，，， 则可化为，表示数为 b的 点到表示数和3的点的距离之和，最小值为7，且当时取等号，符合题意； 综上三个说法都正确． 故选D． 5．（25-26八年级上·江西萍乡·期末）一个正数a的两个平方根是和，则a的值为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了平方根的应用掌握一个正数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，由此列出方程求解m，再代入即可求a的值． 【详解】解：∵正数a的两个平方根是和， ∴， 解得， ∴． 故答案为25． 6．（25-26七年级上·山东烟台·期末）若、为实数，且满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据非负数的性质，由列方程求出、的值，代入代数式，由乘方运算计算即可得到答案． 【详解】解：，且， ， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值非负性、算术平方根非负性、非负数和为零的条件、解方程、代数式求值、乘方运算等知识，熟记非负数和为零的条件是解决问题的关键． 7．（25-26八年级上·重庆綦江·期末）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相同且均不为0，满足，那么称这个数为“好运数”．例如：四位数7431, ∵74-43=31, ∴7431是“好运数”；四位数9642, ∵96-64≠42,．∴9642不是“好运数”．若一个“好运数”为，则这个数为 ；若一个“好运数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则这个“好运数”的最小值是 ． 【答案】 8532 5413 【分析】本题考查新定义下的有理数运算，解题的关键是分类讨论思想的应用，根据“好运数”的概念列方程求x，y的值，根据“好运数”的概念先求得，然后根据题意列出两个三位数之和，结合能被9整除的数的特征，分析满足条件的最小值． 【详解】解：（1）∵是“好运数”， ∴即， 由题意知x，y是互不相同且均不为0，范围均为1到9， ∴，， ∴这个数为8532； （2）由得即， ， ∴能被9整除，即是9的倍数， ∵a，b，c，d互不相等且均不为0，且a，b，c，d的范围均为1到9， ∴时取最小值， ∴当，时，，没有符合的c，d值； 当，时，，没有符合的c，d值； 当，时，，没有符合的c，d值； 当，时，，没有符合的c，d值； 当，时，，则，，故满足条件的数是5413； 当，时，，没有符合的c，d值； 当，时，，则，，故满足条件的数是7248； 当，时，，则，，故满足条件的数是8165； ∴满足条件的数的最小值是5413． 故答案为8532；5413． 8．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）（1）计算：； （2）求的值：． 【答案】（1）0；（2）或 【分析】本题考查了实数的加减运算与平方根、立方根运算，关键是掌握乘方、算术平方根、立方根的运算法则． （1）先分别计算、、的结果，再按有实数加减运算法则依次计算； （2）对等式两边直接开平方，得到两个一元一次方程，再分别解这两个一元一次方程，得到原方程的解． 【详解】（1）解： ； （2）解：对两边开平方，得， 当时，解得； 当时，解得； 故或． 9．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）【阅读理解】阅读下列解题过程： 例：若代数式，求的取值范围． 解：原式． 当时，原式， 解得（舍去）； 当时，原式，等式恒成立； 当时，原式，解得． 综上所述，的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：； (2)若，求的值； (3)请直接写出满足的a的取值范围为_____． 【答案】(1)4 (2)或4 (3) 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根、解绝对值方程，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）先计算算术平方根，再根据a的取值范围去绝对值即可求解． （2）仿照题意先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求解． （3）仿照题意先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）∵， ∴， 当时，， 解得， 当时，，此时方程无解； 当时，， 解得； 综上所述，的值为或4． （3）解：∵， ， 当时，原式， 解得， 当时，原式，等式恒成立； 当时，原式， 解得（舍去）， 综上所述：a的取值范围为． 10．（22-23七年级下·辽宁大连·期末）据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，可以确定是______位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是______，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定、59319的十位上的数字是______； (2)已知32768，都是整数的立方，按照上述方法，请你分别求它们的立方根． 【答案】(1)两，9，3； (2)32，； 【分析】（1）按照求立方根三步走，求位数，求个位，求十位推算即可； （2）按照题给方法，依次推算即可； 【详解】（1）∵ ∴ 是两位数 ∵ 的个位上的数是 9 ∴ 的个位上的数字是 9 ∵划去59319后面的三位 319 得到数 59 ， ∴ 的十位上的数字是 3 故答案是：两，9，3 ； （2）①求 32768 的立方根 ∵ ∴ 的立方根是两位数 ∵ 个位数是 8 ∴ 的立方根个位数是 2 ∵ ∴ 的立方根十位数是 3 综合可得 32768 的立方根是 32 ②求立方根 ∵ ∴ 的立方根是两位数 ∵ 个位数是 5 ∴ 的立方根个位数是 5 ∵ ∴274625的立方根十位数是6 ∴274625的立方根65 ∴的立方根是 【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握一些常用整数的立方值有助于快速判断立方根的整数范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 实数 思维导图 【类型一】求一个数的平方根 1．9的平方根是（   ） A．3 B．3 C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．16的平方根是4 B．0的平方根是0 C．81的平方根是－9 D．负数的平方根有两个 3．若一个正数的算术平方根是，则这个正数的平方根是 ． 【类型二】求一个数的算术平方根 1．的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 2．的值是（   ） A．5 B． C． D． 3．的算术平方根是 ． 【类型三】求一个数的立方根 1．下列说法中错误的是（   ） A．9的算术平方根是3 B．4的平方根是 C．27的立方根为 D．立方根等于1的数是1 2．8的立方根为（   ） A． B．2 C． D．4 3．若，则的立方根是 ． 【类型四】无理数 1．古希腊数学家希帕索斯是最早发现无理数的人，下列各数中，为无理数的是（　　） A．0.121212 B． C． D． 2．无理数的发现，引发了首次数学危机，也引发了数学家们对无理数的深入研究．下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 3．在数，，，，，， 中，无理数共有 个． 【类型五】实数的概念 1．实数的相反数是（   ） A．2 B． C． D． 2．实数是2025的（   ） A．绝对值 B．相反数 C．倒数 D．以上都不正确 3．下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是 （填序号）． 【类型六】实数比较大小 1．下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在，，，0这四个数中，最小的实数是（    ） A． B． C． D．0 3．比较大小： （填“”、“”或“”） 【类型一】(算术)平方根、立方根的综合 1．的立方根与的算术平方根的和是（   ） A． B． C．或 D． 2．一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是 ． 3．已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【类型二】实数中的数轴 1．如图，已知数轴上的点A，O，B，C，D分别表示数，0， 1，2，3，则表示数的点P应落在线段（　　） A．上 B．上 C．上 D．上 2．已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简： ． 3．如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根． 【类型三】实数中的程序 1．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（   ） A．8 B． C． D．2 2．如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入x为时，输出的值是 ． 3．如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【类型四】利用平方根、立方根解方程 1．求下列各式中的x (1) (2) 2．解方程： (1)； (2)． 3．求x的值： (1)； (2)． 【类型五】(算术)平方根的应用 1．观察图1：每个小正方形的边长均是1，我们可以得到小正方形的面积为 (1)图1中阴影正方形的面积是______，并由面积求正方形的边长，可得边长 AB长为______； (2)在图2，正方形方格中，由题的解题思路和方法，设计一个方案画出长为的线段． (3)如图3，网格中每个正方形边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，则新正方形的边长是______． 2．有边长分别为和的两个正方形，还有一个大正方形，其面积为这两个正方形的面积之和．那么，这个大正方形的边长是多少厘米？当，时，这个大正方形的边长又是多少厘米？ 3．已知自由落体运动公式．其中，是重力加速度，取，是物体降落的时间，是物体在时间t内降落的高度．如果，那么物体降落的时间t是多少秒？（结果精确到） 【类型六】立方根的应用 1．如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 2．熔铸工艺是将物料经高温熔化后，直接浇铸成为成品的方法．张师傅想要将一个长，宽，高的长方体铁块熔铸成一个正方体铁块，熔铸成的正方体铁块的棱长是多少分米？不计损耗 3．小林想测量一个铁球的半径，先将铁球放在一个圆柱形小水桶中，然后装满水，拿出铁球后，小水桶中水面下降了，量得小水桶的底面直径为，求铁球的半径．（球的体积公式为，r为球的半径） 【类型一】估算无理数 1．下列整数中，与最接近的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列整数与的值最接近的是（    ） A． B． C． D． 3．若为正整数，且满足，的值是 ． 【类型二】实数中的规律问题 1．已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． 2．（1）观察发现： （） … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … 表格中________，________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向________移动________位； （3）规律运用： ①已知，则________； ②已知，，则________． 3．观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 【类型三】实数中的新定义问题 1．对于非负实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如，，． (1)计算：__________；__________； (2)若，则满足条件的的取值范围是__________． (3)如图，数轴上的点，表示的数分别为和，是数轴上一点，且点是的中点．设点表示的数为，求． 2．在实数范围内定义运算“※”：，例如：． (1)若，，计算的值． (2)若，求x的值． (3)若，求的值． 3．定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数374，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 （1）三位数265、473、683是“极差数”的是_____． （2）最小的“极差数”是_____ 【建模推理】 （3）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为、、，则与、的关系式为_____； （4）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【类型四】整数部分与小数部分 1．我们知道：，它是无限不循环小数，它的整数部分是3，可以用来表示它的小数部分，请根据上述方法解答： (1)的整数部分__________； (2)为的整数部分，为的小数部分，求解的值． 2．阅读下面的文字： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1．将减去其整数部分1，所得的差，即就是其小数部分． 根据以上的内容，解答下面的问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)的整数部分是________，小数部分是________； (3)若设的整数部分是，小数部分是，求的值． 3．阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，所以，所以的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答： (1)求的整数部分和小数部分； (2)已知，其中是整数，且，请你确定、的值． 【类型五】华罗庚口算立方根 1．据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速又准确地计算出来的吗？ (1)【发现与思考】因为，，，所以是两位数．因为的个位数字是，所以的个位数字是______．因为，，所以的十位数字是______，所以=______． (2)【运用并解决】类比上述的【发现与思考】，推理求出的立方根． 2．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，你能确定是几位数吗？ (2)由59319的个位上的数是9，你能确定的个位上的数是几吗？ (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你能确定的十位上的数是几吗？ (4)已知17576，103823都是整数的立方，按照上述方法，你能确定它们的立方根吗？ 3．据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出，得到正确答案．邻座乘客十分惊讶，忙问其中奥妙．华罗庚给出了如下的解题步骤： (1)由，因为，所以是________位数； (2)已知59319的个位上的数字是9，所以的个位上的数字是________； (3)如果划掉59319的后面三位319，得到59，而由，因为，所以的十位上的数字是________； (4)综上所述，________；已知，是整数的立方，请你仿照华罗庚的方法，计算：． 1．（25-26九年级上·重庆·月考）以下是有理数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山西·月考）一个正数的两个不同的平方根分别是和，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 3．（25-26九年级上·重庆·月考）估计的值应在（    ） A．8到9之间 B．7到8之间 C．6到7之间 D．5到6之间 4．（25-26八年级上·河南周口·月考）若我们约定：表示不大于x的最大整数，例如：，，，记，则的值为（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 5．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）已知实数、在数轴上的位置如图所示，则 ．（填“>”“<”或“=”） 6．（25-26七年级上·浙江·月考）对于任意非零实数a，b，定义新运算“”：，，，，…，则 ． 7．（25-26七年级上·山东青岛·月考）定义：一种对于三位数（其中在中，a在百位，b在十位，c在个位，a、b、c不完全相同）的“F运算”：重排的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差（允许百位数字为零），例如时，则经过大量运算，我们发现任意一个三位数经过若干次“F运算”都会得到一个固定不变的值：类比联想到：任意一个四位数经过若干次这样的“F运算”也会得到一个定值，这个定值为 ． 8．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）（1）计算：． （2）求式中x的值：． 9．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，已知点A表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B． (1)点B表示的数为______； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的算术平方根． 10．（25-26七年级上·山东东营·月考）如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点表示的数为． (1)图中正方形的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值， (3)若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，如图所示，我们把点滚到与数轴上，记为第一次翻滚，点与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第三次翻滚，与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第四次翻滚，与数轴的交点记为，…，以此类推，请问点表示的数为多少？ 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）下列整数中与最接近的是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24七年级下·云南楚雄·期中）给出下列各数：，，，0，，，0.3131131113…，其中无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，将边长为2的正方形各边四等分，把一长度为的绳子一端固定在点A处，并沿逆时针方向缠绕正方形，则另一端点E将落在下列哪条线段上（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·福建三明·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，取，则有，按此规律继续计算，则第2025次“F”运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．16 5．（25-26八年级上·四川巴中·期中）若，则的平方根为 ． 6．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）比较大小： （填入>、或）． 7．（25-26八年级上·湖南永州·期中）将按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则 ①表示的数是 ； ②与表示的两数的平方和为 ． 8．（25-26八年级上·江西九江·期中）已知，的立方根是，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 9．（25-26八年级上·广东深圳·期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去它的整数部分，差就是该数的小数部分，即的整数部分是1，小数部分是 (1)的整数部分是______，的小数部分是______； (2)数学中常用“比差法”比较两个数大小的方法，即： 例如：比较与2的大小． ，又， ， 请利用上述“比差法”，比较与3的大小． 10．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为．花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？可参考二次根式乘法法则，参考数据：， 1．（25-26八年级上·重庆·期末）下面四个数中属于无理数的是（     ） A．2 B． C． D．0.08 2．（25-26七年级上·浙江衢州·期末）如图，通过计算，我们可以得到一系列越来越接近的近似值．类似地，可求得精确到十分位的近似值是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·福建福州·期末）两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为32，图中阴影部分的面积为24，则每个长方形的周长为（   ） A．12 B．18 C．24 D．36 4．（25-26七年级上·重庆大渡口·期末）定义新的运算：对于任意的有理数a，b，都有，，如，时，，．下列说法： ①若，则；②若，则；③若，则的最小值为7． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（25-26八年级上·江西萍乡·期末）一个正数a的两个平方根是和，则a的值为 ． 6．（25-26七年级上·山东烟台·期末）若、为实数，且满足，则的值为 ． 7．（25-26八年级上·重庆綦江·期末）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相同且均不为0，满足，那么称这个数为“好运数”．例如：四位数7431, ∵74-43=31, ∴7431是“好运数”；四位数9642, ∵96-64≠42,．∴9642不是“好运数”．若一个“好运数”为，则这个数为 ；若一个“好运数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则这个“好运数”的最小值是 ． 8．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）（1）计算：； （2）求的值：． 9．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）【阅读理解】阅读下列解题过程： 例：若代数式，求的取值范围． 解：原式． 当时，原式， 解得（舍去）； 当时，原式，等式恒成立； 当时，原式，解得． 综上所述，的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：； (2)若，求的值； (3)请直接写出满足的a的取值范围为_____． 10．（22-23七年级下·辽宁大连·期末）据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，可以确定是______位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是______，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定、59319的十位上的数字是______； (2)已知32768，都是整数的立方，按照上述方法，请你分别求它们的立方根． 学科网（北京）股份有限公司 $