第七章 相交线与平行线题型过关专练 -2025-2026学年人教版七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】

第七章 相交线与平行线 思维导图 【类型一】对顶角与邻补角 1．下列图形中，与互为邻补角的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各图中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线，相交于点．若，则 °． 【类型二】垂线的定义 1．过点向线段所在直线作垂线段，作图正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，下列线段的长度与点C到所在直线的距离相等的是线段（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线、相交于点，，．若，则用含的代数式表示为 ． 【类型三】同位角、内错角、同旁内角 1．下列各图中，和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，与是（   ） A．直线，被直线所截形成的内错角 B．直线，被直线所截形成的内错角 C．直线，被直线所截形成的内错角 D．直线，被直线所截形成的内错角 3．如图，和是直线 ， 被直线 所截得的 角；和是直线 ， 被直线 所截得的 角；直线AC，BC被直线AB所截得的同旁内角是 ． 【类型四】平行线的概念 1．下列图形表示平面内直线的是（   ） A． B． C． D． 2．下列图片中，不包含平行线的是（   ） A．双杠 B．电梯扶手 C．彩虹 D．拉直的电线 3．已知直线AB和直线外一点P，过点P作直线与AB平行，这样的直线有 条． 【类型五】真假命题 1．下列命题中是真命题的是（   ） A．若，则， B．若，则 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．不相交的两条直线是平行线 2．下列各命题是假命题的是（    ） A．两个锐角之和一定是钝角 B．同角的余角相等 C．平行同一直线的两条直线平行 D．两直线平行，同旁内角互补 3．下列命题中，是真命题的是 ．（填序号） 同位角相等；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；两个锐角之和一定是钝角． 【类型六】题设与结论 1．命题“两直线平行，同位角相等”的条件是（ ） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线不平行 D．同位角不相等 2．命题“如果，那么”的条件是（   ） A． B． C． D． 3．命题“两个相等的角是平行线的内错角”中的题设是 ，结论是 ． 【类型七】公理与定理 1．下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．对顶角相等 B．同角的余角相等 C．三角形两边之和大于第三边 D．同位角相等，两直线平行 2．下列语句中，属于定理的是（    ） A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．内错角相等 D．同角的补角相等 3．下列命题可以作定理的有 个． ①2与6的平均值是8；②能被3整除的数能被6整除；③5是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数仍是等式． 【类型八】图形的平移 1．下列现象：温度计中，液柱的变化；电梯上下运动；钟摆的摆动；小方块在水平地面滑动，属于平移的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．下列古文字中，能用其中一部分平移得到的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，将一个周长为的沿射线方向平移到的位置，（点、、分别与点、、对应），若四边形周长为，则平移的距离为 ． 【类型一】平行的性质——同位角 1．如图，直线，直线与相交，若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 2．如图，，；若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，、、是四边形的个外角，若，则 ． 【类型二】平行的性质——内错角 1．如图，在中，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知点C在上，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线，含角的直角三角尺按图所示的方式放置．若，则的度数为 ． 【类型三】平行的性质——同旁内角 1．如图，，，则（   ） A．80° B．100° C．50° D．130° 2．如图，，直线与、分别交于点、，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G．若，，则的度数是 ． 【类型四】平行的判定——同位角 1．如图，直线AB，CD分别与EF相交于点G，H．已知，．试说明：． 解：因为   （ ）， ， 所以 ． 又因为 ， 所以 ． 所以（ ）． 2．如图，已知点在上，平分平分． (1)求证：； (2)若，求证：． 3．如图所示，平分，平分，且，试说明与的位置关系． 【类型五】平行的判定——内错角 1．如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （    ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 2．如图，，，若，则吗？为什么？ 3．如图，在中，于点，是上一点． (1)若，，求证：； (2)若，吗？为什么？ 【类型六】平行的判定——同旁内角 1．如图所示， 由，可判断直线， 理由是___________． 由___________，可判断直线， 理由是___________． 由___________，可判断直线， 理由是___________． 2．完成下面的证明：已知：如图．平分，平分，且．判断与是否平行，并说明理由． 3．如图，点为直线上一点，，，平分，．证明：． 【类型七】平移作图 1．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，三角形的顶点都在方格纸格点上．将三角形先向左平移2格，再向上平移4格．    (1)请在方格纸中画出平移后的三角形； (2)求出线段扫过的图形的面积． 2．如图，网格图中小方格都是边长为1个单位长度的小正方形． (1)请画出将三角形向右平移5个单位长度后的图形．连接各对对应点，并指出相等的线段． (2)请指出图中（包括新画出的）所有互相平行的线段． (3)请指出三角形和其平移后的图形中相等的角． 3．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长都为，将按照某方向经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点． (1)画出平移以后的； (2)连接，，则这两条线段的关系是______； (3)求线段在平移过程中扫过区域的面积？ 【类型一】平移的阴影部分问题 1．如图，这是人民公园里一处风景欣赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（   ） A．62米 B．82米 C．88米 D．102米 2．如图，在一块长为、宽为的长方形地面上，有一条弯曲的柏油马路，马路的任何地方的水平宽度都是，其他部分都是草地，则草地的面积为 ． 3．如图，公园里有一个长方形湖泊，湖上架有一座观景桥(桥墩忽略不计)．已知湖泊长米，宽米，桥面的宽度为米．公园管理人员计划在湖内喂养金鱼，每平方米水面投放条金鱼．求： (1)这座桥的面积是多少？ (2)管理员准备投放多少条金鱼？ 【类型二】三角板(尺)问题 1．【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，． (1)在上述所拼图形中，的度数为 °． (2)【问题探究】在上述所拼图形基础上，让三角尺固定不动，将三角尺绕着点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为，在旋转过程中，请求出当时t的值． (3)【拓展延伸】在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出的值． 2．亲爱的同学们，学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问题．如图①所示的是一副三角尺，，，，． (1)将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点与点重合，点在上，与相交于点，求的度数； (2)如图③，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，与相交于点，则与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图④，将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点重合．当点在直线的下方时，探究这两个三角尺一组边互相平行的情况，并直接写出所有可能的度数． 3．【实践与探究】 在校园科技节上，宁宁同学用一副三角板，做模拟机器人机械手臂的实验．用三角板模拟可任意伸展方向的机械臂，，，；用另一块三角板模拟固定关节底座，，．他用直线和直线模拟机器人机械手臂安装的基准线，其中，将三角板平稳放置，使边在直线上，就像机械臂的基座固定在平台上，再调整三角板的位置，使三角板的顶点C落在直线上．在模拟机械臂的运动过程中，他遇到了一系列有趣的问题： (1)当两块三角板按图1的位置摆放时，点C，E，A，D在同一直线上，则三角板的边与所成的 °； (2)为了更深入探究机械臂多角度运动，他将三角板绕点C逆时针转动一定角度，设三角板的边与三角板的边相交于点O． ①如图2，当转动三角板到的位置时，求的度数； ②如图3，在转动过程中，他还发现的值为定值，请求出这个定值； (3)如图4，将直线向上平移一定距离，以点C，A，E，D四点共线为初始位置，继续将三角板绕点C逆时针转动，直到边与模拟基准线首次重合时，三角板停止运动．在这个转动过程中，设的度数为，那么当取何值时，三角板的边与三角板的边平行？请直接写出符合条件的的值． 【类型三】平行线中的折线模型 1．【问题情境】如图①，若，，，过点P作，则________； 问【题迁移】如图②，，点P在的上方，点E，F分别在，上，连接，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】如图③，在【问题迁移】的条件下，若，，的反向延长线与交于点G，则与的数量关系是________． 2．请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明： (1)如图①，已知，求证：．证明：过点P作， ∵，∴______（两直线平行，内错角相等）， ∵，，∴（______）， ∴______（______），∴（等量代换） (2)如图②，，根据上面的推理方法，直接写出______． (3)如图③，，若，，，，则______（用含x、y、z的代数式表示） 3．已知直线，点，分别在直线，上，点是与之间任意一点，连接，．直线，分别交，于点，． (1)如图1，求证：； 若，，则______（用含，的式子表示）； (2)如图2，在直线上取一点，连接交直线于点；设，若；求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，在（2）的条件下，作平分，平分．若，，直接写出的度数． 【类型四】旋转平行球t问题 1．如图所示，在中，．初始时，点B、C位于直线上．现围绕点B，以每秒的速度顺时针转动t秒，．旋转过程中，始终保持GH过顶点A且． (1)如图①，若，当时，求的度数； (2)已知图形在旋转秒后同时满足以下两个条件：①；②．请判断的形状，并给出证明过程． (3)若，探索在旋转过程中与之间的数量关系． 2．如图，直线，分别交、于M、N两点，射线、分别从、同时开始绕点M顺时针旋转分别与直线交于E、F两点，射线每秒转，射线每秒转，、分别平分、，设旋转的时间为t秒． (1)①__________，__________°（用含t的代数式表示）， ②当时，__________； (2)当时，求t的值． 3．除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒． (1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由． 【类型五】平行线中的数量关系与角平分线 1．如图，，点，分别在直线，上，在平行线、之间有一动点，满足． (1)①如图1，、、的数量关系为 ； ②如图，、、的数量关系为 ． (2)如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则 ． ②猜想与的数量关系，并说明理由． ③如图，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，此次类推，则与的数量关系是 ． 2．如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点，满足． (1)试问，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线，之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论：如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为______________________，如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为______________________． (2)如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 3．问题情境：如图，，定点E，F分别在直线，上，在平行线，之间有一个动点P，满足．求，，满足的数量关系． 思路点拨：由于点P是平行线，之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论，过点P作的平行线，通过平行线的性质推出，，的数量关系． (1)问题解决：如图1，当点P在的左侧时，写出，，满足的数量关系_____；如图2，当点P在的右侧时，写出，，满足的数量关系______． (2)问题迁移：如图3，、分别平分和，且点P在左侧． ①若，则的度数为_______； ②猜想与的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，以此类推，直接写出与满足的数量关系． 【类型六】新定义问题 1．定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线上，、在直线的上方，且，钝角的“割补线”记为． (1)若，则的度数是______； (2)若恰好平分，求的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，判断与的数量关系，并说明理由． 2．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“t系数补角”．例如，，有，则是的“5系数补角”． 备用图如下： (1)若，在中，的“3系数补角”是 ； (2)若比的2倍多，且是的“4系数补角”，求的度数； (3)在平面内，，点E为直线AB上一点，点F为直线CD上一点．点G为平面内一点，连接GE，GF，，若是的“6系数补角”，请将图形补充完整，并求的大小． 3．新定义：如果，则叫做的“和谐角”．已知：，点E、F是直线、任意两点上，，， (1)【操作发现】 如图1，小丽发现是的“和谐角”，你同意小丽的说法吗？并说明理由 (2)【探索证明】 如图2，点M、N在直线、上，H在线段上，连接，线段的延长线交延长线于Q，小明发现，当，是的“和谐角”时，和是互补的．你同意小明的说法吗？并说明理由 (3)【拓展应用】 ①如图3，点M、N在直线、上，，过E作交直线于G，当是的“和谐角”时，直接写出的度数 ． ②如图4，将图3 中线段平移到的右侧，，过E作交直线于G，请画出图形，当和是“和谐角”时，求的度数． 1．（25-26八年级上·浙江嘉兴·月考）要说明命题“若，则”是假命题，可以举的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）下列图形中，和不是同位角的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·山西·月考）如图，平行于主光轴的光线，经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上的一点P．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·江苏常州·月考）如图，已知A，O，B三点在同一直线上，且平分，平分，下列结论：①；②与互余；③与互补；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，直线，相交于点，将量角器的中心与点重合，发现表示的点在直线上，表示的点在直线上，则 ． 6．（25-26七年级上·上海·月考）如图，将三角形沿射线平移后能与三角形重合（点、分别与点、对应），如果的长为，点在边上，且，则边长的取值范围为 ． 7．（24-25七年级下·四川泸州·月考）如图，，，分别是直线，之间的点，连接，，，，已知，，当时，的度数为 ． 8．（25-26七年级上·河南南阳·月考）如图，直线与相交于． (1)若，判断与的位置关系，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 9．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，点D，B分别在上，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 10．（25-26七年级上·重庆万州·月考）如图1，由线段，，，组成的图形像“∑”形，称为“∑形”． (1)如图2，在“∑形”中，若，，求出的度数． (2)如图3，连接，若，，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图4，在（2）的条件下，当点M在线段的延长线上从上向下移动时，请直接写出与之间所有可能满足的数量关系． 1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）下列语句不是命题的为（ ） A．你饿了吗？ B．线段的垂线有无数条 C．两点之间，线段最短 D．相等的角一定是对顶角 2．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，，直线分别与、交于点、．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在三角形中，，，，.将三角形沿直线向右平移2个单位长度得到三角形，连接．给出下列结论：①，；②；③四边形的周长是16；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，将正方形、正方形、正方形放入长方形中，其中，，已知长方形的周长和中间正方形的边长，将图中四块阴影部分记为甲、乙、丙、丁，则下列可以求出的是（    ） ①乙的周长；②甲、乙的周长和；③丙、丁的周长差；④甲、乙、丙、丁的周长和 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 5．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，直线，若°，则的度数为 ； 6．（25-26七年级上·北京·期中）如图，木条与被木条所截若使木条与平行，木条过点逆时针旋转的度数是 ．（旋转度数在与之间） 7．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，点M、N在直线上，点G在直线上，点H在直线、之间，连接交于点K，连接交于点J，交于点P；连接，当时，下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的结论是 ．（填序号） 8．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）如图，已知直线与相交于点，平分，． (1)求和的度数； (2)求的度数． 9．（25-26八年级上·广西贺州·期中）如图，已知，，垂足分别为点，，且． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 10．（25-26七年级上·云南红河·期中）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． (1)如图一，已知，，请说明． 解：分别过点C，D作，． 因为 ① ，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以 ② ． 则，即 ③ ． 由 ④ ，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． (2)【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小． 1．（25-26七年级上·上海虹口·期末）二方连续纹样是指一个单位图案沿上下或左右方向连续排列所形成的横式或纵式带状纹样．以下四个纹样中，属于二方连续纹样的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）判断命题“如果那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的x可以为（    ） A．2 B． C．0 D． 3．（25-26七年级上·辽宁本溪·期末）如图是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线，其中反射角与入射角相等，于点O．若平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，，M是平面内一点，连接MB，MC，的平分线与的平分线交于点N．若，则的度数为（   ） A．30° B．40° C．50° D．60° 5．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，直线与相交于点O，，则的邻补角的度数是 ． 6．（25-26七年级上·重庆北碚·期末）如图，平分，过点作于点，与的平分线和交于点．若，则 （用含的代数式表示）；若，则 ． 7．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，与相交于点，连接．则（1）与的位置关系是 ；若三角形的面积比三角形的面积大，则（2） ． 8．（25-26七年级上·山西长治·期末）当前市民的环保意识越来越强，很多人租用共享单车出行．如图是某品牌共享单车放在水平地面的几何示意图，其中，都与地面l平行，，，若，求的度数． 9．（25-26七年级上·甘肃天水·期末）如图，在四边形中，A、B分别是线段、上一点，连接、．已知，． (1)线段、平行吗？为什么？ (2)若平分，于点E，，求的度数． 10．（25-26七年级上·四川攀枝花·期末）小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图1，已知 ，，，则 ； (2)如图2，已知，平分，平分，、所在直线交于点E，若，，求 的度数； (3)将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若，，请你求出的度数（用含α，β的式子表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 相交线与平行线 思维导图 【类型一】对顶角与邻补角 1．下列图形中，与互为邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据邻补角的定义，判断两个角是否满足三个条件：①有一条公共边；②另一边互为反向延长线；③两角之和为． 【详解】解：A、与没有公共边，不满足邻补角的条件，不符合题意； B、与的另一边不互为反向延长线，不满足邻补角的条件，不符合题意； C、与有一条公共边，另一边互为反向延长线，且两角之和为，符合邻补角的定义，符合题意； D、与 的另一边不互为反向延长线，且角度和不是，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了邻补角的定义，解题关键是抓住邻补角的两个核心特征：“相邻”（有公共边）和“互补”（和为 ，且另一边互为反向延长线）． 2．下列各图中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对顶角的概念及识别，掌握对顶角的概念，图形结合分析是解题的关键．根据对顶角的概念“一个角的两边分别是另一个角的反向延长线”即可求解． 【详解】解：A：没有公共顶点，不是对顶角，故A错误，不符合题意； B：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故B错误，不符合题意； C：根据概念可知和互为对顶角，故C正确，符合题意； D：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故D错误，不符合题意； 故选：C． 3．如图，直线，相交于点．若，则 °． 【答案】40 【分析】观察图形可知，与是邻补角，根据邻补角的性质，两角之和为，结合题目给出的角度的关系，先求出的度数，再利用对顶角相等的性质作答． 【详解】解：∵与是邻补角， ∴． 已知 ，代入上式得： ∴． ∵与是对顶角，根据对顶角相等， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了知识点邻补角的性质和对顶角的性质，解题关键是利用邻补角的和为建立方程求出的度数，再通过对顶角相等得到的度数． 【类型二】垂线的定义 1．过点向线段所在直线作垂线段，作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图复杂作图，垂线，注意垂线和垂线段的区别是解题关键． 根据垂线的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、所作直线过点，但不与垂直，作图错误，不符合题意； B、所作直线与垂直，但不经过点，作图错误，不符合题意； C、所作直线过点，且与垂直，但作的是垂线，不是垂线段，作图错误，不符合题意； D、所作直线是过点，且与垂直的垂线段，作图正确，符合题意． 故选：D． 2．如图，下列线段的长度与点C到所在直线的距离相等的是线段（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点到直线的距离的定义，掌握点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度是解题的关键．先明确点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线所作垂线段的长度，再找到点C到的垂线段，对比选项中线段的长度是否与该垂线段相等． 【详解】解：根据点到直线的距离的定义，点C到所在直线的距离，是从C向所作垂线段的长度， 观察图形，，因此的长度就是点C到的距离． 故选：D． 3．如图，直线、相交于点，，．若，则用含的代数式表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的和差关系、对顶角相等以及垂线的性质，熟练掌握垂直的定义，对顶角与邻补角的性质是解题的关键．根据，，，可得，，再根据垂直的性质可得，最后由，代入相应角即可解答． 【详解】解：，， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【类型三】同位角、内错角、同旁内角 1．下列各图中，和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同位角的概念，熟练掌握同位角的概念是解题的关键； 根据同位角的概念分析是否为同位角即可． 【详解】解：已知同位角的定义：两条直线被第三条直线所截时，在截线同侧，且在被截两直线同一方向的位置上形成的两个角； A、两角不在截线同侧，不是同位角，不符合题意； B、图中所标两角不是两条直线被第三条直线所截得到的，不符合题意； C、符合同位角定义，符合题意； D、图中所标两角不是两条直线被第三条直线所截得到的，不符合题意； 故选：C ． 2．如图，与是（   ） A．直线，被直线所截形成的内错角 B．直线，被直线所截形成的内错角 C．直线，被直线所截形成的内错角 D．直线，被直线所截形成的内错角 【答案】B 【分析】本题考查了内错角的识别，掌握根据角的边确定截线和被截直线，再结合内错角的位置特征判断是解题的关键． 先确定与的边，找出截线和被截直线，再根据内错角的定义判断． 【详解】解：的两边为，的两边为，则： 截线：； 被截直线：； 这两个角在截线的两侧，且夹在与之间，符合内错角的定义， 因此，与是直线被直线所截形成的内错角． 故选：B． 3．如图，和是直线 ， 被直线 所截得的 角；和是直线 ， 被直线 所截得的 角；直线AC，BC被直线AB所截得的同旁内角是 ． 【答案】 AB CD BE 同位 AB CD AC 内错 和 【分析】此题主要考查了三线八角，解题的关键是掌握同位角的边构成““形，内错角的边构成““形，同旁内角的边构成“”形． 根据同位角、内错角：同旁内角的定义分别进行分析即可． 【详解】解：如图，和是直线，被直线所截得的同位角；和是直线，被直线所截得的内错角；直线，被直线所截得的同旁内角是和． 故答案为：①；②；③；④同位；⑤；⑥；⑦；⑧内错；⑨和． 【类型四】平行线的概念 1．下列图形表示平面内直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的定义，逐一判断每个选项中的图形是否符合“直线与平行”的条件． 【详解】解：A、是曲线，不是直线，不满足平行线的定义，不符合题意； B、与是两条不相交的直线，符合平行线的定义，符合题意； C、和都是曲线，不是直线，不符合题意； D、与相交且形成直角，是互相垂直的直线，不是平行线，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了知识点平行线的定义，解题关键是准确识别图形中的线是否为直线，以及是否满足“不相交”的条件． 2．下列图片中，不包含平行线的是（   ） A．双杠 B．电梯扶手 C．彩虹 D．拉直的电线 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线，解题关键是熟练掌握平行线的定义． 根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，观察各个选项中的图形，进行判断即可． 【详解】解：A、双杠的两根横杠在同一平面内且永不相交，是平行线，不符合题意； B、电梯扶手在同一平面内且永不相交，是平行线，不符合题意； C、彩虹是弧形的，并不是直线，不满足平行线是直线的条件，所以不包含平行线，符合题意； D、拉直的电线在同一平面内且永不相交，是平行线，不符合题意； 故选：C． 3．已知直线AB和直线外一点P，过点P作直线与AB平行，这样的直线有 条． 【答案】1 【分析】本题是对平行公理的考查，熟记公理是解题的关键． 根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，即可得到答案． 【详解】解：由平行公理可知，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. 故答案为：． 【类型五】真假命题 1．下列命题中是真命题的是（   ） A．若，则， B．若，则 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．不相交的两条直线是平行线 【答案】B 【分析】本题考查了判断命题真假，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 根据不等式的性质、等式的性质、平行线的性质、平面内两直线的位置关系逐项分析即可得解． 【详解】解：A、取，则但，该选项说法错误，是假命题，不符合题意； B、若，则两边平方得，该选项说法正确，是真命题，符合题意； C、只有当两条直线平行时，内错角才相等，该选项说法错误，是假命题，不符合题意； D、不相交的两条直线可能不在同一平面（如异面直线），不一定是平行线，该选项说法错误，是假命题，不符合题意； 故选：B． 2．下列各命题是假命题的是（    ） A．两个锐角之和一定是钝角 B．同角的余角相等 C．平行同一直线的两条直线平行 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】A 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．选项A错误，因为两个锐角之和不一定为钝角，可能为锐角或直角；选项B、C、D均为真命题，符合几何性质． 【详解】解：A、两个锐角之和可能小于（如），不一定为钝角，是假命题，符合题意； B、同角的余角相等，是真命题，不符合题意； C、平行于同一直线的两条直线平行，是真命题，不符合题意； D、两直线平行，同旁内角互补，是真命题，不符合题意； 故选：A． 3．下列命题中，是真命题的是 ．（填序号） 同位角相等；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；两个锐角之和一定是钝角． 【答案】 【分析】本题考查了判断命题真假，逐一判断各命题的真假：同位角相等需两直线平行才成立，否则不真；符合平行公理，正确；两个锐角之和可能为锐角、直角或钝角，不一定为钝角，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：对于命题，同位角相等的前提是两直线平行，否则不一定相等，因此是假命题； 对于命题，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题； 对于命题，锐角定义是小于的角，两个锐角之和可能小于（如，仍为锐角）、等于（如，为直角）或大于但小于（如，为钝角），因此不一定为钝角，是假命题， 故答案为：． 【类型六】题设与结论 1．命题“两直线平行，同位角相等”的条件是（ ） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线不平行 D．同位角不相等 【答案】A 【分析】本题主要考查命题与定理的知识，难度适中，解题的关键是：先将原命题改写成：如果…，那么…的形式． 改写成“如果…那么…”的形式，如果后面的文字就是条件． 【详解】解：命题“两直线平行，同位角相等”改写为如果两直线平行，那么同位角相等， 所以条件是两直线平行， 故选：A． 2．命题“如果，那么”的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查命题的结构组成，在命题“如果P，那么Q”中，P是条件，Q是结论，据此即可解答． 【详解】解：∵命题是“如果，那么 ”， ∴ 条件部分是， 故选A． 3．命题“两个相等的角是平行线的内错角”中的题设是 ，结论是 ． 【答案】 两个相等的角 这两个角是平行线的内错角 【分析】本题考查命题，解题的关键是能分清一个命题的题设与结论． 命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．该命题可以改写成“如果…那么…”的形式，从而确定题设和结论． 【详解】解：将命题“两个相等的角是平行线的内错角”改写成“如果两个角相等，那么它们是平行线的内错角”， 所以题设是“两个相等的角”，结论是“这两个角是平行线的内错角”． 故答案为：两个相等的角，这两个角是平行线的内错角． 【类型七】公理与定理 1．下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．对顶角相等 B．同角的余角相等 C．三角形两边之和大于第三边 D．同位角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】此题考查了公理，公理是不需要证明的基本命题，在初中数学中，“同位角相等，两直线平行”通常作为平行线的判定公理，而其他选项均为定理，可由公理推导． 【详解】解：公理是数学体系中公认的基本事实，无需证明； 选项A“对顶角相等”可通过等角的补角相等证明，是定理； 选项B“同角的余角相等”可通过角的定义和等量代换证明，是定理； 选项C“三角形两边之和大于第三边”可由“两点之间线段最短”公理证明，是定理； 选项D“同位角相等，两直线平行”在初中教材中作为平行线的判定公理使用，是公理． 故选：D． 2．下列语句中，属于定理的是（    ） A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．内错角相等 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】本题考查定理的判断，掌握定理、命题的定义是关键． 根据定理的概念，逐一进行判定即可． 【详解】解：A、在直线AB上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，原命题是假命题，故不是定理，不符合题意； C、选项中“内错角相等”缺少“两直线平行”的前提条件，是假命题，故不是定理，不符合题意； D、同角的补角相等，是定理，符合题意． 故选：D． 3．下列命题可以作定理的有 个． ①2与6的平均值是8；②能被3整除的数能被6整除；③5是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数仍是等式． 【答案】2/两 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理． 首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到①、②、③是假命题，④、⑤是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：①2与6的平均值是4，故此命题是假命题，不是定理； ②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理； ③把5代入方程，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理； ④三角形的内角和为，是经过证明的是真命题，故是定理； ⑤等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理； 综上所述：③和④是定理，共2个． 故答案为：2． 【类型八】图形的平移 1．下列现象：温度计中，液柱的变化；电梯上下运动；钟摆的摆动；小方块在水平地面滑动，属于平移的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了平移的定义与性质，熟记平移不改变图形形状与大小是解决问题的关键．根据平移的定义与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：温度计中，液柱的变化：液柱热胀冷缩，长度改变，点之间的相对位置变化，不是平移； 电梯上下运动：电梯整体移动，所有点移动相同距离，是平移； 钟摆的摆动：钟摆沿弧线运动，有旋转，不是平移； 小方块在水平地面滑动：小方块整体滑动，所有点移动相同距离（假设无旋转），是平移． 属于平移的是和， 故选：D． 2．下列古文字中，能用其中一部分平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移，平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，据此求解即可． 【详解】解：A、选项中的甲骨文不能用其中一部分平移得到，不符合题意； B、选项中的甲骨文不能用其中一部分平移得到，不符合题意； C、选项中的甲骨文不能用其中一部分平移得到，不符合题意； D、选项中的甲骨文能用其中一部分平移得到，符合题意； 故选：D． 3．如图，将一个周长为的沿射线方向平移到的位置，（点、、分别与点、、对应），若四边形周长为，则平移的距离为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质得到，，结合三角形和四边形的周长进行求解即可，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵沿射线方向平移到的位置， ∴，， ∵四边形的周长为， ∴， ∴， ∵周长为，即， ∴， ∴， 即平移的距离为， 故答案为：2． 【类型一】平行的性质——同位角 1．如图，直线，直线与相交，若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键. 根据两直线平行同位角相等的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．如图，，；若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，邻补角． 由，可得，结合已知可得，由，可得，从而可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 3．如图，、、是四边形的个外角，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，如图，过点作交于点，过点作交于点，得到，，，，推出，然后由可得答案．解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等． 【详解】解：如图，过点作交于点，过点作交于点， ∴，， ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【类型二】平行的性质——内错角 1．如图，在中，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质． 根据两直线平行，内错角相等得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，已知点C在上，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得，同理求出的度数，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故选：C 3．如图，直线，含角的直角三角尺按图所示的方式放置．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 如图，过点作的平行线，根据平角的定义结合可求出的度数，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，通过角度的和差关系求出的度数；最后根据平行于同一直线的两直线平行，以及两直线平行，内错角相等可求出的度数． 【一题多解法】如图，过点作的平行线，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，结合角度的和差关系求出的度数；最后根据平行于同一直线的两直线平行，以及两直线平行，内错角相等可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作的平行线． ，， ． ， ． ， ． ，， ， ． 故答案为：． 【一题多解法】 如图，过点作的平行线， ． ， ． ，， ， ． 故答案为：． 【类型三】平行的性质——同旁内角 1．如图，，，则（   ） A．80° B．100° C．50° D．130° 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质定理和判定定理，能熟记平行线的性质定理和判定定理是解此题的关键. 求出，根据平行线的判定定理得出，根据平行线的性质定理得出，再求出 即可. 【详解】解：如图          ， ， ， ， ， . 故选：B． 2．如图，，直线与、分别交于点、，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，角平分线定义解答即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G．若，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键． 根据平行线的性质，即“两直线平行，同旁内角互补”，由此可求解与的度数，再根据由此可求解． 【详解】解：，， ，． ，， ，， ． 故答案为：． 【类型四】平行的判定——同位角 1．如图，直线AB，CD分别与EF相交于点G，H．已知，．试说明：． 解：因为   （ ）， ， 所以 ． 又因为 ， 所以 ． 所以（ ）． 【答案】 对顶角相等 同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定与对顶角的性质，掌握利用对顶角相等转化角度，得到相等的同位角，从而判定两直线平行是解题的关键． 先利用对顶角相等的性质，将转化为，再结合已知的度数，得到与相等，最后根据同位角相等，两直线平行的判定定理，证明． 【详解】解：（对顶角相等）， ， ， 又， （ 同位角相等，两直线平行）． 2．如图，已知点在上，平分平分． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是角平分线的定义及平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键， （1）根据角平分线的定义结合平角定义得出，即可证明结论； （2）先证明，得出，再证明，得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：平分平分， ， ， ， ， ； （2）证明：平分平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 3．如图所示，平分，平分，且，试说明与的位置关系． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质，平行线的判定；由平分，平分，根据角平分线的性质可得，，由，可得，根据同位角相等，两直线平行即可证得结论． 【详解】解： 平分，平分， ，， ， ， ． 【类型五】平行的判定——内错角 1．如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （    ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 【答案】90，垂直的定义，，，，， 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是平行线的性质与判定定理． 首先得到，然后由得到，即可得到． 【详解】证明：∵，（已知） ∴（垂直的定义） 又∵（已知） ∴（等式的性质） 即 ∴（内错角相等，两直线平行） 2．如图，，，若，则吗？为什么？ 【答案】；理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据题意先证明，结合，得出，即可求解． 【详解】解：．理由如下： 因为，， 所以，， 所以． 因为， 所以， 所以． 3．如图，在中，于点，是上一点． (1)若，，求证：； (2)若，吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，垂直的定义，解题的关键是掌握以上知识点 （1）根据题意得到，进而证明； （2）根据题意，进而得到，进而证明． 【详解】（1）证明：∵ ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵ ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【类型六】平行的判定——同旁内角 1．如图所示， 由，可判断直线， 理由是___________． 由___________，可判断直线， 理由是___________． 由___________，可判断直线， 理由是___________． 【答案】内错角相等，两直线平行；B；同旁内角互补，两直线平行；B；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握三个判定是解决问题的关键． 【详解】解：由，可判断直线， 理由是内错角相等，两直线平行． 由，可判断直线， 理由是同旁内角互补，两直线平行． 由，可判断直线， 理由是同位角相等，两直线平行． 2．完成下面的证明：已知：如图．平分，平分，且．判断与是否平行，并说明理由． 【答案】；理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．根据题中思路解答即可． 【详解】解：．理由如下： 因为平分（已知）， 所以（角平分线的定义）． 因为平分（已知）， 所以（角的平分线的定义）， 所以（等式的性质）． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同旁内角互补两直线平行）． 3．如图，点为直线上一点，，，平分，．证明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定定理，角平分线与垂直的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．利用角平分线的定义与垂直的定义求出，从而得出，即可由平行线的判定定理得出结论． 【详解】证明：， ， ， ， 平分， ， ， ． 【类型七】平移作图 1．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，三角形的顶点都在方格纸格点上．将三角形先向左平移2格，再向上平移4格．    (1)请在方格纸中画出平移后的三角形； (2)求出线段扫过的图形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)线段扫过的图形的面积是32 【分析】此题主要考查了平移变换和三角形的高，利用图形的面积之和是解题关键． （1）分别将点A、B、C向左平移2格，再向上平移4格，得到点、、，然后顺次连接； （2）先画出平移过程，可得线段扫过的图形的面积，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求；      （2）解：线段扫过的图形的面积 ， 答：线段扫过的图形的面积是32． 2．如图，网格图中小方格都是边长为1个单位长度的小正方形． (1)请画出将三角形向右平移5个单位长度后的图形．连接各对对应点，并指出相等的线段． (2)请指出图中（包括新画出的）所有互相平行的线段． (3)请指出三角形和其平移后的图形中相等的角． 【答案】(1)画图见解析，和，和，和，、和 (2)和，和，和，、和 (3)和，和，和 【分析】本题考查了平移作图，平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，解题的关键是： （1）先找出A、B、C向右平移5个单位长度后的对应点D、E、F，如何顺次连接即可，再根据平移的性质求解即可； （2）根据平移的性质求解即可； （3）根据平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 相等的线段有：和，和，和，、和； （2）解：互相平行的线段：和，和，和，、和； （3）解：三角形和其平移后的图形中相等的角有：和，和，和． 3．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长都为，将按照某方向经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点． (1)画出平移以后的； (2)连接，，则这两条线段的关系是______； (3)求线段在平移过程中扫过区域的面积？ 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3)20 【分析】本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据平移的性质可得答案． （3）求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由平移得，这两条线段的关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等． （3）解：线段在平移过程中扫过区域的面积为． 【类型一】平移的阴影部分问题 1．如图，这是人民公园里一处风景欣赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（   ） A．62米 B．82米 C．88米 D．102米 【答案】B 【分析】本题考查生活中的平移现象，根据平移的性质得出所走路程为即可． 【详解】解：∵是长方形， ∴米， 由平移的性质可知，从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（米）， 故选：B． 2．如图，在一块长为、宽为的长方形地面上，有一条弯曲的柏油马路，马路的任何地方的水平宽度都是，其他部分都是草地，则草地的面积为 ． 【答案】300 【分析】本题考查有理数混合运算，生活中的平移现象，化曲为直是解决此题的关键． 根据图形的特点，可以把小路的面积看作是一个底是1米，高是15米的平行四边形，根据平行四边形的面积=底×高，长方形的面积=长×宽，用长方形的面积减去小路的面积即可． 【详解】解：由题意可得，草地的面积为， 故答案为：300． 3．如图，公园里有一个长方形湖泊，湖上架有一座观景桥(桥墩忽略不计)．已知湖泊长米，宽米，桥面的宽度为米．公园管理人员计划在湖内喂养金鱼，每平方米水面投放条金鱼．求： (1)这座桥的面积是多少？ (2)管理员准备投放多少条金鱼？ 【答案】(1)平方米 (2)条 【分析】本题考查有理数的混合运算的实际应用，平移的性质，正确计算是解题的关键． （1）观景桥经过平移，根据“长方形面积=长×宽”，桥的面积是用长方形湖泊的面积减去长是米，宽是米的长方形面积，即可解答； （2）用湖泊的面积乘每平方米投放金鱼的条数即可； 【详解】（1）解： （平方米）， ∴这座桥的面积是平方米； （2）（条）， ∴管理员准备投放条金鱼． 【类型二】三角板(尺)问题 1．【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，． (1)在上述所拼图形中，的度数为 °． (2)【问题探究】在上述所拼图形基础上，让三角尺固定不动，将三角尺绕着点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为，在旋转过程中，请求出当时t的值． (3)【拓展延伸】在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出的值． 【答案】(1)75 (2)12或 (3)或15 【分析】（1）根据平角的定义求解即可； （2）根据的位置分类讨论，列出等式求解即可； （3）根据与边平行的边不同分类讨论，根据平行线的性质进行求解即可． 本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，平角的定义，熟练掌握旋转性质，平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ， ∴； 故答案为：75． （2）解：当和重合时，，则， 当和重合时，，则， 当和重合时，，则， ①当时，，， ∴， 解得：； ②当时，， ∴， 解得：； ③当时，， ∴，t无解； 综上所述，或． （3）解：当和重合时，，则， ∴转动过程中，， ①当时，， ∴， ∴， 即， 解得：； ②当时，， ∴， ∴， 即， 解得：； ③当时，， ∴和重合， ∴， 即， 解得：； 当时，，且位于下面，不符合题意，舍去； 综上所述，或15． 2．亲爱的同学们，学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问题．如图①所示的是一副三角尺，，，，． (1)将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点与点重合，点在上，与相交于点，求的度数； (2)如图③，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，与相交于点，则与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图④，将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点重合．当点在直线的下方时，探究这两个三角尺一组边互相平行的情况，并直接写出所有可能的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)角度所有可能的值是或或或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）过点作，根据同旁内角互补可得，由平行线性质可知，，代入中即可求解． （2）过点作，根据平行线的性质可得， ，，进而可得． （3）当；；；；五种情况时，分别讨论即可． 【详解】（1）解：过点作，如图2所示： 依题意得：，，， ∴， ∴， 由平行线性质可知，， ∴． （2）解：，理由如下： 过点作，如图3所示， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴． （3）解：角度所有可能的值是或或或或， 理由如下：依题意有以下5种情况： ①当时，如图4①所示： 则， ∴； ②当时，如图4②所示： 则， ∴； ③当时，如图4③所示： 则； ④当时，如图4④所示： 则， ∴， ∴； ⑤当时，设与交于点，如图4⑤所示： 则， ∴， ∴． 综上所述：角度所有可能的值是或或或或． 3．【实践与探究】 在校园科技节上，宁宁同学用一副三角板，做模拟机器人机械手臂的实验．用三角板模拟可任意伸展方向的机械臂，，，；用另一块三角板模拟固定关节底座，，．他用直线和直线模拟机器人机械手臂安装的基准线，其中，将三角板平稳放置，使边在直线上，就像机械臂的基座固定在平台上，再调整三角板的位置，使三角板的顶点C落在直线上．在模拟机械臂的运动过程中，他遇到了一系列有趣的问题： (1)当两块三角板按图1的位置摆放时，点C，E，A，D在同一直线上，则三角板的边与所成的 °； (2)为了更深入探究机械臂多角度运动，他将三角板绕点C逆时针转动一定角度，设三角板的边与三角板的边相交于点O． ①如图2，当转动三角板到的位置时，求的度数； ②如图3，在转动过程中，他还发现的值为定值，请求出这个定值； (3)如图4，将直线向上平移一定距离，以点C，A，E，D四点共线为初始位置，继续将三角板绕点C逆时针转动，直到边与模拟基准线首次重合时，三角板停止运动．在这个转动过程中，设的度数为，那么当取何值时，三角板的边与三角板的边平行？请直接写出符合条件的的值． 【答案】(1)15 (2)①  ② (3)30，75，120 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）根据三角板和平行线的性质得出的度数； （2）①根据平行线的性质和邻补角计算即可；②过点作，根据平行线的性质得出； （3）分①当时，②当时，③当时，三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：在和中，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①在中，， ， ， ； ②． 理由如下：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为定值，定值是； （3）解：①当时，点在同一条直线上， ， ； ②当时， ∵，即， 又 ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ③当时，如图， ， ， ； 综上，在旋转的过程中，当或 75 或 120 时，三角板的边与三角板的一条边平行． 【类型三】平行线中的折线模型 1．【问题情境】如图①，若，，，过点P作，则________； 问【题迁移】如图②，，点P在的上方，点E，F分别在，上，连接，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】如图③，在【问题迁移】的条件下，若，，的反向延长线与交于点G，则与的数量关系是________． 【答案】问题情境：；问题迁移：，理由见解析；问题拓展： 【分析】本题考查角的和差，平行线的判定及性质，正确作出辅助线，运用平行线的判定及性质求解是解题的关键． 问题情境：根据平行线的判定可得，从而得到，，再由角的和差即可求解； 问题迁移：过点P作，得到，因此，，根据角的和差即可解答； 问题拓展：过点P作，过点G作，则，因此，从而．再由，得到，，进而有，即可得出． 【详解】解：【问题情境】∵，， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【问题迁移】，理由如下： 过点P作， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 【问题拓展】过点P作，过点G作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴． ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 2．请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明： (1)如图①，已知，求证：．证明：过点P作， ∵，∴______（两直线平行，内错角相等）， ∵，，∴（______）， ∴______（______），∴（等量代换） (2)如图②，，根据上面的推理方法，直接写出______． (3)如图③，，若，，，，则______（用含x、y、z的代数式表示） 【答案】(1)，平行于同一条直线的两条直线平行，，两直线平行，内错角相等 (2) (3) 【分析】本题主要考查平行线的性质，外角的性质，作出合适的辅助线，将待求角恰当分割是解题的关键． （1）根据平行线的性质证明即可； （2）先过点作，过点作，再根据平行线的性质，利用同旁内角即可求出答案； （3）先延长交于点，延长交于点，再根据平行线的性质，以及外角的性质，进行计算以及变形即可得出答案． 【详解】（1）证明：过点P作， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． 故答案为：，平行于同一条直线的两条直线平行，，两直线平行，内错角相等． （2）解：如图， 过点作，过点作， ，． ， ， ， ． 故答案为：． （3）解：如图③， 延长交于点，延长交于点， ， ． ，， 即，， ， 即， ． 故答案为：． 3．已知直线，点，分别在直线，上，点是与之间任意一点，连接，．直线，分别交，于点，． (1)如图1，求证：； 若，，则______（用含，的式子表示）； (2)如图2，在直线上取一点，连接交直线于点；设，若；求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，在（2）的条件下，作平分，平分．若，，直接写出的度数． 【答案】(1) 证明过程见解析； (2)； (3)的度数为． 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的有关计算，几何图形中角度计算问题． （1）由平行线的性质，可得，，等量代换，即可证得结论；作，由平行线的性质，可得，，结合已知，等量代换，即可得； （2）延长，交于点，由平行线的性质，可得，，由邻补角，结合已知，等量代换可得，，即可得； （3）由（1）得，由（2）得，结合已知可得，由角平分线的定义可得，，设，，则，，可得，作，由平行线的性质可得，，可得，结合已知，即可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴． 解：如图，作，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：如图，延长，交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． （3）解：由（2）得， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 设，，则，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图，作，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 【类型四】旋转平行球t问题 1．如图所示，在中，．初始时，点B、C位于直线上．现围绕点B，以每秒的速度顺时针转动t秒，．旋转过程中，始终保持GH过顶点A且． (1)如图①，若，当时，求的度数； (2)已知图形在旋转秒后同时满足以下两个条件：①；②．请判断的形状，并给出证明过程． (3)若，探索在旋转过程中与之间的数量关系． 【答案】(1)70° (2)直角三角形；证明见解析 (3)或． 【分析】本题考查了平行线的性质． （1）延长交于D，根据时间求出，根据补角的定义求出，根据三角形内角和求出，根据平行线的性质求出即可； （2）根据平行线的性质以及三角形内角和求解即可； （3）延长交于D，根据C在左右分类讨论，根据平行线的性质以及三角形内角和求解即可． 【详解】（1）解：延长交于D，如图： ， ， ， ， ， ， ； （2）直角三角形， 证明：， ， ，， ，， ， ， 为直角三角形； （3）延长交于D， 当C在左侧时，如图： ， ， ， ， ， ； 当C在右侧时，如图： ，， ，， ， ， ； 综上所述，或． 2．如图，直线，分别交、于M、N两点，射线、分别从、同时开始绕点M顺时针旋转分别与直线交于E、F两点，射线每秒转，射线每秒转，、分别平分、，设旋转的时间为t秒． (1)①__________，__________°（用含t的代数式表示）， ②当时，__________； (2)当时，求t的值． 【答案】(1)①，；②； (2)当E在N左侧时，；当E在N右侧时，． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线，解答的关键是对这些知识点的掌握与熟练应用． （1）①根据题意可得出，，； ②根据平行线的性质，可得，再结合是的平分线，即可求解； （2）由平行线的性质可得，再由，可得，从而可得，结合所给的条件，即可求解； 【详解】（1）①由题意得：，， ∵，， ∴； 故答案为：，； ②∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴当时，； 故答案为：70°； （2）①当点E在N左侧时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②当点E在N右侧时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 综上：当E在N左侧时，；当E在N右侧时，． 3．除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒． (1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在某一时刻，使得，此时 (2)存在某一时刻，使得，此时 (3)存在某一时刻，使得，此时或27 【分析】（1）根据题意得：，连接，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （2）根据题意得：，设射线交于点G，过点G作，则，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （3）分两种情况讨论：当和相遇前时；当和相遇后时，结合一元一次方程解答即可． 【详解】（1）解：存在， 根据题意得：， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时； （2）解：存在， 根据题意得：， 如图，设射线交于点G，过点G作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时； （3）解：存在， 根据题意得：，， 当和相遇前时，， ∴， 解得：； 当和相遇后时，， ∴， 解得：； 综上所述，存在某一时刻，使得，此时或27． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，解题的关键在充分利用数形结合和分类讨论思想进行解答． 【类型五】平行线中的数量关系与角平分线 1．如图，，点，分别在直线，上，在平行线、之间有一动点，满足． (1)①如图1，、、的数量关系为 ； ②如图，、、的数量关系为 ． (2)如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则 ． ②猜想与的数量关系，并说明理由． ③如图，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，此次类推，则与的数量关系是 ． 【答案】(1)①；② (2)①；②，见解析；③ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）①过点作，根据平行线的性质即可解决问题； ②过点作，则，得，，然后求解作答即可； （2）①由（1）可知，，则，作，则，，，根据，计算求解即可； ②由①的结论，整理作答即可； ③由②可知，，同理可得，，，由角平分线可推导一般性规律为，由，可得，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：①如图1，过点作， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 故答案为：； ②如图，过点作，则， ，， ， ， ； 故答案为：； （2）①由（1）可知，， ， ，分别平分和， ，， ， 如图，作，则， ，， ， 故答案为：； ②，理由如下： 由①可知，， 整理得，， ； ③由②可知，， 同理可得，，，， 由角平分线可知，，，， ，，， ，，， 可推导一般性规律为， ， ， 当时，， ，即． 故答案为：． 2．如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点，满足． (1)试问，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线，之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论：如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为______________________，如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为______________________． (2)如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）过点作，根据平行线的性质分别求解即可； （2）①根据角平分线的定义设，，再结合（1）所得数量关系求解即可； ②同①可得，，，……从而推出，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，当点在的左侧时，过点作， ， ， ，， ； 如图2，当点在的右侧时， ， ， ，， ， ； （2）解：①，分别平分和， 设，， ，， 由（1）可知，，， ，， ， ， ； ②与的角平分线交于点， ，， ， 同理可得，，，…… 则， ， ， ， ． 3．问题情境：如图，，定点E，F分别在直线，上，在平行线，之间有一个动点P，满足．求，，满足的数量关系． 思路点拨：由于点P是平行线，之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论，过点P作的平行线，通过平行线的性质推出，，的数量关系． (1)问题解决：如图1，当点P在的左侧时，写出，，满足的数量关系_____；如图2，当点P在的右侧时，写出，，满足的数量关系______． (2)问题迁移：如图3，、分别平分和，且点P在左侧． ①若，则的度数为_______； ②猜想与的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，以此类推，直接写出与满足的数量关系． 【答案】(1)， (2)①② (3) 【分析】本题考查了平行线的判定及性质； （1）当点P在的左侧时，过点P作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，即可求解；当点P在的右侧时，同理可求解； （2）①由（1）知，，即可求解；② ，分别平分和，设：，，即可求解； （3）同理可得，，可得，即可求解； 掌握查了平行线的判定及性质，能根据题意进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：当点P在的左侧时， 如图，过点P作， ， ， ， ， ； 当点P在的右侧时， 如图，过点P作， ， ， ， ， ； 故答案为：， ； （2）解：①由（1）知， ， ，分别平分和， ， ， ， ， ， 故答案为； ②如图3，，分别平分和， 设：， ， 则 ， ， 即：； （3）解：同理可得， ， ， 故：． 【类型六】新定义问题 1．定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线上，、在直线的上方，且，钝角的“割补线”记为． (1)若，则的度数是______； (2)若恰好平分，求的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)或，理由见详解 【分析】本题考查了角平分线，余角与补角，掌握角平分线的定义，余角与补角定义，理解“割补线”的定义是解题的关键，注意分类讨论思想的运用． （1）画出相应的图形，由角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行解答即可； （2）根据平角的定义以及角平分线的定义进行计算即可； （3）分（1）中的两种情况进行解答，分别用表示，，进而答案即可． 【详解】（1）解：①如图，当在内部时， ∵射线是的“割补线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当在外部时， ∵射线是的“割补线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． （2）解：∵恰好平分， ∴， ∴． （3）解：或， 理由：①如图，当时， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴； ②如图，当时， ∵， ∴， ∴， （即与重合）， ∴， 综上所述，与的数量关系为或． 2．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“t系数补角”．例如，，有，则是的“5系数补角”． 备用图如下： (1)若，在中，的“3系数补角”是 ； (2)若比的2倍多，且是的“4系数补角”，求的度数； (3)在平面内，，点E为直线AB上一点，点F为直线CD上一点．点G为平面内一点，连接GE，GF，，若是的“6系数补角”，请将图形补充完整，并求的大小． 【答案】(1) (2) (3)图见解析，或 【分析】此题考查了平行线的性质、二元一次方程组的应等知识，理解新定义的含义是解题的关键． （1）设的“3系数补角”是x，根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）根据题意得，，解方程组即可得到答案； （3）设，，再根据G的位置建立方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：设的“3系数补角”是x， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的“3系数补角”是； 故答案为：； （2）解：∵比的2倍多， ∴， ∵是的“4系数补角”， ∴， ∴ ∴； （3）解：设，， 分以下三种情况： 如图，设与相交于点H， ∵，， ∴， 由条件可知， 即①， 由条件可知， 即②， ∴， 联立①②得，， 解得， 即是； 如图，当G在，之间时，过G作，而， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴①， 由条件可知， 即②， 联立①②得，， 解得， ∴； 如图，当G在的下方时， 同理可得：， 即①， ∵是的“6系数补角”， ∴， 即②， 联立①②得，， 解得：， 即为； 综上：为或； 3．新定义：如果，则叫做的“和谐角”．已知：，点E、F是直线、任意两点上，，， (1)【操作发现】 如图1，小丽发现是的“和谐角”，你同意小丽的说法吗？并说明理由 (2)【探索证明】 如图2，点M、N在直线、上，H在线段上，连接，线段的延长线交延长线于Q，小明发现，当，是的“和谐角”时，和是互补的．你同意小明的说法吗？并说明理由 (3)【拓展应用】 ①如图3，点M、N在直线、上，，过E作交直线于G，当是的“和谐角”时，直接写出的度数 ． ②如图4，将图3 中线段平移到的右侧，，过E作交直线于G，请画出图形，当和是“和谐角”时，求的度数． 【答案】(1)同意，理由见解析 (2)同意，理由见解析 (3)①；②图见解析， 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的判定与性质、垂直的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据即可得； （2）过点作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，然后根据平行公理推论和平行线的性质可得，从而可得，最后根据可得，由此即可得； （3）①设，先求出，，再过点作，根据平行线的性质可得，，然后根据建立方程，解方程即可得； ②根据题意画出图形，过点作，设，先求出，，，则，再根据和是“和谐角”建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：同意，理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的“和谐角”． （2）解：同意，理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵是的“和谐角”， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）已得：， ∴， ∴和是互补的． （3）解：①设， ∵， ∴， ∵是的“和谐角”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，过点作， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． ②由题意，画出图形如下： 过点作， 设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵和是“和谐角”， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 1．（25-26八年级上·浙江嘉兴·月考）要说明命题“若，则”是假命题，可以举的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查判定命题是假命题的一个常用方法——举反例．反例是个实例，它要符合命题的题设，不符合命题的结论．要证明命题“若，则”为假，需举反例，即满足 但 的一组即可，逐一验证． 【详解】解：A、，且，不能作为反例，不符合题意； B、，不满足前提，不能作为反例，不符合题意； C、，，，，即 ，但 ，故能作为反例，符合题意； D、，且，不能作为反例，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）下列图形中，和不是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两条直线被第三条直线所截，两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角； 根据同位角的定义对各个选项中和的位置进行分析即可得出答案．本题考查了同位角的定义，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得： A．和是同位角，不符合题意； B．和是同位角，不符合题意； C．和是同位角，不符合题意； D．中的和不是同位角，符合题意； 故选：D． 3．（25-26七年级上·山西·月考）如图，平行于主光轴的光线，经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上的一点P．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角度的计算、平行线的性质，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 4．（25-26七年级上·江苏常州·月考）如图，已知A，O，B三点在同一直线上，且平分，平分，下列结论：①；②与互余；③与互补；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线，余角，补角，角的和差关系，解题的关键是熟练掌握角平分线有关计算，余角和补角定义，角的和差计算． 根据角平分线定义可得和，利用平角即可判定①，结合余角和平角的定义即可判断②，结合余角和补角得定义即可判断③，利用角和差关系即可判断④． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵A、O、B三点在同一直线上， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵平分，平分， ∴， ∵A、O、B三点在同一直线上， ∴， ∴， 即与互余， 故②正确； ∵A、O、B三点在同一直线上， ， ∵平分， ∴， ， 即与互补， 故③正确； ∵， ∴， 故④正确； 故选：D． 5．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，直线，相交于点，将量角器的中心与点重合，发现表示的点在直线上，表示的点在直线上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，对顶角相等，熟练掌握对顶角相等这条性质是解题的关键． 先计算的度数，后利用对顶角相等确定即可． 【详解】解：如图， 根据题意，得， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·上海·月考）如图，将三角形沿射线平移后能与三角形重合（点、分别与点、对应），如果的长为，点在边上，且，则边长的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握平移后对应线段相等是解题的关键．根据平移性质得，结合，代入得到与的关系，再根据的范围求的范围． 【详解】解：由平移性质可知：，． ∵，且， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·四川泸州·月考）如图，，，分别是直线，之间的点，连接，，，，已知，，当时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，通过作平行线将角进行转化是解题的关键． 过点作，过点作，通过“两直线平行，同旁内角互补”得，进而得，根据、与、 的数量关系，得出的和，结合辅助线的平行关系，将、转化为、，即可得的度数． 【详解】解：如图，过点作，过点作，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·河南南阳·月考）如图，直线与相交于． (1)若，判断与的位置关系，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查求角度，涉及互余定义、对顶角、邻补角等知识，数形结合，准确表示出相关角度是解决问题的关键． （1）先由，得到，根据等量代换得到即可判断与的位置关系； （2）在（1）的条件下，由列方程求出，进而得到，再由对顶角相等得，数形结合表示出，代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， 理由如下： ， ， ， ， ； （2）解：， ， 解得， ， 由对顶角相等得， 故． 9．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，点D，B分别在上，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，关键是平行线判定定理的应用． （1）对顶角相等，得到，进而得到，即可得证； （2），得到，进而得到，得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图， ，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 10．（25-26七年级上·重庆万州·月考）如图1，由线段，，，组成的图形像“∑”形，称为“∑形”． (1)如图2，在“∑形”中，若，，求出的度数． (2)如图3，连接，若，，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图4，在（2）的条件下，当点M在线段的延长线上从上向下移动时，请直接写出与之间所有可能满足的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定． （1）过作，利用平行线的性质计算可求求解； （2）过点作交于点，利用平行线的性质可求得，结合（1）的结论可求解； （3）可分两种情况：当，位于两侧时，当，位于同侧时，利用平行线的性质分别计算求解． 【详解】（1）解：过作， ， ， ，， ； （2）， 理由：过点作交于点，过点作 ， ，， 由（）可得， ， ， ； （3）解：如图，当，位于两侧时，过作，过点作 ，， ， ，，， ， 即； 当，，三点共线时，， ； 当，位于同侧时， ，， ， 同理可得，，， ， 即， 综上，或． 1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）下列语句不是命题的为（ ） A．你饿了吗？ B．线段的垂线有无数条 C．两点之间，线段最短 D．相等的角一定是对顶角 【答案】A 【分析】本题考查了命题的定义．根据命题的定义，命题是能够判断真假的陈述句，选项A是疑问句，不符合命题要求，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、“你饿了吗？”是疑问句，不是陈述句，故不是命题，故该选项符合题意； B、线段的垂线有无数条，是命题，故该选项不符合题意； C、两点之间，线段最短，是命题，故该选项不符合题意； D、相等的角一定是对顶角，是命题，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，，直线分别与、交于点、．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的性质，根据对顶角相等可得，进而根据两直线平行同旁内角互补，即可求解． 【详解】解： ∵， ∴ ∵， ∴ 故选：D． 3．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在三角形中，，，，.将三角形沿直线向右平移2个单位长度得到三角形，连接．给出下列结论：①，；②；③四边形的周长是16；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】此题考查了平移的性质，先求解，再根据平移的性质得到相关结论，逐项判断即可． 【详解】解：∵， 将三角形沿直线向右平移2个单位得到三角形， ∴，，，， ∴，， ∴，故①和②正确； ∵四边形的周长， ∴四边形的周长，故③正确； ∵， ∴，故④正确， 故选：A． 4．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，将正方形、正方形、正方形放入长方形中，其中，，已知长方形的周长和中间正方形的边长，将图中四块阴影部分记为甲、乙、丙、丁，则下列可以求出的是（    ） ①乙的周长；②甲、乙的周长和；③丙、丁的周长差；④甲、乙、丙、丁的周长和 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，平移的性质，设，，依题意，根据题意得出各线段的长，根据平移的性质分别求四块阴影部分的周长，即可求解． 【详解】解：设，，依题意， 乙的周长为：，故①正确； ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴丁的周长为： 丙的周长为： ∴丙、丁的周长差为，故③正确； ②甲、乙的周长和为，不是定值，故②不正确 根据平移可知，④甲、乙、丙、丁的周长和为，故④正确； 综上所述，正确的有①③④ 故答案为：①③④． 5．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，直线，若°，则的度数为 ； 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质及邻补角的定义，解题的关键是利用对顶角相等转化的位置，再结合平行线的性质求． 由对顶角相等得的对顶角为；根据，该对顶角与互为同旁内角，计算的度数． 【详解】解：的对顶角与相等，故该对顶角为， ∵直线， ∴该对顶角与互为同旁内角， ∴， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·北京·期中）如图，木条与被木条所截若使木条与平行，木条过点逆时针旋转的度数是 ．（旋转度数在与之间） 【答案】/30度 【分析】本题考查了平行线的判定（同位角相等，两直线平行），解题的关键是明确平行线所需的角的关系． 先确定时应满足的度数，再计算当前与该度数的差值，得到木条逆时针旋转的度数． 【详解】解：要使木条与平行，需满足同位角（或内错角）相等． 已知，当时，对应的同位角应为． 当前，因此木条逆时针旋转的度数为． 故答案为： 7．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，点M、N在直线上，点G在直线上，点H在直线、之间，连接交于点K，连接交于点J，交于点P；连接，当时，下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，平行公理的应用；由三角形的内角和可判断①，由，可判断④，如图，过作，过作，进一步可判断②③． 【详解】解：∵，，， ∴，故①符合题意； ∵， ∴，， ∴，故④符合题意； 如图，过作， ∴， ∴，， ∴，故②符合题意； 如图，过作， ∴， ∴，，， ∴， 当时，则，与题干矛盾， ∴不成立，故③不符合题意； 故答案为：①②④ 8．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）如图，已知直线与相交于点，平分，． (1)求和的度数； (2)求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查角平分线、邻补角，掌握角平分线的定义以及邻补角的定义是解题的关键． （1）根据对顶角的性质及邻补角的定义进行计算即可； （2）根据角平分线的定义及邻补角的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：与是对顶角， ， , 即：，； （2）解：平分， ， ， 即：． 9．（25-26八年级上·广西贺州·期中）如图，已知，，垂足分别为点，，且． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，垂直的定义； （1）根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行由，，得到，根据平行线的性质得，由于，则，然后根据内错角相等，两直线平行可判断； （2）根据垂直的定义、平角的定义求出，据此求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 10．（25-26七年级上·云南红河·期中）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． (1)如图一，已知，，请说明． 解：分别过点C，D作，． 因为 ① ，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以 ② ． 则，即 ③ ． 由 ④ ，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． (2)【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小． 【答案】(1)①；②；③；④内错角相等，两直线平行 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定及角平分线的规律应用，解题的关键是通过作辅助线转化角的关系，利用平行线性质推导，再根据角平分线的递推规律求解． （1）利用平行公理补全推理，通过角的等量代换得到内错角相等，从而判定平行； （2）作辅助线分析角的数量关系； （3）先根据（2）的结论得到初始角的关系，再结合角平分线的定义，依次推导每次操作后角的表达式，归纳出第次操作后角与原角的数量关系，进而递推得到与的关系． 【详解】（1）解：分别过点，作， 因为，所以 由两直线平行，内错角相等，可知，， 由题知，所以 则，即 由内错角相等，两直线平行，可得 （2）解： 理由：过点作（如图）， ， ， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，内错角相等）， ， ． （3）解：由（2）的结论可知：． 第一次操作：平分，平分， 则，， 根据（2）的结论，． 第二次操作：平分，平分， 则，， 同理，． 以此类推，第次操作后，． 已知，代入得， 解得． 答：的大小为． 1．（25-26七年级上·上海虹口·期末）二方连续纹样是指一个单位图案沿上下或左右方向连续排列所形成的横式或纵式带状纹样．以下四个纹样中，属于二方连续纹样的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质判断即可． 【详解】解：属于二方连续纹样的是D， 故选：D． 2．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）判断命题“如果那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的x可以为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．反例中的x满足，使，从而对各选项进行判断． 【详解】解：当时，成立，而不成立，故是该命题的一个反例， 所以判断命题“如果， 那么”是假命题，举出． 故选：D． 3．（25-26七年级上·辽宁本溪·期末）如图是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线，其中反射角与入射角相等，于点O．若平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂直定义，余角的性质，角平分线的计算，理解垂直定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 因为所以，再根据平分，得出，即可得出答案． 【详解】解：， ∴， ∵平分 ∴ ∵反射角与入射角相等 ∴ 故选：C． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，，M是平面内一点，连接MB，MC，的平分线与的平分线交于点N．若，则的度数为（   ） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，解题的关键是过拐点作平行线转化角的关系． 过点作，过点作，证明，，再根据角平分线得出从而得出答案． 【详解】解：解：如图，过点作，过点作， ∵； ∴， ∴，， ∴， 同理可得：， ∵， ∴ ∵的平分线与的平分线交于点N． ，， ∴ ∴， 故选：D． 5．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，直线与相交于点O，，则的邻补角的度数是 ． 【答案】/130度 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，邻补角互补，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由对顶角相等得到，然后根据邻补角互补求解即可． 【详解】解：∵直线与相交于点O，， ∴， ∴的邻补角的度数是． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·重庆北碚·期末）如图，平分，过点作于点，与的平分线和交于点．若，则 （用含的代数式表示）；若，则 ． 【答案】 / /度 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线，通过角平分线定义和邻补角性质，直接推出．通过平行线同旁内角互补，得到的方程，过作的平行线，结合 得到，联立求解． 【详解】解：是的角平分线，平分， ，， ， ， 设，则，， 平分， ， 在中， ，且， ， ， 平行于， ， ，， ， 即， 过作的平行线， 则平行于平行于， ， ， ， 即， 联立①②：， 解得：． 故答案为：；． 7．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，与相交于点，连接．则（1）与的位置关系是 ；若三角形的面积比三角形的面积大，则（2） ． 【答案】 平行 【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的面积，三角形的面积．掌握平移的性质是解决（1）的关键，正确作出辅助线是解决（2）的关键． （1）由平移的性质可得出， （2）过A点作于，利用等面积法计算出，由，，即可得出，再根据，即可列出关于a的等式，解出a即可． 【详解】（1）∵三角形沿方向平移得到三角形， ∴ （2）过A点作于，如图， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵三角形的面积比三角形的面积大，即， ∴， 解得． 故答案为：平行，． 8．（25-26七年级上·山西长治·期末）当前市民的环保意识越来越强，很多人租用共享单车出行．如图是某品牌共享单车放在水平地面的几何示意图，其中，都与地面l平行，，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据易得，根据平行线的性质得到、，进而得到，，再根据平行线的性质得到，据此解答即可． 【详解】解：，都与地面l平行， ， 、， ，， ，， ， ， ． 9．（25-26七年级上·甘肃天水·期末）如图，在四边形中，A、B分别是线段、上一点，连接、．已知，． (1)线段、平行吗？为什么？ (2)若平分，于点E，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，则可得，再根据平行线的判定即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，则，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴． 10．（25-26七年级上·四川攀枝花·期末）小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图1，已知 ，，，则 ； (2)如图2，已知，平分，平分，、所在直线交于点E，若，，求 的度数； (3)将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若，，请你求出的度数（用含α，β的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，平行公理的推论，解决问题的关键是正确的作出辅助线． （1）过点E作，根据平行线的性质，得到，根据平行线的传递性，可得，从而可得，即得答案； （2）过点E作，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得，，即可求得答案； （3）过点E作，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得，，即可求得答案． 【详解】（1）解：过点E作， ， ， ， ， ． 故答案为：． （2）解：过点E作， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （3）解：过点E作， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $