专题02 平行中的拐点问题及运动问题（福建专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期中真题分类汇编

专题02 平行中的拐点问题及运动问题 题型概览 题型01拐点问题 题型02运动问题 ( 题型01 ) 拐点问题 1．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数． 3．（23-24七年级下·福建福州·期中）已知直线，P为平面内一点，连接． (1)如图1，已知，求的度数； (2)如图2，判断之间的数量关系为 　　． (3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 4．（23-24七年级下·福建宁德·期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接，，求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程 解：过点A作， ∴ ． 又∵ ∴ 解题反思：从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能． 方法运用： （2）如图2，已知，试说明的关系，并证明．（提示：过点C作） 解决问题： （3）如图3，已知，点C在点D的右侧，，点B在点A的左侧，平分平分所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间，求的度数．    5．（23-24七年级下·福建莆田·期中）如图，直线,点P、Q分别在直线上，点M在直线与之间，且满足 （其中）． (1)如图1，当时，过点M作，求的度数； (2)如图2，点H为线段上一点(端点除外)，点G在直线与之间，连接，若平分与互余，设， ①请用含x，y的武子表示； ②请从下列两个选项中选择一个正确的选项作为条件，求证：． （i）；（ii）． ( 题型02 ) 运动问题 1．（23-24七年级下·福建厦门·期中）汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即．如图，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，且满足． (1)______，______； (2)若灯射线先转动20秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，求灯转动几秒时，两灯的光束第一次互相平行？ (3)如图，两灯同时转动，在灯射线到达之前，若射出的光束交于点，已知． ①用含的代数式表示______； ②过作交于点，则在转动过程中，探究与有怎样的数量关系． 2．（23-24七年级下·福建泉州·期中）小学阶段通过剪拼得到“三角形的内角和等于”，学了“平行线”后，小安用说理的方式说明该结论正确． 证明过程如下： 如图1：延长到点D，过点C作， 图1 ∵， ∴_______，_______， ∵③_______， ∴． (1)补全小安证明过程中①②③所缺的内容； (2)如图2，直线，点A，B分别在，上，C是上点A右侧的动点，点G在射线上，连接，平分，平分，交的延长线于E． ①若，求的度数； ②如图3，平分交于点M，且．在点C运动过程中，是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由． 3．（23-24七年级下·福建泉州·期中）玩转三角板．在一副三角板与中，，．将这副三角板按图1的方式放置在两条平行线之间（点落在直线上，边与直线重合，点在同一条直线上，固定三角板）． (1)如图1，的度数为___________； (2)如图2，将三角板绕点逆时针方向旋转，边与三角板的边相交于点，试问：的值是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由； (3)在图1的基础上，将三角板绕点逆时针方向旋转，至边与直线首次重合时停止运动．设的度数为，试探究：在旋转的过程中，当为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？求出符合条件的的值． 4．（23-24七年级下·福建三明·期中）如图1，已知直线，点C为射线上一动点，过点C作交于点D，点E在线段上，． (1)写出一个与相等的角____________________（写一个即可）； (2)如图2，点F在线段上，，．求的度数； (3)点F是直线上的一点，，，，在点C的运动过程中（点C与点B不重合，点A与点F不重合），求的度数（结果用表示）． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平行中的拐点问题及运动问题 题型概览 题型01拐点问题 题型02运动问题 ( 题型01 ) 拐点问题 1．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解决本题的关键．过点A作，过点E作，则，由题意可设，，则，，，，因此，，，则． 【详解】解：过点A作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴. 故选：B． 2．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、对顶角相等、角平分线等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差、等量代换即可得； （2）过点作，先根据（1）的结论可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质、平行公理推论可得，由此即可得； （3）过点作，先参考（1）的方法可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，，然后根据代入计算即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图2，过点作， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， 由对顶角相等得：， 由（2）可知， ， 所以的度数为． 3．（23-24七年级下·福建福州·期中）已知直线，P为平面内一点，连接． (1)如图1，已知，求的度数； (2)如图2，判断之间的数量关系为 　　． (3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先过点P作，则可得，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解； （2）作，可得，根据平行线的性质，即可证得； （3）先证明，利用（2）的结论即可求解． 【详解】（1）解：∵， 过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴； ∴； （3）解：设交于O，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 4．（23-24七年级下·福建宁德·期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接，，求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程 解：过点A作， ∴ ． 又∵ ∴ 解题反思：从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能． 方法运用： （2）如图2，已知，试说明的关系，并证明．（提示：过点C作） 解决问题： （3）如图3，已知，点C在点D的右侧，，点B在点A的左侧，平分平分所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间，求的度数．    【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算． （1）根据平行线的性质即可得到结论； （2）过作，根据平行线的性质得到，，然后根据已知条件即可得到结论； （3）过点作，然后根据角平分线的定义和平行线的性质，即可求的度数． 【详解】解：（1）过点A作， ∴． 又∵ ∴； （2），理由如下： 过点作，如图所示：   ， ， ，， ， 即； （3）如图，过点作，   ， ， ，， 平分，平分，，， ，， ． 5．（23-24七年级下·福建莆田·期中）如图，直线,点P、Q分别在直线上，点M在直线与之间，且满足 （其中）． (1)如图1，当时，过点M作，求的度数； (2)如图2，点H为线段上一点(端点除外)，点G在直线与之间，连接，若平分与互余，设， ①请用含x，y的武子表示； ②请从下列两个选项中选择一个正确的选项作为条件，求证：． （i）；（ii）． 【答案】(1)； (2)①；②见解析 【分析】本题主要考查角平分线意义，平行线的判定与性质： （1）证明，得根据可得结论； （2）①过点H做直线，得出，，从而可求出；②选（ii），求出，假设，得出，从而得出结论 【详解】（1）解：∵，, ∴, ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； （2）解：①如图，过点H做直线， ∵， ∴， 由题意得：， ∴，， ∴； ②选（ii）， 理由如下：由（i）知：， ∴， 整理得，， （ii）， 即， 整理得，， 在中，， ∴， 当时，， ∴， ∴即， ∴当时，， 故选（ii） ( 题型02 ) 运动问题 1．（23-24七年级下·福建厦门·期中）汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即．如图，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，且满足． (1)______，______； (2)若灯射线先转动20秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，求灯转动几秒时，两灯的光束第一次互相平行？ (3)如图，两灯同时转动，在灯射线到达之前，若射出的光束交于点，已知． ①用含的代数式表示______； ②过作交于点，则在转动过程中，探究与有怎样的数量关系． 【答案】(1)3，1 (2)A灯转动秒时，两灯的光束第一次互相平行 (3)①；②，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，非负数的性质以及角的和差关系的运用； （1）根据，可得，进而得出a、b的值； （2）由（1）可知，灯A转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，设灯A转动秒时，两灯光第一次互相平行，由平行线性质可知，解方程求得x的值即可； （3）①过点C作，则由得到，则可得，经过秒，，得到； ②由题意可知，，即，得到，再得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：3，1； （2）解：由（1）可知，灯A转动的速度是秒，灯转动的速度是秒， 设灯A转动秒时，两灯光第一次互相平行，由平行线性质， 可知， 解得； ∴A灯转动秒时，两灯的光束第一次互相平行； （3）解：①过点C作，      则 ∵， ∴， ∴ ∴， 即， 经过秒，， 故答案为：； ②，理由如下： 由题意可知，点一定在的右侧，，即， ， ， ． 2．（23-24七年级下·福建泉州·期中）小学阶段通过剪拼得到“三角形的内角和等于”，学了“平行线”后，小安用说理的方式说明该结论正确． 证明过程如下： 如图1：延长到点D，过点C作， 图1 ∵， ∴_______，_______， ∵③_______， ∴． (1)补全小安证明过程中①②③所缺的内容； (2)如图2，直线，点A，B分别在，上，C是上点A右侧的动点，点G在射线上，连接，平分，平分，交的延长线于E． ①若，求的度数； ②如图3，平分交于点M，且．在点C运动过程中，是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)①A；②B；③180 (2)①；②是定值， 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算： （1）根据平行线的性质，平角的定义，进行作答即可； （2）①过点E作，进而得到，根据平行线的性质，结合角平分线的定义，推出，根据三角形的内角和定理求出的度数，即可得出结果； ②由①可知：，根据角平分线的定义，三角形的内角和求出，进行计算即可． 【详解】（1）如图：延长BC到点D，过点C作， ∵， ∴，， ∵， ∴． （2）①过点E作， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． ②为定值，理由如下： 由①可得， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 即为定值． 3．（23-24七年级下·福建泉州·期中）玩转三角板．在一副三角板与中，，．将这副三角板按图1的方式放置在两条平行线之间（点落在直线上，边与直线重合，点在同一条直线上，固定三角板）． (1)如图1，的度数为___________； (2)如图2，将三角板绕点逆时针方向旋转，边与三角板的边相交于点，试问：的值是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由； (3)在图1的基础上，将三角板绕点逆时针方向旋转，至边与直线首次重合时停止运动．设的度数为，试探究：在旋转的过程中，当为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？求出符合条件的的值． 【答案】(1) (2)为定值，这个定值为 (3)30或或 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论等知识，熟练掌握平行线的性质，并正确分情况讨论是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据角的和差求解即可得； （2）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据即可得； （3）分三种情况：①，②和③，利用平行线的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵，，点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：为定值，求解如下： 如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①如图，当时， ∴， ∵， ∴， ∴点在同一条直线上， ∴， 即此时； ②如图，当时， ∵，即， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即此时； ③如图，当时， ∴， 即此时； 综上，在旋转的过程中，当或或时，三角板的边与三角板的一条边平行． 4．（23-24七年级下·福建三明·期中）如图1，已知直线，点C为射线上一动点，过点C作交于点D，点E在线段上，． (1)写出一个与相等的角____________________（写一个即可）； (2)如图2，点F在线段上，，．求的度数； (3)点F是直线上的一点，，，，在点C的运动过程中（点C与点B不重合，点A与点F不重合），求的度数（结果用表示）． 【答案】(1)（或） (2) (3)的度数为或 【分析】本题主要考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． （1）根据同角的余角相等以及平行线的性质，即可得到与相等的角； （2）根据，可得，再根据，即可得到； （3）分两种情况讨论：当点F在线段上；点F在延长线上，根据平行线的性质，即可得到的度数为或． 【详解】（1）解：与相等的角为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相等的角为， 故答案为：（或）； （2）解：，， ， 又， ， ； （3）解：有两种情况： 如图，点F在线段上， ， ，， ， 又， ， ， ， ． 如图，点F在延长线上， ， ，， ， 又， ， ， ， 综上所述，的度数为或． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$