专题16分式方程题型突破讲义(知识点梳理+题型精析+强化巩固专练+寒假预习)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题16分式方程题型突破讲义（4） 基础 过关题 1.分式方程的定义 2.分式方程的解法 3.依据分式方程解的情况求值 能力 提升题 4.分式方程无解问题 5.列分式方程 6.分式方程的行程问题 7.分式方程的工程问题 8.分式方程的经济问题 拓展 拔高题 9.分式方程和差倍分问题 10.分式方程的其他实际问题 一、基本概念 分式方程：分母中含有未知数的方程。 与整式方程区别：关键看分母是否含未知数。 二、分式方程解法（必考步骤） 1.找最简公分母 2.去分母（两边同乘最简公分母）→ 化为整式方程 3.解整式方程 4.检验（必须写！） 代入最简公分母： 公分母 ≠ 0 → 是原方程的解 公分母 = 0 → 是增根，原方程无解 5.写出最终解或 “无解” 三、增根与无解 增根：去分母后整式方程的解，但使原分母 = 0，不是原方程的解。 无解两种情况： 整式方程的解全是增根 去分母后得到矛盾式（如 0=5） 四、分式方程应用题：常见类型（重点） (1)行程问题（路程、速度、时间） 核心公式：路程=速度×时间 时间=,速度=​ (2)工程问题（工作总量、效率、时间） 核心公式：工作总量=工作效率×工作时间 (3)销售、价格、数量问题 核心公式：总价=单价×数量 数量=,单价=​ 五、应用题通用解题步骤（规范答题） 1.设未知数（直接 / 间接） 2.找核心等量关系 3.列分式方程 4.解方程 + 检验（两步） 检验是否为增根 检验是否符合实际意义（正数、合理范围） 5.写答句 【题型1.分式方程的定义】 1．分母里含有未知数的方程叫做 ． 【答案】分式方程 【解析】略 2．下列关于的方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要判断一个方程是否为分式方程，关键依据是：分母中含有未知数的方程．我们需要逐一分析每个选项的分母是否含有未知数． 【详解】解：A、，分母是常数，不含有未知数，是整式方程，不符合题意； B、，虽然分母含有，但分子中含有根号，属于无理方程，不是分式方程，不符合题意； C、，分母中含有未知数，是分式方程，符合题意； D、，分母含有根号，是无理方程，不是分式方程，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，解题关键是明确分式方程的核心特征是分母中含有未知数，同时注意区分整式方程和无理方程． 3．已知方程：①，②，③，④，⑤，⑥，其中分式方程有 ． 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”是解题的关键．根据分式方程的定义，逐个判断即可，要注意分式方程中分母是关于未知数的整式． 【详解】解：①②分母中不含未知数，不是分式方程；③④⑤分母中含有未知数，是分式方程；⑥根号下含有未知数，是无理方程，不是分式方程， 故答案为：③④⑤． 4．岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题目的意思，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是．由于种植红薯地的面积=这块地的总产量÷平均每亩产量，根据改良红薯品种前后种植红薯地的面积不变列方程求解，用含a、m的代数式表示出x即可． 【详解】解：设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是． ∵总产量增加了， ∴， 解得：， 经检验符合题意， 所以现在平均每亩红薯的产量是． 故选：B． 【题型2.分式方程的解法】 5．分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是将分式方程化为整式方程求解，最后要检验所得的根是否为增根．通过交叉相乘将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后检验所得的根． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项：， ∴， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 故答案为：． 6．把分式方程化为整式方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程变形后，两边乘以最简公分母化简得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程变形得， 去分母得， 故选：D． 7．当 时，分式的值为． 【答案】0 【分析】本题考查了解分式方程，根据题意得，求解并检验即可，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程的解为：， 故答案为：0． 8．已知分式 （，为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（    ） x的取值 分式的值 无意义 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式有无意义的条件，分式值为0的条件，以及解分式方程，理解基本定义，以及解分式方程后注意检验是解题关键．首先根据已知条件分别确定和的值，然后确定出分式，最后根据时，原分式值为1，通过解分式方程确定，即可得出结论． 【详解】解：∵时，原分式无意义， ∴，解得：，B选项正确，不符合题意； ∴此分式为， ∵当时，原分式值为0， ∴，解得：， A选项正确，不符合题意； 由上分析，原分式为， 当时，原分式值为，D选项正确，不符合题意； 当时，解得：， 经检验，是原分式方程的解，C选项错误，符合题意； 故选：C． 【题型3.依据分式方程解的情况求值】 9．若关于x的分式方程 有增根， 则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先把原方程去分母后解方程得到，再根据分式方程有增根得到，则． 【详解】解： 去分母得：， 解得， ∵关于x的分式方程 有增根， ∴， ∴， 故答案为：． 10．已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的解，分式方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，本题注意这个隐含条件． 先把分式方程转化为整式方程求出用含有a的代数式表示的x，根据x的取值求a的范围． 【详解】解：原分式方程可化为， 方程两边同乘得，， 去括号得，， 移项得，， 系数化为1得， ∵原分式方程的解为正数， ∴， 即， 解得且， 故选：C． 11．如果关于x的一次函数的图象不经过第二象限，且关于x的分式方程有整数解，那么所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质、分式方程的解，根据关于的一次函数的图象不经过第二象限，可以得到，再根据关于x的分式方程有整数解，可以求得，然后即可得到所有满足条件的整数a的值，再将这些值相加即可． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴ ，解得， ∵，解得 ： ∵，关于x的分式方程有整数解， ∴ ，则， ∴或或或 ∴ 或或（不合题意舍去）或（不合题意舍去） ∴所有满足条件的整数a的值之和为 ， 故答案为：． 12．定义运算：对于任意实数a、b、c，有．若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的含参数问题，新定义问题，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 根据题意先求出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数可进行求解． 【详解】解：∵ ∴ 解得， ∵解为非负数， ∴ ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴且． 故选：B． 解答题 13．已知，当为何值时，关于的分式方程有增根？ 【答案】当时，原分式方程有增根 【分析】本题考查了分式方程，熟练掌握分式方程是增根是解题的关键； 将代入分式方程，去分母化为整式方程，求出可能的增根，再将增根代入整式方程求出b的值． 【详解】解：把代入方程， 得， 两边都乘， 得， 整理，得． 分式方程有增根， ， 即或． 当时，，此时方程无解； 当时，，解得． 综上，当时，原分式方程有增根． 【题型4.分式方程无解问题】 14．若分式方程有增根，则增根为 ． 【答案】2 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母即可．分母中的和互为相反数，那么最简公分母是． 【详解】解：原方程有增根， 最简公分母， 解得， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是确定增根的可能值，只需让最简公分母为0即可．本题需注意，当分母互为相反数时，最简公分母是其中的一个． 15．若关于x的分式方程有增根，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程增根问题，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．先将分式方程化成一元一次方程，分式方程有增根时，分母为零的值满足整式方程，代入求解． 【详解】解：∵原方程为， 两边同乘得：， 化简得：， ∵方程有增根， ∴，即， 代入整式方程：， ∴． 故选：B． 16．若关于的方程无解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程和分式方程无解的问题，解决本题的关键是熟练解方程． 先求解分式方程，将方程的解用含a的代数式表示，再根据方程无解得出，然后求出a值． 【详解】解： 去分母得到， 解得 由于分式方程无解，故，即， 则 ∴ 故答案为：． 17．已知点A，B在数轴上所对应的数分别为，，无论取何值，A，B两点都不可能关于原点对称，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查分式方程无解问题，先根据两点关于原点对称时，两点表示的数互为相反数，列出分式方程，根据无论取何值，A，B两点都不可能关于原点对称，得到分式方程无解，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：无解， 方程去分母，得：， ∵方程无解， ∴， ∴， ∴； 故选C． 解答题 18．已知关于x的分式方程，若该方程无解，求m的值． 【答案】或或． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出的值；由分式方程无解求出的值，代入整式方程求出的值即可．此题考查了分式方程的无解问题，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键． 【详解】解：， 去分母得：， ， ， 由分式方程无解，得到，即或， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，方程无解，此时分式方程无解，解得． 故的值是或或． 【题型5.列分式方程】 19．某工厂计划生产产品，如果每天比原计划多生产，可提前2天完成．设原计划每天生产产品，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用，先根据题意得到现在计划每天生产产品，再根据提前2天完成列分式方程即可． 【详解】解：设原计划每天生产产品，则现在计划每天生产产品， 根据题意，得， 故答案为：． 20．端午节，又称端阳节、龙舟节、重午节等，日期在每年农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．某小区开展“包粽子，庆端午”活动，活动期间，计划每小时包相同数量的粽子．该活动开始后，实际比原计划每小时多包100个，实际包1200个所需时间与原计划包1000个所需时间相同．设实际每小时包个，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设实际每小时包x个，原计划每小时包个，根据实际包1200个所需时间与原计划包1000个所需时间相等，据此列方程． 【详解】解：设实际每小时包x个，原计划每小时包个， 根据题意，得． 故选：A． 21．端午节是中国的传统节日，某商店销售甲、乙两种礼盒的粽子，经调查发现：用880元购进的甲礼盒数量是用400元购进的乙礼盒数量的2倍，且每个甲礼盒的进价比乙礼盒贵4元，设每个乙礼盒的进价为x元，则列方程为： ． 【答案】 【分析】本题考查从实际问题中抽象出分式方程，理解题意是关键． 设每个乙礼盒的进价为x元，则每个甲礼盒的进价为元，根据用880元购进的甲礼盒数量是用400元购进的乙礼盒数量的2倍即可列出方程． 【详解】解：根据题意得， 故答案为：． 【题型6.分式方程的行程问题】 22．为了践行“绿色低碳出行，减少雾霾”的使命，小红上班的交通方式由驾车改为骑自行车，小红家距单位的路程是千米，在相同的路线上，小红驾车的速度是骑自行车速度的倍，小红每天骑自行车上班比驾车上班要早出发分钟，才能按原时间到达单位．设小红骑自行车的速度为每小时千米，依题意，可列方程为 【答案】 【分析】设小红骑自行车的速度是每小时x千米，则驾车的速度是每小时4x千米，依据“小红每天骑自行车上班比驾车上班要早出发45分钟”列出方程． 【详解】解：设小红骑自行车的速度是每小时千米，则驾车的速度是每小时千米， 根据题意得：， 故答案是：． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 23．随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，乘公交车平均每小时走x千米，根据“电动汽车时间+小时=公交车时间”列出分式方程即可求解﹒ 【详解】解：15分钟=小时 设乘公交车平均每小时走x千米，则电动汽车的平均速度是每小时走2.5x千米， 得： 故选：D 解答题 24．某校八年一班学生去距学校的爱国主义教育基地参观，一部分学生乘甲客车先出发，过了，其余学生乘乙客车出发，结果他们同时到达．已知乙客车的平均速度是甲客车的平均速度的倍． (1)求甲客车的平均速度； (2)若甲、乙两辆客车都沿着与去时相同的路线返回．甲客车在前半段路程的平均速度为，在后半段路程的平均速度是；乙客车返回全程的平均速度为．如果，哪辆客车用时少先返回学校？请说明理由． 【答案】(1) (2)乙客车；理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用以及分式的混合运算，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设甲客车的平均速度为，则乙客车的平均速度为，利用时间路程速度，结合甲客车比乙客车多用，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）利用时间路程速度，可求出甲、乙两客车所用时间，作差后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲客车的平均速度为，则乙客车的平均速度为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：甲客车的平均速度为； （2）解：乙客车用时少先返回学校，理由如下： 甲客车所用时间为， 乙客车所用时间为 ， ，，， ，， ， 乙客车用时少先返回学校． 【题型7.分式方程的工程问题】 25．甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测10个，甲检测300个与乙检测200个所用的时间相等，甲、乙两个机器人每小时各检测零件多少个？设甲机器人每小时检测x个，根据题意可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．由甲机器人每小时检测x个及甲比乙每小时多检测10个，可得出乙机器人每小时检测零件个，再利用工作时间=工作总量÷工作效率结合甲检测300个与乙检测200个所用时间相等，即可得出关于x的分式方程． 【详解】解：∵甲机器人每小时检测x个，甲比乙每小时多检测10个， ∴乙机器人每小时检测零件个． 依题意，得：． 故答案为：． 26．近日，太原市为推进城市更新，提升城市品质，迎泽西大街、新建路维修改造工程全面开工．其中一段长的道路工程由某工程队单独来做，原计划每天完成xm，实际上……根据题意可列方程为．根据方程可得文中省略的内容为（    ）． A．每天多完成100m，结果提前2天完成 B．每天少完成100m，结果推迟2天完成 C．每天多完成100m，结果推迟2天完成 D．每天少完成100m，结果提前2天完成 【答案】A 【分析】本题主要查了分式方程的应用．根据方程 ， 表示原计划天数， 表示实际天数，方程表明原计划天数比实际天数多2天，即实际提前2天完成，且实际每天完成量比原计划多100m． 【详解】解：∵ 原计划每天完成米，总路程4000m， ∴ 原计划天数为天． ∵ 实际每天完成m， ∴ 实际天数为天． ∵ 方程表示原计划天数减实际天数等于2， ∴ 实际比原计划提前2天完成，且实际每天多完成100m． ∴ 文中省略的内容为“每天多完成100m，结果提前2天完成”． 故选A 解答题 27．为了改善城市交通环境，提升居民出行品质，某市启动了“城市道路综合提升工程”．在工程实施过程中，一工程队负责一段全长为6千米的排水管道铺设任务．为确保工程早日投入使用，施工时提高了工作效率，实际每天铺设的长度比原计划多，这样不仅加快了进度，还比原计划提前20天完成了全部任务．问：实际每天铺设排水管道多少米？ 【答案】60米 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是正确找到等量关系． 通过设原计划每天铺设管道长度为未知数，根据实际效率提高和提前完成的时间差建立方程，求解得到原计划每天铺设长度，进而求出实际每天铺设长度． 【详解】解：设原计划每天铺设排水管道x米， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 实际每天铺设米 答：实际每天铺设排水管道60米． 【题型8.分式方程的经济问题】 28．某班为筹备迎新晚会，班长用420元到甲商店购买A材料，学习委员用300元到乙商店购买B材料，两人买回的A、B两种材料的数量一样多．已知A材料的单价比B材料贵2元，求B材料的单价是多少元？若设B材料的单价为x元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设B材料的单价为x元，则A材料的单价为元，由题意可得，，进而可得答案． 【详解】解：设B材料的单价为x元，则A材料的单价为元， 由题意可得，， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程． 29．随着电影《哪吒2》的热映，其哪吒相关书籍的销量也急剧上升．某书店分别用2000元和3000元两次购进该书籍，第二次数量比第一次多50套，两次进价相同．设该书店第一次购进x套，根据题意，列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，熟练掌握利用“进价 = 总花费÷购进数量” ，结合等量关系列方程是解题的关键．先分别表示出第一次和第二次购进书籍的进价，再根据“两次进价相同”这一条件来列方程．第一次进价是用第一次的总花费除以第一次购进的数量，第二次进价是用第二次的总花费除以第二次购进的数量，利用进价相等建立等式． 【详解】解：设该书店第一次购进套， ∵第一次用2000元购进，数量为套， ∴第一次进价为 ∵第二次数量比第一次多50套， ∴第二次数量是套， ∵第二次用3000元购进， ∴第二次进价为 ∵两次进价相同， ∴ 故答案为： ． 解答题 30．为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类，用350万元购买甲型机器人和用490万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为120万元，甲、乙两种型号机器人单价分别是多少万元？ 【答案】甲型机器人单价为50万元，乙型机器人单价为70万元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲型号机器人单价为万元，则乙型号机器人单价为万元，依题意列出方程，求解即可得出答案，掌握分式方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设甲型号机器人单价为万元，则乙型号机器人单价为万元，依题意得： ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（万元）， 答：甲型机器人单价为50万元，乙型机器人单价为70万元． 【题型9.分式方程和差倍分问题】 31．某商店计划今年的春节购进两种纪念品若干件，若花费480元购进的种纪念品的数量是花费480元购进种纪念品的数量的，已知每件种纪念品比每件种纪念品多4元．设购买一件种纪念品需x元，则下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设购买一件种纪念品需x元，则购买一种种纪念品需要元，可得购买种纪念品为件，购买种纪念品的数量为件，再由花费480元购进的种纪念品的数量是花费480元购进种纪念品的数量的，列方程即可得到答案． 【详解】解：设购买一件种纪念品需x元，则购买一件种纪念品需要元， 故选： 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，掌握利用分式方程解决购销问题是解题的关键． 32．某边防哨所运来一筐苹果，共有60个，计划每名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩5个苹果；改为每名战士再多分1个，结果还差6个苹果，那么，这个哨所共有多少名战士？若设这个哨所共有名战士，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设这个哨所共有名战士，第一次分苹果每人分得个，第二次分苹果每人分得个，根据第二次每人比第一次多分1个苹果，列出方程即可． 【详解】解：设这个哨所共有名战士， 第一次分苹果：剩余5个苹果，实际分发苹果数为：个，每人分得个， 第二次分苹果：还差6个苹果，需要苹果数为个，每人分得个， 由题意，第二次每人比第一次多分1个苹果，因此有， 故可列方程为：． 故答案为：． 解答题 33．为举办“青春露营·亲近自然”校园帐篷节，某校计划购进两种款式的帐篷——专业户外帐篷和基础露营帐篷．已知专业户外帐篷的单价比基础露营帐篷高，用18000元购买专业户外帐篷的数量比用9000元购买基础露营帐篷的数量多6顶，求专业户外帐篷和基础露营帐篷的单价． 【答案】专业户外帐篷的单价为1200元，基础露营帐篷的单价为1000元 【分析】本题考查分式的实际应用，设基础露营帐篷的单价为元，根据用18000元购买专业户外帐篷的数量比用9000元购买基础露营帐篷的数量多6顶，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设基础露营帐篷的单价为元，由题意，得： ， 解得：； 经检验，是原方程的解； ∴； 答：专业户外帐篷的单价为1200元，基础露营帐篷的单价为1000元． 【题型10.分式方程的其他实际问题】 34．如图，某公司有两种型号的机械手臂，甲型号机械手臂比乙型号机械手臂每小时多生产200个产品，甲型号机械手臂生产2400个产品所用的时间与乙型号机械手臂生产1600个产品所用的时间相同，则甲型号机械手臂每小时生产 个产品． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用．设甲型号机械手臂每小时生产个产品，则乙型号机械手臂每小时生产个产品，根据工作时间工作总量工作效率，结合“甲型号机械手臂生产2400个产品所用的时间与乙型号机械手臂生产1600个产品所用的时间相同”列出分式方程，解之即可求解． 【详解】解：设甲型号机械手臂每小时生产个产品，则乙型号机械手臂每小时生产个产品， 依题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则甲型号机械手臂每小时生产个产品． 故答案为：． 35．袁隆平院士被称为“杂交水稻之父”，他在早期的研究中需要对不同的水稻品种进行种植，计算其单位产量．现有两块面积相同的水稻试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别获得水稻12000kg和14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg，如果设第一块试验田每公顷的产量为，那么x满足怎样的分式方程？（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两块试验田每公顷产量间的关系，可得出第二块试验田每公顷的产量为，利用种植面积=总产量÷每公顷的产量，结合两块试验田的面积相等，即可列出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：∵第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg，如果设第一块试验田每公顷的产量为， ∴第二块试验田每公顷的产量为， 根据题意得，， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 解答题 36．综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)策略一：如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)策略二：如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，应选择策略_______更优． 【答案】(1)需要清水 (2)能达到洗衣目标 (3)二 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，核心是利用题目给出的浓度关系式，结合不同漂洗策略的条件进行计算，通过对比结果确定最优方案． （1）直接将已知的漂洗前后浓度代入浓度关系式，解方程求出所需清水量； （2）先将清水均分，再分两次代入浓度关系式计算最终浓度，与洗衣目标对比； （3）对比两次策略的用水量和漂洗效果，判断更优方案． 【详解】（1）解：把，，代入得， ， 解得：，经检验，符合题意， 答：只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． （2）解：第一次漂洗：把，代入得， ； 第二次漂洗：把，代入得， ； ， 进行两次漂洗，能达到洗衣目标． （3）解：由（1）和（2）的漂洗结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能节约用水，所以从洗衣用水策略方面，应选择策略二更优． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16分式方程题型突破讲义（4） 基础 过关题 1.分式方程的定义 2.分式方程的解法 3.依据分式方程解的情况求值 能力 提升题 4.分式方程无解问题 5.列分式方程 6.分式方程的行程问题 7.分式方程的工程问题 8.分式方程的经济问题 拓展 拔高题 9.分式方程和差倍分问题 10.分式方程的其他实际问题 一、基本概念 分式方程：分母中含有未知数的方程。 与整式方程区别：关键看分母是否含未知数。 二、分式方程解法（必考步骤） 1.找最简公分母 2.去分母（两边同乘最简公分母）→ 化为整式方程 3.解整式方程 4.检验（必须写！） 代入最简公分母： 公分母 ≠ 0 → 是原方程的解 公分母 = 0 → 是增根，原方程无解 5.写出最终解或 “无解” 三、增根与无解 增根：去分母后整式方程的解，但使原分母 = 0，不是原方程的解。 无解两种情况： 整式方程的解全是增根 去分母后得到矛盾式（如 0=5） 四、分式方程应用题：常见类型（重点） (1)行程问题（路程、速度、时间） 核心公式：路程=速度×时间 时间=,速度=​ (2)工程问题（工作总量、效率、时间） 核心公式：工作总量=工作效率×工作时间 (3)销售、价格、数量问题 核心公式：总价=单价×数量 数量=,单价=​ 五、应用题通用解题步骤（规范答题） 1.设未知数（直接 / 间接） 2.找核心等量关系 3.列分式方程 4.解方程 + 检验（两步） 检验是否为增根 检验是否符合实际意义（正数、合理范围） 5.写答句 【题型1.分式方程的定义】 1．分母里含有未知数的方程叫做 ． 2．下列关于的方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 3．已知方程：①，②，③，④，⑤，⑥，其中分式方程有 ． 4．岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 【题型2.分式方程的解法】 5．分式方程的解为 ． 6．把分式方程化为整式方程正确的是（ ） A． B． C． D． 7．当 时，分式的值为． 8．已知分式 （，为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（    ） x的取值 分式的值 无意义 A． B． C． D． 【题型3.依据分式方程解的情况求值】 9．若关于x的分式方程 有增根， 则k的值为 ． 10．已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 11．如果关于x的一次函数的图象不经过第二象限，且关于x的分式方程有整数解，那么所有满足条件的整数a的值之和为 ． 12．定义运算：对于任意实数a、b、c，有．若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 解答题 13．已知，当为何值时，关于的分式方程有增根？ 【题型4.分式方程无解问题】 14．若分式方程有增根，则增根为 ． 15．若关于x的分式方程有增根，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．若关于的方程无解，则 ． 17．已知点A，B在数轴上所对应的数分别为，，无论取何值，A，B两点都不可能关于原点对称，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 解答题 18．已知关于x的分式方程，若该方程无解，求m的值． 【题型5.列分式方程】 19．某工厂计划生产产品，如果每天比原计划多生产，可提前2天完成．设原计划每天生产产品，则可列方程为 ． 20．端午节，又称端阳节、龙舟节、重午节等，日期在每年农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．某小区开展“包粽子，庆端午”活动，活动期间，计划每小时包相同数量的粽子．该活动开始后，实际比原计划每小时多包100个，实际包1200个所需时间与原计划包1000个所需时间相同．设实际每小时包个，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 21．端午节是中国的传统节日，某商店销售甲、乙两种礼盒的粽子，经调查发现：用880元购进的甲礼盒数量是用400元购进的乙礼盒数量的2倍，且每个甲礼盒的进价比乙礼盒贵4元，设每个乙礼盒的进价为x元，则列方程为： ． 【题型6.分式方程的行程问题】 22．为了践行“绿色低碳出行，减少雾霾”的使命，小红上班的交通方式由驾车改为骑自行车，小红家距单位的路程是千米，在相同的路线上，小红驾车的速度是骑自行车速度的倍，小红每天骑自行车上班比驾车上班要早出发分钟，才能按原时间到达单位．设小红骑自行车的速度为每小时千米，依题意，可列方程为 23．随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 解答题 24．某校八年一班学生去距学校的爱国主义教育基地参观，一部分学生乘甲客车先出发，过了，其余学生乘乙客车出发，结果他们同时到达．已知乙客车的平均速度是甲客车的平均速度的倍． (1)求甲客车的平均速度； (2)若甲、乙两辆客车都沿着与去时相同的路线返回．甲客车在前半段路程的平均速度为，在后半段路程的平均速度是；乙客车返回全程的平均速度为．如果，哪辆客车用时少先返回学校？请说明理由． 【题型7.分式方程的工程问题】 25．甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测10个，甲检测300个与乙检测200个所用的时间相等，甲、乙两个机器人每小时各检测零件多少个？设甲机器人每小时检测x个，根据题意可列方程 ． 26．近日，太原市为推进城市更新，提升城市品质，迎泽西大街、新建路维修改造工程全面开工．其中一段长的道路工程由某工程队单独来做，原计划每天完成xm，实际上……根据题意可列方程为．根据方程可得文中省略的内容为（    ）． A．每天多完成100m，结果提前2天完成 B．每天少完成100m，结果推迟2天完成 C．每天多完成100m，结果推迟2天完成 D．每天少完成100m，结果提前2天完成 解答题 27．为了改善城市交通环境，提升居民出行品质，某市启动了“城市道路综合提升工程”．在工程实施过程中，一工程队负责一段全长为6千米的排水管道铺设任务．为确保工程早日投入使用，施工时提高了工作效率，实际每天铺设的长度比原计划多，这样不仅加快了进度，还比原计划提前20天完成了全部任务．问：实际每天铺设排水管道多少米？ 【题型8.分式方程的经济问题】 28．某班为筹备迎新晚会，班长用420元到甲商店购买A材料，学习委员用300元到乙商店购买B材料，两人买回的A、B两种材料的数量一样多．已知A材料的单价比B材料贵2元，求B材料的单价是多少元？若设B材料的单价为x元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 29．随着电影《哪吒2》的热映，其哪吒相关书籍的销量也急剧上升．某书店分别用2000元和3000元两次购进该书籍，第二次数量比第一次多50套，两次进价相同．设该书店第一次购进x套，根据题意，列方程为 ． 解答题 30．为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类，用350万元购买甲型机器人和用490万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为120万元，甲、乙两种型号机器人单价分别是多少万元？ 【题型9.分式方程和差倍分问题】 31．某商店计划今年的春节购进两种纪念品若干件，若花费480元购进的种纪念品的数量是花费480元购进种纪念品的数量的，已知每件种纪念品比每件种纪念品多4元．设购买一件种纪念品需x元，则下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 32．某边防哨所运来一筐苹果，共有60个，计划每名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩5个苹果；改为每名战士再多分1个，结果还差6个苹果，那么，这个哨所共有多少名战士？若设这个哨所共有名战士，则根据题意可列方程为 ． 解答题 33．为举办“青春露营·亲近自然”校园帐篷节，某校计划购进两种款式的帐篷——专业户外帐篷和基础露营帐篷．已知专业户外帐篷的单价比基础露营帐篷高，用18000元购买专业户外帐篷的数量比用9000元购买基础露营帐篷的数量多6顶，求专业户外帐篷和基础露营帐篷的单价． 【题型10.分式方程的其他实际问题】 34．如图，某公司有两种型号的机械手臂，甲型号机械手臂比乙型号机械手臂每小时多生产200个产品，甲型号机械手臂生产2400个产品所用的时间与乙型号机械手臂生产1600个产品所用的时间相同，则甲型号机械手臂每小时生产 个产品． 35．袁隆平院士被称为“杂交水稻之父”，他在早期的研究中需要对不同的水稻品种进行种植，计算其单位产量．现有两块面积相同的水稻试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别获得水稻12000kg和14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg，如果设第一块试验田每公顷的产量为，那么x满足怎样的分式方程？（    ） A． B． C． D． 解答题 36．综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)策略一：如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)策略二：如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，应选择策略_______更优． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $