专题07分式寒假预习讲义（1）(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固专练)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题07分式寒假预习讲义（1） · 吃透分式定义，一眼分清分式 & 整式，判断不踩坑 · 掌握 3 大条件核心，轻松搞定分式有意义、无意义、值为 0 的求解 · 避开 4 大经典易错点，做题又快又准，不丢基础分 · 能熟练判断分式、求解字母取值范围，为后续分式学习打牢基础 预习必备 知识点梳理 1,分式的定义 2.分式与整式的核心区别 3.分式判断的核心原则 4.分式判断的标准化步骤 5.分式有意义.无意义.值为0的条件 6.易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.分式的概念与判定 2.分式中的规律探究 3.按要求构造分式 4.分式无意义的条件分析 5.分式有意义的条件分析 6.分式值为零的条件分析 7.分式的化简与求值 8.分式值正负时未知数的取值范围 9.分式值为整数时未知数解 强化巩固 (解答题5题) 【知识点01.分式的定义】 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 构成要素：分子A可以是单项式、多项式或常数；分母B必须是含有字母的整式，且分母B0（分母为 0 时，分式无意义）；分数线兼具括号和除号的双重作用。 核心前提：A、B均为整式，二者缺一不可。 【知识点02.分式与整式的核心区别】 1.整式的分母中不含任何字母，分式的分母中必须含有字母，这是二者最本质、最核心的区别； 2.整式的取值一般无额外限制，仅需保证式子本身有意义即可，而分式的取值受分母限制，分母不能为 0，否则分式无意义； 3.整式的表现形式为单项式或多项式，分式的表现形式是两个整式相除的商式，且除式（分母）含字母。 【知识点03.分式判断的核心原则】 1.看原式，不化简：判断是否为分式仅针对原始代数式，不能先约分、化简再判断。例如，虽化简后为整式x，但原式分母含字母x，因此是分式。 2.π 为常数，非字母：π是固定的数学常数，不是字母，因此分母仅含π的代数式是整式。例如​、均为整式，不是分式。 3.根号含字母，非分式：若代数式的分子或分母中含有根号，且根号内有字母，因根号式不是整式，不符合分式定义，因此不是分式。例如、均非分式。 4.负指数幂，等价分式：含字母的负指数幂可转化为分式形式（a−n，a为字母，n为正整数），因此这类代数式是分式。例如x−1=、(a+b)−2=，均为分式。 【知识点04.分式判断的标准化步骤】 1.定形式：观察代数式是否为的除法形式，且确认A、B均为整式； 2.查分母：重点检查分母B中是否含有字母（排除π等常数）； 3.拒化简：严格以原始表达式为依据，不进行任何约分、变形操作； 4.下结论：分母含字母→分式；分母不含字母→整式。 【知识点05.分式有意义.无意义.值为0的条件】 1.分式有意义的条件 分式有意义的充要条件是：分母B0。 解题关键：解关于分母的不等式，求出字母的取值范围即可。 2.分式无意义的条件 分式无意义的充要条件是：分母B=0。 解题关键：解关于分母的方程，求出使分母为 0 的字母取值即可。 3.分式值为 0 的条件 分式的值为 0 的充要条件是：分子A=0，且分母B0（两个条件必须同时满足，缺一不可）。 解题关键：先解分子为 0 的方程，求出字母的可能值，再代入分母检验，排除使分母为 0 的取值。 【知识点06.易错点总结】 · 判分式先化简：未以原始表达式为准，误将可化简的分式判定为整式 · 误把 π 当字母：将分母仅含 π 的代数式错判为分式，忽略 π 是固定常数 · 忽视整式前提：把分子 / 分母含根号内字母的式子判为分式，未注意根号式非整式 · 漏分母检验：求分式值为 0 时，仅解分子为 0 的方程，未排除分母为 0的取值 【题型1.分式的概念与判定】 【典例】下列各式中是分式的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是分式的有 ，是整式的有 ．（请填写序号） 【跟踪专练2】下列等式中，从左到右的变形中是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】已知，一次函数的图象过点，则一次函数的解析式是 ． 【题型2.分式中的规律探究】 【典例】观察下列等式，，，…根据其中的规律，猜想 （用含的代数式表示）． 【跟踪专练1】按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】观察下列关于的分式，探究其规律：，按着上述规律，第个分式是 ． 【跟踪专练3】一列数，，，……满足，，，……以此类推，且规定：，，，……，其中m为正整数，则以下说法中正确的有（    ） ① ②当时， ③若恒成立，则 A．0 B．1 C．2 D．3 【题型3.按要求构造分式】 【典例】已知一个分式中含有的字母仅是x，且对于任意实数x，分式的值始终为正数，则这个分式是 ．（写出一个正确的答案即可） 【跟踪专练1】浓度为的盐水m公斤与浓度为的盐水n公斤混合后的溶液浓度是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】请写出一个关于x的分式，无论x取何值该分式都有意义，且当时，分式的值为2： ． 【跟踪专练3】某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【题型4.分式无意义的条件分析】 【典例】若分式无意义，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】分式（a，b是常数），当时，分式无意义，当时，分式的值为0，分式无意义，则 ． 【跟踪专练2】分式中，当时，下列结论正确的是（    ） A．分式的值为零 B．分式无意义 C．若时，分式的值为零 D．若时，分式的值为零 【跟踪专练3】当x 时，分式有意义；当x 时，分式没有意义． 【题型5.分式有意义的条件分析】 【典例】要使分式有意义，则的取值应满足的条件是（    ） A． B． C． D．可以取任意实数 【跟踪专练1】若分式的值为0，则实数的值为 ． 【跟踪专练2】根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（   ） … 0 1 2 … … 0 无意义 * 无意义 * … A． B． C． D． 【跟踪专练3】要使分式有意义，则x的取值应满足 ． 【题型6.分式值为零的条件分析】 【典例】若分式的值为0，则x的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【跟踪专练1】当 时，分式的值为0． 【跟踪专练2】如果有理数a，b使得，那么（　　） A．是负数 B．是正数 C．是正数 D．是负数 【跟踪专练3】当 时，分式在实数范围内有意义，当 时，分式的值为0． 【题型7.分式的化简与求值】 【典例】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若，则的值为 ． 【跟踪专练2】植树节时，某班平均每人植树6棵，如果只由女同学完成，每人应植树15棵，如果只由男同学完成，每人应植树（    ） A．12棵 B．11棵 C．10棵 D．9棵 【跟踪专练3】已知，则分式的值为 ． 【题型8.分式值正负时未知数的取值范围】 【典例】若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A．x>-2 B．x<1 C．x>-2且x≠1 D．x>1 【跟踪专练1】如果分式的值为负数，那么x应满足的条件是 ． 【跟踪专练2】若，则，的值可能是（ ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练3】当x 时，分式有意义；如果分式的值为0，那么x的值是 ．当x满足 时，分式的值为负数． 【题型9.分式值为整数时未知数解】 【典例】请写出一个满足条件的m值，使得分式的值为整数： ． 【跟踪专练1】对于正整数，使分式的值是一个整数，则可能取值的个数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若的分子、分母同时加上正整数时，该分数成为整数，这样的正整数共有 个． 【跟踪专练3】如图，若x为正整数，则表示分式的值落在（　 ） A．线①处 B．线②处 C．线③处 D．线④处 1．当取什么值时，分式． (1)分式有意义； (2)分式的值为0． 2．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和是_________； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 3．阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即． 所以． 故的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知：，求的值． 4．观察下面的等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)请你猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 5．阅读材料：解分式不等式 ． 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：① 或 ② 解①，得无解，解②，得 ． 所以原不等式的解集是 ． 请仿照上述方法解下列分式不等式： (1) (2) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07分式寒假预习讲义（1） · 吃透分式定义，一眼分清分式 & 整式，判断不踩坑 · 掌握 3 大条件核心，轻松搞定分式有意义、无意义、值为 0 的求解 · 避开 4 大经典易错点，做题又快又准，不丢基础分 · 能熟练判断分式、求解字母取值范围，为后续分式学习打牢基础 预习必备 知识点梳理 1,分式的定义 2.分式与整式的核心区别 3.分式判断的核心原则 4.分式判断的标准化步骤 5.分式有意义.无意义.值为0的条件 6.易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.分式的概念与判定 2.分式中的规律探究 3.按要求构造分式 4.分式无意义的条件分析 5.分式有意义的条件分析 6.分式值为零的条件分析 7.分式的化简与求值 8.分式值正负时未知数的取值范围 9.分式值为整数时未知数解 强化巩固 (解答题5题) 【知识点01.分式的定义】 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 构成要素：分子A可以是单项式、多项式或常数；分母B必须是含有字母的整式，且分母B0（分母为 0 时，分式无意义）；分数线兼具括号和除号的双重作用。 核心前提：A、B均为整式，二者缺一不可。 【知识点02.分式与整式的核心区别】 1.整式的分母中不含任何字母，分式的分母中必须含有字母，这是二者最本质、最核心的区别； 2.整式的取值一般无额外限制，仅需保证式子本身有意义即可，而分式的取值受分母限制，分母不能为 0，否则分式无意义； 3.整式的表现形式为单项式或多项式，分式的表现形式是两个整式相除的商式，且除式（分母）含字母。 【知识点03.分式判断的核心原则】 1.看原式，不化简：判断是否为分式仅针对原始代数式，不能先约分、化简再判断。例如，虽化简后为整式x，但原式分母含字母x，因此是分式。 2.π 为常数，非字母：π是固定的数学常数，不是字母，因此分母仅含π的代数式是整式。例如​、均为整式，不是分式。 3.根号含字母，非分式：若代数式的分子或分母中含有根号，且根号内有字母，因根号式不是整式，不符合分式定义，因此不是分式。例如、均非分式。 4.负指数幂，等价分式：含字母的负指数幂可转化为分式形式（a−n​，a为字母，n为正整数），因此这类代数式是分式。例如x−1=、(a+b)−2=，均为分式。 【知识点04.分式判断的标准化步骤】 1.定形式：观察代数式是否为的除法形式，且确认A、B均为整式； 2.查分母：重点检查分母B中是否含有字母（排除π等常数）； 3.拒化简：严格以原始表达式为依据，不进行任何约分、变形操作； 4.下结论：分母含字母→分式；分母不含字母→整式。 【知识点05.分式有意义.无意义.值为0的条件】 1.分式有意义的条件 分式有意义的充要条件是：分母B0。 解题关键：解关于分母的不等式，求出字母的取值范围即可。 2.分式无意义的条件 分式无意义的充要条件是：分母B=0。 解题关键：解关于分母的方程，求出使分母为 0 的字母取值即可。 3.分式值为 0 的条件 分式的值为 0 的充要条件是：分子A=0，且分母B0（两个条件必须同时满足，缺一不可）。 解题关键：先解分子为 0 的方程，求出字母的可能值，再代入分母检验，排除使分母为 0 的取值。 【知识点06.易错点总结】 · 判分式先化简：未以原始表达式为准，误将可化简的分式判定为整式 · 误把 π 当字母：将分母仅含 π 的代数式错判为分式，忽略 π 是固定常数 · 忽视整式前提：把分子 / 分母含根号内字母的式子判为分式，未注意根号式非整式 · 漏分母检验：求分式值为 0 时，仅解分子为 0 的方程，未排除分母为 0的取值 【题型1.分式的概念与判定】 【典例】下列各式中是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的定义，解题的关键是明确分式是分母中含有字母的代数式． 根据分式的定义，判断每个选项的分母是否含有字母，从而确定哪个是分式． 分式的定义是分母中含有字母的代数式． 【详解】解：A、的分母是5，是常数，不是分式； B、的分母是2，是常数，不是分式； C、是整式，不是分式； D、的分母是，是字母，是分式． 故选：D． 【跟踪专练1】有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是分式的有 ，是整式的有 ．（请填写序号） 【答案】 ①③⑤⑥ ②④⑦ 【分析】本题考查了分式和整式，掌握分式和整式的定义是解题关键．根据分母中是否含有字母这一核心特征进行判断即可．注意是常数，不属于字母． 【详解】解：①，是分式； ②是整式； ③是分式； ④是整式； ⑤是分式； ⑥是分式； ⑦是整式； 即分式有①③⑤⑥，整式有②④⑦， 故答案为：①③⑤⑥，②④⑦． 【跟踪专练2】下列等式中，从左到右的变形中是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：A.等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； B.等式从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C.等式从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； D.等式的右边是整式和分式的积，不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解．熟知因式分解的定义是解此题的关键． 【跟踪专练3】已知，一次函数的图象过点，则一次函数的解析式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的定义，待定系数法求一次函数解析式等知识．根据得到，，，求出．结合一次函数的图象过点，即可求出一次函数解析式． 【详解】解：∵， ∴，，， 得， ∵， ∴． ∵一次函数的图象过点， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为． 故答案为：． 【题型2.分式中的规律探究】 【典例】观察下列等式，，，…根据其中的规律，猜想 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据题意分别用含x的式子表示出a1、a2、a3、a4，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答． 【详解】解：∵， ∴， ， ， …… ∴每3个数为一周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键． 【跟踪专练1】按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由前面几个代数式归纳可得第个代数式为：，从而可得答案. 【详解】解：∵，，，，…… ∴第个代数式为：， 当是，第9个代数式为：， 故选B 【点睛】本题考查的是分式的规律题，掌握探究的方法并利用归纳得到的规律解题是关键. 【跟踪专练2】观察下列关于的分式，探究其规律：，按着上述规律，第个分式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式规律探索，正确确定分子和分母的变化规律是解题关键．根据题意可得，第个分式的分子为，分母为，即可获得答案． 【详解】解：根据分式的分子和分母的规律可得， 第个分式是． 故答案为：． 【跟踪专练3】一列数，，，……满足，，，……以此类推，且规定：，，，……，其中m为正整数，则以下说法中正确的有（    ） ① ②当时， ③若恒成立，则 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了分式的规律性问题； ①根据题意求出，再根据和之间的关系求和即可；②根据题意求出，表示出，然后计算时的值即可；③根据得出，移项得，求出的最值，即可得到m的取值范围． 【详解】解：①由题意得：，，，…， ∴， ∴， ∴，正确； ②由题意得：， ， ，…， ∴， ∴ ， ∴当时，，错误； ③∵，恒成立， ∴恒成立，即， ∵， ∴，正确； 综上，正确的有2个， 故选：C． 【题型3.按要求构造分式】 【典例】已知一个分式中含有的字母仅是x，且对于任意实数x，分式的值始终为正数，则这个分式是 ．（写出一个正确的答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是分式的定义以及分式的值的含义，只需要构建一个分子与分母同号且分子不为0的分式即可． 【详解】解：∵一个分式中含有的字母仅是x，且对于任意实数x，分式的值始终为正数， ∴这个分式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】浓度为的盐水m公斤与浓度为的盐水n公斤混合后的溶液浓度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列分式．根据溶液浓度两种浓度的盐水中的盐的总质量两种浓度的盐水总质量，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵浓度为的盐水m公斤中含盐，浓度为的盐水n公斤中含盐， ∴混合后溶液的浓度为， 故选：D． 【跟踪专练2】请写出一个关于x的分式，无论x取何值该分式都有意义，且当时，分式的值为2： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查分式的定义、分式有意义的条件，结合分式的定义和分式有意义的条件，再根据题意列举符合题意的分式即可． 【详解】解：∵， ∴，即无论x取何值该分式都有意义， ∵当时，分式的值为2， ∴符合题意关于x的分式为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练3】某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【答案】B 【分析】根据题意，总人数为，但宋老师自己除外，因此实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 本题考查了列代数式，分式的应用，熟练掌握列代数式的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 故选：B． 【题型4.分式无意义的条件分析】 【典例】若分式无意义，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件．根据分式无意义，分母等于0列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意可得出， 解得：， 故选：D． 【跟踪专练1】分式（a，b是常数），当时，分式无意义，当时，分式的值为0，分式无意义，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查分式，负整指数幂，根据当时，分式无意义，即分母为0，求出b值；当时，分式的值为0，求出a值，掌握分式无意义的条件与分式的值为0的条件，是解题的关键． 【详解】解：由题意知：当时，分式无意义， ， ， 当时，分式的值为0， ， 解得：， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】分式中，当时，下列结论正确的是（    ） A．分式的值为零 B．分式无意义 C．若时，分式的值为零 D．若时，分式的值为零 【答案】D 【分析】本题主要考查分式的有意义的条件、分数值为零的条件，解答本题的关键是熟练掌握分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为零． 根据分式有意义的条件和分式值为零的条件即可求得结果． 【详解】当时， ， 即， 解得： ， 当，时，分式的值为零 故选：D． 【跟踪专练3】当x 时，分式有意义；当x 时，分式没有意义． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义和没有意义，由于分式有意义，则；由于分式没有意义，故． 【详解】解：当时，分式有意义， 所以； 当时，分式没有意义． 所以． 故答案为：；． 【题型5.分式有意义的条件分析】 【典例】要使分式有意义，则的取值应满足的条件是（    ） A． B． C． D．可以取任意实数 【答案】B 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 【跟踪专练1】若分式的值为0，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式值为零的条件，根据分式的值为零的条件，分子为零且分母不为零列出不等式组求解即可． 【详解】解：分式的值为0， 则有． 解方程，得或． 当时，分母，分式无意义，故舍去． 因此． 故答案为：． 【跟踪专练2】根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（   ） … 0 1 2 … … 0 无意义 * 无意义 * … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件及分式的值为的条件解答即可，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，当时分式无意义， ∴A不合题意； ∵当时，分式无意义， ∴B不合题意； ∵时分式的值为， ∴C不符合题意，D符合题意， 故选：D． 【跟踪专练3】要使分式有意义，则x的取值应满足 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式有意义的条件，零指数幂，熟练掌握它们成立的条件是解题的关键．根据分式有意义，则分母不为0；零指数幂的底数不为0解答即可． 【详解】解：要使分式有意义， 则，， 且， 故答案为：且． 【题型6.分式值为零的条件分析】 【典例】若分式的值为0，则x的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值为零，根据分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0，计算即可得解，熟练掌握分式的值为零的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， 解得：， 故选：A． 【跟踪专练1】当 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】本题考查了分式值为零的条件和分式有意义的条件，掌握分式值为0则分子为0且分母不为0是解题的关键；根据分式值为零的条件和分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：分式的值为0， ， 解得， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】如果有理数a，b使得，那么（　　） A．是负数 B．是正数 C．是正数 D．是负数 【答案】D 【分析】本题考查分式值为零的条件，有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据分式值为0的条件可得，，然后逐项判断即可． 【详解】解：由题可知，且， 则且， 那么，，都不确定， 一定是负数． 故选：D． 【跟踪专练3】当 时，分式在实数范围内有意义，当 时，分式的值为0． 【答案】 取一切实数 值为1 【分析】本题考查了分式有意义的条件和分式值为0的条件，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）确定分母恒大于0，则分子取一切实数即可； （2）根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0 求解． 【详解】解：∵， ∴，则分母始终不为0， ∴取一切实数； ∵分式的值为0， ∴， 解得：， 故答案为：取一切实数；值为1． 【题型7.分式的化简与求值】 【典例】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的求值，先根据已知条件得到，再把代入所求式子中进行约分即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选A． 【跟踪专练1】若，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题主要考查了分式的拆分变形，熟练掌握分式的运算性质是解题的关键．利用已知比例关系，将所求表达式拆分为已知比例与常数的差，然后代入计算． 【详解】解：∵ ， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】植树节时，某班平均每人植树6棵，如果只由女同学完成，每人应植树15棵，如果只由男同学完成，每人应植树（    ） A．12棵 B．11棵 C．10棵 D．9棵 【答案】C 【分析】本题考查列分式，设该班总人数为人，根据某班平均每人植树6棵，如果只由女同学完成，每人应植树15棵，求出植树的总数和女生的人数，进而求出男生的人数，用植树的总数除以男生的人数，即可求出每人应植树的棵数． 【详解】解：设该班总人数为人，则共植树棵，女生人数为人， ∴男生人数为（人）， ∴如果只由男同学完成，每人应植树（棵）； 故选C． 【跟踪专练3】已知，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质，分式的求值，根据非负性求出的值，代入分式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【题型8.分式值正负时未知数的取值范围】 【典例】若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A．x>-2 B．x<1 C．x>-2且x≠1 D．x>1 【答案】C 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0和两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除即可得出答案． 【详解】解：原式=， 当x≠1时，（x-1）2＞0， 当x+2＞0时，分式的值为正数， ∴x＞-2且x≠1． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的值，掌握两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除是解题的关键． 【跟踪专练1】如果分式的值为负数，那么x应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据分式值的情况求参数，解一元一次不等式，根据题意可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵分式的值为负数， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】若，则，的值可能是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题是考查了分式性质，不等式与数的取值范围，解题关键在于依据、的正负性和取值范围，分析的取值情况，判断是否满足． 【详解】解：A、当，时，，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； B、当，时，，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； C、当，时，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； D、当，时，取，，， 存在满足的情况，故选项符合题意， 故选：D． 【跟踪专练3】当x 时，分式有意义；如果分式的值为0，那么x的值是 ．当x满足 时，分式的值为负数． 【答案】 1 x<2且x≠-1 【分析】根据分式有意义的条件、分式的值为0的条件及分式的值为负数的条件即可解答． 【详解】∵分式有意义， ∴， 即； ∵分式的值为0， ∴且， ∴x=1； ∵分式的值为负数， ∴x-2<0且 即x-2<0且x+1≠0， ∴x<2且x≠-1． 故答案为：；1；x<2且x≠-1． 【点睛】本题是基础题，考查了分式有意义的条件、分式的值为0的条件及分式的值为负数的条件，熟练运用分式有意义的条件、分式的值为0的条件及分式的值为负数的条件是解决问题的关键． 【题型9.分式值为整数时未知数解】 【典例】请写出一个满足条件的m值，使得分式的值为整数： ． 【答案】1（不唯一） 【分析】本题主要考查了求分式的值， 将的值代入分式，求出结果为整数即可． 【详解】解：当时，，其值为整数， 所以． 故答案为：1（答案不唯一）． 【跟踪专练1】对于正整数，使分式的值是一个整数，则可能取值的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的性质，首先把分式整理可得：，因为分式的值是一个整数，所以是整数，所以可得或或，又因为为正整数，可得或，所以可能取值的个数是. 【详解】解：， 分式的值是一个整数， 是整数， 或或， 、、、、、， 又为正整数， 或， 可能取值的个数是. 故选：B． 【跟踪专练2】若的分子、分母同时加上正整数时，该分数成为整数，这样的正整数共有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的值为整数的条件，熟练掌握分离常数法是解题的关键．由，可知为998的因数，从而得到答案． 【详解】解： 为整数 为998的因数 或998 正整数n共有2个． 故答案为：2． 【跟踪专练3】如图，若x为正整数，则表示分式的值落在（　 ） A．线①处 B．线②处 C．线③处 D．线④处 【答案】B 【分析】逆用同分母分式的加减法法则，把分式进行化简，判断分式的值的取值范围，计算即可，本题考查了同分母分数加减法法则的应用，不等式的基本性质，熟练掌握法则是解题的关键． 【详解】∵ ， ∵x为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 1．当取什么值时，分式． (1)分式有意义； (2)分式的值为0． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式有意义的条件、分式值为零的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件是分子为零且分母不为零是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件即可求解； （2）根据分式值为零的条件即可求解． 【详解】（1）解：∵分式有意义， ∴， 解得：； （2）解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 2．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和是_________； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】(1) (2) (3)或0 【分析】本题考查了真分式及分式的加减法．理解题目给出的定义是解决问题的关键． （1）逆用同分母分式加减法法则，仿照例题求解即可； （2）逆用同分母分式加减法法则，仿照例题求解即可； （3）先把分式化为真分式，再根据值为整数，x的值为整数确定x的值． 【详解】（1）解： ， 答案为：； （2）解： ； （3）解：． 分式的值为整数，且为整数， ， 或0． 3．阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即． 所以． 故的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知：，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的运算，解题的关键是正确理解题目给出的解答思路，本题属于基础题型．根据“倒数法”的解题思路即可求出答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 4．观察下面的等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)请你猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，直接作答即可； （2）认真理解题干的式子过程，总结得第n个等式为，再把进行通分化简，得出，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； （2）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式： …… ∴第n个等式为 证明过程如下： 故． 5．阅读材料：解分式不等式 ． 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：① 或 ② 解①，得无解，解②，得 ． 所以原不等式的解集是 ． 请仿照上述方法解下列分式不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了解不等式组，根据分式值的情况求参数范围： （1）仿照题意得到不等式组或 ，分别解之即可； （2）仿照题意得到不等式组或 ，分别解之即可． 【详解】（1）解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，∴原不等式可转化为：或 解不等组①得 解不等式组②得无解． ∴原不等式的解集是 （2）解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，∴原不等式可转化为：或 解不等式组①得，解不等式组②，得． ∴原不等式的解集是或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $