专题15分式的加减与乘除题型突破讲义(知识点梳理+题型精析+强化巩固专练+寒假预习)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题15分式的加减与乘除题型突破讲义（3） 基础 过关题 1.同分母分式加减法 2.异分母分式加减法 3.分式乘法 4.分式除法 5.分式乘方 能力 提升题 6.整式与分式相加减 7.分式加减混合运算 8.分式乘除混合运算 9.含乘方的分式乘除混合运算 10.分式加减乘除混合运算 11.分式化简求值 拓展 拔高题 12.已知分式恒等式确定分子分母 13.分式加减的实际应用 14.分式最值 分式的加减（核心：通分、同分母法则、异分母转化） 一、必记法则 同分母分式相加减 ±（c0）​ 重点：分母不变，分子直接加减，结果必须约分至最简。 异分母分式相加减 先通分（找最简公分母），化为同分母，再按同分母法则计算： ±（b0，d0） 二、关键技能 1.最简公分母确定 系数：取各分母系数的最小公倍数 字母 / 因式：取所有不同字母 / 因式的最高次幂 多项式：先因式分解，再定公分母 2.通分要点 分母是多项式必须先分解因式 分子是多项式时，加减要加括号，防止符号错误 三.易错警示 1.分子加减漏括号、符号出错 2.结果不约分、分母去括号错误 3.整式与分式加减：把整式看成分母为 1 的分式再通分 分式的乘除（核心：先因式分解、再约分、最后运算） 一、必记法则 1.分式乘法 ​ 分子乘分子，分母乘分母，先约分再相乘更简便。 2.分式除法 除以一个分式 = 乘以它的倒数： 二、关键步骤（必考标准步骤） 1.所有分子、分母先因式分解 2.找出公因式交叉约分（除式先变倒数再约） 3.剩余因式相乘，结果为最简分式 / 整式 三、易错警示 1.除法不颠倒直接约分 2.因式分解不彻底导致约不掉、算错 3.符号处理错误（负号多写 / 漏写） 4.约分时只约系数、不约相同因式 【题型1.同分母分式加减法】 1．计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查同分母分式加减运算，根据两个分式分母相同，直接进行分子相减，再化简即可． 【详解】原式=， 由于， 所以． 故答案为：． 2．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的减法，熟记“同分母分式的减法法则”是解答本题的关键． 两个分式分母相同，直接合并分子后因式分解并约分即可. 【详解】解：∵ ∴ 当时， 故选：C． 3．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，分式的约分，解题关键是将已知式子适当变形，再整体代入求值． 先将，变形为，再整体代入求值． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 4．若互为倒数，且，则分式的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式化简求值，根据互为倒数，得到，再由分式减法运算、约分得到最简结果，代值即可得到答案，熟练掌握分式混合运算法则化简是解决问题的关键． 【详解】解：互为倒数， ， 将代入即可得到的值为， 故选：D． 解答题 5．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)-1 (2)-1 (3) 【分析】本题考查了分式的加减法，熟记“同分母分式的加减法法则”是解答本题的关键． （1）将变形为，然后按照同分母分式的加减法法则计算即可； （2）将变形为，然后按照同分母分式的加减法法则计算即可； （3）将变形为，然后按照同分母分式的加减法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【题型2.异分母分式加减法】 .6．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握是解题的关键． 先通分再带入计算即可． 【详解】解：． 故答案为． 7．计算，结果是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查分式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键； 先把分母进行变形，然后利用分式的减法运算进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 8．A，B为常数，如果，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式的通分与恒等式的系数匹配，解题的关键是通过通分将左边化为同分母分式，再比较分子系数建立方程组求解． 先对左边分式通分，将其化为与右边同分母的形式，再通过分子多项式的系数对应关系，即可得出结果． 【详解】解：对左边通分：， ∵左边等于右边， ∴分子需相等， ∴， 展开左边：， 比较等式两边的系数和常数项，得， 故答案为：2． 9．一辆货车送货上山，并按原路下山．若上山速度为，下山速度为，则货车上、下山的平均速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平均速度的计算，掌握平均速度=总路程÷总时间，通过设路程为简化计算是解题的关键． 设上山路程为，则总路程为，总时间为上山时间与下山时间之和，即，代入公式计算即可． 【详解】设上山路程为km， ∵ 总路程km， 总时间 ， ∴ 平均速度 = = ， 故选：A． 解答题 10．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的加减运算，通分、因式分解与符号变形的技巧，掌握找最简公分母，统一分母后合并分子，再约分的步骤是解题的关键． （1）通分后合并分子再约分； （2）先统一分母，变形为再通分计算； （3）先对分母因式分解，再通分合并分子． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【题型3.分式乘法】 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法运算，掌握其运算法则是关键． 根据分式的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 12．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘法运算和完全平方公式的因式分解，掌握先对多项式因式分解，再通过约分简化计算的技巧是解题的关键． 先对分母的多项式进行因式分解，再观察分子分母的公因式，通过约分简化分式乘法运算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 约去公因式 得 ， 故选：C． 13．甲、乙两艘船在某海域航行，甲船航行用了，如果乙船的航速是甲船航速的，那么乙船航行的路程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式， 根据题意先表示出甲船的速度，进而得出乙船的速度，据此即可解决问题，熟知速度、路程和时间三者之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题知， 甲船的速度为， 则乙船的速度为：， ∴乙船航行的路程为， 故答案为：． 14．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘法，先根据分式的乘法法则进行计算，然后利用整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴； 故选C． 【题型4.分式除法】 15． ． 【答案】 【分析】本题主要查了分式的除法运算，熟练掌握分式的除法运算法则是解题的关键． 根据分式的除法运算法则解答，即可． 【详解】解：． 故答案为： 16．若式子有意义，则x满足的条件是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的除法，分式有意义的条件，正确理解定义是解题关键． 直接利用分式有意义的条件得出答案． 【详解】解：∵分式有意义， ， 且且， 故选：D． 17．若等于它的倒数，则分式的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查分式的除法运算及倒数，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据分式除法法则化简得出最简结果，根据等于它的倒数得出，代入求值即可得答案． 【详解】解： ， ∵等于它的倒数， ∴， 当时，原式， 当时，原式． 故答案为：或． 18．下列各式，正确的是（     ） A． B． C． D．=2 【答案】A 【分析】本题考查分式的化简与运算．选项A中分子与分母相等，故值为1；选项B、C、D通过取特殊值或运算规则可判断错误． 【详解】解：∵ ， ∴ ，故A正确． 不能约分，故B错误． ，故C错误． ，故D错误． 故选A． 解答题 19．计算直接写出结果 (1)______ (2)_____ (3)______ (4)______ (5)______ (6)______ 【答案】(1) (2) (3)3 (4)2 (5) (6) 【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式，分式的混合运算，解题的关键是掌握分式相关的法则和平方差公式，完全平方公式． （1）用平方差公式计算即可； （2）用完全平方公式计算即可； （3）用同分母的分式相加减法则计算后再约分即可； （4）先算乘法，再算加法； （5）先算乘方，再约分即可； （6）把除化为乘，再约分即可． 【详解】（1）解：原式； 故答案为：； （2）原式； 故答案为：． （3）原式； 故答案为：． （4）原式； 故答案为：． （5）原式； 故答案为：． （6）原式； 故答案为：． 【题型5.分式乘方】 20．化简： ． 【答案】 【分析】根据分式的乘方运算，化简即可． 【详解】解：； 故答案为： 【点睛】本题考查分式得乘方运算．熟练掌握乘方的运算法则，是解题的关键． 21．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的化简，原式先计算乘方，再计算乘法，约分即可． 【详解】解： ， 故选：B． 22．如图，中，，，，点、、分别是边、、的中点；点、、分别是边、、的中点；；以此类推，则第2025个三角形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，图形的变化规律，根据三角形的中位线性质可得后一个三角形的周长是前一个三角形周长的，据此得到第n个三角形的周长为，把代入计算即可求解． 【详解】解：由题可得的周长为， ∵点、、分别是边、、的中点， ∴、、是的三条中位线， ∴的周长是， 同理，的周长是， ⋯， 以此类推，的周长是， ∴第2025个三角形的周长是， 故答案为：． 23．下列正确的是（　　） A． B．分式的值为零，则的值为 C． D． 【答案】D 【分析】运用平方差公式计算并判定A；根据分式值为0，分子等于0，分母不等于0求出x值即可判定B；根据完全平方公式变形计算即可判定C；利用分式的乘方与幂的积的乘方公式计算并判定D． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、∵分式的值为零，∴且，解得，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，正确，故此选项不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查平方差公式，完全平方公式，分式值为零，分式有意义的条件，分式乘方运算等知识，熟练掌握相关计算公式是解题的关键． 【题型6.整式与分式相加减】 24．化简的结果为 ． 【答案】 【分析】先通分，再根据同分母分式的加法法则计算即可 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查了分式和整式的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键 25．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：A．，故错误，不符合题意； B．，故正确，符合题意； C．，故错误，不符合题意； D．，故错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查分式的加减法，解答的关键是熟练掌握与应用分式的加减法法则． 26．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】先通分再化简即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的减法运算，平方差公式；当分母不同时，要先通分化成同分母的分式，再相减，最后结果能约分的要约分． 27．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了幂的运算法则、因式分解、分式的加减等知识，根据运算法则进行计算后即可得到答案． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项正确，符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 解答题 28．我们学过的分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，则称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，则称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，；． 请按照以上方法解决下列问题． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和，然后判断当x取什么整数时，该分式的值也为整数． 【答案】(1) (2)，或或0或1 【分析】本题考查了分式的加减运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． （1）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可； （2）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出x的值． 【详解】（1）原式 ； （2）解：原式 ， ∵x为整数，该分式的值也为整数， ∴或或1或2， ∴或或0或1． 【题型7.分式加减混合运算】 29．计算： ． 【答案】 【分析】根据分式的加减混合运算求解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减法运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算从而完成求解． 30．对于式子的描述，正确的是（    ） A．该代数式的值必大于0 B．该代数式的值必小于0 C．该代数式的值可能为0 D．该代数式的值不能为0 【答案】D 【分析】先进行通分化简，根据已知可得a≠0，b≠0，c≠0，进一步分析代数式的值即可． 【详解】解：由题意可知，a≠0，b≠0，c≠0， ＝ ＝， ∵a≠0，b≠0，c≠0， ∴a2+b2+c2＞0，abc≠0， ∴≠0， ∴该代数式的值不能为0． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的求值，分式的求值题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简； ③已知条件和所给代数式都要化简． 31．已知为整数，且为整数，则所有符合条件的的值的积为 ． 【答案】180 【分析】本题考查了分式的加减，先通分，再根据分式的加减法法则计算，根据题意求出符合条件的的值，计算即可，熟练掌握分式的加减法法则是解题的关键． 【详解】解： ∵为整数，且为整数， ∴或或或， 解得：或或或， ∴符合条件的的值的积为： 故答案为：． 32．为整数，符合条件的整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】当时，去掉绝对值后利用分离常数法得到，再根据题意可得为整数，由此可得或；同理当时，可得为整数，求出（舍去）；由此即可得到答案． 【详解】解：当时， ， ∵为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或； 当时， ， ∵为整数， ∴为整数， ∴， ∴（舍去）； 综上所述，或； 故选B． 【点睛】本题主要考查了根据分式值的情况求未知数，熟知分离常数法和分式的运算法则是解题的关键． 解答题 33．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式加减法的混合运算，理解通分的运算法则，分式的加减法运算法则是解答关键． （1）先通分，再利用分式加减法运算法则求解； （2）先通分，再利用分式加减法运算法则求解； （3）先通分，再利用分式减法运算法则求解； （4）先变号，再通分，再利用分式减法运算法则求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： ． 【题型8.分式乘除混合运算】 34．计算： ． 【答案】 【分析】本题先将除法统一成乘法，然后化为最简分式即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是将除法一定要先统一成乘法再进行运算． 35．计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解决本题的关键． 先把除法转化为乘法，再按分式的乘法法则计算． 【详解】解： ． 故选：B． 36．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，根据分式的乘除混合运算法则即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 解答题 37．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）根据分式的乘除运算法则计算即可． （2）先计算乘方，再计算乘除即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型9.含乘方的分式乘除混合运算】 38．美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号前边的代数式污染，即  ．通过查看，得知答案为，则被污染的代数式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，掌握其运算法则是关键． 根据分式的除法运算法则计算即可求解，被除数等于商乘以除数． 【详解】解：， 故答案为： ． 39．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的乘法运算，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键．根据分式的乘法运算法则计算即可得解． 【详解】解：， 故选：D． 40．化简的结果为 ． 【答案】 【分析】先根据负指数幂的运算法则计算乘方，再算乘法，即可得出结果． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握分式乘方的运算法则及运算顺序是解答本题的关键． 41．的结果是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先计算分式的乘方，再把除法转换为乘法，约分后即可得解． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 【题型10.分式加减乘除混合运算】 42．计算 ． 【答案】 【分析】根据分式的乘除运算法则即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式的乘除法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 43．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的运算，先通分计算括号中的分式，然后，计算乘法，即可得出结果． 【详解】解：原式 ． 故选：． 44．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除运算，平方差公式因式分解，掌握将除法转化为乘法，分解因式后约分简化是解题的关键． 将除法运算转化为乘法运算，利用平方差公式分解因式，然后通过约分简化表达式． 【详解】原式​​ ​． 故答案为：​． 解答题 45．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则进行计算即可； （2）先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，然后把除法运算化为乘法运算后约分即可. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是能正确根据分式的运算法则进行化简，注意运算顺序． 【题型11.分式化简求值】 46．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的求值，由得到，再代入，即可求值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 47．已知，则（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，由已知条件 可得，进而得到．将所求表达式中的分子化为，并代入已知关系，简化后即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ，即， ∴． 又∵， 代入和， 得， 故选A． 48．已知，则分式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，正确化简分式是解题的关键． 先将括号内的表达式通分并利用完全平方公式化简，再将分式除法转化为乘法运算，最后代入已知条件求值． 【详解】解：原式 当 时，原式， 故答案为：． 解答题 49．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式化简的技巧是解题的关键； 利用已知的将各式分母中的1进行替换，通过公因式化简再合并同类项． 【详解】解：， ，，， ， ， 原式． 【题型12.已知分式恒等式确定分子分母】 50．已知，且，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式的加减，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会恒等变形，由题意，可得，因为，所以，推出，由此即可解决问题． 【详解】解析：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 51．若的值为，则的值为（　　） A． B． C． D．． 【答案】D 【分析】根据条件先求出的值，然后整体代入求解即可． 【详解】由题意可得，，则， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查分式求值问题，灵活根据条件变形，并熟练运用整体思想是解题关键． 52．已知＝，且A、B为常数，则A+3B＝ ． 【答案】0 【分析】先通分，再根据分式的加减进行计算，根据已知得出二元一次方程组，求出方程组的解，再代入求值即可． 【详解】解： ＝ ＝ ＝， ∵＝，且A、B为常数， ∴， ∴， 解得：， ∴A+3B＝3+3×(-1)=0， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了分式的加减和解二元一次方程组，能得出关于A、B的方程组是解此题的关键． 解答题 53．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键，将右边通分后比较分子系数，得到关于和的方程组，解方程组求出和，再计算的值． 【详解】解： , ， ， ， ， 解得：， ． 【题型13.分式加减的实际应用】 54．已知某船从甲港口到乙港口的距离为千米， 船速为千米/时， 返回时的速度是去时的2倍，则船往返的总时间为 小时． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式、分式的加减运算等知识点，理解题意正确的列出代数式成为解题的关键． 先根据时间、路程、速度的关系分别求出去时和返回所用的时间，然后把往返的时间分别相加，再化简即可解答． 【详解】解：∵船去时所用时间为：（小时）， ∵船返回时所用时间为：（小时​​​​）， 则船往返的总时间为（小时）． 故答案为：． 55．某商家常将单价不同的A、B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A、B两种糖的总价与A、B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．则下列判断正确的是（   ） A．“什锦糖”甲的单价比“什锦糖”乙的单价贵 B．“什锦糖”甲的单价比“什锦糖”乙的单价便宜 C．“什锦糖”甲的单价和“什锦糖”乙的单价相同 D．无法判断“什锦糖”甲的单价和“什锦糖”乙的单价谁更便宜 【答案】A 【分析】设A种糖的单价为x元/千克，B种糖的单价为元/千克，得出取质量为m的两种糖混合而成的“什锦糖”甲的单价为元/千克，取价格为n元的两种糖混合而成的“什锦糖”乙的单价为元/千克，然后再比较大小即可． 【详解】解：设A种糖的单价为x元/千克，B种糖的单价为元/千克，取质量为m的两种糖混合而成的“什锦糖”甲的单价为： （元/千克）， 取价格为n元的两种糖混合而成的“什锦糖”乙的单价为： （元/千克）， ∵， 又∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴“什锦糖”甲的单价比“什锦糖”乙的单价贵． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，解决本题的关键是根据题意求出甲、乙两种“什锦糖”的单价． 解答题 56．某资料上有这样一段文字：“民用住宅窗户面积应小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比值越大，住宅的采光条件会越好．”下面是奇奇和嘉嘉的对话，请根据对话内容回答问题． 奇奇：“如果同时增加相等的窗户面积和地板面积，那么住宅的采光条件会不会更好？” 嘉嘉：“我们可以具体算一下：假设某住宅窗户面积为3平方米，地板面积为15平方米，如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，那么住宅的采光条件会变好．” (1)请你通过计算，验证嘉嘉的说法． (2)假设某住宅窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米，且，如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，那么住宅的采光条件会变好吗？请说明理由． 【答案】(1)窗户面积和地板面积同时增加1平方米，住宅的采光条件会变好 (2)如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，那么住宅的采光条件会变好． 【分析】此题考查了分式的混合运算，弄清作差法比较大小的方法是解本题的关键． （1）根据题意计算出窗户面积和地板面积同时增加1平方米时窗户面积与地板面积的比值，与原比值进行比较即可； （2）根据题意表示出窗户面积和地板面积同时增加1平方米是窗户面积与地板面积的比值，利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：住宅窗户面积为3平方米，地板面积为15平方米， ． 窗户面积和地板面积同时增加1平方米， ． ， 窗户面积和地板面积同时增加1平方米，住宅的采光条件会变好． （2）解：如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，那么住宅的采光条件会变好． 理由：住宅窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米， ． 窗户面积和地板面积同时增加1平方米，．， 又， ，． ． ． 如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，那么住宅的采光条件会变好． 【题型14.分式最值】 57．若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 【答案】B 【分析】本题考查了分式的求值，先把化简，再根据分式的特点分析即可． 【详解】解：， 分式要有意义， ， 且， a为正整数， ∴a的最小值为2． 分式的值随着a的值的增大而减小， ∴当a取最小整数2时，原式有最大值，最大值，且原分式无最小值． 故选：B． 58．如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先将分式化简、变形为，由为正整数知，据此可得，从而得出答案． 【详解】解： ， ∵为正整数， ， ， ， ∴表示的值的点落在段②． 故选：B． 解答题 59．阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： (1)分式是 ；（填“真分式”或“假分式”） (2)将分式化成带分式； (3)当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)假分式 (2) (3)时，最大值为7 【分析】本题考查了分式的定义和化简，做题的关键是把分子中高于或等于分母次数的项通过凑项与分母化简． （1）根据题意判断，即可求解； （2）把原式变形为，约分即可得到答案； （3）由（2）可得：，求出分母的最小值即可得原分式的最大值． 【详解】（1）解：分子，分母的次数相等，则是假分式， 故答案为：假分式； （2）解： （3）由（2）可得：， ∵， ∴， ∴当时，最大， ∴当时，有最大值，最大值为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15分式的加减与乘除题型突破讲义（3） 基础 过关题 1.同分母分式加减法 2.异分母分式加减法 3.分式乘法 4.分式除法 5.分式乘方 能力 提升题 6.整式与分式相加减 7.分式加减混合运算 8.分式乘除混合运算 9.含乘方的分式乘除混合运算 10.分式加减乘除混合运算 11.分式化简求值 拓展 拔高题 12.已知分式恒等式确定分子分母 13.分式加减的实际应用 14.分式最值 分式的加减（核心：通分、同分母法则、异分母转化） 一、必记法则 同分母分式相加减 ±（c0）​ 重点：分母不变，分子直接加减，结果必须约分至最简。 异分母分式相加减 先通分（找最简公分母），化为同分母，再按同分母法则计算： ±（b0，d0） 二、关键技能 1.最简公分母确定 系数：取各分母系数的最小公倍数 字母 / 因式：取所有不同字母 / 因式的最高次幂 多项式：先因式分解，再定公分母 2.通分要点 分母是多项式必须先分解因式 分子是多项式时，加减要加括号，防止符号错误 三.易错警示 1.分子加减漏括号、符号出错 2.结果不约分、分母去括号错误 3.整式与分式加减：把整式看成分母为 1 的分式再通分 分式的乘除（核心：先因式分解、再约分、最后运算） 一、必记法则 1.分式乘法 ​ 分子乘分子，分母乘分母，先约分再相乘更简便。 2.分式除法 除以一个分式 = 乘以它的倒数： 二、关键步骤（必考标准步骤） 1.所有分子、分母先因式分解 2.找出公因式交叉约分（除式先变倒数再约） 3.剩余因式相乘，结果为最简分式 / 整式 三、易错警示 1.除法不颠倒直接约分 2.因式分解不彻底导致约不掉、算错 3.符号处理错误（负号多写 / 漏写） 4.约分时只约系数、不约相同因式 【题型1.同分母分式加减法】 1．计算 ． 2．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则 ． 4．若互为倒数，且，则分式的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 解答题 5．计算： (1)． (2)． (3)． 【题型2.异分母分式加减法】 6．已知，，则 ． 7．计算，结果是（    ） A． B．0 C．1 D．2 8．A，B为常数，如果，则 ． 9．一辆货车送货上山，并按原路下山．若上山速度为，下山速度为，则货车上、下山的平均速度为（   ） A． B． C． D． 解答题 10．计算： (1)． (2)． (3)． 【题型3.分式乘法】 11．计算： ． 12．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 13．甲、乙两艘船在某海域航行，甲船航行用了，如果乙船的航速是甲船航速的，那么乙船航行的路程为 ． 14．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【题型4.分式除法】 15． ． 16．若式子有意义，则x满足的条件是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且且 17．若等于它的倒数，则分式的值为 ． 18．下列各式，正确的是（     ） A． B． C． D．=2 解答题 19．计算直接写出结果 (1)______ (2)_____ (3)______ (4)______ (5)______ (6)______ 【题型5.分式乘方】 20．化简： ． 21．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 22．如图，中，，，，点、、分别是边、、的中点；点、、分别是边、、的中点；；以此类推，则第2025个三角形的周长是 ． 23．下列正确的是（　　） A． B．分式的值为零，则的值为 C． D． 【题型6.整式与分式相加减】 24．化简的结果为 ． 25．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 26．计算的结果是 ． 27．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 解答题 28．我们学过的分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，则称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，则称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，；． 请按照以上方法解决下列问题． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和，然后判断当x取什么整数时，该分式的值也为整数． 【题型7.分式加减混合运算】 29．计算： ． 30．对于式子的描述，正确的是（    ） A．该代数式的值必大于0 B．该代数式的值必小于0 C．该代数式的值可能为0 D．该代数式的值不能为0 31．已知为整数，且为整数，则所有符合条件的的值的积为 ． 32．为整数，符合条件的整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 解答题 33．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型8.分式乘除混合运算】 34．计算： ． 35．计算正确的是（   ） A． B． C． D． 36．计算： ． 解答题 37．计算： (1) (2) 【题型9.含乘方的分式乘除混合运算】 38．美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号前边的代数式污染，即  ．通过查看，得知答案为，则被污染的代数式为 ． 39．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 40．化简的结果为 ． 41．的结果是（    ） A． B． C． D．1 【题型10.分式加减乘除混合运算】 42．计算 ． 43．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 44．计算： ． 解答题 45．计算： (1)． (2)． 【题型11.分式化简求值】 46．已知，则的值为 ． 47．已知，则（   ） A． B． C．1 D．5 48．已知，则分式的值是 ． 解答题 49．已知，求的值． 【题型12.已知分式恒等式确定分子分母】 50．已知，且，则 ． 51．若的值为，则的值为（　　） A． B． C． D．． 52．已知＝，且A、B为常数，则A+3B＝ ． 解答题 53．已知，求的值． 【题型13.分式加减的实际应用】 54．已知某船从甲港口到乙港口的距离为千米， 船速为千米/时， 返回时的速度是去时的2倍，则船往返的总时间为 小时． 55．某商家常将单价不同的A、B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A、B两种糖的总价与A、B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．则下列判断正确的是（   ） A．“什锦糖”甲的单价比“什锦糖”乙的单价贵 B．“什锦糖”甲的单价比“什锦糖”乙的单价便宜 C．“什锦糖”甲的单价和“什锦糖”乙的单价相同 D．无法判断“什锦糖”甲的单价和“什锦糖”乙的单价谁更便宜 解答题 56．某资料上有这样一段文字：“民用住宅窗户面积应小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比值越大，住宅的采光条件会越好．”下面是奇奇和嘉嘉的对话，请根据对话内容回答问题． 奇奇：“如果同时增加相等的窗户面积和地板面积，那么住宅的采光条件会不会更好？” 嘉嘉：“我们可以具体算一下：假设某住宅窗户面积为3平方米，地板面积为15平方米，如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，那么住宅的采光条件会变好．” (1)请你通过计算，验证嘉嘉的说法． (2)假设某住宅窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米，且，如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，那么住宅的采光条件会变好吗？请说明理由． 【题型14.分式最值】 57．若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 58．如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 解答题 59．阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： (1)分式是 ；（填“真分式”或“假分式”） (2)将分式化成带分式； (3)当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $