平面向量的线性运算、用基底表示向量专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面向量：平面向量的线性运算、用基底表示向量专项训练 平面向量：平面向量的线性运算、用基底表示向量专项训练 考点目录 平面向量的线性运算 用基底表示向量 考点一 平面向量的线性运算 （25-26高二上贵州毕节期未)已知a,6 AB=2a+b,BC=3a+26,CD=3a+ 例1. 是不共线向量，且 ,则() A,B,C B,C,D A. 三点共线 B. 三点共线 A,B,D A,C,D C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】C 【详解】由愚题可得BD=BC+CD=(3ā+26)+3ā+b)=6i+36=3AB A,B,D 又线段BD与线段AB有公共点B,所以 三点共线。 故选：C 例2.(2026-山东泰安一模)已知向量，6不共线，且2g-G)/川3G+28, 则实数2=() A.3 B.-3 C.3 D专 【答案】D 【详解】由2G-回1川3g+2g可知，存在1eR,使得2g-26=(3G+2g), [3t=2 4 因，5不共线，则有21=-元，解得2=3 故选：D. 例3.(2526高-上北京西城期末)设a,乃是向量，则“a=26”是问=2，的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由数乘定义可知， 若a=26,则l同=26： 平面向量：平面向量的线性运算、用基底表示向量专项训练 若同=2， 表示向量a的长度是向量b长度的2倍，但a,b的方向不一定相同， 所以由同=2推不出ā=25， 综上，“a=26”是同=2啊~的充分不必要条件 故选：A 例4. 高一下山东菏泽月考》已知方是两个不共线的向量，向量6-a,a-力共线，则实数 【答案】3 1-35共线， 【详解】因为向量6-1a,2a-2 所以在实数使-=行-兰+分， 2 1、3 3 则 ，解得 入 1，则1 -t= t3 t= 故答案为：3 例5.(25-26高三上安徽六安·月考)在△ABC中，点D是线段BC上任意一点（不包含端点），点E为线段AC 的中点， F=2F历，若D=m正+n亚，则m的最大值为一 3 【答案】40.75 【详解】 E F B D 由已知可得： D=mA正+nf=m4C+2mB】 1 又因为D在线段BC上， 平面向量：平面向量的线性运算、用基底表示向量专项训练 所以有BD=BC→D-丽=A4C-→D=Ac+1-刘B,且20，则， )ms元 1 根据平面向量基本定理可知： 2 n=1-元 所以m+子n=l,且mne0,即mQ2me0 1 2 2 3 122 = 则 Vmn 2V2m3n=、 1 2 3 当且仅当2m= ”，即m=山n=4时取等号， 为网子-9 √ 3， 2，所以 4 3 即mn的最大值为4： 3 故答案为：4· 例6。(2526高三上上海月考)设M是ABC所在平面上的点，且呱+丽+C=-0,D是AC的中点，则 DM BM 1 【答案】 【详解】因为D是AC中点， 所以Mi=-M+MC=-3x2MD=-3MD, 2 DM 1 所以BM 3. 故答案为：3 平面向量：平面向量的线性运算、用基底表示向量专项训练 M D 变式1. (25-26高三上：内蒙古期未)设9,6是两个不共线的向量，若向量m=-G+kg与1=6-26共线，则 k=() A.2 B.2 C.-2 D.-2 【答案】B 【详解】由共线向量定理可知存在实数入，使得m=1切 即-日+kc,=1g-2阳=g-212,又日与6是不共线向量， 2 所以〔-1=-22，解得 1 k=, 122 故选：B. 变式2. (24-25高-下江西上饶月考)如图，在正六边形1 BCDEF中，AC=（) E D A.24B+AF B.4B-24F 2AB+2AF AB+2AF D. 【答案】A 【详解】连接AD、BE、CF交于点O,如下图所示： D 平面向量：平面向量的线性运算、用基底表示向量专项训练 由正六边形的几何性质可知△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF、△OFA均为等边三角形， 因为OF=AF=AB=OB,故四边形ABOF为菱形， 同理可如，四边形C0也为菱形，所而-=孤=0 ,故=26 故 AC=AF+FC=AF+2AB 故选：A 变式3.(25-26高三上安徽开学考试)如图，5x5的方格里，每个方格长度为1，则向量i-B=（) b A.%+38, B.-8+38 C.-3g+6 D.38+g 【答案】B 【详解】如图所示， a-b=A0-BO=A0+OB=AB=-e +3e 故选：B B不 龙 变式4.(25-26高一上上海黄浦月考)在菱形中，若 ABCD ∠DAB=6 。,则AB 册 【答案】1 【详解】因为四边形ABCD为菱形，所以AB=AD, 又因为∠DAB=60°，所以△ABD是等边三角形，即BD=AB 平面向量：平面向量的线性运算、用基底表示向量专项训练 AB-AD DB AB 所以 1 AB AB AB 故答案为：1 变式5。(2425高=下潮北武汉期术)已知弓，6是两个不共线的向量，日=日+2运，6=2g-屈，若0与5共 线，则实数k的值是一 【答案】-4 【详解】因为与6是共线向量，所以存在实数己，使得=15， 所以9+2g,=2g-kg,即1-22g+2+k)9=0, 1-22=0 又因为，e2是两个不共线的向量，所以2+2k=0, 2 解得k=4. 故答案为：-4. 变式6.(24-25高一下辽宁朝阳期末)已知0是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个动点，若动点 P满足OP=O1+A孤+4C,1(0,d),则点P的轨迹一定通过△ABC的一心. 【答案】重 【详解】由OP=O1+AB+AC,则P=2AB+AC 取BC的中点为D,如下图： 6 平面向量：平面向量的线性运算、用基底表示向量专项训练 D 可得1P=214D 所以动点P必定在△ABC 的中线所在直线上， 即点P的轨迹一定通过△ABC的重心 故答案为：重 > 平面向量：平面向量的线性运算、用基底表示向量专项训练 考点一 用基底表示向量 例1.(25-26高二上·福建福州期末)在三棱锥A-BCD中，E是CD的中点，则() A.配=a-aC-0 B.E=-丽+号4C+号4而 c=+号c+号而 D.BE--4B-14C-1AD 2 2 2 【答案】B 【详解】 B 由E是c0的中点，可知E=8c+0-c-丽+而-丽=C+号D-， 故选：B 例2.(2425高-下责州毕节期中)△ABC中，点D在边B上，DHD非2：1，若C丽=a,C☑=6，则 CD=() g.+g5 3a+46 C. 5 5 【答案】B 【详解】在△1BC中，点D在边AB上，由DHBD2:1,得D=2DB, 则而-d-6-而即而-Ci+丽，西丽-ad-6: 所以CD=6+2a 33 故选：B 平面向量：平面向量的线性运算、用基底表示向量专项训练 例3.(25-26高三上河北衡水月考》在△MBC中，点P满足即3PC,过点P的直线与 B,AC 所在的直线分别 交于点M,N,若丽=丽，不=iC2>0,>0,则2+“的最小值为() M B P A v -+1 +1 A.2 B.2 c D.2 【答案】B 【详解】BP=3PC,即P-B=34C-列，P=B+C, :M=元B’N=4C(>0,4>0,丽=号M,4C=N, 那孤 13=1 4u ,M,P,N三点共线，则42'4u +2）2+台12影1-5 元+u=(元+四4玩+4)4μ4元 1 V4u42 -2 1+3-1 424u 当且仅当 424μ ,即元=5+1,4=3+5时，等号成立，因此，， 4u= 的最小值为5+ 4 +4 2 故选：B 例4.(2526高三上上海室山期末)已知等腰64BC中，4=2E,F分别为1B,5C的中点，若 BC=AAF uCE ,则= 2 【答案】 【详解】如图，作出符合题意的图形， 9 平面向量：平面向量的线性运算、用基底表示向量专项训练 E B 由腿意得，在等腰68C中，4=子。 2, E,F AB,BC 且分别为 的中点， 则-+C,正=正-AC=}-C, 由平面向量的减法法则可得BC=AC-B F+E=引+c+传丽-c台+)西经jc 而 令片=-宁4=山，所以都程天=子 则2+2 3 故答案为：子 例5。(25-26高三上吉林长春期中)在A1BC中，花-3C,若E=丽+子4C,则实数，的值为 4 ⊙ 【答案】-1 【详解】由已知花=38C,侧则征=C, 即8距=BA+正=-AB+3AC, 4 又B距=xB+3AC】 4 则x=-1, 故答案为：-1. 例6.(25-26高三上：广东惠州期中)如图，已知正六边形ABCDEF,M和N分别是CD和DE的中点，AM交 10平面向量：平面向量的线性运算、用基底表示向量专项训练 平面向量：平面向量的线性运算、用基底表示向量专项训练 考点目录 平面向量的线性运算 用基底表示向量 考点一 平面向量的线性运算 例1．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知是不共线向量，且，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 例2．（2026·山东泰安·一模）已知向量不共线，且，则实数（   ） A．3 B． C． D． 例3．（25-26高一上·北京西城·期末）设，是向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例4．（24-25高一下·山东菏泽·月考）已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数 . 例5．（25-26高三上·安徽六安·月考）在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，，若，则的最大值为 . 例6．（25-26高三上·上海·月考）设M是所在平面上的一点，且，D是的中点，则 ． 变式1．（25-26高三上·内蒙古·期末）设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（   ） A．2 B． C． D． 变式2．（24-25高一下·江西上饶·月考）如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·安徽·开学考试）如图，5×5的方格里，每个方格长度为1，则向量＝（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高一上·上海黄浦·月考）在菱形中，若，则 ． 变式5．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知，是两个不共线的向量，，，若与共线，则实数k的值是 . 变式6．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，则点的轨迹一定通过的 心． 考点一 用基底表示向量 例1．（25-26高二上·福建福州·期末）在三棱锥中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一下·贵州毕节·期中）中，点在边上，，若，，则（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·河北衡水·月考）在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知等腰中，分别为的中点，若，则 ． 例5．（25-26高三上·吉林长春·期中）在中，，若，则实数的值为 . 例6．（25-26高三上·广东惠州·期中）如图，已知正六边形，和分别是和的中点，交于点，则 ．    例7．（24-25高一下·贵州遵义·月考）如图，在平行四边形中，.    (1)用向量，表示，； (2)若，证明：，，三点共线. 变式1．（25-26高三上·河北邢台·月考）在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·河北·模拟预测）在平行四边形ABCD中，和DF交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·安徽·月考）在三棱柱中，，分别是线段，上靠近，的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高一上·辽宁大连·期末）在平面四边形中，，，，点在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是 . 变式5．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，在中，，，取边中点，连接，设为中点，连接并延长与交于点，则的长为 . 变式6．（2026·天津滨海·模拟预测）在中，，D是AC中点，，试用表示为 ，若，则的最大值为 变式7．（24-25高一下·内蒙古包头·月考）如图所示，是平行四边形，，，是其对角线的交点，，． (1)试用，表示向量，． (2)试用，表示向量． 2 学科网（北京）股份有限公司 $