第8章 整式乘法能力提升自测卷--2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（苏科版新教材）

第8章 整式乘法能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键． 直接运用平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故选C． 2．已知，则等于（　　） A．17 B．23 C．25 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据幂的乘方、积的乘方、完全平方公式，同底数幂的乘除法等基本规则，逐一验证每个选项的正确性． 【详解】解：A、 ， 故 A错误． B、 ， 故 B错误． C、 ， 故 C错误． D、 ， 故 D正确． 故选：D． 4．数形结合是数学解题中常用的思想方法，可以使某些抽象的数学问题直观化、简洁化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式运算乘法公式的过程中，每个公式的推导，教材都安排了运用图形面积加以验证．我们加以推广，下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．根据完全平方公式的几何背景，结合面积之间的和差关系进行判断即可． 【详解】解：选项中的阴影部分的面积可以用来解释， 故选：A． 5．若关于x的多项式与的乘积中不含x的一次项，则实数m的值为（　　） A． B．0 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘以多项式的法则，可表示为，根据乘积中不含x的一次项计算即可． 【详解】解：根据题意得： ， ∵与的乘积中不含x的一次项， 故选：D． 6．现有甲，乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．鑫嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片（   ）块． A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了解决完全平方式几何背景问题的能力，关键是能结合图形构造完全平方式． 根据完全平方式进行配方即可得． 【详解】解：∵先取甲纸片1块，再取乙纸片9块， ∴已知面积为， ∵ ∴还需要丙纸片6块． 故选：A． 7．如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解题的关键．由图可得，列式根据完全平方公式变形再计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 8．若，则A的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，掌握知识点是解题的关键． 通过乘以并利用平方差公式，将乘积化简为，进而得到，即可解答． 【详解】解： ． 故选B． 9．已知，则的值为（   ） A． B．0 C．2 D．5 【答案】D 【分析】此题考查了乘法公式和求代数式的值等知识．先根据已知条件得到，再把原式变形为，再整体代入进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， ∵ ． 故选：D． 10．“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释（，2，3，4）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数，等等．当n是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则下列说法正确的有（    ）个 ①的展开式中的系数是9 ②的展开式为： ③能被28整除 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查数字的变换类规律，解题的关键是读懂题意，找到“杨辉三角”的规律．求出的展开式中的系数即可判定①；由计算规律可判断②正确；将分解为，再将分解成即可判定． 【详解】解：由计算规律可得，的展开式中，字母部分因式依次为，，，…， ∴含的为第二项， 又由“杨辉三角”可知，的展开式中第二项的系数为n， ∴的展开式中含的项为，故①正确； 由计算规律可得， ，故②正确； ∵， 而 ， ∴能被28整除，故③正确； ∴正确的有①②③，共3个； 故选：D． 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方差公式，通过观察表达式，发现其符合平方差公式的结构，可直接应用公式简化计算． 【详解】解： 故答案为：． 12．若x满足，则的值为 ． 【答案】2019 【分析】本题考查利用完全平方公式变形求值，设，，则已知 ，且．利用完全平方公式 ，代入已知值求解即可． 【详解】解：设，，则，； ∵， ∴，即 ∴ ∴ 故； 故答案为：2019． 13．已知，，，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式． 通过两个等式相减消去参数a，利用平方差公式和因式分解，得到的值，进而求解所求表达式． 【详解】解；由和， 两式相减得， 即， 由于，即， 两边除以得， 则． 故答案为：16． 14．一个正整数能写成（，均为正整数），则称为“美满数”，，为的一个美满分解，并规定：．如果一个两位正整数（十位数字大于个位数字，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数与原数是4752的一个美满分解，则的值为 ． 【答案】或． 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是根据“美满数”的定义列出关于、的方程组． 先设出原两位正整数的十位数字和个位数字，根据新数与原数是4752的一个美满分解列出方程组，可得，求出、的值，进而得出的值． 【详解】解：设原两位正整数的十位数字为，个位数字为均为正整数），则原数为，新数为， 新数与原数是4752的一个美满分解，， 又， 将，代入， 可得：（均为正整数） 此方程有两组符合题意的解， 分别为：或 当时，， ， 当时，， ， 综上，的值为或． 故答案为：或． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式，单项式乘多项式的运算法则展开，再合并同类项，即可作答． （2）根据单项式乘多项式的运算法则展开，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．（8分）先化简，再求值：其中，． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据完全平方公式和平方差公式，单项式乘多项式运算法则，进行化简，然后代入数据进行计算即可． 【详解】解： ＝ ＝， 当，时， 原式． 17．（8分）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． (1)用含有字母a和b的式子分别表示与的面积：________，________． (2)①根据图1与图2的面积相等关系，写出得到的等式． ②运用以上等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形： ． 运用上述方法计算． 【答案】(1)； (2) ① ② 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握好平方差公式的结构特征并运用数形结合思想是解题关键． （1）用代数式表示图1和图2的面积即可； （2）①由得出等式； ②将转化为，然后运用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图1中的阴影面积可以看作两个正方形的面积差， ∴， 图2中的阴影面积为长方形的面积，其长为，宽为， ∴； （2）①∵， ∴； ②． 18．（8分）如图1是一个宽为a、长为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回字形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你用等式表示，，之间的数量关系：______； (2)根据（1）中的结论，如果，，求代数式的值； (3)如果，直接写出的值． 【答案】(1) (2)16 (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变形是解决本题的关键． （1）由题意大正方形的边长为，大正方形由4个长为，宽为的长方形，中间边长为的正方形组成，根据正方形的面积计算方法进行计算即可； ②由（1）中结论代入计算即可； （3）根据题意可得，则由完全平方和公式恒等变形得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：依据题意，由图②可得： 故答案为：； （2）解：由（1）中结论可得， ； （3）解：∵ 19．（8分）探究规律： 观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… (1)写出第4个等式：； (2)根据上述规律，猜想： （n为正整数）； (3)利用（2）中的猜想，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化类，有理数的乘方运算，解决本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值． （1）根据题目已给出的式子的规律写出答案即可； （2）根据题目已给出的式子判断出规律得到第n个等式即可； （3）根据（2）中规律可得根据规律求解即可． 【详解】（1）解：根据规律； （2）解：根据规律：； （3）解：原式． 20．（8分）某学校数学项目式学习小组在研究“两数和（差）的平方公式”的应用时，发现这两个公式的用处很大，变式应用也很灵活．请你试着帮他们解决以下问题：在长方形中，长为，长为，且． (1)若该长方形的周长为，面积为，求的值； (2)若，满足，，求的值； (3)为美化校园环境，提升校园文化，某学校计划在一块如图所示面积为的长方形空地中划出长方形和长方形，将这两个长方形重叠部分的区域建一个长为，宽为的长方形水池（），将图中阴影部分的区域作为花圃，且花圃总周长为，求和的长． 【答案】(1)40 (2)1 (3)， 【分析】此题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由完全平方公式得到，利用整体代入求值即可； （2）根据题意得到，，利用乘法公式即可得到答案； （3）根据题意得到，，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵长为，长为，且．长方形的周长为，面积为， ∴， 即， ∴； （2）∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ∴； （3）解：∵图中阴影部分的区域作为花圃，且花圃总周长为，长方形水池的长为，宽为， ∴ ， 则 ∴， ∵长方形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得 即和的长分别为，． 21．（8分）（1）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． （2）【应用】 根据图②所得的公式，若，，则________． （3）【迁移】 若x满足，求的值． （4）【拓展】 如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和的区域内种玫瑰花，在和的区域内种草．经测量种玫瑰花区域的面积和为直接写出种草区域的面积和． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，换元法，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）由图①所得到的等式，进行变形即可； （2）由，代入即可求出答案； （3）设，，由题意得，，由，代入计算即可； （4）设，，由题意得，，，根据代入计算即可． 【详解】解：（1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为， 故答案为：； （2），，， ， 故答案为：； （3）设，，则，， ∴ ， （4）设，，由题意得，，，即， ， 所以种草区域的面积和为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 整式乘法能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则等于（　　） A．17 B．23 C．25 D．9 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．数形结合是数学解题中常用的思想方法，可以使某些抽象的数学问题直观化、简洁化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式运算乘法公式的过程中，每个公式的推导，教材都安排了运用图形面积加以验证．我们加以推广，下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（    ） A．B．C．D． 5．若关于x的多项式与的乘积中不含x的一次项，则实数m的值为（　　） A． B．0 C．2 D．3 6．现有甲，乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．鑫嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片（   ）块． A．6 B．5 C．4 D．3 7．如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 8．若，则A的值为（   ） A． B． C． D． 9．已知，则的值为（   ） A． B．0 C．2 D．5 10．“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释（，2，3，4）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数，等等．当n是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则下列说法正确的有（    ）个 ①的展开式中的系数是9 ②的展开式为： ③能被28整除 A．0 B．1 C．2 D．3 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．计算： ． 12．若x满足，则的值为 ． 13．已知，，，则的值为 ． 14．一个正整数能写成（，均为正整数），则称为“美满数”，，为的一个美满分解，并规定：．如果一个两位正整数（十位数字大于个位数字，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数与原数是4752的一个美满分解，则的值为 ． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）计算． (1) (2) 16．（8分）先化简，再求值：其中，． 17．（8分）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． (1)用含有字母a和b的式子分别表示与的面积：________，________． (2)①根据图1与图2的面积相等关系，写出得到的等式． ②运用以上等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形： ． 运用上述方法计算． 18．（8分）如图1是一个宽为a、长为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回字形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你用等式表示，，之间的数量关系：______； (2)根据（1）中的结论，如果，，求代数式的值； (3)如果，直接写出的值． 19．（8分）探究规律： 观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… (1)写出第4个等式：； (2)根据上述规律，猜想： （n为正整数）； (3)利用（2）中的猜想，计算：． 20．（8分）某学校数学项目式学习小组在研究“两数和（差）的平方公式”的应用时，发现这两个公式的用处很大，变式应用也很灵活．请你试着帮他们解决以下问题：在长方形中，长为，长为，且． (1)若该长方形的周长为，面积为，求的值； (2)若，满足，，求的值； (3)为美化校园环境，提升校园文化，某学校计划在一块如图所示面积为的长方形空地中划出长方形和长方形，将这两个长方形重叠部分的区域建一个长为，宽为的长方形水池（），将图中阴影部分的区域作为花圃，且花圃总周长为，求和的长． 21．（8分）（1）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． （2）【应用】 根据图②所得的公式，若，，则________． （3）【迁移】 若x满足，求的值． （4）【拓展】 如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和的区域内种玫瑰花，在和的区域内种草．经测量种玫瑰花区域的面积和为直接写出种草区域的面积和． 1 学科网（北京）股份有限公司 $