精品解析：湖北咸宁市2025-2026学年上学期高中期末考试高三数学试题

咸宁市2025-2026学年度上学期高中期末考试 高三数学试卷 本试卷共4页，时长120分钟，满分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. 3 B. C. D. 2. 已知集合，则的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若函数的图象的一个对称中心的横坐标为2，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 等比数列的前项和为，，则（ ） A. 60 B. 50 C. 40 D. 30 6. 已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 7 7. 已知圆上有不同的4个点到直线：的距离等于1，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，其中，若存在两条不同的直线同时与曲线和相切，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在长方体中，底面为正方形，分别是的中点，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 10. 过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，为坐标原点，直线，的斜率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 以为直径的圆与抛物线的准线相切 B. C. 的最小值为 D. 面积的最小值为 11. 在锐角中，角的对边分别为，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的常数项是______. 13. 已知，，与的夹角为，若，则___________． 14. 不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的1个白球和3个黑球，从袋子中逐个取球，规则如下：若取到黑球，则不放回且立即停止取球；若取到白球，则放回袋中，然后向袋中加入一个除颜色外完全相同的白球，继续取球．若最多进行次取球，即当取球次数为时，立即停止取球，记随机变量为取球的次数，设的数学期望为，则___________，___________（用表示）． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表： 效果明显 效果不明显 合计 甲方案 1000 200 1200 乙方案 600 200 800 合计 1600 400 2000 （1）在1200名选择甲方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取12人，再从这12名患者中随机抽取4人，设这4人中至少有1名患者效果不明显为事件，求事件的概率． （2）根据小概率值的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联． 附：． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 16. 已知数列中，． （1）证明数列是等差数列，并求的通项公式； （2）设，求的前项和． 17. 如图1所示，在梯形中，⊥，，把沿折起，得到四棱锥，如图2所示． （1）若，证明：平面． （2）若平面平面，在同一个球面上，设该球面所在球的球心为， （i）求球的半径； （ii）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知椭圆的离心率为，点在上． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知动直线过曲线的左焦点，且与椭圆分别交于，两点，试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，当直线不与轴重合时，求的面积的取值范围． 19. 已知． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若对任意的，恒成立，求的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸宁市2025-2026学年度上学期高中期末考试 高三数学试卷 本试卷共4页，时长120分钟，满分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简复数为，结合复数的定义，即可求解. 【详解】因为， 所以复数的虚部为. 故选：B. 2. 已知集合，则的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】求出两集合，再根据交集含义即可得到答案. 【详解】，， 则，则的元素个数为3. 故选：A. 3. 已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据离心率可得，进而可得渐近线方程. 【详解】由题意可知：，解得， 且双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为. 故选：D. 4. 若函数的图象的一个对称中心的横坐标为2，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出正切函数的对称中心，根据题意得，结合，即可求得的最小正值. 【详解】对于，由，可得，， 即函数的图象的对称中心为， 依题意，， 解得， 因为，则时，可得的最小值为. 故选：B. 5. 等比数列的前项和为，，则（ ） A. 60 B. 50 C. 40 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的性质和基本量运算求出公比，再由前项和公式计算即得. 【详解】设等比数列的公比为，因，且， 故可将看成一元二次方程的两根，解得或. 当，则，解得，故； 当，则，解得，故. 故选：C. 6. 已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知函数的一个周期为4，结合周期性运算求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且， 由题意知，即，可得， 可知函数的一个周期为4， 又因为当时，，且 所以. 故选：C. 7. 已知圆上有不同的4个点到直线：的距离等于1，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求圆心到直线的距离，由题意可知，代入运算求解即可. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 则到直线：的距离， 若圆上有不同的4个点到直线的距离等于1，则， 即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 8. 已知函数，，其中，若存在两条不同的直线同时与曲线和相切，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程，将该切线方程与函数的解析式联立，可得出关于的二次方程有两个不等的实根，由可得出，构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】在曲线上取点，， 故曲线在点处的切线方程为， 联立可得， 因为存在两条不同的直线同时与曲线和相切， 则关于的二次方程有两个不等的实根， 所以，可得， 所以关于的方程有两个不等的实根， 显然不满足方程，故，所以， 令，其中，则，列表如下： 减 减 极小值 增 且当时，；当时，，如下图所示： 由图可知，当时，即时，直线与函数的图象有两个交点， 故实数的取值范围是. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在长方体中，底面为正方形，分别是的中点，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，建系并标点，利用空间向量判断空间中线面关系，进而逐项分析判断. 【详解】设， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 对于选项A：因为， 则，所以，故A正确； 对于选项B：因为， 且，则，， 且，平面，所以平面，故B正确； 对于选项C：因为， 则，所以不与垂直，故C错误； 对于选项D：因为，， 则，可得， 且平面，平面，所以平面，故D正确； 故选：ABD. 10. 过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，为坐标原点，直线，的斜率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 以为直径的圆与抛物线的准线相切 B. C. 的最小值为 D. 面积的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】依题意设直线的方程为，与抛物线方程联立，写出韦达定理，结合抛物线焦点弦性质，以及基本不等式推理计算即可逐一判断各选项. 【详解】由题意得，抛物线的焦点为，准线方程为， 显然直线的斜率存在，可设直线的方程为， 联立方程组，可得，， 设，则， 则， 对于A，由抛物线的性质，可得， 设的中点为，则， 点到准线的距离为， 故以为直径的圆与抛物线的准线相切，即A正确； 对于B，由，所以B不正确； 对于C，因为，可得 由抛物线的焦半径公式，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确； 对于D，由图知的面积 ，当且仅当时等号成立， 即的面积的最小值为，故D错误. 故选：AC. 11. 在锐角中，角的对边分别为，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理，和差化积公式与和角公式将题设等式化简即可判断A，B项；借助于和角的正切公式和题设条件由即可证明C项；利用求导判断函数单调性即可求得最小值判断D项. 【详解】对于A，由和余弦定理，可得，整理得， 即得，故A正确； 对于B，由和正弦定理，可得，则， 即，由和差化积公式可得， 因，则得， 展开得， 整理得，则有，故B错误； 对于C，因是锐角三角形，故， 则得，即，故，即C正确； 对于D，又，， 设，则，且，则， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. 故， 即当时，的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的常数项是______. 【答案】240 【解析】 【分析】根据展开式的通项公式，即可求解. 【详解】中，， 当，时，常数项. 故答案为：240 13. 已知，，与的夹角为，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量垂直的充要条件数量积为0，转化为数量积运算求得的值，再根据，利用向量数量积的运算律求得结果. 【详解】因为，，与的夹角为，所以， 因为， 所以，即，. 所以. 故答案为：. 14. 不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的1个白球和3个黑球，从袋子中逐个取球，规则如下：若取到黑球，则不放回且立即停止取球；若取到白球，则放回袋中，然后向袋中加入一个除颜色外完全相同的白球，继续取球．若最多进行次取球，即当取球次数为时，立即停止取球，记随机变量为取球的次数，设的数学期望为，则___________，___________（用表示）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题知的可能取值为，再依次求各取值对应的概率，进而计算即可；的可能取值为，对于当，时，前次取白球，第次取黑球，进而计算对应概率，,前次都取白球，再计算，最后根据裂项求和求解期望即可. 【详解】的可能取值为， 所以，，， 所以； 的可能取值为， ； 当，时，前次取白球，第次取黑球， ,前次都取白球， ， 所以 因为 所以， 所以 综上，. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表： 效果明显 效果不明显 合计 甲方案 1000 200 1200 乙方案 600 200 800 合计 1600 400 2000 （1）在1200名选择甲方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取12人，再从这12名患者中随机抽取4人，设这4人中至少有1名患者效果不明显为事件，求事件的概率． （2）根据小概率值的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联． 附：． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1） （2）治疗效果与选择甲、乙方案有关联． 【解析】 【分析】（1）先计算出抽样比，分别求出所抽取的12人中效果明显与不明显的人数，根据所求事件考虑运用对立事件的概率公式计算，结合组合数表示和计算即得； （2）根据题意，由列联表代入的计算公式计算，再根据独立性检验内容即可得到结果. 【小问1详解】 由题意，分层随机抽样的比例为，则效果明显的患者应抽取人，效果不明显的患者应抽取人， 事件是“至少有1名患者效果不明显”，可用对立事件计算. 即表示“4人都效果明显”，则， 故. 【小问2详解】 零假设为：治疗效果与选择甲、乙方案无关联， 则， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，故治疗效果与选择甲、乙方案有关联． 16. 已知数列中，． （1）证明数列是等差数列，并求的通项公式； （2）设，求的前项和． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的定义判断是等差数列，结合等差数列的通项公式求的通项公式. （2）利用错位相减求和法求数列的前项和. 【小问1详解】 当时，， 所以，，又，所以， 故是以2为首项，3为公差的等差数列. 故，所以，． 【小问2详解】 ， 令，① 则，② ①-②得：， ， 故. 17. 如图1所示，在梯形中，⊥，，把沿折起，得到四棱锥，如图2所示． （1）若，证明：平面． （2）若平面平面，在同一个球面上，设该球面所在球的球心为， （i）求球的半径； （ii）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）（i）5；（ii） 【解析】 【分析】（1）求出各边长，由勾股定理逆定理得⊥，证明出线面垂直得到⊥，进而证明出平面； （2）（i）作出辅助线，得到，即为球心，球的半径为5； （ii）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的夹角公式进行求解. 【小问1详解】 由题意得，又， 故，故⊥， 梯形中，⊥，故⊥且⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面； 【小问2详解】 （i）平面平面，交线为， 又⊥，平面，所以⊥平面， 又平面，所以⊥，⊥， 又⊥，在同一个球面上， 取的中点，在上取点，使得，连接，则， 因为，，⊥，所以四边形为矩形， 由勾股定理得，同理，， 所以，即为球心，球的半径为5； （ii）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故，， ， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则，故， 设直线与平面所成角的大小为， 则， 直线与平面所成角的正弦值大小为. 18. 已知椭圆的离心率为，点在上． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知动直线过曲线的左焦点，且与椭圆分别交于，两点，试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，当直线不与轴重合时，求的面积的取值范围． 【答案】（1） （2）在轴上存在定点，使得为定值. （3） 【解析】 【分析】（1）由离心率和点在椭圆上，列出等式求解即可； （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，利用韦达定理和向量的数量积求出，此时为定值；当直线的斜率不存在时，直线的方程为，求出此时点也满足前面的结论，即得解. （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，由根与系数的关系可得，利用可求的面积的取值范围． 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，由题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 代入椭圆的方程，可得， 设，，则，， 设，则 ， 若为定值，则，解得， 此时，点的坐标为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 代入，得， 不妨设，若， 则，， 综上所述，在轴上存在定点，使得为定值. 【小问3详解】 设直线的方程为，代入椭圆方程， 得，整理得， 设，可得， 所以由（2）可得 ， ， 所以， 令，则在上单调递减， 当时，，当，， 所以的面积的取值范围． 19. 已知． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若对任意的，恒成立，求的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求出函数在切点处的导数值和函数值，进而求得切线方程. （2）先对求导，然后令，对求导，讨论当时，函数的单调性，进而求得结果. （3）根据（2）的不等式，将不等式变形为分别令，进而证明结论. 【小问1详解】 当时，，求导得. 所以. 所以在处的切线方程为. 【小问2详解】 求导得，令，则. 当时，因为，所以，所以恒成立； 当时，因为，所以， 所以，在上单调递增， 所以，在上单调递增，，满足条件. 当时，因为，所以， 所以，所以在上单调递增，所以. 即，因为，所以设使得. 当时，，单调递减，，不满足题意. 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）可知，当时，对任意的恒成立， 即，变形可得. 分别令，可得：. 将上述不等式累加可得：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $