专题 7.11 相交线与平行线（单元培优卷）- 2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题 7.11 相交线与平行线（单元培优卷） （测试时间：90分钟 试卷满分：120分） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）下列图形中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的识别，熟知对顶角的定义是解题的关键． 根据对顶角的定义来判断，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，然后即可求解． 解：根据对顶角的定义可知，只有C中和属于对顶角， 故选：C． 2．（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）下列四个图形中，不能通过基本图形平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质和图形的平移的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据平移的性质和图形的平移的知识，进行作答，即可求解． 解：A、不能通过基本图形平移得到，符合题意； B、能通过基本图形平移得到，不符合题意； C、能通过基本图形平移得到，不符合题意； D、能通过基本图形平移得到，不符合题意； 故选：A． 3．（25-26八年级上·全国·期末）下列命题中，真命题是（　　） A．若，则 B．任何一个角都比它的补角小 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．一个锐角与一个钝角的和等于一个平角 【答案】C 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据一元一次方程的解法、余角和补角的概念、角的和差、平行线的判定判断即可． 解：A选项：若，则，选项是假命题； B选项：，则的角等于它的补角，选项是假命题； C选项：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，选项是真命题； D选项：如：，则一个锐角与一个钝角的和不一定等于一个平角，选项是假命题． 故选：C． 4．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）如图，直线，相交于点，平分，，则度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线，掌握对顶角、邻补角以及角平分线的定义是正确解答的关键．根据邻补角的定义，角平分线的定义进行计算即可． 解：，而， ， 又平分， ． 故选：C． 5．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，于点，射线在内，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直定义，同角的余角相等，角平分线定义，根据垂直定义，同角的余角相等，角平分线定义逐一排除即可，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 解：、题中没有说明是平分线，故与不一定相等，该选项错误，不符合题意； 、题中没有说明是平分线，故与不一定相等，该选项错误，不符合题意； 、∵，， ∴， ∴， ∴，该选项正确，符合题意； 、∵， ∴， ∴，该选项错误，不符合题意； 故选：． 6．（24-25七年级下·陕西安康·月考）如图，直线，被直线所截，射线经过直线，的交点，下列说法一定正确的是（    ） A．和是对顶角 B．和是内错角 C．和互为邻补角 D．和是同位角 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角、邻补角、内错角、同位角以及同旁内角，根据对顶角、邻补角、内错角、同位角以及同旁内角的定义结合具体图形进行判断即可，熟练掌握相关定义是解题关键． 解：、和不是对顶角，原选项不符合题意； 、和不是内错角，原选项不符合题意； 、和为同旁内角，原选项不符合题意； 、和是同位角，原选项符合题意； 故选：． 7．（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，下列条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法逐一进行判断即可． 解：A、内错角相等，两直线平行，能判定，不符合题意； B、同旁内角互补，两直线平行，能判定，不符合题意； C、不能判定，符合题意； D、，，故，同旁内角互补，两直线平行，能判定，不符合题意； 故选C． 8．（25-26八年级上·河北邢台·月考）某天辽宁舰带两艘战舰在南海航行，三艘战舰呈品字形向前方驶去．若表示辽宁舰，表示护卫舰，表示驱逐舰，在的北偏东的方向上，在的南偏西的方向上，若测得．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方向角的知识，平行线的性质，根据方向角得到，，再根据得到，，最后根据计算即可． 解：如图，是南北方向，则， 由题意可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9．（25-26八年级上·陕西铜川·期末）将一副直角三角尺按如图所示的位置摆放，已知，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，三角板有关的计算，平行线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．因为，则，再过点作，运用平行线的性质进行分析列式，得，结合，，故，最后算出，再分析，即可作答． 解：依题意，得，， ∵， ∴， 故A选项不符合题意； 过点作，如图所示： ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 故B选项不符合题意； ∵，， ∴ ∴， 故C选项不符合题意； ∵，且， ∴， ∵，， ∴， ∴ 故D选项符合题意； 故选：D． 10．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知，，则下列各式中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定定理、平行线的性质定理以及角的和差关系．根据同位角相等两直线平行可得，以及两直线平行，内错角相等得，再结合两直线平行，同旁内角互补得，即可解题． 解：， ， ， 又， ， ．故选． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，，直线和直线的锐角夹角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，熟练掌握邻补角互补的性质是解题的关键． 根据，结合已知条件即可求出的度数，然后即可求解． 解：∵，， ∴， ∴， 即直线和直线的锐角夹角是， 故答案为：． 12．（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知直线，与直线相交于点，，于点．若，则 时，． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 当时，．先通过邻补角的定义得到，然后根据垂直的定义，结合平角的定义得到，即可根据同位角相等，两直线平行，得到，从而得到所加条件是正确的． 解：当时，． 理由如下：， ， ， 又， ， ， ． 故当时，． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）已知直线，a与b之间的距离为5，平面内有一点P，点P到a的距离是2，则点P到b的距离是 ． 【答案】3或7 【分析】本题考查了点到直线的距离． 分当P在a、b之间和当P在a、b同侧两种情况作答即可． 解：当P在a、b之间时， ∵a与b之间的距离为5，点P到a的距离是2， ∴点P到b的距离是； 当P在a、b同侧时， ∵a与b之间的距离为5，点P到a的距离是2， ∴点P到b的距离是； 故答案为：3或7． 14．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，，点E在上，平分．若，则的大小为 度． 【答案】35 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线定义，关键是由平行线的性质推出，由角平分线定义得到即可求解. 解：∵，， ∴ ， ∵平分， ∴ ， 故答案为：35． 15．（25-26七年级上·上海宝山·期末）如图，将长方形沿着直线平移得到长方形（其中分别对应），联结，如果平移的距离为长度的，且的面积为10，那么长方形的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是关键；由平移得，则，由面积可求得，从而求解． 解：由平移得， ∵平移的距离为长度的， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴， 即， ∴， 即长方形的面积为15． 故答案为：15． 16．（2026七年级下·全国·专题练习）小可在纸上画了25条直线，，…，．若，，，，…．照此规律，则与的位置关系为 ． 【答案】平行或重合 【分析】此题考查了平行线与垂线的关系，注意找到规律：四个一循环，是解此题的关键. 首先根据题意判断与，，，的关系，即可得到规律：四个一循环，即可求解. 解：， ， ， ， ， ， 同理可得：，其中或与或可能重合， 与的位置关系为平行或重合. 故答案为：平行或重合. 17．（2025·江苏泰州·三模）素数是只能被1和它自身整除的自然数，如2，3，5，7，11，…．已知命题“对于任意的自然数n，都是素数”是一个假命题，在说明此命题是假命题时，我们只要举一个反例就行了，例如当n（）的值为 时，不是一个素数． 【答案】 【分析】本题主要考查素数的定义，熟练掌握素数的定义（只能被和它自身整除的自然数）是解题的关键．通过代入不同的自然数（）到中，计算结果并判断是否为素数，找到反例． 解：当时，，是素数； 当时，，，不是素数． 故答案为： 18．（25-26七年级上·重庆·期末）如图，已知直线，，，的角平分线与的角平分线交于点，则 ． 【答案】142 【分析】本题考查平行线的判定及性质，角平分线，掌握平行线的判定及性质是解题的关键． 过点B作，过点C作，得到，因此，，，根据角的和差可得，从而有，根据角平分线的定义得到．过点E作，则，因此． 解：过点B作，过点C作， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：142． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·湖南株洲·期末）（1）角度计算题：如图，直线、相交于点，平分，，，求的度数． （2）线段计算题：已知线段，在线段上取一点，恰好使，点为的中点，求线段的长． 【答案】（1），（2） 【分析】此题主要考查了对顶角，角平分线的定义，角的和差，两点间的距离，线段中点的定义，线段的和差，关键是掌握角平分线的定义，线段的中点的定义． （1）根据对顶角相等可得，由角平分线定义求出，利用计算即可； （2）结合图形，先求出，根据线段中点的定义得，再利用计算即可． 解：（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）如图， ∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴． 20．（本小题满分8分）（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，线段端点和点P均在格点上． (1)将线段向上平移1格，再向右平移2格，请在图甲中作出经上述两次平移后所得的线段． (2)请在图乙中找一格点E，连结，，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平移的性质以及平行线的性质，根据题意结合网格特点画出图形是解题关键． （1）根据平移的性质得出C和D点的位置，作图即可； （2）过点P作，即可得． （1）解：如图，线段即为所求． （2）解：如图，点E即为所求． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，已知，求证：． 证明：（______），（______） ∴______（等量代换）， ∴____________（同位角相等，两直线平行）， （______） （已知）， ______（等量代换） （______）， （______） 【答案】对顶角相等，已知；；，；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【分析】本题考查了平行线的判定及性质等；由平行线的判定方法得，根据平行线的性质得，再由内错角相等，两直线平行判定，即可得证． 证明：（对顶角相等），（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． 故答案为：对顶角相等，已知；；，；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知直线，，，． (1)求的度数． (2)试说明：直线． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）通过对顶角相等确定的度数，再结合已知求出结果； （2）先通过推出，再结合，利用平行公理的推论即可证明． 【详解】（1）解：∵，且与是对顶角， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了知识点平行线的判定与性质、平行公理的推论，解题关键是熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，并能结合已知条件进行角的转化与推导． 23． （本小题满分10分）（24-25七年级下·北京海淀·期末）如图，和过点的直线满足是线段上的动点，过点作直线与平行． (1)如果，那么___________； (2)设的角平分线是射线，的角平分线是射线． ①如果射线交于点，求； ②如果射线有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)85 (2)①；② 【分析】（1）首先求出，得到，然后根据平行线的性质求解即可； （2）①如图所示，过点B作，过点Q作，根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可； ②根据题意分两种情况讨论：当点A和点Q重合时，当点P和点Q重合时，然后根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可． （1）∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； （2）①如图所示，过点B作，过点Q作 ∵ ∴ ∵的角平分线是射线 ∴ ∵， ∴ ∴； ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵的角平分线是射线 ∴ ∵ ∴ ∴； ②如图所示，当点A和点Q重合时， 由①可得， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； 如图所示，当点P和点Q重合时， ∵，的角平分线是射线 ∴ ∴综上所述，如果射线有公共点，的取值范围为． 【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 24． （本小题满分12分）（25-26七年级上·河北石家庄·期末）【问题背景】 如图①，在同一平面内，a、b、c三根木棒钉在一起， 【实践操作】 (1)木棒a、c固定不动，木棒沿顺时针方向至少旋转__________，使得（如图②）； (2)如图③，当木棒时，将一个三角板ABC放在与之间（其中，），并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，请你求出的度数； (3)现将图①中的木棒a、b同时沿顺时针的方向转动一周，速度分别为每秒和每秒，当一根木棒停止旋转时，另一根也同时停止转动．在旋转的过程中，存在某一时刻使得，请你直接写出是在第几秒． 【答案】(1) (2) (3)在旋转的过程中，存在某一时刻使得，的值为或. 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，一元一次方程的应用. （1）直接利用平行线的性质求解即可. （2）如图，过作，证明，再进一步求解即可. （3）如图，设旋转的时间为，则最长旋转时间为，情况①：由题意可得：，，可得，，情况②：如图，，，可得，，证明，再进一步可得答案. （1）解：如图， ∵，， ∴， ∴木棒a、c固定不动，木棒沿顺时针方向至少旋转，使得. （2）解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴. （3）解：情况①：如图，设旋转的时间为，则最长旋转时间为， 由题意可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 情况②：如图，，， 由题意可得：，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 综上：在旋转的过程中，存在某一时刻使得，的值为或. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 7.11 相交线与平行线（单元培优卷） （测试时间：90分钟 试卷满分：120分） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）下列图形中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）下列四个图形中，不能通过基本图形平移得到的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·期末）下列命题中，真命题是（　　） A．若，则 B．任何一个角都比它的补角小 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．一个锐角与一个钝角的和等于一个平角 4．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）如图，直线，相交于点，平分，，则度数为（   ）． A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，于点，射线在内，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·陕西安康·月考）如图，直线，被直线所截，射线经过直线，的交点，下列说法一定正确的是（    ） A．和是对顶角 B．和是内错角 C．和互为邻补角 D．和是同位角 7．（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，下列条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·河北邢台·月考）某天辽宁舰带两艘战舰在南海航行，三艘战舰呈品字形向前方驶去．若表示辽宁舰，表示护卫舰，表示驱逐舰，在的北偏东的方向上，在的南偏西的方向上，若测得．则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·陕西铜川·期末）将一副直角三角尺按如图所示的位置摆放，已知，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 10．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知，，则下列各式中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级下·上海普陀）如图，，直线和直线的锐角夹角是 ． 12．（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知直线，与直线相交于点，，于点．若，则 时，． 13．（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）已知直线，a与b之间的距离为5，平面内有一点P，点P到a的距离是2，则点P到b的距离是 ． 14．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，，点E在上，平分．若，则的大小为 度． 15．（25-26七年级上·上海宝山·期末）如图，将长方形沿着直线平移得到长方形（其中分别对应），联结，如果平移的距离为长度的，且的面积为10，那么长方形的面积为 ． 16．（2026七年级下·全国·专题练习）小可在纸上画了25条直线，，…，．若，，，，…．照此规律，则与的位置关系为 ． 17．（2025·江苏泰州·三模）素数是只能被1和它自身整除的自然数，如2，3，5，7，11，…．已知命题“对于任意的自然数n，都是素数”是一个假命题，在说明此命题是假命题时，我们只要举一个反例就行了，例如当n（）的值为 时，不是一个素数． 18．（25-26七年级上·重庆·期末）如图，已知直线，，，的角平分线与的角平分线交于点，则 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·湖南株洲·期末）（1）角度计算题：如图，直线、相交于点，平分，，，求的度数． （2）线段计算题：已知线段，在线段上取一点，恰好使，点为的中点，求线段的长． 20．（本小题满分8分）（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，线段端点和点P均在格点上． (1)将线段向上平移1格，再向右平移2格，请在图甲中作出经上述两次平移后所得的线段． (2)请在图乙中找一格点E，连结，，使得． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，已知，求证：． 证明：（______），（______） ∴______（等量代换）， ∴____________（同位角相等，两直线平行）， （______） （已知）， ______（等量代换） （______）， （______） 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知直线，，，． (1)求的度数． (2)试说明：直线． 23． （本小题满分10分）（24-25七年级下·北京海淀·期末）如图，和过点的直线满足是线段上的动点，过点作直线与平行． (1)如果，那么___________； (2)设的角平分线是射线，的角平分线是射线． ①如果射线交于点，求； ②如果射线有公共点，直接写出的取值范围． 24． （本小题满分12分）（25-26七年级上·河北石家庄·期末）【问题背景】 如图①，在同一平面内，a、b、c三根木棒钉在一起， 【实践操作】 (1)木棒a、c固定不动，木棒沿顺时针方向至少旋转__________，使得（如图②）； (2)如图③，当木棒时，将一个三角板ABC放在与之间（其中，），并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，请你求出的度数； (3)现将图①中的木棒a、b同时沿顺时针的方向转动一周，速度分别为每秒和每秒，当一根木棒停止旋转时，另一根也同时停止转动．在旋转的过程中，存在某一时刻使得，请你直接写出是在第几秒． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $