专项1 第七章相交线与平行线压轴题型2025-2026学年人教版七年级下册数学期末复习专项｜易错题型 +压轴题型+ 期末满分讲义

第七章 相交线与平行线压轴题型 目录 题型1 相交线角度计算 1 题型2 平行线拐点问题 9 题型3 平行线+三角板问题 23 题型4 平行线实际问题结合 36 题型5 平行线+平面直角坐标系 43 题型6 平移 56 题型1 相交线角度计算 1．如图，直线交于点O，于点O，平分，已知． (1)求的度数； (2)过O作射线，若，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据垂线的定义得到，可求出的度数，由邻补角互补求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数即可得到答案； （2）分两种情况：点M在上方和点M在下方，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：如图所示，当点M在上方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，当点M在下方时， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； 综上所述，的度数为或． 2．如图，直线与交于点，在的内部，，平分． (1)求的度数； (2)过点作，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线定义，平角定义，垂直定义， 对于（1），设，则，可得.再根据平角定义得，然后根据平角定义可得，求出，可得答案； 对于（2），分两种情况：当在直线的下方时，由（1）得，即可求出，再根据得出答案； 当在直线的上方时，由（1）得，再根据得出答案． 【详解】（1）解：设，则， . 平分， ， 则， 解得， ； （2）解：当在直线的下方时， ， ． ， ，； 当在直线的上方时， ， ， ， ． 故或． 3．是的平分线， (1)若（如图1），请写出的余角 ； (2)若，（如图2），求的度数； (3)若，是平面内一点，设，求的度数（用的关系式表示，且是小于平角的角）． 【答案】(1)和 (2) (3)；； 【分析】本题主要考查了角的和差，角的平分线，余角的定义，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据垂直得出直角，根据角平分线得出相等的角，然后根据余角定义进行求解即可； （2）根据角平分线得出相等的角，然后根据角的和差进行求解即可； （3）根据角平分线得出相等的角，然后分三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的余角是和； 故答案为：和； （2）解：平分， ， ， 答：； （3）解： 平分，， ， 点在所在直线的上方，如答图所示： ，，， ， 答：的度数可表示为； 点在所在直线的下方，且时，如答图所示 ，； 答：的度数可表示为； 点在所在直线的下方，且时，如答图所示： ， ， 答：的度数可表示为． 4．如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：，，，则和互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）． (1)如图，为直线上一点，于点，于点，的垂角是________，的垂角是________； (2)在（1）的条件下，若的垂角比大40°，求的度数． 【答案】(1)  ， (2) 【分析】本题考查了角的相关定义以及角度计算，一元一次方程求解等知识点，解题的关键是准确理解垂角的定义，并根据题目条件列出一元一次方程来求解角度． （1）根据垂角定义两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为垂角，即可求得； （2）设的度数为，则的度数为，根据的垂角比大40°，列方程进行求解即可． 【详解】（1）解：；，． ， ， ，即的垂角是． ，即的垂角是． ， ， ，即的垂角是． ∴的垂角是，的垂角是和． （2）解：设的度数为，则的度数为． 的垂角比大40°， ， 解得，则的度数是． 5．如图，直线、相交于点O，，且平分． (1)【探究发现】若时，则的度数是 ； (2)【类比延伸】若时，求的度数 ； (3)【联想拓展】从（1）（2）的结果中可以猜想出和有何关系，并给予证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的角的计算，垂直的定义，对顶角性质，熟练掌握角平分线定义和角之间的和、差、倍、分关系是解题的关键． （1）先根据垂直定义，求得，根据从而可求得，，继而求得，然后根据角平分线定义与对顶角性质求出，即可由求解； （2）设，由，根据角平分线定义与对顶角性质求得，根据，即，求解即可； （3）设，则，根据角平分线定义与对顶角性质求得，再根据 ，得出，解得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴ ， 又∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴ 即， 解之得：， 即． （3）解：猜想： 理由：设 ∵ ∴ ∵ ∴   又∵平分， ∴， ∴ ∴ ， 则， 解之得， 即． 题型2 平行线拐点问题 6．【特例探究】如图 1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． (1)若，则的度数为__________； 【总结归纳】 (2)探究与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 (3)已知，点，分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分，平分． ①如图 2，若点，均在直线和之间，且，求的度数； ②如图 3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分，设（），请用含的代数式表示． 【答案】(1) (2)，理由如下： 如图1，过点P作， ， ； (3)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算，掌握知识点是解题的关键． （1）过点P作，则，可知，即可求出的度数； （2）过点P作，则，可知，进而可知与之间的数量关系； （3）①由（2）得，由角平分线可知，，同（2）可得，计算即可； ②如图，过点P作，则有，由角平分线可知，，同（2）可得，根据平行线的判定和性质得到，进而计算即可． 【详解】（1）解：如图1，过点P作， （2）略 （3）解：①由（2）得． 平分平分 ． 同（2）可得 ； ②．理由如下： 如图，过点P作，则有． 平分 ． 平分 ． 同（2）可得， ， ． 7．小杨同学在完成七年级下册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图①，已知，，，则______； (2)如图②，已知，平分，平分，，所在直线交于点E． ①若，，求的度数； ②将图②中的点B移到点A的右侧得到图③，其他条件不变，若，且，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）过点E作，根据平行线的性质，得到，根据平行线的传递性，可得，从而可得，即得答案； （2）①过点E作，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得，，即可求得答案；②设，，则由题意得，，过点E作，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得，，即可求得答案． 【详解】（1）解：过点E作， ， ， ， ， ． （2）解：①过点E作， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； ②设，，则由题意得，， 过点E作， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ∵， ∴， 解得， ． 8．已知直线，按如图1放置，其中，边，分别与直线，相交于点，，边分别与直线，交于点，． (1)若，求的度数；（用的代数式表示） (2)将图1中的进行适当旋转，如图2，顶点始终在两条平行线之间，连接．当恰好平分时，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由： 设，由（1）得． ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 即与之间的数量关系为． 【分析】（1）过点作，得出，确定，，结合图形求解即可； （2）设，由（1）得，利用角平分线得出，确定，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）略 9．如图1，，是上方一点，F，G分别是，上的点，连接，． (1)若． ①求的度数． ②如图2，是上方一点，连接，．若平分 的度数比的度数的2倍还大，求的度数． (2)如图3，是上一点，连接，且 ，延长至点，连接．若平分 ，请直接写出的度数． 【答案】(1)① ；② (2) 【分析】（1）① 过点作平行线，利用平行线的内错角相等，将转化为，再用与的差求解． ② 过点作平行线，设，利用平行线内错角将和用表示，结合已知条件列方程求解． （2） 利用角平分线定义设，过点、E平行线，设，利用平行线性质将和用表示，代入已知等式消去后求解． 【详解】（1）① 解：过点作， ， ， ， ， ， ， ． ② 解：过点作， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， 又， ， 解得：， ． （2）解：平分， 设， 则， 过点作， ， ， 设， 则， ∵， ∴， 过点作， ， ∴， ， ， ， 又， ， ， ， 解得：， ． 10．已知，如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，，平分，平分． (1)如图1，当时，直接写出的度数； (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）问的条件下，若，，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t（）秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2)解：， 理由如下：如图，延长交于，设，交于点， 设，则， ∵， ， ， ∴， ， ， 在 和 中， ，，， ， 即：， ； (3)或6或12或15 【分析】（1）延长交于，根据平行线的性质可得，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）参考（1）的解答，根据角平分线性质、平行线的性质以及三角形内角和定理求解即可； （3）先计算出的取值范围，再分情况讨论：当时，记的交点为，可得，可得，当在上方时，此时，证明，可得：，当时，如图，可得，求解，当时，如图，记的交点为，过作，证明，可得：． 【详解】（1）解：如图，延长交于，设，交于点， 设，则， ∵， ， ， ， ∴， ， 在和中， ，，， ， 即：， ； （2）略 （3）解：， ∴最长运动时间为：， ， ，是的平分线， ， ∴， 由（1）知，， ， ， ，， ， ， 当时，记的交点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 如图：当在上方时， 此时， 如下图： ∵，， ∴， ∴， 解得：， 当时，如图， 同理可得：，， ∴， 解得：， 当时，如图，记的交点为，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，或6或12或15． 题型3 平行线+三角板问题 11．【实践与探究】在校园科技节上，宁宁同学用一副三角板，做模拟机器人机械手臂的实验．用三角板ABC模拟可任意伸展方向的机械臂，，，；用另一块三角板模拟固定关节底座，，． 他用直线和直线模拟机器人机械手臂安装的基准线，其中，将三角板平稳放置，使边在直线上，就像机械臂的基座固定在平台上，再调整三角板的位置，使三角板的顶点C落在直线上．在模拟机械臂的运动过程中，他遇到了一系列有趣的问题： (1)当两块三角板按图1的位置摆放时，点C，E，A，D在同一直线上，则三角板的边与所成的______； (2)为了更深入探究机械臂多角度运动，他将三角板绕点C逆时针转动一定角度，设三角板的边与三角板的边相交于点O． ①如图2，当转动三角板到的位置时，求的度数； ②如图3，在转动过程中，他还发现的值为定值，请求出这个定值； (3)如图4，将直线向上平移一定距离，以点C，A，E，D四点共线为初始位置，继续将三角板以每秒的速度绕点C逆时针转动，直到边与模拟基准线首次重合时，三角板停止运动．在这个转动的过程中，设三角板转动的时间为t（单位：），那么当三角板转动几秒时，三角板的边与三角板的边平行？请直接写出符合条件的t的值． 【答案】(1)15 (2)①；② (3)10或25或40 【分析】（1）根据三角板中角度的特点和平行线的性质可得出的度数； （2）①根据平行线的性质和邻补角计算即可；②过点作，根据平行线的性质得出； （3）分①当时，②当时，③当时，三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：①， ， ； ②如图所示，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：①当时，点在同一条直线上， ， ； ②当时， ∵，即， 又 ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ③当时，如图， ， ， ； 综上所述，t的值为10或25或40． 12．综合与实践 动手操作可提高我们的思维能力，王老师和同学们利用两块直角三角板（含的直角三角板和含的直角三角板）不同的摆放方式探究平行线的相关问题． 初步认知 (1)如图1，将三角板直角顶点A与E重合，若，则____________． 深入探究 王老师让同学们改变三角板的位置，提出新的问题并作出解答． (2)“智慧小组”提出问题：如图2，将三角板的顶点B放在三角板的边上，若，平分吗？请说明理由． (3)“善思小组”提出问题：将图2位置的三角板DEF不动，三角板ABC绕点B旋转一周，在此过程中与三角板的某一边平行（不共线）时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 (3)或或或 【分析】（1）根据平行的性质得到，即可得到答案； （2）根据平行的性质得到，证明，即可得到平分； （3）分当，且点C在的右侧时，当，且点C在的上方时，当，且点C在的左侧时，当，且点C在的下方时四种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：平分； ，， ， ， ， 平分； （3）解：或或或． 详解如下：依题意有以下四中情况： ①当，且点C在的右侧时，如图①所示： ， ； ②当，且点C在的上方时，如图②所示： ； ③当，且点C在的左侧时，如图③所示： ， ④当，且点C在的下方时，如图④所示： ， ， 综上所述：的度数是或或或． 13．成都市石室联合中学某数学兴趣小组的同学用一副三角板和两条平行线进行如下探究：三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上，点落在三角板的边上． (1)求图1中的度数； (2)如图2，若三角板在原位置固定不动，将三角板沿着直线向右平移，线段、交于点，当点落在三角板的边上时停止运动，求证：； (3)在图2基础上，将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，将三角板绕点同时以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，且，当与平行时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)当与平行时，或 【分析】（1）过点D作，则，即可得到，，最后根据计算即可； （2）过点D作，过点作，根据拐点模型得到，，即可得到； （3）根据，，分情况讨论，分别画出图形，再根据与平行列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点D作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：由三角板可得，，，， 如图，过点D作，过点作， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：当时，如图所示，此时与相交，不可能平行； 当时，如图所示，此时直线与交于点， 此时，， 由（1）中图形同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 当时，如图所示，此时直线与交于点， 此时，， 由（1）中图形同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 当与平行时，或． 14．小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，小明将含角的直角三角板中的点落在直线上，若，则的度数为 ，的度数为 ； (2)如图2，小明将含角的直角三角板中的点，分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)小明将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点与点重合，且，若三角板绕着点顺时针方向旋转，直至三角板上的点由当前位置旋转到落在线段上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 【答案】(1)； (2)平分，理由见解析 (3)的度数为或或或 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可得；根据平角定义求得，最后根据平行线的性质求得即可； （2）先根据角平分线的性质得到，再根据两直线平行，内错角相等，可得到，即可求得得，即可得结论； （3）分四种情况讨论，分别画出图形，根据平行的性质求解可求得结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，， ∴； （2）解：平分，理由如下： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即平分． （3）解：根据题意，分四种情况： ①如图1，当时，, ∵， ∴； ②如图2，当时， ∵，， ∴三点在同一条直线上， ∴， ∵ ∴； ③如图3，当时， ， ， ∵， ∴； ④如图4，当时，则， 又， ∴点在上， ∴． 综上所述，的度数为或或或． 15．综合与实践 【情境】在综合与实践课上，同学们利用一副直角三角板和两条平行线，探究变化过程中相关角度的变化．已知直线，在直角三角板中，，，，在直角三角板中，，． 【操作】操作一：如图1，将两块三角板的一条直角边重合，直角三角板的斜边与重合，直角三角板的顶点F在直线上． (1)在图1中，______，______； (2)利用图1，求的度数； 【探究】操作二：在操作一的基础上，直角三角板固定不动，让直角三角板绕着点G按逆时针方向旋转，旋转的度数小于．设边（或的延长线）与交于点Q． (3)如图2，当点F恰好落在上时，试判断与存在的数量关系，并说明理由； (4)当斜边与直角三角板的某一边平行时，直接写出的度数． 【答案】(1)90；135 (2) (3)，理由见解析 (4)或 【分析】（1）由题意得；由可求得的度数； （2）过点H作，由平行线的性质、，进而得，即可求解； （3）过点G作，由平行线的性质得及 ，由即可得两角的关系； （4）分三种情况讨论，分别画出图形，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵将两块三角板的一条直角边重合，， ∴； ∵，， ∴； （2）解：如图，过点H作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； （3）解：，理由如下： 如图，过点G作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）解：当时，如图3， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图4， ∴， 延长交于点T，过点H作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图5， 此时旋转角度大于，不符合题意； 综上，的大小为或． 题型4 平行线实际问题结合 16．按要求完成下列各题： (1)如图1：潮潮用三根木棍a，b，c制作了如图所示的模型，固定c不动，转动a和b，使得__________时，可以使得，其依据是______________________． (2)潮潮的孪生兄弟实实，偶然间在数学教材上看见一幅神奇的平行线图如图2，为了验证这些直线是否互相平行，请你帮助实实同学设计一个方案，在只使用一个含的直角三角板的情况下，验证直线互相平行，并说明设计依据． (3)据此，潮潮实实，在晚上回家写作业的时候，为了转动台灯的灯管面（线段）与桌（线段）面平行，已知，，，请求出图3中的应该为多少？（用含x，y的式子表示），并说明理由． 【答案】(1)；同位角相等，两直线平行 (2)将三角板角的一边与第一条直线重合，标记出角另一边的位置；再移动三角板到第二条直线处，让角的一边与第二条直线重合，若角的另一边与标记位置重合，则两条直线平行．依据：同位角相等，两直线平行（方案合理即可，也可利用内错角相等、同旁内角互补设计） (3)， 理由： 如图，过点作，过点作， ， ． ，，； 又， ，即； ， ． 【分析】（1）因为a、b、c所截形成同位角、内错角或同旁内角，所以根据平行线的判定定理，找到对应角满足的数量关系即可． （2）如果用直角三角板构造截线，测量待验证直线被截线所截的同位角、内错角或同旁内角，那么根据平行线判定定理即可判断平行． （3）因为，所以过F、G分别作的平行线，利用平行线的性质传递角度关系，结合已知角的度数推导的表达式． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 17．某市为了美化某景点，在两条笔直的景观道，上分别放置了两盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转；灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒旋转，灯每秒旋转，已知这两条景观道是平行的，即． (1)如果灯先旋转16秒，A灯才开始旋转，当A灯旋转4秒时，两灯发出的光束和到达如图所示的位置，请判断与的位置关系并说明理由． (2)如果灯先旋转12秒，A灯才开始旋转，当灯发出的光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时，请直接写出A灯转动的时间． (3)若两灯同时旋转，A灯发出的光束逆时针旋转至然后回转到时，两灯同时停止旋转，在此期间所在直线与所在直线能否互相垂直？如果能，请求出此时A灯旋转的时间；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)3秒，58秒，93秒，118秒 (3)能垂直，A灯旋转秒或45秒 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，解决此题的关键是分类讨论、由平行的性质列出每种情况的等量关系； （1）求出，，根据得，即可得出结论； （2）先计算出第一次到达需要时间，设A灯旋转时间为t秒，分类讨论列出一元一次方程，再分情况讨论求解即可； （3）设A灯旋转秒时，分类列出一元一次方程讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ∵， ， ， ． （2）设A灯旋转时间为秒，灯光束第一次到达需要（秒）， ，即． 由题意可知，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行， ①，解得； ②，解得； ③，解得； ④，解得； ⑤，解得（不符合题意，舍去）； 综上所述，满足条件的的值为3秒，58秒，93秒，118秒． （3）设A灯旋转秒时，与互相垂直， ①，解得； ②，解得； 即当A灯旋转秒或45秒时，与互相垂直． 18．下图所示的是一种躺椅的简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与前支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G，D，AB与DM交于点N．当，时，人躺着最舒服．求此时扶手AB与前支架OE的夹角和扶手AB与靠背DM的夹角的度数． 【答案】60°， 【分析】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等． 由平行线的性质推出，由平角定义求出，由平行线的性质推出，由平角定义得到的度数． 【详解】解：由题意可知，，． ， ． ， ． ， ， ． 19．为保证安全，某两段铁路，两旁安置了两座可旋转探照灯，，探照灯的光线可看作射线．如图，灯的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至射线上便立即回转，灯的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接． (1)若，求的度数； (2)若灯的光线先转动，每秒转动，秒后灯的光线才开始转动，每秒转动，在灯的光线第一次到达之前，灯的光线转动________秒时，两灯的光线互相平行． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（）由可得，，由可得，代入即可求解； （）分三种情况：当与相遇前，两灯的光线；当与相遇后， 为灯到达前的光线，灯未到达，两灯的光线；当与相遇后，为灯到达后的光线，灯未到达，两灯的光线；列出方程解答即可求解； 本题考查了补角性质、平行线的性质，一元一次方程的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：当与相遇前，设灯的光线转动秒，两灯的光线，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：； 当与相遇后，灯的光线转动秒，为灯到达前的光线，灯未到达，两灯的光线，如图， 同理可得：， ∴，解得，不合题意，舍去； 当与相遇后，灯的光线转动秒时，为灯到达后的光线，灯未到达，两灯的光线，如图， 同理可得：， ∴， 解得； 综上，或时，两灯的光线互相平行， 故答案为：或． 20．如图，平面直角坐标系中，直线BD分别交x轴、y轴于B、D两点，A、C是过D点的直线上两点，连接OA、OC、BD，∠CBO＝∠COB，且OD平分∠AOC． (1)请判断AO与CB的位置关系，并予以证明； (2)沿OA、AC、BC放置三面镜子，从O点发出的一条光线沿x轴负方向射出，经AC、CB、OA反射后，恰好由O点沿y轴负方向射出，若AC⊥BD，求∠ODB； (3)在（2）的条件下，沿垂直于DB的方向放置一面镜子l，从射线OA上任意一点P发出的光线经B点反射，反射光线与射线OC交于Q点，OQ交BP于M点，给出两个结论：①∠OMB的度数不变；②∠OPB+∠OQB的度数不变．可以证明，其中有且只有一个是正确的，请你作出正确的判断并求值． 【答案】(1)平行，见解析 (2)∠ODB＝45° (3)选②，∠OPB+∠OQB＝90°，见解析 【分析】（1）AO与CB平行，只要证明∠AOB+∠OBC＝180°即可； （2）作垂线GE⊥CB、FO⊥AO，由GE、OF为法线，∠DEG＝∠GEO，∠EOF＝∠BOF，再由平行线的性质即可求解； （3）设∠AOD＝∠DOQ＝x，∠PBD＝∠QBD＝y， 在△PNO和△QNB中∠OPB+x＝45°+y， 在△QHB和△DHO中∠OQB+y＝45°+x， 两式相加得∠OPB+∠OQB＝90°． 【详解】（1）平行． 证明：设∠AOD＝∠COD＝x， ∠BOC＝∠OBC＝y， 则∠BOD＝x+y＝90°， 故2x+2y＝180°， 即∠AOB+∠OBC＝180°， 得AO∥CB． （2）如图所示，作垂线GE⊥CB、FO⊥AO． ∵AO∥CB， ∴FO⊥BC； ∴GE∥OF（垂直于同一条直线的两条直线平行）， ∴∠GEO＝∠FOE； ∵GE、OF为法线， ∴∠DEG＝∠GEO，∠EOF＝∠BOF， ∴∠DEO＝∠EOB， ∴DE∥OB ∴∠EDB＝∠DBO， ∵BD为法线， ∴∠EDB＝∠BDO， ∴∠BDO＝∠DBO， ∴∠BDO＝45°． （3）选②，∠OPB+∠OQB＝90°， 证明：设∠AOD＝∠DOQ＝x， ∠PBD＝∠QBD＝y， 在△PNO和△DNB中∠OPB+x＝45°+y， 在△QHB和△DHO中∠OQB+y＝45°+x， 两式相加得∠OPB+∠OQB＝90°． 【点睛】本题主要证明了平行线的证明方法，可以证明两直线被第三条直线所截得到的内错角相等．并且本题考查了平行线的性质． 题型5 平行线+平面直角坐标系 21．如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足，线段AB交y轴于点D．在y轴上存在一动点E（点E不与点O重合）．点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴负半轴方向运动（点不与点重合）． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ． (2)在y轴上是否存在这样的E点，使的面积等于的面积的？若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图2，若点E为y轴负半轴上一动点，过点E作，分别作，的平分线交于点M，在点E的运动过程中的度数始终不变，则的度数是 ． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的面积计算、非负数的性质． （1）根据非负数的性质分别求出、、，得到点、、的坐标． （2）根据（1）的结论求得的面积，设点的坐标为，用含的代数式表示出的面积，根据题意列出方程，解方程即可； （3）作，根据平行线的性质得到，，，根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义计算，得到答案． 【详解】（1）解：，，，， ，，， 解得，，，， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； 故答案为：，，； （2）解：存在， 理由如下：∵点A的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 ∴， ∴ 设点的坐标为， 由题意得，，， 的面积， 依题意， 解得： ∴或 点坐标的坐标为或． （3）解：过点作，如图2， ∵， ， ，，， ， ， 、分别为，的平分线， ，， ． 故答案为：． 22．已知、两点的坐标分别为，，将线段水平向右平移了6个单位长度到，连接，得四边形． (1)点的坐标为_________，点的坐标为________； (2)如图1，为轴上一点，若平分，且于，，求与的数量关系； (3)如图2，直线轴于，直线上有一动点，连接、，求最小时点的坐标，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)最小时点的坐标为，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平面直角坐标系，图形的平移，三角形内角和定理． （1）根据点平移的性质即可得点、点的坐标； （2）先根据平移的性质得四边形是平行四边形，进而得，，，再根据三角形内角和定理可得出与的数量关系； （3）由两点间线段最短可知，当B、D、Q三点共线时最小，即可得出Q点坐标． 【详解】（1）解：∵、两点的坐标分别为，，将线段水平向右平移了6个单位长度到， ∴，， 故答案为：，； （2）解：设交于F，交于P， 由平移可知，，且， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：最小时点的坐标为，理由如下： 连接交于， 由两点间线段最短可知，当B、D、Q三点共线时最小， 即Q在位置时最小， ∵直线轴于， ∴G的横坐标2， 设Q点坐标为，， ∴， 解得， ， ∴， 即最小时点的坐标为． 23．如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，P点从点A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点Q从点O出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度匀速运动． (1)点A的坐标是________，点B的坐标是________，点C的坐标是________． (2)在点P，Q运动的过程中，连接，，使三角形的面积是三角形面积的4倍，求出点P的坐标； (3)在点P，Q运动的过程中，当时，请探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)点的坐标为或 (3)或，见解析 【分析】本题考查了三角形的面积计算、坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定理． （1）根据非负数的性质分别求出a、b，即可得点A、B、C的坐标； （2）过点作于点，分两种情况讨论：①如图，当点在点上方时；②如图，当点在点下方时；分别根据三角形的面积公式求出，得到点P的坐标； （3）分点Q在点C的上方、点Q在点C的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，，， 则，，， 故答案为：，，； （2）解：如图1，过点作于点， 设时间经过秒，三角形的面积是三角形面积的4倍，则，，，， 三角形PAB的面积是：， 分以下两种情况： ①如图，当点在点上方时， ， 三角形的面积是：， ， 解得， ， ， 点的坐标为； ②如图，当点在点下方时， ， 三角形的面积是：， ， 解得， ， ， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或； （3）解：或．理由如下： 过点作， ， ，， ， 分以下两种情况讨论： ①如图，当点在点上方时， 有， ； ②如图，当点在点下方时， 有， ， ， 综上所述，或． 24．已知，在平面直角坐标系中，轴于点，点满足．平移线段使点与原点重合，点的对应点为点． (1)直接写出点的坐标为______，点坐标为______，点坐标为______； (2)如图（），点是线段上的一个动点． ①连接，利用，，的面积关系，可以得到、满足一个固定的关系式，请求出这个关系式； ②过点作直线轴，在上取点，使得，若的面积为，请求出点的坐标． (3)如图（），以为边作，交线段于点，是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动过程中，试说明的值是定值，并求出该定值． 【答案】(1)，， (2)①；② (3)的值是定值，定值为 【分析】（）利用非负数的性质可得，，进而可得点的坐标，再根据平移可求出点坐标； （）①如图（），过点分别作轴于点，轴于点，根据列出关系式即可；②分点在点的左侧和右侧两种情况，分别画出图形解答即可； （）过、分别作，，可得，再根据平行线的性质解答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵轴于点， ∴， ∵平移线段使点与原点重合，点的对应点为点， ∴点坐标为，即， 故答案为：，，； （2）解：①如图（），过点分别作轴于点，轴于点， 连接，由题可知，， 轴于点，且点三点的坐标分别为，，， ，，，， ， 又， ， ， 、满足的关系式为； ②当点在点的左侧时，如图，设直线交轴于，连接，，设， ， ， ， ， 解得，     ； 当点在点的右侧时，如图，，连接、， ∵， 此时不存在符合题意的点； 综上所述，满足条件的点的坐标为； （3）解：∵线段是由线段平移得到， 过、分别作，， 则， 设，则， ， ， 同理可证，， ，， ， ∴的值是定值，定值为． 【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，图形的平移，平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 25．如图1所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，现同时将点A，B分别向上平移3个单位长度，向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点分别为D，C，连接，，． (1)写出点C，D的坐标； (2)若F是x轴上的一点，且的面积是面积的2倍，求点F的坐标： (3)如图2，P是射线上一个动点，连接，．当点P在射线上运动时，请直接写出与，之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)F的坐标为或 (3)①当点P在线段上时，；②当点P在线段的延长线上时， 【分析】（1）根据点的平移规律即可得，的坐标； （2）根据角形的面积是三角形面积的2倍，得，即可求出点的坐标； （3）分两种情况，当点在线段上运动时，当点在线段的延长线上运动时，分别画图根据平行线性质得出答案． 【详解】（1）解：点，的坐标分别为，，两点分别向上平移个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，的对应点，， ，， ，； （2）解：，， ， 三角形的面积是三角形面积的2倍， ， 点的坐标为， 点的坐标为或； （3）解：当点在线段上运动时，如图，过作， 点，的坐标分别为，，点，的坐标分别为，， ， ∴， ，， ， ； 当点在线段的延长线上运动时，如图，过作， 点，的坐标分别为，，点，的坐标分别为，， ， ∴， ，， ， ； 综上所述：当点在线段上运动时，； 当点在线段的延长线上运动时，． 【点睛】本题考查了平行线的性质,平行公理的应用，以及点的平移的规律，坐标与图形，对点的位置进行分类讨论是解题的关键． 题型6 平移 26．已知，直线分别交、于点M，N，，平分交于点E．将线段沿方向平移得到线段（点M的对应点为P，点N的对应点为Q）．直线与射线交于点K，连接． (1)当点K在线段上时． ①请在图1中补全图形，求的值； ②已知，求证：平分． (2)在线段平移的过程中，当时，直接写出的度数为____． 【答案】(1)①见解析；；②见解析 (2)或 【分析】（1）①根据题干要求补全图形即可；根据平行线的性质并结合角平分线的定义即可得出的度数；②由平行线的性质并结合三角形内角和定理得出，即可得证； （2）分两种情况：当点K在线段上时；当点K在线段的延长线上时；分别列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：①如图，补全图形， ，， ， 平分， ， 线段是由线段平移得到的， ， ， ②证明：， ， ， ， ， 在中，， ， ， 平分； （2）解：由（1）知， 分两种情况讨论： 当点K在线段上时： 在中，， 设，则， ∴， 解得， ， ∴， ， ， ， 当点K在线段的延长线上时： ， ∴， 设，则， ∴， 解得， ， ， ， ， 综上所述，的度数为或． 27．问题情境： 某农业科技园设计了一款智能温室，其屋顶结构由一块可调节的遮光板构成．已知，，．为了均匀采光，设计师在屋顶上安装了一条平行于的可移动轨道，并在轨道上设置一个可移动的光传感器．初始时，传感器满足，其中是上的一个固定支架点（如图1）． 知识初探： (1)设计师测量了初始状态下传感器与遮光板的夹角的度数，请你直接写出__________； 深入探究： (2)在实际运行中，轨道会沿的方向平移（即线段沿射线方向平移），平移后的传感器的位置记为，点的位置记为，为固定传感器，连接．设计师研究了两种位置情况，请你帮忙解决，并写出解答过程． ①如图2，当点在线段上时，若，求的度数； ②如图3，当点在线段上时，若，求的度数． 拓展延伸： (3)设计师发现：在上述平移过程中，当系统调节到某一理想光照状态时，满足，请直接写出的度数为__________． 【答案】(1) (2)； (3)或 【分析】（1）利用平行线的性质得， ， 根据同角的补角相等可得答案； （2）过点作，根据平移的性质得到，进而得到，根据平行线的性质可得答案； 过点作，根据平移的性质得到，进而得到，根据平行线的性质可得答案； （3）分两种情形：按照图2，图3分别求解即可． 【详解】（1）解：， ． ， ， ； （2）解：过点作，则， 线段是由线段平移得到， ， ， ， ； 过点作，则， 线段是由线段平移得到， ， ， ； ； （3）解：如图2，当时， 由知，， 即，解得， ； 如图3，当时， 由知，， 即，解得， ． 综上，或． 28．平移是一种重要的几何图形变换，在数学学习和实际应用中具有重要作用．它不仅帮助我们理解图形的运动变化规律，还在建筑、工程、设计等领域有广泛的应用．某班数学兴趣小组在学习平移的课程中，将直角三角形放在两条平行线间，运用平移的变化规律，计算角度的大小．如图，，张华将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，点M，N分别在直线，上，，，  ． (1)如图1，直接写出______ (2)如图2所示，李明将一个含，角的直角三角形 的顶点G与点M重合，点E落在直线上，顶点 G固定不动，将点E在直线上向左平移，同时始终保持直角三角形形状不变，即，，保持不变，直角三角尺固定不动，且，当点E运动到点N重合时停止(如图3所示)，问在运动过程中，三角形的一边与三角尺的一边平行时，请直接写出的大小(用α的代数式表示)； (3)王芳将直角三角形从图3位置沿两条平行线平移，始终保持，分别作和的角平分线和， 交直线于点 R，交直线于点 Q，与交于点H，求的大小．(要求：在备用图中画出图形，写出过程) 【答案】(1)90 (2)或或 (3)或 【分析】（1）过点P作，根据平行线的性质求出，，根据，求出结果即可； （2）分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可； （3）分两种情况讨论：向右移动时，向左移动时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：过点P作，如图所示： 又∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：分以下三种情况： 当时，如图所示： 则， 根据解析（1）可知：， ∴； 当时，如图所示： 则， ∵， ∴，， ∴， 根据解析（1）可得：， ∴， ∴； 当时，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴； 综上所述，或或； （3）解：分以下两种情况： 向右移动时，如图所示： ∵、分别平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ； 向左移动时，如图所示： ∵、分别平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ； 综上所述，或． 29．如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接． (1)依题意在图中补全图形，并证明：； (2)过点作直线．在直线上取点，使． ①当时，画出图形，并用等式表示与之间的数量关系； ②在点运动的过程中，当点到直线的距离最大时，的度数是______（用含的式子表示）． 【答案】(1)图见解析；证明见解析 (2)①或 ② 【分析】（）作，根据平行线的性质证明即可； （）①分两种情况，画出图形后，利用平行线的性质求解即可；②利用平移性质得到平行四边形，确定面积为定值，再通过三角形面积公式推出点到直线的距离与长度成反比，结合垂线段最短得出时距离最大，最后在直角三角形中利用平行线性质算出． 【详解】（1）证明：补全图形如图所示， 由平移的性质得：， 过点作，交于点， 则， ∴，， ∴； （2）①分两种情况： 第一种情况：点在直线的上方时，如图所示： 由平移的性质得：， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 整理，得； 第二种情况：点在直线的下方时，如图所示： ， ， 整理，得； ②由平移性质得四边形是平行四边形，，面积为定值， ∵，点到的距离等于平行线与PD的距离， 由（为距离） 得：距离， ∴当最短时最大， 定点到直线上点的距离，垂线段最短，即时最短，最大，如图所示： 此时中，， ∴， ∴． 30．定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点N坐标为，我们称点N是点M的等距平移点，其中a为等距平移常量．例如：当时，点的等距平移点N为． (1)①当等距平移常量时，点M坐标为，则它的等距平移点N的坐标为 ； ②若点M坐标为，它的等距平移点N在坐标轴上，则等距平移常量 ． (2)若点M在y轴上，且它的等距平移点N的坐标为，其中a为等距平移常量，O为坐标原点，求的面积； (3)点的等距平移点是，其中a为等距平移常量，若，且其中一个点到x轴的距离等于另一个点到x轴的距离的2倍，求a的值． 【答案】(1)①；②1或 (2)3 (3)或或或6 【分析】（1）①根据等距平移的意义直接求解； ②根据等距平移的意义及点在坐标轴上，分点N在轴上、点N在轴上两种情形，分别求解； （2）先根据等距平移分别求出、两点的坐标，再求出的面积； （3）根据等距平移的意义，分点到x轴的距离等于点到x轴的距离的2倍、点到x轴的距离等于点到x轴的距离的2倍两种情形，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵当等距平移常量时，点M坐标为， ∴点N的横坐标为，纵坐标为， ∴点N的坐标为， 故答案为：； ②点M坐标为，它的等距平移点N在坐标轴上， 当点N在轴上时，， 解得：； 当点N在轴上时，， 解得：， 故答案为：1或； （2）∵点M在y轴上， ∴设， ∴的等距平移点是， 又点M的等距平移点N的坐标为， ∴，， 解得：，， ∴，， ∴， ∴的面积为； （3）∵点， ∴点的等距平移点是， 又点的等距平移点是， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵其中一个点到x轴的距离等于另一个点到x轴的距离的2倍， ∴当点到x轴的距离等于点到x轴的距离的2倍时， ， ∴或， 解得：，， 当点到x轴的距离等于点到x轴的距离的2倍时， ， ∴或， 解得：，， 综上，的值为或或或6． 【点睛】本题考查了其他问题(一元一次方程的应用)，写出直角坐标系中点的坐标，求点到坐标轴的距离，利用平移的性质求解等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 相交线与平行线压轴题型 目录 题型1 相交线角度计算 1 题型2 平行线拐点问题 2 题型3 平行线+三角板问题 4 题型4 平行线实际问题结合 8 题型5 平行线+平面直角坐标系 10 题型6 平移 12 题型1 相交线角度计算 1．如图，直线交于点O，于点O，平分，已知． (1)求的度数； (2)过O作射线，若，直接写出的度数． 2．如图，直线与交于点，在的内部，，平分． (1)求的度数； (2)过点作，求的度数． 3．是的平分线， (1)若（如图1），请写出的余角 ； (2)若，（如图2），求的度数； (3)若，是平面内一点，设，求的度数（用的关系式表示，且是小于平角的角）． 4．如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：，，，则和互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）． (1)如图，为直线上一点，于点，于点，的垂角是________，的垂角是________； (2)在（1）的条件下，若的垂角比大40°，求的度数． 5．如图，直线、相交于点O，，且平分． (1)【探究发现】若时，则的度数是 ； (2)【类比延伸】若时，求的度数 ； (3)【联想拓展】从（1）（2）的结果中可以猜想出和有何关系，并给予证明． 题型2 平行线拐点问题 6．【特例探究】如图 1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． (1)若，则的度数为__________； 【总结归纳】 (2)探究与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 (3)已知，点，分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分，平分． ①如图 2，若点，均在直线和之间，且，求的度数； ②如图 3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分，设（），请用含的代数式表示． 7．小杨同学在完成七年级下册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图①，已知，，，则______； (2)如图②，已知，平分，平分，，所在直线交于点E． ①若，，求的度数； ②将图②中的点B移到点A的右侧得到图③，其他条件不变，若，且，求的度数． 8．已知直线，按如图1放置，其中，边，分别与直线，相交于点，，边分别与直线，交于点，． (1)若，求的度数；（用的代数式表示） (2)将图1中的进行适当旋转，如图2，顶点始终在两条平行线之间，连接．当恰好平分时，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 9．如图1，，是上方一点，F，G分别是，上的点，连接，． (1)若． ①求的度数． ②如图2，是上方一点，连接，．若平分 的度数比的度数的2倍还大，求的度数． (2)如图3，是上一点，连接，且 ，延长至点，连接．若平分 ，请直接写出的度数． 10．已知，如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，，平分，平分． (1)如图1，当时，直接写出的度数； (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）问的条件下，若，，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t（）秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 题型3 平行线+三角板问题 11．【实践与探究】在校园科技节上，宁宁同学用一副三角板，做模拟机器人机械手臂的实验．用三角板ABC模拟可任意伸展方向的机械臂，，，；用另一块三角板模拟固定关节底座，，． 他用直线和直线模拟机器人机械手臂安装的基准线，其中，将三角板平稳放置，使边在直线上，就像机械臂的基座固定在平台上，再调整三角板的位置，使三角板的顶点C落在直线上．在模拟机械臂的运动过程中，他遇到了一系列有趣的问题： (1)当两块三角板按图1的位置摆放时，点C，E，A，D在同一直线上，则三角板的边与所成的______； (2)为了更深入探究机械臂多角度运动，他将三角板绕点C逆时针转动一定角度，设三角板的边与三角板的边相交于点O． ①如图2，当转动三角板到的位置时，求的度数； ②如图3，在转动过程中，他还发现的值为定值，请求出这个定值； (3)如图4，将直线向上平移一定距离，以点C，A，E，D四点共线为初始位置，继续将三角板以每秒的速度绕点C逆时针转动，直到边与模拟基准线首次重合时，三角板停止运动．在这个转动的过程中，设三角板转动的时间为t（单位：），那么当三角板转动几秒时，三角板的边与三角板的边平行？请直接写出符合条件的t的值． 12．综合与实践 动手操作可提高我们的思维能力，王老师和同学们利用两块直角三角板（含的直角三角板和含的直角三角板）不同的摆放方式探究平行线的相关问题． 初步认知 (1)如图1，将三角板直角顶点A与E重合，若，则____________． 深入探究 王老师让同学们改变三角板的位置，提出新的问题并作出解答． (2)“智慧小组”提出问题：如图2，将三角板的顶点B放在三角板的边上，若，平分吗？请说明理由． (3)“善思小组”提出问题：将图2位置的三角板DEF不动，三角板ABC绕点B旋转一周，在此过程中与三角板的某一边平行（不共线）时，请直接写出的度数． 13．成都市石室联合中学某数学兴趣小组的同学用一副三角板和两条平行线进行如下探究：三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上，点落在三角板的边上． (1)求图1中的度数； (2)如图2，若三角板在原位置固定不动，将三角板沿着直线向右平移，线段、交于点，当点落在三角板的边上时停止运动，求证：； (3)在图2基础上，将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，将三角板绕点同时以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，且，当与平行时，请直接写出的值． 14．小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，小明将含角的直角三角板中的点落在直线上，若，则的度数为 ，的度数为 ； (2)如图2，小明将含角的直角三角板中的点，分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)小明将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点与点重合，且，若三角板绕着点顺时针方向旋转，直至三角板上的点由当前位置旋转到落在线段上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 15．综合与实践 【情境】在综合与实践课上，同学们利用一副直角三角板和两条平行线，探究变化过程中相关角度的变化．已知直线，在直角三角板中，，，，在直角三角板中，，． 【操作】操作一：如图1，将两块三角板的一条直角边重合，直角三角板的斜边与重合，直角三角板的顶点F在直线上． (1)在图1中，______，______； (2)利用图1，求的度数； 【探究】操作二：在操作一的基础上，直角三角板固定不动，让直角三角板绕着点G按逆时针方向旋转，旋转的度数小于．设边（或的延长线）与交于点Q． (3)如图2，当点F恰好落在上时，试判断与存在的数量关系，并说明理由； (4)当斜边与直角三角板的某一边平行时，直接写出的度数． 题型4 平行线实际问题结合 16．按要求完成下列各题： (1)如图1：潮潮用三根木棍a，b，c制作了如图所示的模型，固定c不动，转动a和b，使得__________时，可以使得，其依据是______________________． (2)潮潮的孪生兄弟实实，偶然间在数学教材上看见一幅神奇的平行线图如图2，为了验证这些直线是否互相平行，请你帮助实实同学设计一个方案，在只使用一个含的直角三角板的情况下，验证直线互相平行，并说明设计依据． (3)据此，潮潮实实，在晚上回家写作业的时候，为了转动台灯的灯管面（线段）与桌（线段）面平行，已知，，，请求出图3中的应该为多少？（用含x，y的式子表示），并说明理由． 17．某市为了美化某景点，在两条笔直的景观道，上分别放置了两盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转；灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒旋转，灯每秒旋转，已知这两条景观道是平行的，即． (1)如果灯先旋转16秒，A灯才开始旋转，当A灯旋转4秒时，两灯发出的光束和到达如图所示的位置，请判断与的位置关系并说明理由． (2)如果灯先旋转12秒，A灯才开始旋转，当灯发出的光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时，请直接写出A灯转动的时间． (3)若两灯同时旋转，A灯发出的光束逆时针旋转至然后回转到时，两灯同时停止旋转，在此期间所在直线与所在直线能否互相垂直？如果能，请求出此时A灯旋转的时间；如果不能，请说明理由． 18．下图所示的是一种躺椅的简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与前支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G，D，AB与DM交于点N．当，时，人躺着最舒服．求此时扶手AB与前支架OE的夹角和扶手AB与靠背DM的夹角的度数． 19．为保证安全，某两段铁路，两旁安置了两座可旋转探照灯，，探照灯的光线可看作射线．如图，灯的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至射线上便立即回转，灯的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接． (1)若，求的度数； (2)若灯的光线先转动，每秒转动，秒后灯的光线才开始转动，每秒转动，在灯的光线第一次到达之前，灯的光线转动________秒时，两灯的光线互相平行． 20．如图，平面直角坐标系中，直线BD分别交x轴、y轴于B、D两点，A、C是过D点的直线上两点，连接OA、OC、BD，∠CBO＝∠COB，且OD平分∠AOC． (1)请判断AO与CB的位置关系，并予以证明； (2)沿OA、AC、BC放置三面镜子，从O点发出的一条光线沿x轴负方向射出，经AC、CB、OA反射后，恰好由O点沿y轴负方向射出，若AC⊥BD，求∠ODB； (3)在（2）的条件下，沿垂直于DB的方向放置一面镜子l，从射线OA上任意一点P发出的光线经B点反射，反射光线与射线OC交于Q点，OQ交BP于M点，给出两个结论：①∠OMB的度数不变；②∠OPB+∠OQB的度数不变．可以证明，其中有且只有一个是正确的，请你作出正确的判断并求值． 题型5 平行线+平面直角坐标系 21．如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足，线段AB交y轴于点D．在y轴上存在一动点E（点E不与点O重合）．点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴负半轴方向运动（点不与点重合）． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ． (2)在y轴上是否存在这样的E点，使的面积等于的面积的？若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图2，若点E为y轴负半轴上一动点，过点E作，分别作，的平分线交于点M，在点E的运动过程中的度数始终不变，则的度数是 ． 22．已知、两点的坐标分别为，，将线段水平向右平移了6个单位长度到，连接，得四边形． (1)点的坐标为_________，点的坐标为________； (2)如图1，为轴上一点，若平分，且于，，求与的数量关系； (3)如图2，直线轴于，直线上有一动点，连接、，求最小时点的坐标，并说明理由． 23．如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，P点从点A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点Q从点O出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度匀速运动． (1)点A的坐标是________，点B的坐标是________，点C的坐标是________． (2)在点P，Q运动的过程中，连接，，使三角形的面积是三角形面积的4倍，求出点P的坐标； (3)在点P，Q运动的过程中，当时，请探究和的数量关系，并说明理由． 24．已知，在平面直角坐标系中，轴于点，点满足．平移线段使点与原点重合，点的对应点为点． (1)直接写出点的坐标为______，点坐标为______，点坐标为______； (2)如图（），点是线段上的一个动点． ①连接，利用，，的面积关系，可以得到、满足一个固定的关系式，请求出这个关系式； ②过点作直线轴，在上取点，使得，若的面积为，请求出点的坐标． (3)如图（），以为边作，交线段于点，是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动过程中，试说明的值是定值，并求出该定值． 25．如图1所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，现同时将点A，B分别向上平移3个单位长度，向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点分别为D，C，连接，，． (1)写出点C，D的坐标； (2)若F是x轴上的一点，且的面积是面积的2倍，求点F的坐标： (3)如图2，P是射线上一个动点，连接，．当点P在射线上运动时，请直接写出与，之间的数量关系． 题型6 平移 26．已知，直线分别交、于点M，N，，平分交于点E．将线段沿方向平移得到线段（点M的对应点为P，点N的对应点为Q）．直线与射线交于点K，连接． (1)当点K在线段上时． ①请在图1中补全图形，求的值； ②已知，求证：平分． (2)在线段平移的过程中，当时，直接写出的度数为____． 27．问题情境： 某农业科技园设计了一款智能温室，其屋顶结构由一块可调节的遮光板构成．已知，，．为了均匀采光，设计师在屋顶上安装了一条平行于的可移动轨道，并在轨道上设置一个可移动的光传感器．初始时，传感器满足，其中是上的一个固定支架点（如图1）． 知识初探： (1)设计师测量了初始状态下传感器与遮光板的夹角的度数，请你直接写出__________； 深入探究： (2)在实际运行中，轨道会沿的方向平移（即线段沿射线方向平移），平移后的传感器的位置记为，点的位置记为，为固定传感器，连接．设计师研究了两种位置情况，请你帮忙解决，并写出解答过程． ①如图2，当点在线段上时，若，求的度数； ②如图3，当点在线段上时，若，求的度数． 拓展延伸： (3)设计师发现：在上述平移过程中，当系统调节到某一理想光照状态时，满足，请直接写出的度数为__________． 28．平移是一种重要的几何图形变换，在数学学习和实际应用中具有重要作用．它不仅帮助我们理解图形的运动变化规律，还在建筑、工程、设计等领域有广泛的应用．某班数学兴趣小组在学习平移的课程中，将直角三角形放在两条平行线间，运用平移的变化规律，计算角度的大小．如图，，张华将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，点M，N分别在直线，上，，，  ． (1)如图1，直接写出______ (2)如图2所示，李明将一个含，角的直角三角形 的顶点G与点M重合，点E落在直线上，顶点 G固定不动，将点E在直线上向左平移，同时始终保持直角三角形形状不变，即，，保持不变，直角三角尺固定不动，且，当点E运动到点N重合时停止(如图3所示)，问在运动过程中，三角形的一边与三角尺的一边平行时，请直接写出的大小(用α的代数式表示)； (3)王芳将直角三角形从图3位置沿两条平行线平移，始终保持，分别作和的角平分线和， 交直线于点 R，交直线于点 Q，与交于点H，求的大小．(要求：在备用图中画出图形，写出过程) 29．如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接． (1)依题意在图中补全图形，并证明：； (2)过点作直线．在直线上取点，使． ①当时，画出图形，并用等式表示与之间的数量关系； ②在点运动的过程中，当点到直线的距离最大时，的度数是______（用含的式子表示）． 30．定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点N坐标为，我们称点N是点M的等距平移点，其中a为等距平移常量．例如：当时，点的等距平移点N为． (1)①当等距平移常量时，点M坐标为，则它的等距平移点N的坐标为 ； ②若点M坐标为，它的等距平移点N在坐标轴上，则等距平移常量 ． (2)若点M在y轴上，且它的等距平移点N的坐标为，其中a为等距平移常量，O为坐标原点，求的面积； (3)点的等距平移点是，其中a为等距平移常量，若，且其中一个点到x轴的距离等于另一个点到x轴的距离的2倍，求a的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $