专题 7.9 相交线与平行线全章考点与题型专题训练（8大考点17类题型）- 2025-2026学年人教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 7.9 相交线与平行线全章考点与题型专题训练（8大考点17类题型） 目录 基础篇（夯实概念 + 基础计算） 2 【考点一】相交线 2 ★【题型 1】 对顶角与邻补角的概念辨析 2 ★【题型 2】 对顶角与邻补角的角度计算 3 ★【题型 3】 垂线的定义与垂线段最短的应用 7 【考点二】同位角、内错角、同旁内角的识别 9 ★【题型 4】 标准三线八角图中的角的位置识别 9 ★【题型 5】 简单嵌套图形中求角的度数 11 【考点三】定义、命题与证明 13 ★【题型 6】 命题的题设与结论 13 ★【题型 7】 命题的真假判断与简单反例 14 【考点四】平移的性质与应用 16 ★【题型 8】 平移的概念与图形识别 16 ★【题型 9】 平移的坐标计算与简单面积转化 18 培优篇（综合应用 + 逻辑推理） 20 【考点五】相交线的综合应用 20 ★★【题型 10】 垂线与角度方程的综合计算 20 ★★【题型 11】 点到直线距离的几何最值问题 25 【考点六】平行线的与几何模型 28 ★★【题型 12】 平行线中 “拐点” 模型（铅笔头、猪蹄、鹰嘴）的角度计算 28 ★★【题型 13】 平行线与角平分线、折叠的综合角度推导 35 【考点七】几何证明逻辑推理综合 39 ★★【题型 14】 多步几何推理与证明过程补全 39 ★★【题型 15】 结合代数背景的几何命题证明 45 【考点八】平移的综合应用 49 ★★【题型 16】 平移与面积、周长的综合计算 49 ★★【题型 17】 平移在实际生活中的优化问题 52 基础篇（夯实概念 + 基础计算） 【考点一】相交线 ★【题型 1】 对顶角与邻补角的概念辨析 1．（2026七年级下·全国·专题练习）下列图形中，与互为邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据邻补角的定义，判断两个角是否满足三个条件：①有一条公共边；②另一边互为反向延长线；③两角之和为． 【详解】解：A、与没有公共边，不满足邻补角的条件，不符合题意； B、与的另一边不互为反向延长线，不满足邻补角的条件，不符合题意； C、与有一条公共边，另一边互为反向延长线，且两角之和为，符合邻补角的定义，符合题意； D、与 的另一边不互为反向延长线，且角度和不是，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了邻补角的定义，解题关键是抓住邻补角的两个核心特征：“相邻”（有公共边）和“互补”（和为 ，且另一边互为反向延长线）． 2．（24-25七年级下·河北唐山·月考）下列图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．根据对顶角的定义作出判断即可． 【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有D选项的是对顶角，其它都不是． 故选：D． 3．（23-24七年级下·新疆和田·期中）如图所示，与相交所成的四个角中，的邻补角是 ，的对顶角是 ． 【答案】 ， 【分析】本题考查邻补角和对顶角，根据邻补角和对顶角的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，与相交所成的四个角中，的邻补角是，；的对顶角是； 故答案为：，； 4．（2024七年级下·全国·专题练习）如图①，两条直线a，b相交于一点，有4组不重复的邻补角； 如图②，三条直线a，b，c相交于一点，有12组不重复的邻补角； 如图③，四条直线a，b，c，d相交于一点，有24组不重复的邻补角； 则n条直线相交于一点，有 组不重复的邻补角．    【答案】 【分析】本题考查的是图形规律探索，结合已知条件及图形总结规律即可． 【详解】解：由①得， 由②可得， 由③可得， 那么n条直线相交于一点，不重复的邻补角共有组， 故答案为：． ★【题型 2】 对顶角与邻补角的角度计算 1．（25-26七年级上·福建泉州·期末）光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，长方形为盛满水的水槽，一束光线从点P射向水面上的点D，折射后照到水槽底部的点C．测得，，若P，D，B三点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对顶角，根据“对顶角相等”得，代入数据求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵，， ∴， 故选：C． 2．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）如图，直线、相交于点O，平分，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了邻补角、角平分线，掌握邻补角以及角平分线的定义是正确解答的关键．根据角平分线，可知，根据邻补角的定义，可得，据此作答即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵直线、相交于点O， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·云南曲靖·月考）如图，O是直线上的一点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若，则______（用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图中角度的计算等知识． （1）利用平角减求出，再利用角平分线定义求出的度数，再利用即可求解； （2）同理（1）即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：同理（1），得， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，直线、相交于，平分，于点，． (1)求、的度数； (2)写出的补角有________． 【答案】(1)、 (2) 【分析】本题考查余角，补角及角平分线的定义： （1）利用余角和对顶角的性质，即可求出的度数，利用角平分线及补角的性质又可求出的度数． （2）根据补角的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵于点， ∵与是对顶角， ∵平分， ∴、的度数分别为、； （2）解：如图为各个角的度数： ，则其补角为， 故其补角有：． 故答案为：． ★【题型 3】 垂线的定义与垂线段最短的应用 1．（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图，因为，，所以与重合的理由是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查垂线的性质，熟练掌握垂线的性质是解题的关键． 由垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断． 【详解】解：因为，，所以与重合的理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：D． 2．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，直线相交于点O，．若 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线的定义，对顶角相等，由垂线的定义可得，再由对顶角相等可得的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）点是直线外一点，，，分别是直线上三点，已知，，，若点到直线的距离记为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，垂线段最短，掌握相关知识是解决问题的关键．利用点到直线的距离定义求解即可． 【详解】解：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， 点到直线的距离， 的取值范围为． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图，在中，，的面积为24，为边上的动点，连接，以为边向左侧作正方形，则正方形面积的最小值为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段最短，理解垂线段最短是解题的关键，根据面积公式求得的长，利用垂线段最短得最小值为的长，从而即可得解． 【详解】解：过点C作于点，    ∵，， ∴，即， ∴， ∵D为边上一动点，， ∴的最小值为的长4， ∴正方形的面积的最小值为 故选：． 【考点二】同位角、内错角、同旁内角的识别 ★【题型 4】 标准三线八角图中的角的位置识别 1．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）下列图形中，和不是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两条直线被第三条直线所截，两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角； 根据同位角的定义对各个选项中和的位置进行分析即可得出答案．本题考查了同位角的定义，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得： A．和是同位角，不符合题意； B．和是同位角，不符合题意； C．和是同位角，不符合题意； D．中的和不是同位角，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图，在所标识的角中，内错角是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义判断即可． 本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是熟记同位角、内错角、同旁内角的定义． 【详解】解：根据内错角的定义得与是内错角． 故选：D． 3．（24-25七年级下·全国·周测）如图，与是同位角的角共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查同位角的概念，关键是掌握同位角的定义． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断． 【详解】解：如图， 与成同位角的角有，，，共个， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·全国·周测）如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查对顶角、内错角、同旁内角的相关概念，熟练掌握相关概念是解决本题的关键． 根据对顶角、同旁内角、内错角的性质判断即可． 【详解】解：与是对顶角，①说法正确； 与是同旁内角，②说法正确； 与不是同旁内角，③说法错误； 与是内错角，④说法正确； 故答案为：①②④． ★【题型 5】 简单嵌套图形中求角的度数 1．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图，直线a，b被直线c所截，，，则的同位角的度数是 ；的同旁内角的度数是 ． 【答案】 /70度 /70度 【分析】此题考查了邻补角同位角和同旁内角的概念，熟练掌握概念是解题的关键． 根据同位角，同旁内角的概念以及邻补角求解即可． 【详解】解：的同位角是 ． ∵，， ∴，即的同位角的度数是． 的同旁内角是 ． ∴的同旁内角的度数是． 故答案为：，． 2．（24-25七年级下·广东中山·月考）如图，如果，，那么 的同位角 ，的内错角 ，的同旁内角 【答案】 【分析】本题考查的是对顶角，邻补角的含义，同位角，内错角，同旁内角的概念，先求解，；，再利用同位角，内错角，同旁内角的概念求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，；， ∴的同位角，的内错角，的同旁内角； 故答案为：，，， 3．（24-25七年级下·重庆·月考）如图，如果，，的内错角等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了内错角的定义，邻补角的和等于，熟记定义并准确识图是解题的关键．根据邻补角的和等于和内错角计算即可得解． 【详解】 解：如图， ∵， ∴， ∴ 的内错角， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，直线b、c被直线a所截，如果，，那么与其内错角的角度之和等于 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三线八角，对顶角、邻补角性质，解题的关键在于找准的内错角，再根据对顶角、邻补角性质求解，即可解题． 【详解】解：， 的内错角为， ， ， 与其内错角的角度之和为， 故答案为：． 【考点三】定义、命题与证明 ★【题型 6】 命题的题设与结论 1．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）命题“两直线平行，同位角相等”的条件是（ ） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线不平行 D．同位角不相等 【答案】A 【分析】本题主要考查命题与定理的知识，难度适中，解题的关键是：先将原命题改写成：如果…，那么…的形式． 改写成“如果…那么…”的形式，如果后面的文字就是条件． 【详解】解：命题“两直线平行，同位角相等”改写为如果两直线平行，那么同位角相等， 所以条件是两直线平行， 故选：A． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）把命题“等角的余角相等”改写成：“如果 ，那么 ”． 【答案】 两个角相等 它们的余角相等 【分析】本题考查了命题的改写，将命题改写成“如果…那么…”形式，需明确题设和结论，“如果”后接题设，“那么”后接结论． 【详解】解：命题“等角的余角相等”中，“等角”表示两个角相等，是题设；“余角相等”表示它们的余角相等，是结论．因此改写成“如果两个角相等，那么它们的余角相等”． 故答案为：两个角相等，它们的余角相等． 3．（23-24七年级下·广东东莞·期中）把命题“同旁内角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为： 【答案】如果两个角是同旁内角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题的概念，命题是由题设和结论两部分组成，根据命题的概念作答即可． 【详解】解：把命题“同旁内角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是同旁内角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是同旁内角，那么这两个角相等 ． 4．（23-24七年级下·四川绵阳·期中）命题“同旁内角互补”的题设是 ，结论是 ，这是一个 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 两个角是同旁内角 这两个角互补 假 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式，有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 【详解】解：命题中，已知的事项是“两个角是同旁内角”， 由已知事项推出的事项是“这两个角互补”，所以“两个角是同旁内角”是命题的题设部分，“这两个角互补”是命题的结论部分，这是一个假命题， 故答案为：两个角是同旁内角，这两个角互补，假． ★【题型 7】 命题的真假判断与简单反例 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）对于命题“若，则、都大于”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了假命题的反例证明，熟练掌握方法是解题的关键． 反例需满足且至少有一个角不大于． 【详解】解：A、，不可以说明它是假命题，故选项不符合题意； B、，且、都大于，不可以说明它是假命题，故选项不符合题意； C、，不可以说明它是假命题，故选项不符合题意； D、，且，可以说明它是假命题，故选项符合题意． 故选：D． 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）可以用来说明“，则”是假命题的反例是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是命题与定理，要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题． 【详解】解：∵当时，，但是， ∴是假命题的反例． 故答案为：． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例． (1)如果，那么，且． (2)如果，那么． 【答案】(1)假命题，反例：， (2)假命题，反例：， 【分析】本题考查了判断命题真假，反例，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）若，根据乘法的性质，只需其中一个因数为0即可，并非要求两个因数同时为0． （2）绝对值表示的是数到原点的距离，因此仅说明和到原点的距离相等，但和可能是互为相反数的关系． 【详解】（1）解：该命题是假命题 反例：当、时，，但此时． （2）解：该命题是假命题 反例：当、时，，但． 4．（2026七年级下·全国·专题练习）请举反例说明下列命题是假命题： (1)相等的角是直角． (2)如果，那么． (3)如果，那么是钝角． 【答案】(1)例如，两个的角相等，但它们不是直角． (2)例如，，，则，但，． (3)例如，，，则，但不是钝角． 【分析】本题考查举反例证明假命题的方法．对于每个命题，需要找出一个实例满足条件但不满足结论，从而说明命题不成立．反例需基于初中数学知识，如角的概念、有理数运算等． （1）根据原命题举出反例即可求解； （2）根据原命题举出反例即可求解； （3）根据原命题举出反例即可求解． 【详解】（1）解：两个角相等时，不一定都是直角， 例如，两个的角，它们相等，但都是锐角，不是直角． ∴命题“相等的角是直角”是假命题． （2）解：∵如果，和可能互为相反数， 例如，，，此时，但，． ∴命题“如果，那么，”是假命题． （3）解：如果，可能不是钝角， 例如，（锐角），，则，但是锐角，不是钝角． ∴命题“如果，那么是钝角”是假命题． 【考点四】平移的性质与应用 ★【题型 8】 平移的概念与图形识别 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下面四个图形中，在力的作用下，物体做平移运动的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移和旋转的定义，掌握平移是沿直线移动且方向不变，旋转是绕点转动方向改变是解题的关键． 根据平移的定义，判断每个选项的运动形式，平移是沿直线移动且方向不变，旋转是绕点转动方向改变． 【详解】解：A、杠杆绕点转动，属于旋转，不符合题意； B、压钳绕点转动，属于旋转，不符合题意； C、物体沿直线向下移动，形状和方向均未改变，属于平移，符合题意； D、杠杆绕点转动，属于旋转，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列现象属于平移的是（   ） A．投篮时篮球的运动 B．用打气筒打气时，活塞的运动 C．钟摆的摆动 D．汽车雨刷的运动 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移．解题的关键是注意平移是图形整体沿某一直线方向移动． 根据平移的定义，旋转的定义对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、篮球运动是曲线运动，有旋转，不属于平移，不符合题意； B、活塞在打气筒内沿直线往复运动，符合平移特征，符合题意； C、钟摆是绕固定点摆动，属于旋转，不属于平移，不符合题意； D、雨刷是绕轴旋转运动，不属于平移，不符合题意； 故选：B. 3．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）剪纸是一种民间美术形式，以大胆变形和夸张的手法著称，线条细长、透亮．下面的剪纸图案中，能用其一部分平移得到的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用平移设计图案，掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质：平移不改变图形的形状、大小及方向，判断即可． 【详解】解：∵只有C选项的图形没有改变图形的形状、大小及方向，符合平移的性质， ∴只有C选项的图形是通过平移得到， ∴C选项符合题意， 故选：C． 4．（24-25七年级下·浙江温州·期中）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能看作由其中一部分平移得到的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的定义是解题的关键．根据平移的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，上列甲骨文中，能看作由其中一部分平移得到的是： 故选：A． ★【题型 9】 平移的坐标计算与简单面积转化 1．（25-26八年级上·山东威海·月考）为构建和谐校园，营造良好的教育氛围，某学校拟在如图所示的长方形草坪上修建甬道，道路的宽忽略不计，若草坪周长为，则道路的总长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了长方形周长公式的应用及图形的平移思想，熟练掌握长方形周长公式并利用平移简化计算是解题的关键． 通过平移道路，将其转化为长方形的长与宽的和，结合长方形周长公式计算道路总长． 【详解】解：设长方形草坪的长为，宽为． 长方形周长公式：， ∴． 平移道路后，道路总长等于． 故答案为：B． 2．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）如图，中，，将沿射线方向平移至，如果厘米，厘米，四边形的面积为27平方厘米，那么平移的距离是（   ） A．2厘米 B．3厘米 C．4厘米 D．5厘米 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的不变性． 由平移得，，，则，再由梯形面积公式求解即可． 【详解】解：由平移得，，， ∴， ∴， ∴， ∴平移的距离为3厘米， 故选：B． 3．（25-26七年级上·上海闵行·期末）如图，将沿方向平移3厘米后得到，若的长为4厘米，则 厘米．    【答案】7 【分析】本题考查平移的性质，解题的关键是根据平移的性质求出． 根据沿方向平移3厘米得到求出，从而可求出． 【详解】解：∵将沿方向平移3厘米后得到， ∴厘米， ∵厘米， ∴厘米， 故答案为：7． 4．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，将一个周长为的沿射线方向平移到的位置，（点、、分别与点、、对应），若四边形周长为，则平移的距离为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质得到，，结合三角形和四边形的周长进行求解即可，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵沿射线方向平移到的位置， ∴，， ∵四边形的周长为， ∴， ∴， ∵周长为，即， ∴， ∴， 即平移的距离为， 故答案为：2． 培优篇（综合应用 + 逻辑推理） 【考点五】相交线的综合应用 ★★【题型 10】 垂线与角度方程的综合计算 1．（25-26七年级上·重庆·月考）如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，熟知角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线的定义可得的度数，由垂线的定义可得的度数，据此可得答案； （2）设，，则可推出，根据垂线的定义可推出，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ， ， ， ； （2）解：， ∴可设，， 平分， ， ， ， ， ， 即， ∴，即． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，相交于点，已知，在内部，且． (1)求的度数． (2)若平分，则是的平分线吗？请判断并说明理由． 【答案】(1) (2)是的平分线．理由见解析 【分析】本题考查了对顶角相等、角平分线的定义以及比例关系的应用，掌握对顶角相等的性质，角平分线的定义，以及通过设未知数利用比例关系求角度是解题的关键． （1）利用对顶角相等得到，根据与的比例设未知数，列方程求解； （2）先计算的度数，利用角平分线定义得到的度数，比较与的大小，判断是否为角平分线． 【详解】（1）解：设，则，． ∵， ∴， 解得：， ∴． （2）解：是的平分线．理由如下： ∵， ∴． ∵平分， ∴， ， ∴是的平分线． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，相交于点，是内的一条射线，是内的一条射线，． (1)若，则的度数为 ． (2)若，，则的度数为 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由对顶角相等求出，再由已知条件求出的度数，根据邻补角的定义与角的和差进行求解即可； （2）设，则，利用角的和差即可解得，进而求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，所以， ∴． （2）解：设，则． ∵， ∴，． ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了对顶角相等、邻补角的定义及角的和差，熟练掌握知识点是解题的关键． 4．（25-26七年级上·全国·期末）图1是一把多功能对角尺，图2是其示意图，点在线段上，是的补角，平分． (1)若为直角，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，一元一次方程的应用． （1）由可得，进一步结合角平分线的定义求解即可． （2）设， 可得，证明，，进一步解方程可得答案． 【详解】（1）解：∵为直角， ∴． ∵是的补角， ∴， ∵平分， ∴． ∴． （2）解：设，而， ∴． ∵是的补角， ∴三点共线， ∴， ∵平分， ∴． ∴， 解得， ∴． ★★【题型 11】 点到直线距离的几何最值问题 1．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，在中，，，点D是边上一点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到，连接，若，则线段长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长过点C作于点G，先证明点A、C、E在同一直线上，根据，得出，根据垂线段最短，得出点F在点G处时，最小，根据直角三角形的性质求出结果即可． 【详解】解：延长过点C作于点G，如图所示： ∵，， ∴， 根据旋转可知：，，， ∴， ∴点A、C、E在同一直线上， ∵， ∴， ∴点F在直线上， ∵垂线段最短， ∴点F在点G处时，最小， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的性质和垂线段最短，旋转的性质，解题的关键是恰当作辅助线，确定点E的运动轨迹． 2．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，是的角平分线，若P、Q分别是和边上的动点，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】过点D作交，过点作交于Q，交于点P，由是的角平分线，可得点C与关于对称，则即为所求． 【详解】解：如图所示：过点D作交，过点作交于Q，交于点P， 是的角平分线，， 点C与关于对称， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称求最短距离，熟练掌握角平分线的性质，找到C点关于的对称点，再由垂线段最短是求解的关键． 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，在三角形中，，，，．点是线段上的一动点，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，掌握点到直线垂线段最短是解题的关键． 根据题意，当时，的长度最短，由等面积法求高的方法列式求解即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最短， 在中， 由面积公式得：， 即， 解得，； 故答案为：． 4．（22-23七年级下·陕西西安·期中）已知：如图，，，且，点是线段上的一个动点，则的最大值与最小值的差是 ．    【答案】 【分析】当点M与点A重合时，取最大值，此时，当时，取最小值，根据，求出最小值，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 当点M与点A重合时，取最大值，此时， 当时，取最小值， ∵， ∴，解得：， ∴的最大值与最小值的差是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂线段最短，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等；垂线段最短． 【考点六】平行线的与几何模型 ★★【题型 12】 平行线中 “拐点” 模型（铅笔头、猪蹄、鹰嘴）的角度计算 1．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，过作，得，则，，由三角形外角的性质得，根据得，再代入计算可得结论． 【详解】解：过点作，过作， ∵， ∴ ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 2．（24-25七年级下·四川泸州·月考）如图，，，分别是直线，之间的点，连接，，，，已知，，当时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，通过作平行线将角进行转化是解题的关键． 过点作，过点作，通过“两直线平行，同旁内角互补”得，进而得，根据、与、 的数量关系，得出的和，结合辅助线的平行关系，将、转化为、，即可得的度数． 【详解】解：如图，过点作，过点作，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·河北石家庄·月考）我们通常把图1、图2 中的点 E 称为拐点，解决平行线中有关拐点问题的方法，一般是过拐点作平行线    【探究发现】如图1，已知，直接写出的数量关系； 【变式拓展】如图2，保持，当点 E 在的右上方时，的数量关系有变化吗? 写出结论，并证明你的猜想； 【学科融合】图3是一探照灯灯碗的纵剖面，在焦点O 处发出的光线经灯碗(点C 除外)反射后均沿与平行的方向射出．入射光线的反射光线为，，若入射光线经灯碗反射后沿射出，且，求的度数. 【答案】探究发现：；变式拓展：有变化，,证明见解析；学科融合：或 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，分析入射光线的不同位置是做本题的关键． 探究发现：过点E作，由平行线的性质可得，则有，，从而可求解； 变式拓展：利用平行线的性质可得，再由三角形的外角性质得，从而可求解； 学科融合：分两种情况：如果是锐角，；如果是钝角，，由平行线的性质求出，，从而求出的度数． 【详解】探究发现：过点作，如图，    ∴， ， ， 变式拓展：有变化，， 证明：如图，    ， 是的外角， ， ； 学科融合：如图，    ∴ ∴ ∵ ∴ 在图1的情况下， 在图2的情况下， 的度数为或 4．（24-25七年级下·重庆·期中）经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1．，，，则______； (2)如图2．，点在直线上方，探究、、的数量关系，并证明． (3)如图3．，点在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点（点在直线的下方）．请写出和之间的数量关系．并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图1，过作，则，由，可得，则，根据，计算求解即可； （2）如图2，过作，则，同理可得，，则，即可作答． （3）由平分，平分，可得，设，则，，，如图3，过作，过作，由（2）可知，，由，可得，同理（1）可得，则，由，可得，整理作答即可； 【详解】（1）解：如图1，过作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：；证明如下； 如图2，过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （3）解：，证明如下； ∵平分，平分， ∴， 设，则，，， 如图3，过作，过作， 由（2）可知， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ★★【题型 13】 平行线与角平分线、折叠的综合角度推导 1．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，长方形纸片，点M，N分别在，边上，将纸片沿折叠，点C，D分别落在点，处，与交于点P，再沿折叠纸片，点，分别落在点，处，设，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换，平行线的性质，掌握翻折变换，平行线的性质是解题的关键．由折叠的性质可得，由平行线的性质可求，再由折叠性质可得，再由平行线的性质可得 ，最后即可求解． 【详解】解：， ， 由折叠性质可得：， ， 由题意得：， ， ， 由折叠性质可得：， ， ， 由题意得：， ， 故选：D 2．（22-23七年级下·四川成都·期中）折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家藤田文章和羽鸟公士郎甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则 ． 【答案】/21度 【分析】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角之间的关系．由折叠的性质可得，，，，由平行线的性质可求得，，从而可求得，则有，由对顶角相等得，从而得． 【详解】解：由折叠得：，，，， 是长方形，， ， ，， ， ， ， ， 与重合， ， ， 故答案为： 3．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·月考）阅读材料：学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的①﹣④，虚线部分表示折痕）．从图中可知，小明画平行线的依据有哪些？填一填． 想法一：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，，则，依据是 ． 想法二：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，则，所以，依据是 ． 解决问题：如图⑤，于点，于点，．求证：平分． 【答案】想法一：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；想法二：同位角相等，两直线平行；解决问题：见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和平行公理的应用，熟记平行线的判定定理与平行公理推论是解题的关键． 阅读材料：想法一：根据“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”求解即可； 想法二：根据“同位角相等，两直线平行”求解即可； 解决问题：由垂直可证明，由平行线的性质可得到，可证得结论，据此解答即可． 【详解】解：阅读材料：想法一：，， （同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）， 故答案为：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行； 想法二：由图②中的折叠得，， ， 由图③中的折叠得，， ， ， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：同位角相等，两直线平行； 解决问题：证明：于点，于点， ， ，， 又， ， 平分． 4．（23-24七年级下·山东临沂·月考）【问题情境】 学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的①—④，虚线部分表示折痕）． 【操作发现】 （1）发现一：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，，则．用数学符号写出这个推理过程，并注明推理的依据． （2）发现二：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，则，所以．用数学符号写出这个推理过程，并注明推理的依据． 【解决问题】（3）如图⑤，于点，平分，于点．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定定理并灵活运用． （1）利用同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行进行分析即可； （2）利用同位角相等，两直线平行进行分析即可； （3）由题意可得，则有，，再由角平分线的定义可得，则可求得． 【详解】（1）解：，， ∴（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）； （2）解：，， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）； （3）证明：于点，于点， ∴， ，， 又平分， ． ． 【考点七】几何证明逻辑推理综合 ★★【题型 14】 多步几何推理与证明过程补全 1．（25-26七年级上·福建泉州·月考）在相应的横线上按照要求填写证明步骤或证明依据． 已知：如图，，，若． 求证：． 证明：∵， ∴（垂直的定义）， 又∵， ∴ + ， ∴ （ 同角的余角相等 ）， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴（ ）． 【答案】，；；；；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，垂直的定义，掌握好平行线的判定定理以及运用等量代换是解题关键． 先由垂直的定义，得到，再用等量代换得到，从而得到，由同旁内角互补可以证出． 【详解】证明：∵， ∴（垂直的定义）， 又∵， ∴， ∴（ 同角的余角相等 ）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行 ）， 故答案为：，；；；；；同旁内角互补，两直线平行 ． 2．（24-25八年级上·河北承德·月考）发现与探究 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图1、图2探究这两个角的关系． （1）如图1，与的关系是___________； （请将如下证明补充完整） 证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （___________，___________）． （___________）． （2）如图2，与的关系是___________； （请将如下证明补充完整） 证明： 思考与结论 （3）综合上述，我们可以得到一个真命题：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角___________． 【答案】（1）（或相等）；两直线平行，内错角相等；等量代换； （2）（或互补）；证明见解析； （3）相等或互补 【分析】本题考查平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补），结合等量代换，探究了两边分别平行的两个角的关系，先从特殊图形（图1、图2）入手，再归纳出一般结论． （1）利用平行线的性质，通过中间角来推导与的关系； （2）同样利用平行线性质，结合邻补角知识推导； （3）最后综合（1）（2）即可得出一般结论． 【详解】解：（1）证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （两直线平行，内错角相等）． （等量代换）． 故答案为：（或相等）；两直线平行，内错角相等；等量代换； （2）（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）． 故答案为：（或互补）； （3）综合（1）中（两角相等）和（2）中（两角互补），可得：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 3．（23-24八年级上·河北邢台·月考）【证明】 （1）如图，于点，于点，，求证：．请补全证明过程． 证明：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（                    ）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴______（等量代换）， ∴（               ）． 【拓展】 （2）若把（1）条件中的“”与结论“”对调，其他条件不变，所得命题是真命题还是假命题？如果是真命题，写出证明过程；如果是假命题，举出反例． 【迁移】 （3）如图，请你从四个选项：①，②，③，④中，选出三个作为条件，另一个作为结论，可以组成_______个真命题．    【答案】（1）同位角相等，两直线平行；；内错角相等，两直线平行；（2）真命题，见解析；（3）4 【分析】（1）根据平行的判定和性质进行证明即可； （2）根据平行的判定和性质进行证明即可； （3）分别写出四种情况，分别进行说明和证明即可得到结论． 【详解】解：（1）证明：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：同位角相等，两直线平行；；内错角相等，两直线平行． （2）是真命题． 证明：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． （3）在（1）中已经证明：①，②，③，作为条件，④作为结论得到命题正确； 在（2）中已经证明：①，②，④，作为条件，③，作为结论，得到的命题正确； ②，③，④作为条件，①作为结论， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即命题正确； ①，③，④作为条件，②作为结论， 证明；∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即命题正确； 综上可知，可以组成4个真命题， 故答案为：4 【点睛】此题主要考查了平行线的判定和性质，熟练运用平行线的判定和性质进行证明是解题的关键． 4．（23-24七年级下·河北衡水·期中）【证明】如图，已知∠A＝∠C，若ABCD，则BCAD．请补全证明过程． (1)证明：∵ABCD（已知）， ∴∠ABE＝∠C（ 　 　）． ∵∠A＝∠C（已知）， ∴∠ABE＝　 　（等量代换）， ∴BCAD（ 　 　）． (2)【延伸】若前提“∠A＝∠C”不变，将题设“ABCD”与结论“BCAD”调换，命题是真命题还是假命题？如果是真命题，写出证明过程；如果是假命题，举出反例； (3)【拓展】如图，已知有三个条件①∠A＝∠C；②ABCD；③BCAD，三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论组成一个命题，能组成多少个真命题？ 【答案】(1)两直线平行，同位角相等；∠A；内错角相等，两直线平行 (2)真命题；证明见解析 (3)3个 【分析】（1）直接根据平行线的判定及性质即可得到答案； （2）将题设与结论调换后，为真命题，直接根据平行线的判定及性质进行证明即可； （3）根据题意可知，①②作为题设，③作为条件；①③作为题设，②作为结论；②③作为题设，①作为结论，能组成3个真命题． 【详解】（1）证明：∵（已知）， ∴∠ABE＝∠C（两直线平行，同位角相等）， ∵∠A＝∠C（已知）， ∴∠ABE＝∠A（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，同位角相等；∠A；内错角相等，两直线平行； （2）将题设“”与结论“”调换后，为真命题，证明过程如下： ∵， ∴∠ABE＝∠A， ∵∠A＝∠C， ∴∠ABE＝∠C， ∴， 故将题设“”与结论“”调换后，为真命题． （3）根据题意可知，①②作为题设，③作为条件，为真命题； ①③作为题设，②作为结论，为真命题； ②③作为题设，①作为结论，为真命题； 故能组成3个真命题． 【点睛】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握平行线的判定及性质，是解答此题的关键． ★★【题型 15】 结合代数背景的几何命题证明 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． 例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） (1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）； 证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性） (2)请你尝试证明：若，则． (3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查不等式的性质，命题的判定，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题； （2）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题； （3）设这三个自然数分别是，，，其中，将这三个自然数求和即可得出结论． 【详解】（1）解：证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性）； 故答案为：，； （2）证明：， 不等式两边同加上，得， 不等式两边同时除以2，得； （3）解：真命题， 证明：设这三个自然数分别是，，，其中， ， 能被3整除， 这三个自然数的和能被3整除． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：“有两个数和．若．则一定有”，两人提出了如下问题： (1)小启说：“这个命题一看就是假命题．”请你帮他们举一个反例说明． (2)小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b．若，则一定有．”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊．”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查举例说明假命题，不等式的性质． （1）根据题意举反例即可； （2）由不等式的性质可得，，即可证得结论． 【详解】（1）解：例如：，，，，，得到． （2）证明：∵， ∴，， ∴． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）下面三组图形是由，，，四个图形（线段、箭头、三角形或圆）组合而成的，组合用“”表示，读懂它们的关系后，请画出和表示的两个组合图形． 【答案】见解析 【分析】该题考查了推理，解决此类关键是通过找出它们的共同之处，从而求出各个字母分别表示什么．先观察三个图形，根据它们的共同之处分别求出A、B、C、D分别表示什么，再求和表示什么，画出图形即可． 【详解】解：根据题干分析A是表示横线，B是表示圆，是表示箭头，D是表示三角形，画图如下： 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）某参观团依据下列约束条件，从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点： ①A、B两地都去或都不去； ②D、E两地至少去一处； ③B、C两地只去一处； ④C、D两地都去或都不去； ⑤如果去E地，那么A、D两地也必须去． 依据上述条件，你认为该参观团能去哪些地方参观？ 【答案】参观团只能去C、D两地 【分析】本题主要考查了逻辑推理，由②可知，当去E时，则由⑤可知必须去A、D，则由①④可知必须去B、C，则与③矛盾，则不去E，一定要去D，再由④可知，要去D，由③可知不去B，由①可知不去A，据此可得答案． 【详解】解：由②D、E两地至少去一处可知，若去E地，则由⑤知，必须去A、D两地，由①和④知必须去B、C两地，但与③矛盾， ∴不能去E地， ∴必须去D地 ∴由④知必须去C地，再由③知，不能去B地， ∴由①知也不能去A地，由⑤知也不能去E地， 故该参观团只能去C、D两地． 5．（23-24七年级下·山东滨州·月考）一个俱乐部里的成员只有两种人：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话．某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人．外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45人．”另一个成员李四说：“张三是老实人．”请判断李四是老实人还是骗子？ 【答案】李四也是骗子 【分析】此题抓住题干中“每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人”找出总人数，进行推理．本题主要考查了奇数与偶数，解答此类题的关键是：先找出题中的突破口，进而得出甲是骗子，进而得出结论． 【详解】解：∵圆圈上，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人， 如图： ∴老实人与骗子人数相等，因此圆圈上的人数为偶数， ∵张三说有45人是奇数， ∴说明张三说了假话，张三是骗子， ∴李四却说张三是老实人，也说了假话， 即李四也是骗子． 【考点八】平移的综合应用 ★★【题型 16】 平移与面积、周长的综合计算 1．（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）如图，长方形中，，，弧是以点A为圆心以2为半径的圆弧，将扇形沿向右平移1个单位得到扇形，则图中空白部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积．将扇形沿向右平移1个单位得到扇形，则图中阴影部分的面积等于长方形的面积，再用长方形的面积减去阴影部分的面积即可得图中空白部分的面积． 【详解】解：根据题意可得：，扇形的面积扇形的面积， 又扇形的面积阴影部分的面积扇形的面积长方形的面积， 故阴影部分的面积长方形的面积， 所以图中空白部分的面积为． 故选：C． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，将沿BC方向平移2个单位长度得．连接AD．若四边形ABFD的周长为24，则的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到，是解题的关键． 根据平移的性质可得、，然后求出四边形的周长等于的周长与、的和，再求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴四边形的周长 ， 的周长为． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·江苏连云港·月考）如图，如图所示，一块白色正方形板，边长，上面横竖各两道黑条，黑条宽都是，问黑色部分面积是 ． 【答案】 【分析】本题题考查平移的知识，以及正方形面积，解答此题的关键是：利用“平移法”，求出空白部分正方形的边长，进而求其面积．根据平移的知识，把横竖各两道黑条平移到正方形的边上，利用黑色部分面积正方形面积空白部分的面积，即可解题． 【详解】解：将两道黑条平移，如图： 黑色部分面积是（）， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点和点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)过点作的平行线，点在格点上； (2)沿直线平移三角形，使点平移到点，点平移到点，点平移到点，画出平移后的三角形； (3)线段与的数量关系是__________，位置关系是__________，在平移过程中线段扫过的面积是__________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，20 【分析】本题主要考查了画平移图形，平移的性质，画平行线，熟知相关知识是解题的关键． （1）取格点M，连接，则即为所求； （2）根据点D和点A的位置可确定平移方式，再根据平移方式确定点E和点F的位置，进而作图即可； （3）根据平移的性质可得，在平移过程中线段扫过的面积是四边形的面积，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由平移的性质可得，在平移过程中线段扫过的面积是． ★★【题型 17】 平移在实际生活中的优化问题 1．（24-25九年级上·江苏无锡·月考）如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案． 设小路宽为，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了，进而即可列出方程，求出答案． 【详解】解：利用平移，原图可转化为如图， 设小路宽为， 根据题意得：． 故选：A． 2．（25-26六年级上·黑龙江绥化·月考）如图1，在等腰梯形中，上底长，下底长，高是；左边有一边长是的正方形以每分钟的速度沿梯形下底向右匀速运动．        (1)当正方形运动到第10分钟时，在图2中画出正方形的位置，用阴影表示出等腰梯形与正方形的重叠部分． (2)求出阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析； (2)阴影部分的面积是900平方厘米 【分析】本题考查了等腰梯形的性质，平移的性质，正方形的性质等知识﹒ （1）根据正方形移动时间与速度得到正方形10分钟向右移动了厘米，结合厘米，得到此时点B到达C点，即可得到阴影部分是一个上底是20厘米，下底是40厘米，高是30厘米的直角梯形；据此即可画出图形； （2）根据梯形面积公式即可求解﹒ 【详解】（1）解：如图： 正方形10分钟向右移动了（厘米），因为厘米，因此点B到达C点，阴影部分是一个上底是20厘米，下底是40厘米，高是30厘米的直角梯形， （2）解：（平方厘米）﹒ 答：阴影部分的面积是900平方厘米﹒ 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）在图①中，将线段向右平移1个单位长度得到与阴影部分；在图②中，将折线向右平移1个单位长度得到折线与阴影部分（4个图形中的长方形均相同，长为，宽为）． (1)请你在图③中类似设计一个有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形． (2)设图①、图②、图③中除去阴影部分后剩余部分的面积分别为，，，则__________，__________，__________． (3)图④为一块长方形地，中间有一条小路（小路任何地方的水平宽度均是1个单位长度），其余部分种草，求草地的面积，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)草地的面积为．理由见解析 【分析】本题考查了图形的平移，长方形面积的计算，掌握通过平移转化图形，将不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键． （1）模仿图②的折线形式，设计一条有两个折点的折线，向右平移1个单位后连接端点，形成封闭图形； （2）剩余面积为大长方形面积减去阴影面积，阴影部分可通过平移转化为宽为，长为的长方形，面积为 b，因此剩余面积均为； （3）用平移法将小路左侧的草地向右平移个单位，拼成新的长方形，计算新长方形的面积即为草地面积． 【详解】（1）解：（答案不唯一）如图所示． （2）解：大长方形面积：都是； 阴影面积：不管形状怎么变，水平宽度始终是，长是，所以阴影面积都是； 剩余面积：大长方形面积−阴影面积； ∴． 故答案为：；   ； ． （3）解：草地的面积为． 理由：把“小路”沿着左右两条边线“剪去”，将左侧的草地向右平移个单位长度， 得到一个新长方形，它的长为，宽为，故其面积是． 4．（24-25七年级下·湖北宜昌·月考）白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． (1)求图1中草地的面积． (2)如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积． (3)设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．（直接写出结果．） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形的平移变换在面积与长度计算中的应用，熟练掌握平移的性质（平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，能将不规则图形转化为规则图形 ）是解题的关键． （1）通过平移的思想，把小路平移后，草地可拼成一个新的长方形，利用长方形面积公式计算． （2）同样用平移，将两条小路平移到边缘，得到新长方形，再算面积． （3）把横向和纵向的小路长度分别分析，横向长度是长方形的长，纵向长度通过计算得出，再求和． 【详解】（1）解：把平行四边形小路平移，使草地部分拼成一个长为，宽为的长方形． 草地面积 , ∴草地的面积为； （2）解：将两条小路分别平移到长方形空地的边缘，此时草地拼成一个长为，宽为的长方形． 草地面积 ∴草地的面积为； （3）解：横向路线长度为长方形的长；纵向路线长度，把纵向部分平移后，相当于个 ． 路线总长 ∴所走的路线（图中虚线）长为 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 7.9 相交线与平行线全章考点与题型专题训练（8大考点17类题型） 目录 基础篇（夯实概念 + 基础计算） 2 【考点一】相交线 2 ★【题型 1】 对顶角与邻补角的概念辨析 2 ★【题型 2】 对顶角与邻补角的角度计算 2 ★【题型 3】 垂线的定义与垂线段最短的应用 3 【考点二】同位角、内错角、同旁内角的识别 4 ★【题型 4】 标准三线八角图中的角的位置识别 4 ★【题型 5】 简单嵌套图形中求角的度数 5 【考点三】定义、命题与证明 6 ★【题型 6】 命题的题设与结论 6 ★【题型 7】 命题的真假判断与简单反例 6 【考点四】平移的性质与应用 7 ★【题型 8】 平移的概念与图形识别 7 ★【题型 9】 平移的坐标计算与简单面积转化 8 培优篇（综合应用 + 逻辑推理） 9 【考点五】相交线的综合应用 9 ★★【题型 10】 垂线与角度方程的综合计算 9 ★★【题型 11】 点到直线距离的几何最值问题 10 【考点六】平行线的与几何模型 11 ★★【题型 12】 平行线中 “拐点” 模型（铅笔头、猪蹄、鹰嘴）的角度计算 11 ★★【题型 13】 平行线与角平分线、折叠的综合角度推导 13 【考点七】几何证明逻辑推理综合 14 ★★【题型 14】 多步几何推理与证明过程补全 14 ★★【题型 15】 结合代数背景的几何命题证明 17 【考点八】平移的综合应用 18 ★★【题型 16】 平移与面积、周长的综合计算 18 ★★【题型 17】 平移在实际生活中的优化问题 19 基础篇（夯实概念 + 基础计算） 【考点一】相交线 ★【题型 1】 对顶角与邻补角的概念辨析 1．（2026七年级下·全国·专题练习）下列图形中，与互为邻补角的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北唐山·月考）下列图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·新疆和田·期中）如图所示，与相交所成的四个角中，的邻补角是 ，的对顶角是 ． 4．（2024七年级下·全国·专题练习）如图①，两条直线a，b相交于一点，有4组不重复的邻补角； 如图②，三条直线a，b，c相交于一点，有12组不重复的邻补角； 如图③，四条直线a，b，c，d相交于一点，有24组不重复的邻补角； 则n条直线相交于一点，有 组不重复的邻补角．    ★【题型 2】 对顶角与邻补角的角度计算 1．（25-26七年级上·福建泉州·期末）光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，长方形为盛满水的水槽，一束光线从点P射向水面上的点D，折射后照到水槽底部的点C．测得，，若P，D，B三点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）如图，直线、相交于点O，平分，若，则的度数为 ． 3．（25-26七年级上·云南曲靖·月考）如图，O是直线上的一点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若，则______（用含α的式子表示）． 4．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，直线、相交于，平分，于点，． (1)求、的度数； (2)写出的补角有________． ★【题型 3】 垂线的定义与垂线段最短的应用 1．（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图，因为，，所以与重合的理由是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，直线相交于点O，．若 ． 3．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）点是直线外一点，，，分别是直线上三点，已知，，，若点到直线的距离记为，则的取值范围为 ． 4．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图，在中，，的面积为24，为边上的动点，连接，以为边向左侧作正方形，则正方形面积的最小值为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 【考点二】同位角、内错角、同旁内角的识别 ★【题型 4】 标准三线八角图中的角的位置识别 1．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）下列图形中，和不是同位角的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图，在所标识的角中，内错角是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（24-25七年级下·全国·周测）如图，与是同位角的角共有 个． 4．（24-25七年级下·全国·周测）如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是 （填序号）． ★【题型 5】 简单嵌套图形中求角的度数 1．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图，直线a，b被直线c所截，，，则的同位角的度数是 ；的同旁内角的度数是 ． 2．（24-25七年级下·广东中山·月考）如图，如果，，那么 的同位角 ，的内错角 ，的同旁内角 3．（24-25七年级下·重庆·月考）如图，如果，，的内错角等于 ． 4．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，直线b、c被直线a所截，如果，，那么与其内错角的角度之和等于 ． 【考点三】定义、命题与证明 ★【题型 6】 命题的题设与结论 1．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）命题“两直线平行，同位角相等”的条件是（ ） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线不平行 D．同位角不相等 2．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）把命题“等角的余角相等”改写成：“如果 ，那么 ”． 3．（23-24七年级下·广东东莞·期中）把命题“同旁内角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为： 4．（23-24七年级下·四川绵阳·期中）命题“同旁内角互补”的题设是 ，结论是 ，这是一个 命题（填“真”或“假”）． ★【题型 7】 命题的真假判断与简单反例 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）对于命题“若，则、都大于”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B．， C．， D．， 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）可以用来说明“，则”是假命题的反例是 ． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例． (1)如果，那么，且． (2)如果，那么． 4．（2026七年级下·全国·专题练习）请举反例说明下列命题是假命题： (1)相等的角是直角． (2)如果，那么． (3)如果，那么是钝角． 【考点四】平移的性质与应用 ★【题型 8】 平移的概念与图形识别 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下面四个图形中，在力的作用下，物体做平移运动的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列现象属于平移的是（   ） A．投篮时篮球的运动 B．用打气筒打气时，活塞的运动 C．钟摆的摆动 D．汽车雨刷的运动 3．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）剪纸是一种民间美术形式，以大胆变形和夸张的手法著称，线条细长、透亮．下面的剪纸图案中，能用其一部分平移得到的是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江温州·期中）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能看作由其中一部分平移得到的是（　　　） A． B． C． D． ★【题型 9】 平移的坐标计算与简单面积转化 1．（25-26八年级上·山东威海·月考）为构建和谐校园，营造良好的教育氛围，某学校拟在如图所示的长方形草坪上修建甬道，道路的宽忽略不计，若草坪周长为，则道路的总长为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）如图，中，，将沿射线方向平移至，如果厘米，厘米，四边形的面积为27平方厘米，那么平移的距离是（   ） A．2厘米 B．3厘米 C．4厘米 D．5厘米 3．（25-26七年级上·上海闵行·期末）如图，将沿方向平移3厘米后得到，若的长为4厘米，则 厘米．    4．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，将一个周长为的沿射线方向平移到的位置，（点、、分别与点、、对应），若四边形周长为，则平移的距离为 ． 培优篇（综合应用 + 逻辑推理） 【考点五】相交线的综合应用 ★★【题型 10】 垂线与角度方程的综合计算 1．（25-26七年级上·重庆·月考）如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，相交于点，已知，在内部，且． (1)求的度数． (2)若平分，则是的平分线吗？请判断并说明理由． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，相交于点，是内的一条射线，是内的一条射线，． (1)若，则的度数为 ． (2)若，，则的度数为 ． 4．（25-26七年级上·全国·期末）图1是一把多功能对角尺，图2是其示意图，点在线段上，是的补角，平分． (1)若为直角，求的度数． (2)若，求的度数． ★★【题型 11】 点到直线距离的几何最值问题 1．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，在中，，，点D是边上一点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到，连接，若，则线段长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，是的角平分线，若P、Q分别是和边上的动点，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，在三角形中，，，，．点是线段上的一动点，则线段的最小值是 ． 4．（22-23七年级下·陕西西安·期中）已知：如图，，，且，点是线段上的一个动点，则的最大值与最小值的差是 ．    【考点六】平行线的与几何模型 ★★【题型 12】 平行线中 “拐点” 模型（铅笔头、猪蹄、鹰嘴）的角度计算 1．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川泸州·月考）如图，，，分别是直线，之间的点，连接，，，，已知，，当时，的度数为 ． 3．（23-24七年级下·河北石家庄·月考）我们通常把图1、图2 中的点 E 称为拐点，解决平行线中有关拐点问题的方法，一般是过拐点作平行线    【探究发现】如图1，已知，直接写出的数量关系； 【变式拓展】如图2，保持，当点 E 在的右上方时，的数量关系有变化吗? 写出结论，并证明你的猜想； 【学科融合】图3是一探照灯灯碗的纵剖面，在焦点O 处发出的光线经灯碗(点C 除外)反射后均沿与平行的方向射出．入射光线的反射光线为，，若入射光线经灯碗反射后沿射出，且，求的度数. 4．（24-25七年级下·重庆·期中）经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1．，，，则______； (2)如图2．，点在直线上方，探究、、的数量关系，并证明． (3)如图3．，点在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点（点在直线的下方）．请写出和之间的数量关系．并证明． ★★【题型 13】 平行线与角平分线、折叠的综合角度推导 1．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，长方形纸片，点M，N分别在，边上，将纸片沿折叠，点C，D分别落在点，处，与交于点P，再沿折叠纸片，点，分别落在点，处，设，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·四川成都·期中）折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家藤田文章和羽鸟公士郎甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则 ． 3．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·月考）阅读材料：学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的①﹣④，虚线部分表示折痕）．从图中可知，小明画平行线的依据有哪些？填一填． 想法一：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，，则，依据是 ． 想法二：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，则，所以，依据是 ． 解决问题：如图⑤，于点，于点，．求证：平分． 4．（23-24七年级下·山东临沂·月考）【问题情境】 学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的①—④，虚线部分表示折痕）． 【操作发现】 （1）发现一：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，，则．用数学符号写出这个推理过程，并注明推理的依据． （2）发现二：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，则，所以．用数学符号写出这个推理过程，并注明推理的依据． 【解决问题】（3）如图⑤，于点，平分，于点．求证：． 【考点七】几何证明逻辑推理综合 ★★【题型 14】 多步几何推理与证明过程补全 1．（25-26七年级上·福建泉州·月考）在相应的横线上按照要求填写证明步骤或证明依据． 已知：如图，，，若． 求证：． 证明：∵， ∴（垂直的定义）， 又∵， ∴ + ， ∴ （ 同角的余角相等 ）， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴（ ）． 2．（24-25八年级上·河北承德·月考）发现与探究 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图1、图2探究这两个角的关系． （1）如图1，与的关系是___________； （请将如下证明补充完整） 证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （___________，___________）． （___________）． （2）如图2，与的关系是___________； （请将如下证明补充完整） 证明： 思考与结论 （3）综合上述，我们可以得到一个真命题：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角___________． 3．（23-24八年级上·河北邢台·月考）【证明】 （1）如图，于点，于点，，求证：．请补全证明过程． 证明：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（                    ）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴______（等量代换）， ∴（               ）． 【拓展】 （2）若把（1）条件中的“”与结论“”对调，其他条件不变，所得命题是真命题还是假命题？如果是真命题，写出证明过程；如果是假命题，举出反例． 【迁移】 （3）如图，请你从四个选项：①，②，③，④中，选出三个作为条件，另一个作为结论，可以组成_______个真命题．    4．（23-24七年级下·河北衡水·期中）【证明】如图，已知∠A＝∠C，若ABCD，则BCAD．请补全证明过程． (1)证明：∵ABCD（已知）， ∴∠ABE＝∠C（ 　 　）． ∵∠A＝∠C（已知）， ∴∠ABE＝　 　（等量代换）， ∴BCAD（ 　 　 ）． (2)【延伸】若前提“∠A＝∠C”不变，将题设“ABCD”与结论“BCAD”调换，命题是真命题还是假命题？如果是真命题，写出证明过程；如果是假命题，举出反例； (3)【拓展】如图，已知有三个条件①∠A＝∠C；②ABCD；③BCAD，三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论组成一个命题，能组成多少个真命题？ ★★【题型 15】 结合代数背景的几何命题证明 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． 例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） (1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）； 证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性） (2)请你尝试证明：若，则． (3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：“有两个数和．若．则一定有”，两人提出了如下问题： (1)小启说：“这个命题一看就是假命题．”请你帮他们举一个反例说明． (2)小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b．若，则一定有．”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊．”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）下面三组图形是由，，，四个图形（线段、箭头、三角形或圆）组合而成的，组合用“”表示，读懂它们的关系后，请画出和表示的两个组合图形． 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）某参观团依据下列约束条件，从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点： ①A、B两地都去或都不去； ②D、E两地至少去一处； ③B、C两地只去一处； ④C、D两地都去或都不去； ⑤如果去E地，那么A、D两地也必须去． 依据上述条件，你认为该参观团能去哪些地方参观？ 5．（23-24七年级下·山东滨州·月考）一个俱乐部里的成员只有两种人：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话．某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人．外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45人．”另一个成员李四说：“张三是老实人．”请判断李四是老实人还是骗子？ 【考点八】平移的综合应用 ★★【题型 16】 平移与面积、周长的综合计算 1．（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）如图，长方形中，，，弧是以点A为圆心以2为半径的圆弧，将扇形沿向右平移1个单位得到扇形，则图中空白部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，将沿BC方向平移2个单位长度得．连接AD．若四边形ABFD的周长为24，则的周长为 ． 3．（23-24七年级下·江苏连云港·月考）如图，如图所示，一块白色正方形板，边长，上面横竖各两道黑条，黑条宽都是，问黑色部分面积是 ． 4．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点和点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)过点作的平行线，点在格点上； (2)沿直线平移三角形，使点平移到点，点平移到点，点平移到点，画出平移后的三角形； (3)线段与的数量关系是__________，位置关系是__________，在平移过程中线段扫过的面积是__________． ★★【题型 17】 平移在实际生活中的优化问题 1．（24-25九年级上·江苏无锡·月考）如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26六年级上·黑龙江绥化·月考）如图1，在等腰梯形中，上底长，下底长，高是；左边有一边长是的正方形以每分钟的速度沿梯形下底向右匀速运动．        (1)当正方形运动到第10分钟时，在图2中画出正方形的位置，用阴影表示出等腰梯形与正方形的重叠部分． (2)求出阴影部分的面积． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）在图①中，将线段向右平移1个单位长度得到与阴影部分；在图②中，将折线向右平移1个单位长度得到折线与阴影部分（4个图形中的长方形均相同，长为，宽为）． (1)请你在图③中类似设计一个有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形． (2)设图①、图②、图③中除去阴影部分后剩余部分的面积分别为，，，则__________，__________，__________． (3)图④为一块长方形地，中间有一条小路（小路任何地方的水平宽度均是1个单位长度），其余部分种草，求草地的面积，并说明理由． 4．（24-25七年级下·湖北宜昌·月考）白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． (1)求图1中草地的面积． (2)如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积． (3)设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．（直接写出结果．） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $