专题7.9 相交线与平行线（全章常考知识点分类专题）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题7.9 相交线与平行线（全章常考知识点分类专题） 【考点目录】 第一部分 基础夯实篇 【考点1】生活中的平移.................................................................................................................................1 【考点2】对顶角、垂线定义.........................................................................................................................2 【考点3】垂线段与点到直线距离..................................................................................................................3 【考点4】三线八角.........................................................................................................................................3 【考点5】平行线的判定.................................................................................................................................4 【考点6】平行线的性质................................................................................................................................5 【考点7】平移的性质....................................................................................................................................6 【考点8】尺规作图........................................................................................................................................7 第二部分 综合提升篇 【考点9】对顶角+角平分线+余角与补角+垂直综合.....................................................................................9 【考点10】垂线段最短+两点确定一条直线+两点之间线段最短综合.........................................................10 【考点11】平行线的判定综合.....................................................................................................................11 【考点12】平行线的性质与判定综合...........................................................................................................12 【考点13】平移性质与平行线的性质与判定综合........................................................................................13 【考点14】平行线间距离.............................................................................................................................14 第三部分 培优拓展篇 【考点15】平行线性质与判定中的折叠问题...............................................................................................15 【考点16】平行线性质与判定中的旋转问题...............................................................................................16 【考点17】平行线性质与判定中的平移问题...............................................................................................17 【考点18】平行线性质与判定中的动点问题...............................................................................................18 【考点19】平行线性质与判定中的最值问题...............................................................................................18 【考点展示与方法解析】 第一部分 基础夯实篇 【考点1】生活中的平移 1．（24-25八年级上·山东滨州·期中）2024年夏季奥运会在法国巴黎举行，此次奥运会的会标如图所示，平移会标可以得到的图形是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·云南红河·期末）“写堂堂正正中国字，做堂堂正正中国人”，中国的汉字中有些也具有平移现象，下列汉字中可以看成由平移构成的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，一张长为，宽为的长方形白纸中阴影部分的面积是 ． 【考点2】对顶角、垂线定义 4．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，直线、相交于点O，平分，于O，若，则 ． 5．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，直线相交于点O，于点O，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列四个图形中，与为对顶角的图形是（    ） A． B． C． D． 【考点3】垂线段与点到直线距离 7．（23-24七年级下·福建厦门·期末）若P为直线l外一定点，A为直线l上一点，且，d为点P到直线l的距离，则d的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（19-20七年级下·河南信阳·期中）如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．4.4 B．5 C．4.8 D．4 9．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ． 【考点4】三线八角 10．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，下列结论正确的是（   ） A．与互为内错角 B．与互为内错角 C．与互为同旁内角 D．与互为同位角 11．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，如果，那么的同位角的度数为 ． 12．（22-23七年级下·山东济宁·期中）如图，在，，，，和中，同位角对数为a，内错角对数为b，同旁内角对数为c，则 ．      【考点5】平行线的判定 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列图形中，有，能得到的图形有（    ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图①是公园的一个健身器材，如图②是该器材的正面示意图，若该器材的标准为，则在以下三组数据中：①，；②；③，．满足要求的是 ．（请填写序号） 16．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）下面是验证纸条两条边线，是否平行的不同折叠方式： （1）小明：如图①，展开后测得； （2）小丽：如图②，测得； （3）小君：如图③，展开后测得； （4）小晨：如图④，展开后测得． 则其中能判定两条边线的是 ．（填序号） 【考点6】平行线的性质 17．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，已知与互补，平分，那么（    ） A． B． C． D． 18．（23-24七年级下·广西百色·期末）如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角，则第二次的拐角度数是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，若，，则 ． 20．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，若已知，则、、三者之间的数量关系是 ． 【考点7】平移的性质 21．（23-24七年级下·广西南宁·期末）这个学期我们学习了平移，数学中也有许多平移的例子，如图所示，这是用三角板和直尺画平行线的示意图，将三角板沿着直尺平移到三角板的位置，就可以画出的平行线．直线就可以看成是直线经平移后所得的图形．若平移的距离的长度为7，则之间的距离为（ ） A．6 B．7 C．7.5 D．8 22．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，将直角三角形沿方向向上平移得到三角形，已知．若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，三角形中，，将其沿所在的直线向右平移得到三角形，以下四个结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论有 个． 24．（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，经过平移得到，连接，若，则点A与点之间的距离为 ． 【考点8】尺规作图 25．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，直线，点在直线上，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线，于，两点，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 26．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）过点B画线段所在直线的垂线段，正确的是（    ） A． B． C． D． 27．（2020·四川达州·一模）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∥CD，下面是某位同学弄乱了顺序的操作步骤： ①沿三角尺的边作出直线CD； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB； ④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是： ． 28．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线和直线外一点P； 求作：直线m，使得直线m经过点P且． 作法： （1）在直线上任取一点A； （2）作射线； （3）以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交直线和射线于点B，点C； （4）以P为圆心，以为半径画弧，交线段于点D； （5）以D为圆心，以为半径画弧，与上一圆弧交于点E； （6）作直线，即为直线m．所以，直线m即为所求．（如图） 这样作图能使的依据是 第二部分 综合提升篇 【考点9】对顶角+角平分线+余角与补角+垂直综合 29．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，直线、相交于点．已知，把分成两个角，且，将射线绕点逆时针旋转角到，若时，的度数是 ． 30．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线与相交于点，，射线平分，若，则 ． 31．（21-22七年级下·河南洛阳·期末）如图，直线、相交于点O，，垂足为O，．则的度数为（   ）    A． B． C． D． 32．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，直线，相交于点，，，平分，给出下列结论：①当时，；②为的平分线；③与相等的角有3个；④．其中正确的结论为（） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【考点10】垂线段最短+两点确定一条直线+两点之间线段最短综合 33．（23-24七年级下·全国·单元测试）用“垂线段最短”来解释的现象是（　　） A．   测量跳远成绩 B．   木板上弹墨线 C．   两钉子固定木条 D．  弯曲河道改直 34．（23-24七年级下·河南郑州·期末）下列语句叙述正确的有（　　） A．相等的角是对顶角 B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 35．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，在中，，，，，点是边上的动点，则线段的最小值是 ． 36．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，于点D，，若点E在边（不与点A，B重合）移动，则线段最短为 【考点11】平行线的判定综合 37．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线，被直线所截，给出下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 38．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 39．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，将长方形纸片的沿着折叠，使点落在长方形的内部点处，若平分，，，则与的位置关系是 ． 40．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，三根木棒钉在一起，交点分别为．现将木棒分别绕点顺时针旋转，同时开始，速度分别为和，当两根木棒都转满了一周时，它们同时停止转动．转动 s时，木棒平行．    【考点12】平行线的性质与判定综合 41．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，E，F是直线上方两点，连接，，，，已知平分，且．若，，求的度数为（   ） A． B． C． D． 42．（24-25七年级上·河南南阳·期末）将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（   ） A． B． C． D． 43．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，，点B在上，点F在上，连接，平分，平分交于点H，．给出下面四个结论： ①； ②平分； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 44．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，，分别交、于点、，平分，平分，平分，下列四个结论中正确的是 ．（只填序号） ①；②；③；④ 【考点13】平移性质与平行线的性质与判定综合 45．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，是锐角，将沿着射线向右平移得到（平移后点，，的对应点分别是，，），连接．在整个平移过程中，和之间存在2倍关系，则的大小不可能为（   ） A． B． C． D． 46．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，长方形中，，第①次平移长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形，第②次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形，……第次平移将长方形沿的方向平移5个单位，得到长方形，若的长度为2027，则的值为（   ） A．403 B．404 C．405 D．406 47．（24-25七年级上·上海·期末）如图，将一个周长为厘米的三角形沿射线方向平移后得到三角形，点、、的对应点分别是点、、．连接，已知四边形的周长为厘米，那么平移的距离是 厘米．（用含、的代数式表示结果）．    48．（24-25七年级上·全国·假期作业）如图所示，的周长为，将沿一条直角边所在的直线向右平移个单位到位置，如图所示．下列结论：①且；②且；③和的周长和为；④；⑤若，，则边扫过的图形的面积为5，正确的是 ．（填序号） 【考点14】平行线间距离 49．（23-24八年级下·山东济宁·期末）已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离是，与之间的距离是，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 50．（23-24七年级下·广西玉林·期末）我们知道：平行线间的距离处处相等．如图，，那么图中与面积相等的三角形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 51．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）如图，，的面积等于，，，则的面积是 ． 52．（20-21七年级下·吉林松原·期中）探究规律：我们有可以直接应用的结论：若两条直线平行，那么在一条直线上任取一点，无论这点在直线的什么位置，这点到另一条直线的距离均相等．例如：如图1，两直线，两点、在上，于，于，则． 如图2，已知直线，、为直线上的两点，、为直线上的两点． （1）请写出图中面积相等的各对三角形： ． （2）如果、、为三个定点，点在上移动，那么无论点移动到任何位置总有： 与的面积相等；理由是： ． 第三部分 培优拓展篇 【考点15】相交线与平行线中的折叠问题 1．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图1，在一张正方形纸片（正方形的两组对边分别平行）的两边上分别有A，B两点，连接，点P是正方形纸片上一点，过点P翻折纸片，使点B落在直线上的点处，折痕交于点Q． （1）①判断折痕与的位置关系，并说明理由； ②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是_______； （2）在图1的基础上，展平纸片，得到图2，在图2中过点P折出并画出与平行的折痕（折痕左端点记为点D，右端点记为点E），请简要阐述折叠方法并说明理由； （3）将图2的纸片展平得到图3，点S是线段上一动点（不与点E重合），若，，，请直接写出的度数．（用、β的代数式表示） 2．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动： 〖活动素材〗如图，长方形纸片． 〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的； 〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系； 〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢? 〖任务1〗求证：； 〖任务2〗若，求的度数； 〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系． 【考点16】相交线与平行线中的旋转问题 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1，，射线在平面内． （1）如图，垂直，平分，则的度数为______； （2）若与互补，求的大小； （3）若射线绕点O从射线的反向延长线的位置出发，以每秒的速度顺时针旋转；同时射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转，各自旋转后停止转动，请直接写出使得射线，，中某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线的时间______． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图1所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒4度，灯B转动的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即，且． （1）填空：___________； （2）若灯B射线先转动15秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ （3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前、若射出的光束交于点C，过C作交于点D、且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【考点17】相交线与平行线中的平移问题 5．（21-22七年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，，直线与，分别相交于点G，H，（）．小安将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，使点N，M分别在直线，上，且在点G，H的右侧，． （1） ____（填“”“ ”或“=”）． （2）如图2，的平分线交直线于点O． ①当时，求α的度数． ②小安将三角尺保持并向左平移，在平移的过程中求的度数（用含α的代数式表示）． 6．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）如图，直线，直线与、分别交于点G、，．小新将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线、上，，； （1）填空： °； （2）若，的角平分线交直线于点O． ①如图②，当时，求α的度数； ②小新将三角板向右平移，直接写出的度数（用含a的式子表示）． 【考点18】相交线与平行线中的动点问题 7．（23-24七年级下·北京·期中）已知，直线，点为直线上一定点，直线交于点，平分，． （1）如图1，当时，________°； （2）点为射线上一点，点为直线上的一动点，连接，过点作交直线于点． ①如图，点在线段上，若点在点左侧，求与的数量关系； ②点在线段的延长线上，当点在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含的式子表示）． 8．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）如图1，，． （1）①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系：________； （2）如图2，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； （3）在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 【考点19】相交线与平行线中的最值问题 9．（2025七年级下·江苏扬州·专题练习）在七年级的“平行线的性质与判定”的学习中，我们常借助于三角板来研究其相关知识，现有一副三角板如图1所示，其中．请同学们结合已有的知识及活动经验，解决下列问题： 【初步感知】 （1）如图2，将上述三角板的直角顶点重合在一起．当时，_________． （2）如图3，当CA平分时，请写出图中两条平行的直线，并说明理由． 【深度探究】 （3）将上述三角板按图4所示的方式摆放，点A，B在直线GH上，点D，F在直线MN上，直线，保持三角板ABC不动，现将三角板DEF绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为，且，则是否存在t的值，使边BC与另一块三角板DEF的一条边平行？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． （4）将上述三角板按图5所示的方式摆放，点C与点D重合，保持三角板ABC不动，将三角板DEF绕点C旋转，使点F在直线BC上方，当两块三角板的两条边互相平行时，若度数的最大值为m，最小值为n，则_________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.9 相交线与平行线（全章常考知识点分类专题） 【考点目录】 第一部分 基础夯实篇 【考点1】生活中的平移................................................................................................................................1 【考点2】对顶角、垂线定义.........................................................................................................................2 【考点3】垂线段与点到直线距离.................................................................................................................4 【考点4】三线八角........................................................................................................................................6 【考点5】平行线的判定................................................................................................................................8 【考点6】平行线的性质..............................................................................................................................10 【考点7】平移的性质..................................................................................................................................12 【考点8】尺规作图......................................................................................................................................15 第二部分 综合提升篇 【考点9】对顶角+角平分线+余角与补角+垂直综合...................................................................................17 【考点10】垂线段最短+两点确定一条直线+两点之间线段最短综合.........................................................21 【考点11】平行线的判定综合....................................................................................................................23 【考点12】平行线的性质与判定综合.........................................................................................................26 【考点13】平移性质与平行线的性质与判定综合.......................................................................................31 【考点14】平行线间距离............................................................................................................................35 第三部分 培优拓展篇 【考点15】平行线性质与判定中的折叠问题..............................................................................................39 【考点16】平行线性质与判定中的旋转问题..............................................................................................44 【考点17】平行线性质与判定中的平移问题..............................................................................................49 【考点18】平行线性质与判定中的动点问题..............................................................................................53 【考点19】平行线性质与判定中的最值问题..............................................................................................59 【考点展示与方法解析】 第一部分 基础夯实篇 【考点1】生活中的平移 1．（24-25八年级上·山东滨州·期中）2024年夏季奥运会在法国巴黎举行，此次奥运会的会标如图所示，平移会标可以得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是生活中的平移现象，熟知在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换是解题的关键．根据图形平移的性质解答即可． 解：由图形可知，选项C与原图形完全相同． 故选：C． 2．（23-24七年级下·云南红河·期末）“写堂堂正正中国字，做堂堂正正中国人”，中国的汉字中有些也具有平移现象，下列汉字中可以看成由平移构成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查生活中的平移，根据平移的性质，进行判断即可． 解：根据题意， 可得：“朋”可以通过平移得到． 故选：B． 3．（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，一张长为，宽为的长方形白纸中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了生活中的平移现象，平移后得一个矩形，一边长为，另一边长为，再根据面积相减即可，解题的关键是将图形平移得到一个新的矩形，用原矩形的面积减去平移后的面积即可． 解：将阴影部分的右边平移至右边可构成一个矩形，用原来矩形的面积减去平移后得到矩形的面积， ∴阴影部分的面积是， 故答案为：． 【考点2】对顶角、垂线定义 4．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，直线、相交于点O，平分，于O，若，则 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了垂线的定义，角平分线的定义，对顶角相等的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．先根据对顶角相等求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，根据垂线的定义得出的度数，即可求出的度数． 解：∵和是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，直线相交于点O，于点O，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角相等、垂直的定义等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 根据垂直的定义可得，进而可得，然后根据对顶角相等即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列四个图形中，与为对顶角的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此求解即可． 解：根据对顶角的定义可知，只有B选项中的与为对顶角， 故选：B． 【考点3】垂线段与点到直线距离 7．（23-24七年级下·福建厦门·期末）若P为直线l外一定点，A为直线l上一点，且，d为点P到直线l的距离，则d的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的直线的距离，根据垂线段最短即可求出答案． 解：由垂线段最短可知：， 当时， 此时, 故选：C． 8．（19-20七年级下·河南信阳·期中）如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．4.4 B．5 C．4.8 D．4 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短．根据垂线段最短，得到当时，的值最小，利用等积法进行计算即可。 解：∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴当时，的值最小， 在中， ∵，，，， ∴，即：， ∴， 故选：C． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ． 【答案】 4 3 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握点到直线的距离的定义；根据三角形等面积法求出，再根据点到直线的距离的定义即可得解． 解：， ， ， 点A到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为， 故答案为：4，3，． 【考点4】三线八角 10．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，下列结论正确的是（   ） A．与互为内错角 B．与互为内错角 C．与互为同旁内角 D．与互为同位角 【答案】D 【分析】本题考查了同位角，内错角，同旁内角和邻补角，根据同位角，内错角，同旁内角和邻补角的概念判断即可． 解：A、和是同位角，故A不符合题意； B、与不是内错角，故B不符合题意； C、与不是同旁内角，故C不符合题意； D、与互为同位角，故D符合题意； 故选：D． 11．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，如果，那么的同位角的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查同位角，领补角的性质，由于，利用邻补角定义可求，而就是的同位角． 解：如图所示， ∵， ∴， ∴的同位角等于． 故答案为：． 12．（22-23七年级下·山东济宁·期中）如图，在，，，，和中，同位角对数为a，内错角对数为b，同旁内角对数为c，则 ．      【答案】16 【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线截线的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线截线的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线截线的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，结合图形进行分析即可进行分析即可 解：同位角有：与，与， 内错角：与，与， 同旁内角：与，与，与，与， ，，， ， 故答案为：16 【点拨】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 【考点5】平行线的判定 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．根据平行线的判定定理判断求解即可． 解：因为，所以，故A不符合题意； 因为，所以，故B不符合题意； 因为，所以，故C不符合题意； 因为，所以，故D符合题意． 故选：D． 14．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列图形中，有，能得到的图形有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法逐一判断即可． 解：A、与不是同位角，内错角，同旁内角，故不能判断，故A错误； B、，即，内错角相等可判定出，故B正确； C、与不是同位角，内错角，同旁内角，故不能判断，故C错误； D、与不是同位角，内错角，同旁内角，故不能判断，故D错误； 故选：B． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图①是公园的一个健身器材，如图②是该器材的正面示意图，若该器材的标准为，则在以下三组数据中：①，；②；③，．满足要求的是 ．（请填写序号） 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了平行线的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法逐一判断即可． 解：①，同旁内角互补，两直线平行，则，满足要求； ②，无法判定，不满足要求； ③，同旁内角互补，两直线平行，则，满足要求； 综上所述：①③符合要求； 故答案为：①③． 16．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）下面是验证纸条两条边线，是否平行的不同折叠方式： （1）小明：如图①，展开后测得； （2）小丽：如图②，测得； （3）小君：如图③，展开后测得； （4）小晨：如图④，展开后测得． 则其中能判定两条边线的是 ．（填序号） 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．本题根据平行线的判定定理，进行分析即可得解． （）  ，根据内错角相等，两直线平行进行判定；（） ，根据同位角相等，两直线平行进行判定；（） ，根据同旁内角互补，两直线平行进行判定；（），根据同旁内角相等无法判定两直线平行； 解：（）因为，所以，符合题意，故（）正确； （）因为 ， 所以   ，符合题意，故（）正确； （）因为，所以，符合题意，故（）正确； （）因为与是同旁内角，所以不一定能判定两直线平行，不符合题意，故（）错误； 故答案为：（）（）（）． 【考点6】平行线的性质 17．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，已知与互补，平分，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．根据题意，由条件得到，从而得到，结合角平分线得到，即可得到的度数． 解：∵与互补， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 18．（23-24七年级下·广西百色·期末）如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角，则第二次的拐角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行线的性质．解题的关键在于熟练掌握平行线的性质．根据两直线平行，内错角相等，可知，进而得出结果． 解：如图， ∵一条公路两次转弯后，和原来的方向相同， ∴， ∴， 故选：C． 19．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，若，，则 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了平行线的性质．根据平行线的性质得到，，即可得到答案． 解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 20．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，若已知，则、、三者之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握其性质的运用是解题的关键．根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”即可求解． 解：∵， ∴，则， ∵， ∴，则 ∴， 故答案为：． 【考点7】平移的性质 21．（23-24七年级下·广西南宁·期末）这个学期我们学习了平移，数学中也有许多平移的例子，如图所示，这是用三角板和直尺画平行线的示意图，将三角板沿着直尺平移到三角板的位置，就可以画出的平行线．直线就可以看成是直线经平移后所得的图形．若平移的距离的长度为7，则之间的距离为（ ） A．6 B．7 C．7.5 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，理解并掌握平移的性质是解题关键．平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小，图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等．根据平移的性质，即可获得答案． 解：根据题意，平移的距离的长度为7， 则之间的距离为7． 故选：B． 22．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，将直角三角形沿方向向上平移得到三角形，已知．若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移的基本性质和梯形的面积公式．根据平移的性质可得，再根据梯形的面积公式即可得到答案． 解：∵将直角三角形沿方向向上平移得到三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 23．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，三角形中，，将其沿所在的直线向右平移得到三角形，以下四个结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的判定，掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质，平移后不改变图形的形状和大小，也不改变图形的方向，得到，，，则，据此即可解答． 解：∵三角形中，，将其沿所在的直线向右平移得到三角形， ∴，，， ∴ ∴②，③，④选项正确，不能得出，故④不正确，一定成立的结论有3个． 故答案为：3． 24．（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，经过平移得到，连接，若，则点A与点之间的距离为 ． 【答案】2.5/ 【分析】本题考查了平移的性质．根据图形的平移，对应点的平移的距离是相等，再结合，即可作答． 解：如图：连接， ∵经过平移得到，连接，且， ∴， 故答案为：． 【考点8】尺规作图 25．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，直线，点在直线上，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线，于，两点，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质．先根据平行线的性质得出的度数，再由得出的度数，由平角的定义即可得出结论． 解：直线，， ， ， ， ， ． 故选：C． 26．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）过点B画线段所在直线的垂线段，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查过直线外一点作已知直线的垂线段，根据垂线段的定义依次判断每个选项． 解：A．图上为过A点画线段所在直线的垂线段，故该选项不符合题意； B．图上为过点B画线段所在直线的垂线段，故该选项符合题意； C．图上为过上一点D画线段所在直线的垂线段，故该选项不符合题意； D．图上为过点B画线段的垂线段，故该选项不符合题意； 故选：B． 27．（2020·四川达州·一模）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∥CD，下面是某位同学弄乱了顺序的操作步骤： ①沿三角尺的边作出直线CD； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB； ④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是： ． 【答案】③②④① 【分析】根据同位角相等两直线平行判断即可． 解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是③②④①， 故答案我③②④①． 【点拨】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握同位角相等，两直线平行． 28．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线和直线外一点P； 求作：直线m，使得直线m经过点P且． 作法： （1）在直线上任取一点A； （2）作射线； （3）以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交直线和射线于点B，点C； （4）以P为圆心，以为半径画弧，交线段于点D； （5）以D为圆心，以为半径画弧，与上一圆弧交于点E； （6）作直线，即为直线m．所以，直线m即为所求．（如图） 这样作图能使的依据是 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了尺规作图法—做一个角等于已知角，平行线的判定，掌握平行线的判定是解题的关键．根据作一个角等于已知角的方法可知，再利用平行线的判定即可解答． 解：由作法可知， ∴， 依据是：内错角相等，两直线平行， 故答案为：内错角相等，两直线平行． 第二部分 综合提升篇 【考点9】对顶角+角平分线+余角与补角+垂直综合 29．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，直线、相交于点．已知，把分成两个角，且，将射线绕点逆时针旋转角到，若时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是对顶角的性质，角的和差运算，分两种情况讨论：当在之间时，当在之间时，先求解，，再分别进一步求解即可． 解：①当在之间时，如图． ∵直线、相交于点，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即； ②当在之间时，如图． ∵直线、相交于点，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：或 30．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线与相交于点，，射线平分，若，则 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了角平分线的定义，对顶角相等，邻补角性质，角度和差，由与是对顶角，则，从而求出，故有，最后根据角平分线的定义和角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵与是对顶角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ 射线平分， ∴， ∴， 故答案为：． 31．（21-22七年级下·河南洛阳·期末）如图，直线、相交于点O，，垂足为O，．则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直的定义，求一个角的邻补角，余角等知识点，根据邻补角求得，根据余角的定义即可求得的度数，熟练掌握其性质，数形结合是解决此题的关键． 解：， ， ， ， 故选：C． 32．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，直线，相交于点，，，平分，给出下列结论：①当时，；②为的平分线；③与相等的角有3个；④．其中正确的结论为（） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，余角和补角，熟练运用这些定义解决问题是本题的关键．由对顶角、邻补角，角平分线的定义，余角和补角进行依次判断即可． 解：，， ，， ，， ，， 当时，，故①正确； 平分， ， ， 不一定等于， 不一定是的平分线，故②不正确； 平分， ， ，故③正确 ，故④正确 故其中正确的结论为①③④． 故选：C． 【考点10】垂线段最短+两点确定一条直线+两点之间线段最短综合 33．（23-24七年级下·全国·单元测试）用“垂线段最短”来解释的现象是（　　） A．   测量跳远成绩 B．   木板上弹墨线 C．   两钉子固定木条 D．  弯曲河道改直 【答案】A 【分析】本题考查了线段的性质，根据给出的现象逐一分析即可，解题时注意：两点的所有连线中可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段的性质是垂线段最短． 解：A、测量跳远成绩是利用了“垂线段最短”，故选项符合题意； B、木板上弹墨线是利用了“两点确定一条直线”，故选项不符合题意； C、两钉子固定木条是利用了“两点确定一条直线”，故选项不符合题意； D、把弯曲的河道改直，就能缩短路程是利用了“两点之间，线段最短”，故选项不符合题意； 故选：A． 34．（23-24七年级下·河南郑州·期末）下列语句叙述正确的有（　　） A．相等的角是对顶角 B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 【答案】B 【分析】根据对顶角的定义、垂线段最短、垂线的性质、点到直线的距离的定义进行判断即可． 解：A．相等的角不一定是对顶角，故本选项不符合题意； B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故本选项符合题意； C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项不符合题意； D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点拨】本题考查对顶角的定义、垂线段最短、垂线的性质、点到直线的距离以及相交线的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 35．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，在中，，，，，点是边上的动点，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键； 根据垂线段最短得出当时，的长度最小，再运用等面积法求解即可； 解：由垂线段最短可知，当时，的长度最小，如下图． ， ， ， ． 36．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，于点D，，若点E在边（不与点A，B重合）移动，则线段最短为 【答案】6 【分析】此题主要考查了垂线段的性质，三角形的面积公式，根据“垂线段最短”得：当时，为最短，然后根据三角形的面积公式求出即可． 解：根据“垂线段最短”得：当时，为最短． ∵， ∴， ∵，， ∴． ∴的最短为． 故答案为：． 【考点11】平行线的判定综合 37．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线，被直线所截，给出下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，理解并掌握平行线的性质是解题关键．根据同位角相等两直线平行，即可判断①；根据内错角相等两直线平行，即可判断②；根据对顶角相等和同旁内角互补两直线平行，即可判断③；根据对顶角相等和同旁内角互补两直线平行，即可判断④，综合即可得出答案． 解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， 又∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， 又∵， ∴， ∴，故④正确， 综上可得：能判断的条件是①②③④． 故选：D． 38．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键．根据平行线的判定方法，逐一进行判定即可． 解：A、， （内错角相等，两直线平行），不能判断，符合题意； B、， （内错角相等，两直线平行），能判断，不符合题意； C、， （同旁内角互补，两直线平行），能判断，不符合题意； D、， （内错角相等，两直线平行），能判断，不符合题意； 故选：A． 39．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，将长方形纸片的沿着折叠，使点落在长方形的内部点处，若平分，，，则与的位置关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，折叠的性质，角平分线定义的应用，根据长方形的性质和直角三角形的性质可求，根据折叠求出，根据平角的定义可求，再根据角平分线定义求出，再根据直角三角形的性质可求的度数，进而得，再根据平行线的判定即可求解． 解：因为四边形是长方形， 所以， 因为， 所以， 根据折叠可得， 所以， 因为平分， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 故答案为：． 40．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，三根木棒钉在一起，交点分别为．现将木棒分别绕点顺时针旋转，同时开始，速度分别为和，当两根木棒都转满了一周时，它们同时停止转动．转动 s时，木棒平行．    【答案】或或或 【分析】本题主要考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想，准确找出角度之间的数量关系是解题关键． 设经过t秒时木棒a，b平行，分情况讨论：当秒时；当秒时；当时；当时，利用同位角相等两直线平行，列方程求解即可得到答案 解：设经过t秒时木棒a，b平行，根据题意得： 当秒时，，解得：； 当秒时，，解得：； 当秒时，木棒a停止运动， 当时，，解得：，不符合题意； 当时，，解得：； ，解得：， 当时，木棒b停止运动， 综上所述，经过3或21或75或165秒时木棒a，b平行， 故答案为：或或或． 【考点12】平行线的性质与判定综合 41．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，E，F是直线上方两点，连接，，，，已知平分，且．若，，求的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，过作，过作，由，可得，由，可得，，由可得，，最后根据求解即可． 解：如图，过作，过作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 42．（24-25七年级上·河南南阳·期末）将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．如图（见分析），过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行线的判定可得，根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得． 解：如图，过点作， 由题意得：，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 43．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，，点B在上，点F在上，连接，平分，平分交于点H，．给出下面四个结论： ①； ②平分； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识点，弄清楚图形中角度之间的关系是解题的关键． 根据平行线的判定和性质以及图形中角度之间的关系逐项判断即可． 解：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴平分；故②正确； ∵，，但不一定成立， ∴不一定成立，即③错误； ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即；故④正确． 故答案为①②④． 44．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，，分别交、于点、，平分，平分，平分，下列四个结论中正确的是 ．（只填序号） ①；②；③；④ 【答案】①②④ 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键； 根据平行线的判定和性质判断即可求解； 解：平分，平分， ，， ， ， ， ， ； ； 平分，平分， ， ， ； 根据题中条件无法判断，故③错误； 综上所述；四个结论中正确的有①②④； 故答案为：①②④ 【考点13】平移性质与平行线的性质与判定综合 45．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，是锐角，将沿着射线向右平移得到（平移后点，，的对应点分别是，，），连接．在整个平移过程中，和之间存在2倍关系，则的大小不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形变换，掌握平行线的判定和性质，平移的性质，角度的和差计算方法的综合是解题的关键． 分类讨论，第一种情况：如图，当点在上时，过点作，①当时；②当时；第二种情况：当点在外时，过点作，①当时；②当时；根据平行线的性质，图形结合即可求解． 解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ； ②当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ； 第二种情况：当点在外时，过点作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ； ②当时，由图可知，，故不存在这种情况； 综上所述，的大小可能为或或， 故选：C． 46．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，长方形中，，第①次平移长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形，第②次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形，……第次平移将长方形沿的方向平移5个单位，得到长方形，若的长度为2027，则的值为（   ） A．403 B．404 C．405 D．406 【答案】B 【分析】此题主要考查了平移的性质以及一元一次方程的应用，根据平移的性质得出平移间距离的规律是解题关键． 根据平移的性质得出，，，进而求出和的长，然后根据所求得出数字变化规律，进而得出求出n即可． 解：，第1次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形，第2次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形… ，，， ， 的长为：； ，， ， 解得：． 故选：B． 47．（24-25七年级上·上海·期末）如图，将一个周长为厘米的三角形沿射线方向平移后得到三角形，点、、的对应点分别是点、、．连接，已知四边形的周长为厘米，那么平移的距离是 厘米．（用含、的代数式表示结果）．    【答案】 【分析】本题考查平移性质，根据平移性质得到，，再根据已知图形的周长求得即可． 解：由平移性质得：，， ∵三角形的周长为厘米， ∴， ∵四边形的周长为厘米， ∴，即， ∴， 即平移的距离是， 故答案为：． 48．（24-25七年级上·全国·假期作业）如图所示，的周长为，将沿一条直角边所在的直线向右平移个单位到位置，如图所示．下列结论：①且；②且；③和的周长和为；④；⑤若，，则边扫过的图形的面积为5，正确的是 ．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查了利用平移的性质求解，熟练掌握平移的性质是解题的关键：平移前后图形的形状大小都不变，对应边平行且相等，对应点的连线平行且相等． 利用平移的性质即可判断结论；利用平移可得，根据，，即可判断结论；根据边扫过的图形的面积等于，即可判断结论． 解：∵沿一条直角边所在的直线向右平移个单位到位置， ∴且，且，故结论正确； 由平移的性质得，， ∴和的周长和为，故结论正确； 根据平移可知，， ∵，， ∴，故结论正确； 根据平移可知，， 则边扫过的图形的面积为： ，故结论错误； 综上可知，正确的是， 故答案为：． 【考点14】平行线间距离 49．（23-24八年级下·山东济宁·期末）已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离是，与之间的距离是，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查平行线间的距离，分直线在直线，外，直线在直线，之间两种情况讨论求解，熟练掌握平行线间的距离及分类讨论思想是解题的关键． 解：如图，直线在直线，外时，      ∵与之间的距离是，与之间的距离是， ∴与之间的距离为； 如图，直线在直线，之间时，      ∵与之间的距离是，与之间的距离是， ∴与之间的距离为； 综上所述，与之间的距离为或， 故选：． 50．（23-24七年级下·广西玉林·期末）我们知道：平行线间的距离处处相等．如图，，那么图中与面积相等的三角形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查平行线之间距离相等，同底等高的三角形面积相等．根据，平行线之间距离相等，可得三角形之间同底等高． 解：∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∴与面积相等， ∴与面积相等的三角形为：、、， 故选：C． 51．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）如图，，的面积等于，，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线间的距离和三角形面积求法，过作于点，过作于点，根据平行线间的距离相等得出，最后由等底等高的三角形面积相等即可，解题的关键是熟练掌握平行线间的距离和等底等高的三角形面积相等． 解：如图，过作于点，过作于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 52．（20-21七年级下·吉林松原·期中）探究规律：我们有可以直接应用的结论：若两条直线平行，那么在一条直线上任取一点，无论这点在直线的什么位置，这点到另一条直线的距离均相等．例如：如图1，两直线，两点、在上，于，于，则． 如图2，已知直线，、为直线上的两点，、为直线上的两点． （1）请写出图中面积相等的各对三角形： ． （2）如果、、为三个定点，点在上移动，那么无论点移动到任何位置总有： 与的面积相等；理由是： ． 【答案】（1）和，和，和；（2） 同底等高的两个三角形，面积相等 【分析】（1）写出面积相等的各对三角形，我们拿与为例：两个三角形用公共边为底，再由图1的结论知道高相等，由三角形面积公式知两个三角形面积相等，其它对分析类似； （2）根据同底等高的两个三角形的面积相等，可以得出结论． 解：（1）有三对分别是：和，和，和， 分析如下： 和，两个三角形用公共边为底，再由图1的结论知道高相等，由三角形面积公式知两个三角形面积相等； 和，两个三角形以为底，高相等，即面积相等； 和，根据和面积相等，两个三角形同时减去，得和面积相等． 故答案为：和，和，和； （2）如果、、为三个定点，点在上移动，那么无论点移动到任何位置总有：与的面积相等，理由是：同底等高的两个三角形，面积相等； 分析如下： 与同底，点在上移动，那么无论点移动到任何位置，点到另一条直线的距离相等，使得这两个三角形是：同底等高的两个三角形，面积相等． 故答案为：，同底等高的两个三角形，面积相等 【点拨】本题考查平行线间的距离处处相等，解题的关键是读懂题意，答案全面． 第三部分 培优拓展篇 【考点15】相交线与平行线中的折叠问题 1．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图1，在一张正方形纸片（正方形的两组对边分别平行）的两边上分别有A，B两点，连接，点P是正方形纸片上一点，过点P翻折纸片，使点B落在直线上的点处，折痕交于点Q． （1）①判断折痕与的位置关系，并说明理由； ②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是_______； （2）在图1的基础上，展平纸片，得到图2，在图2中过点P折出并画出与平行的折痕（折痕左端点记为点D，右端点记为点E），请简要阐述折叠方法并说明理由； （3）将图2的纸片展平得到图3，点S是线段上一动点（不与点E重合），若，，，请直接写出的度数．（用、β的代数式表示） 【答案】（1）①，理由见分析；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）折叠方法：过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为，理由见分析；（3）或 【分析】（1）①根据折叠的性质得出，根据，求出，即可得出结论； ②根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进行解答即可； （2）过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为，根据平行线的判定进行证明即可； （3）分两种情况进行讨论：当点S在线段上时，当点S在线段上时，分别画出图形，进行求解即可． 解：（1）解：①；理由如下： 根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴； ②除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）解：折叠方法：过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为；如图所示：    理由：根据解析（1）可得：， ∵， ∴， ∴； （3）解：当点S在线段上时，如图所示：      ∵正方形纸片中， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ； 当点S在线段上时，如图所示：    ∵正方形纸片中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 综上分析可得：或． 【点拨】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质和判定，三角形内角和定理应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，注意分类讨论． 2．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动： 〖活动素材〗如图，长方形纸片． 〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的； 〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系； 〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢? 〖任务1〗求证：； 〖任务2〗若，求的度数； 〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系． 【答案】〖任务1〗  〖任务2〗  〖任务3〗 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，角平分线的定义，作辅助线构造平行线是解题的关键． （1）根据折叠的性质和平行线的性质解题即可； （2）根据平行线的性质得到，然后根据角的和差得到，然后根据解题即可； （3）根据任务的结论计算，然后过点作，则，然后根据平行线的性质得到，，然后根据即可得到结论． 解：〖任务1〗如图1，则， 又∵ ∴， ∴； 〖任务2〗解：由折叠可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； 〖任务3〗由折叠可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【考点16】相交线与平行线中的旋转问题 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1，，射线在平面内． （1）如图，垂直，平分，则的度数为______； （2）若与互补，求的大小； （3）若射线绕点O从射线的反向延长线的位置出发，以每秒的速度顺时针旋转；同时射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转，各自旋转后停止转动，请直接写出使得射线，，中某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线的时间______． 【答案】（1）；（2）或；（3）秒或秒或 秒或秒 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，垂线的定义，一元一次方程的应用． （1）根据垂直的定义和角平分线的定义可得出结论； （2）根据题意需要分两种情况：①当在的左侧时；②当在的下方时，分别画出图形求解即可得出结论； （3）根据题意需要分三种情况：当为的角平分线时（分停止前和停止后）；当为的角平分线时；当为的角平分线时分别求解即可得出结论． 解：（1）解：如图1 ∵垂直， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：． （2）解：如图2-1当在的左侧时，设，则， 由题意可知，， 解得； 如图2-2，当在的右侧时，设，则， 由题意可知，， 解得； 综上，符合题意的的度数为或； （3）解：如图， 为的平分线时， 由题意可知， 解得， 如图（已停止），为的平分线时， 由题意可知， 解得； 如图，为的平分线时，则， 解得； 如图，为的平分线时，则， 解得； 综上，射线，，中某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线的时间为秒或秒或 秒或秒． 故答案为：秒或秒或 秒或秒． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图1所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒4度，灯B转动的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即，且． （1）填空：___________； （2）若灯B射线先转动15秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ （3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前、若射出的光束交于点C，过C作交于点D、且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】（1）60；（2），当秒或秒时，两灯的光束互相平行；（3）不会变化， 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据，，即可得到的度数； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况讨论：当时，根据，可得；当时，根据，可得； （3）设灯A射线转动时间为t秒，根据，，即可得出，据此可得和关系不会变化． 解：（1）解：∵，， ∴， 故答案为：60； （2）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， ①当时，如图1， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； ②当时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行； （3）解：和关系不会变化，． 理由如下： 设灯A射线转动时间为t秒， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴和关系不会变化． 【考点17】相交线与平行线中的平移问题 5．（21-22七年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，，直线与，分别相交于点G，H，（）．小安将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，使点N，M分别在直线，上，且在点G，H的右侧，． （1） ____（填“”“ ”或“=”）． （2）如图2，的平分线交直线于点O． ①当时，求α的度数． ②小安将三角尺保持并向左平移，在平移的过程中求的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）①；②或 【分析】（1）过点P作，交于点Q，利用平行线的判定和性质，解答即可． （2）①利用平行线的性质，角的平分线的定义，等量代换思想解答即可． ②根据平移性质，平行线的性质，分类思想解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线的定义，三角板的应用，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 解：（1）解：如答图1，过点P作，交于点Q， 则. 答图1 ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：=. （2）解：①∵， ∴ 又∵的平分线交直线于点O． ∴ 又∵， ∴. 又∵， ∴. ②当点N在点G的右侧时． ∵， ∴， ∴. 又∵， ∴. 又∵平分， ∴ 又∵， ∴； 当点N在点G的左侧时，如答图2. 答图2 ∵， ∴， ∴. 又∵， ∴ 又∵平分， ∴， ∴. 综上所述，的度数为或. 6．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）如图，直线，直线与、分别交于点G、，．小新将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线、上，，； （1）填空： °； （2）若，的角平分线交直线于点O． ①如图②，当时，求α的度数； ②小新将三角板向右平移，直接写出的度数（用含a的式子表示）． 【答案】（1）90；（2）①；②或 【分析】本题考查平移，平行线的性质，角平分线定义，熟练掌握平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义是正确解答的关键． （1）根据平行线的性质得出即可； （2）①根据平行线的性质得出，根据，得出，根据角平分线定义得出，根据平行线的性质得出，即可求出求的度数； ②分两种情况进行讨论：当点在点左侧时，当点在点右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 解：（1）解：如图①，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：①，， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ； ②， ， 是的角平分线， ， ， 当点在点左侧时， ， ， ， ， ； 当点在点右侧时， ， ， ， ， 综上可知，的度数为或． 【考点18】相交线与平行线中的动点问题 7．（23-24七年级下·北京·期中）已知，直线，点为直线上一定点，直线交于点，平分，． （1）如图1，当时，________°； （2）点为射线上一点，点为直线上的一动点，连接，过点作交直线于点． ①如图，点在线段上，若点在点左侧，求与的数量关系； ②点在线段的延长线上，当点在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含的式子表示）． 【答案】（1）；（2）①；②或 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、角平分线．熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线，并分类讨论是解题的关键． （1）由平行线的性质得，由平角的定义得再由角平分线的定义求解即可； （2）①过点P作，则，根据平行线的性质和等量代换即可求解；②由题意知，分当时，当时，两种情况求解；当时，如图2，则，由平分，可得，由，可得；当时，如图3，作，则，同理可得，，，，由，可得，则，根据，计算求解即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：； （2）①解：过点P作，如图1，则，    ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ②解：由题意知，分当时，当时，两种情况求解； 当时，如图2，    ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 当时，如图3，作，则，    同理可得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 8．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）如图1，，． （1）①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系：________； （2）如图2，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； （3）在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 【答案】（1）①；②；（2）不发生变化，的度数为；（3）或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①过点作，则有，然后得到，，然后计算解题； ②过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由②可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同②的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 解：（1）解：①过点作， ， ， ，， 又， ， ； ②过点C作， ， ， ，， 又， ， ， 故答案为：； （2）不发生变化，，理由为： 由②可得，， 、的角平分线交于点， ， 过点作，则， ，， ； （3）由（2）得，，， ， ， 过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 的度数为或． 【考点19】相交线与平行线中的最值问题 9．（2025七年级下·江苏扬州·专题练习）在七年级的“平行线的性质与判定”的学习中，我们常借助于三角板来研究其相关知识，现有一副三角板如图1所示，其中．请同学们结合已有的知识及活动经验，解决下列问题： 【初步感知】 （1）如图2，将上述三角板的直角顶点重合在一起．当时，_________． （2）如图3，当CA平分时，请写出图中两条平行的直线，并说明理由． 【深度探究】 （3）将上述三角板按图4所示的方式摆放，点A，B在直线GH上，点D，F在直线MN上，直线，保持三角板ABC不动，现将三角板DEF绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为，且，则是否存在t的值，使边BC与另一块三角板DEF的一条边平行？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． （4）将上述三角板按图5所示的方式摆放，点C与点D重合，保持三角板ABC不动，将三角板DEF绕点C旋转，使点F在直线BC上方，当两块三角板的两条边互相平行时，若度数的最大值为m，最小值为n，则_________． 【答案】（1），（2）．理由见分析，（3）存在，t的值为10或40或55．（4） 解：（1） （2）．理由如下： 因为CA平分，所以．因为，即，，所以．因为，所以，所以． （3）分情况讨论：①如图1，当时，延长AC交MN于点P，延长BC交MN于点Q，则．因为，所以，所以，所以．由题可知，旋转角，所以，解得．②如图2，当时，延长BC交MN于点T．同理可得，．所以，解得．③如图3，当时，设EF交MV于点K，延长EF交GH于点O．同理可得，．由三角形外角的性质，得，所以，解得．综上所述，t的值为10或40或55． （4）当三角板DEF绕点C旋转时，因为，点F在直线BC上方，所以．分情况讨论：①如图4，当时，，因为，所以；②如图5，当时，；③如图6，当时，；④如图7，当时，，所以；⑤如图8，当时，延长BC交EF于点G，则，由三角形外角的性质，得，所以．综上所述，度数的最大值，最小值，所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$