专题04 线段的垂直平分线（3个高频易错考点训练共36题）-2025-2026学年北师大版八年级数学下册满分培优讲练测

本讲义聚焦八年级数学“线段的垂直平分线”核心知识点，系统梳理其性质（垂直平分线上的点到两端距离相等）、判定（到两端距离相等的点在垂直平分线上）及尺规作图方法，承接轴对称性质，为后续等腰三角形证明与几何应用搭建学习支架。 资料以3个高频易错考点设计15道分层题，通过易错点梳理强化推理意识，结合作图题培养几何直观与空间观念。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺，提升综合运用能力。

开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年八年级数学下册同步满分培优讲练测》。本书专为北师大版八年级下册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期中、期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​乐学数学宝藏库 2025-2026学年八年级数学下册同步满分培优讲练测 专题04 线段的垂直平分线 （3个高频易错考点训练共15题） 目录 考点一线段垂直平分线的性质 3 考点二线段垂直平分线的判定 6 考点三作垂线（尺规作图） 11 考点一线段垂直平分线的性质 1．如图，中，，，的垂直平分线交于D，交于E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理、等腰三角形的性质，解答此题的关键是熟知线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 先根据，求出及的度数，再由垂直平分线的性质求出的度数，再由三角形内角与外角的性质解答即可． 【解答】解：，， ， 垂直平分， ， ． 故选：D． 2．如图，在中，的垂直平分线交于点D，若，，则的周长是（  ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由线段垂直平分线可得，又由，，的周长，即可求得答案． 【解答】解：∵的垂直平分线交于点D， ∴． ∵，， ∴的周长是． 故选：B． 3．如图，在中，垂直平分，与交于点，与交于点．若，，则是 三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）． 【答案】钝角 【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得，则，推出，即可得出，从而判断三角形的形状． 【解答】解：∵垂直平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是钝角三角形． 故答案为：钝角． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和钝角三角形的判定，知道线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解决问题的关键． 4．如图，在四边形中，，点分别为上的动点，连接，当的周长最小时，的度数为 ． 【答案】126 【分析】延长至点，使得，延长至点，使得，由线段垂直平分线的性质得到，，从而得出，即当、、、四点共线时，周长最小，再根据三角形内角和定理以及外角的性质求解即可． 【解答】解：如图，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 当、、、四点共线时，最小，即周长最小，如图， ， ， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及外角的性质，最短路径问题等知识，得出当、、、四点共线时，周长最小是解题关键． 5．如图，在中，，是的垂直平分线，交于点D，交于点E．已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．先求出，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据角的和差求解即可得． 【解答】解：∵在中，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 考点二线段垂直平分线的判定 6．如图，，，则有（ ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据垂直平分线的判定定理推理，即可解题． 【解答】解：，， A、B在的垂直平分线上， 即垂直平分（但不一定垂直平分）． 故选：C． 7．如图，，点在上．下列说法正确的个数是（   ） ①；②；③；④点在的中垂线上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形“等边对等角”及“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合”是解题的关键． 先根据等腰三角形“等边对等角”的性质判断是否成立；再依据等腰三角形“三线合一”的性质，判断点是否在的中垂线上；最后分析点为上任意一点时，与是否一定成立，从而统计正确说法的个数． 【解答】解：， ， 正确； ， 点在的中垂线上， 正确； 点为上任意一点，不一定是中点， ， 错误； 不一定成立， 错误； 正确的说法有，共个， 故选：． 8．如图，，，，相交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的判定，直角三角形的性质，由，，则垂直平分，所以，从而可得，然后通过直角三角形的性质即可求解，熟练掌握以上性质和判定是解题的关键． 【解答】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点A，B，C均在格点上． （1） 度； （2）取格点D，连接，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在线段上画出点P，使得，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 45 取格点E，连接并延长交于点P，则点P即为所求 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，等边对等角等等，证明是等腰直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理及其逆定理可证明是等腰直角三角形，据此可得答案； （2）取格点E，连接并延长，交于点P，则点P即为所求；可证明，则垂直平分，则，可得，再由三角形外角的性质可得． 【解答】解：（1）由勾股定理和网格的特点可得， ， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：45； （2）如图所示，取格点E，连接并延长交于点P，则点P即为所求． 故答案为：取格点E，连接并延长交于点P，则点P即为所求． 10．如图，在四边形中，，，是的中点，，垂足为N，连接，交于点M．    (1)求证：； (2)求证：是线段的垂直平分线； (3)是等腰三角形吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)等腰三角形，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等是解题的关键： （1）证明，即可得出结论； （2）中点得到，进而得到，等边对等角，得到，三线合一即可得证； （3）中垂线得到，全等得到，进而得到，即可得证． 【解答】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵是的中点， ∴． 由（1）知， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴是线段的垂直平分线． （3）解：是等腰三角形．理由如下： 由（2）知是线段的垂直平分线， ∴． 由（1）知， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 考点三作垂线（尺规作图） 11．如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查垂线与角平分线的尺规作图及直角三角形的性质，由作图可知：平分，，由题意易得，则有，然后问题可求解． 【解答】解：由作图可知：平分，， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 12．如图，在中，为钝角，用直尺和圆规在边上确定一点D，使，则符合要求的作图痕迹是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图——作垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据垂直平分线的尺规作图方法得到A，B，C选项所作的都是垂直平分线，再根据垂直平分线的性质结合等边对等角进行判断即可．选项D由作图无法得到点D的特征，即可判断． 【解答】解：A、由作图痕迹为点在线段的垂直平分线上，则，因此，无法得到，故此选项不符合题意． B、作图痕迹为点在线段的垂直平分线上，则，因此，如图，故此选项符合题意． C、作图痕迹为点在线段的中点，无法得到，故此选项不符合题意． 、由作图无法得到点D的特征，无法得到，故选项不符合题意． 故选：B． 13．如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交边于点D．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、勾股定理是解答本题的关键． 连接，由作图可知，直线为线段的垂直平分线，可得，分别在和中，由勾股定理计算即可． 【解答】解：连接， 由作图可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 在中，由勾股定理得，． 在中，由勾股定理得， ， 故答案为：． 14．如图，在中， （1）的面积等于 ； （2）是边的中点，为边上的动点，是边上的动点．当的周长取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点和点，并简要说明点和点的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明） ． 【答案】 以点为圆心，长为半径画弧，与的延长线相交于点；以点为圆心，长为半径画弧，与相交于点；分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点；连接，与相交于点，与相交于点，则点即为所求 【分析】本题主要考查了尺规作图-作轴对称点． ()根据三角形的面积公式即可求解； ()利用轴对称找最短路径， 周长，为定点，需使最小，即分别作关于的对称点，连线与的交点即为． 【解答】（）解：∵在中，， ∴； 故答案为：； （）如图，以点为圆心，长为半径画弧，与的延长线相交于点； 以点为圆心，长为半径画弧，与相交于点； 分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点； 连接，与相交于点，与相交于点，则点即为所求． 故答案为：以点为圆心，长为半径画弧，与的延长线相交于点；以点为圆心，长为半径画弧，与相交于点；分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点；连接，与相交于点，与相交于点，则点即为所求． 15．如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作，与的延长线交于点，与的延长线交于点． (1)与的数量关系为___________． (2)尺规作图：在边上截取，过点作，垂足为． (3)在（2）的条件下，在上截取，连接，求证：． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余得，再根据等角对等边可得结论； （2）以点为圆心，以为半径画弧交于点，以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点、，然后分别以点、为圆心，以大于为半径在左侧各画一条弧交于点，再作直线即可； （3）分两种情况：当点在点的右侧；当点在点的左侧，分别画图，根据全等三角形的判定进行证明即可． 【解答】（1）解：∵在中，，， ∴， ∴， 即与的数量关系为， 故答案为：； （2）解：根据题意作图，如图所示： （3）证明：当点在点的右侧，如图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 由（1）知：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 当点在点的左侧，如图， 由前面过程可知：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 综上所述，． 【点睛】本题考查尺规作图（作一条线段等于已知线段，过一点作已知直线的垂线），等角对等边，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识点，掌握尺规作图、全等三角形的判定与性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年八年级数学下册同步满分培优讲练测》。本书专为北师大版八年级下册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期中、期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​乐学数学宝藏库 2025-2026学年八年级数学下册同步满分培优讲练测 专题04 线段的垂直平分线 （3个高频易错考点训练共15题） 目录 考点一线段垂直平分线的性质 3 考点二线段垂直平分线的判定 4 考点三作垂线（尺规作图） 6 考点一线段垂直平分线的性质 1．如图，中，，，的垂直平分线交于D，交于E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，的垂直平分线交于点D，若，，则的周长是（  ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．如图，在中，垂直平分，与交于点，与交于点．若，，则是 三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）． 4．如图，在四边形中，，点分别为上的动点，连接，当的周长最小时，的度数为 ． 5．如图，在中，，是的垂直平分线，交于点D，交于点E．已知，求的度数． 考点二线段垂直平分线的判定 6．如图，，，则有（ ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分 7．如图，，点在上．下列说法正确的个数是（   ） ①；②；③；④点在的中垂线上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，，，，相交于点，若，则 ． 9．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点A，B，C均在格点上． （1） 度； （2）取格点D，连接，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在线段上画出点P，使得，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 10．如图，在四边形中，，，是的中点，，垂足为N，连接，交于点M．    (1)求证：； (2)求证：是线段的垂直平分线； (3)是等腰三角形吗？请说明理由． 考点三作垂线（尺规作图） 11．如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹，则的度数是（   ） A． B． C． D． 12．如图，在中，为钝角，用直尺和圆规在边上确定一点D，使，则符合要求的作图痕迹是（   ）． A． B． C． D． 13．如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交边于点D．若，则的长为 ． 14．如图，在中， （1）的面积等于 ； （2）是边的中点，为边上的动点，是边上的动点．当的周长取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点和点，并简要说明点和点的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明） ． 15．如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作，与的延长线交于点，与的延长线交于点． (1)与的数量关系为___________． (2)尺规作图：在边上截取，过点作，垂足为． (3)在（2）的条件下，在上截取，连接，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $