专题05 角平分线（3个高频易错考点训练共15题）-2025-2026学年北师大版八年级数学下册满分培优讲练测

本初中数学讲义聚焦角平分线核心知识点，系统梳理性质定理（角平分线上的点到两边距离相等）、判定定理（到两边距离相等的点在角平分线上）及实际应用，构建从基础理论到现实问题解决的学习支架，衔接三角形全等与几何图形性质的知识脉络。 资料以高频易错考点训练为特色，通过小区绿化带喷灌处选址、商场位置确定等实际情境题，培养学生几何直观与应用意识，结合易错点梳理提升推理能力。课中辅助教师精准教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识综合运用。

开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年八年级数学下册同步满分培优讲练测》。本书专为北师大版八年级下册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期中、期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​乐学数学宝藏库 2025-2026学年八年级数学下册同步满分培优讲练测 专题05 角平分线 （3个高频易错考点训练共15题） 目录 考点一角平分线的性质定理 3 考点二角平分线的判定定理 4 考点三角平分线性质的实际应用 6 考点一角平分线的性质定理 1．如图，的三边，，的长分别为20，30，40，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若等于（   ） A．20 B．30 C．40 D．45 2．如图，平分，点P是上一点，于点M，点N是射线上的一个动点．若，，则的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，在中，的平分线交于点D，于点E，于点F，则CE的长为 　． 4．如图，已知，平分，点F、G分别在直线、直线上运动，那么在运动的过程中，下列说法中正确的有 （请填写序号） ①；②长度不变；③的值不变；④以O、G、E、F为顶点围成的四边形面积不变； 5．如图，中，，点D是的中点，，垂足为E．的平分线交于F．求证：是等腰直角三角形． 考点二角平分线的判定定理 6．如图，在中，P、Q分别是、上的点，作，，垂足分别为R、S，若，则这四个结论中正确的有（    ） ①AP平分；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．两个完全一样的直角三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（   ） A．的平分线上 B．外角的平分线上 C．边的垂直平分线上 D．外角的平分线上 8．如图，P是内射线上的一点，，，且，若，则的度数是 ． 9．如图，在四边形中，，，连接，，．若P是边上一动点，则长的最小值为 ． 10．（1）如图1，若、，且，求、（可含）． （2）如图2，若，取中点，中点，连接，求． 考点三角平分线性质的实际应用 11．某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 12．如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 13．如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若，则的周长是 ． 14．如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于 ． 15．如图，有三条公路a、b、c两两相交于A、B、C三点．现要建设一个商场P，使得它到三条公路的距离相等． (1)小海同学发现，符合条件的商场P的位置一共有4个，其中有一个在的内部．请用尺规作出在外部的另外3个符合要求的点P（保留作图痕迹，不必写作法，可将作出的三个点分别标记为、和）； (2)猜想：请你写出根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年八年级数学下册同步满分培优讲练测》。本书专为北师大版八年级下册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期中、期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​乐学数学宝藏库 2025-2026学年八年级数学下册同步满分培优讲练测 专题05 角平分线 （3个高频易错考点训练共15题） 目录 考点一角平分线的性质定理 3 考点二角平分线的判定定理 8 考点三角平分线性质的实际应用 13 考点一角平分线的性质定理 1．如图，的三边，，的长分别为20，30，40，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若等于（   ） A．20 B．30 C．40 D．45 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形中的角平分线的性质，熟练掌握三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等是解题的关键． 过分别作三边的垂线，垂足分别为，则可求得，先表达出、和的表达式，再由可求得的长，则可求得． 【解答】解：如图，过分别作三边的垂线，垂足分别为， 平分， ， 同理可得， ； ； ， ， ， ， ， 解得， ∴， 故选：B． 2．如图，平分，点P是上一点，于点M，点N是射线上的一个动点．若，，则的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用所学知识是解决本题的关键． 先根据勾股定理求出，再根据垂线段最短可得当时，的值最小，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等得，从而得解． 【解答】解：∵于点M，，， ∴， 当时，的值最小， ∵平分，， ∴， ∵， ∴的最小值为3． 故选：B． 3．如图，在中，的平分线交于点D，于点E，于点F，则CE的长为 　． 【答案】2 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，过D作于H，由角平分线的性质推出，，证明，由勾股定理求出，证得，得到，同理，得到，即可求出的长． 【解答】解：过D作于H， ∵平分，平分，，， ∴，，， ∴，， ∴，， 根据平行线间的距离处处相等的性质可得：，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 4．如图，已知，平分，点F、G分别在直线、直线上运动，那么在运动的过程中，下列说法中正确的有 （请填写序号） ①；②长度不变；③的值不变；④以O、G、E、F为顶点围成的四边形面积不变； 【答案】①③④ 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过点E作于M，于N，根据角平分线的性质得出，根据证明，得出，，即可判断①；根据证明，得出，即可判断③；根据全等三角形的性质得出，，即可判断④；根据勾股定理即可判断②． 【解答】解：过点E作于M，于N， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴，，故①正确； ∵平分， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴的值不变，故③正确； ∵，， ∴，， ∴， ∴以E、F、O、G为顶点围成的四边形的面积不变，故④正确； 根据勾股定理，得 ， ∵， ∴随点F的变化不断改变， ∴随点F的变化不断改变，即不断改变， ∴长度改变，故②错误． 故答案为：①③④． 5．如图，中，，点D是的中点，，垂足为E．的平分线交于F．求证：是等腰直角三角形． 【答案】见解析． 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，角平分线的判定与性质，外角，掌握知识点是解题的关键． 先推导出，平分，继而求出，得到， 则是等腰直角三角形，即可解答． 【解答】证明：∵，点D是的中点， ∴，平分． ∵平分，， ． ∴， ∴是等腰直角三角形． 考点二角平分线的判定定理 6．如图，在中，P、Q分别是、上的点，作，，垂足分别为R、S，若，则这四个结论中正确的有（    ） ①AP平分；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，角平分线性质的应用，根据角平分线判定定理即可推出①，根据即可推出②，根据等腰三角形性质推出，推出，根据平行线判定推出③即可；无法证明故④错误． 【解答】解：∵， ∴平分，故①正确； ∵， ∴， 又， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，故③正确； 在和中，缺少全等条件，故④错误， 故选：B． 7．两个完全一样的直角三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（   ） A．的平分线上 B．外角的平分线上 C．边的垂直平分线上 D．外角的平分线上 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，掌握到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键． 作射线，设两直角三角板中落在延长线的直角顶点为，落在边上的直角顶点为，由题意得，且，，根据角平分线的判定定理可证平分，从而得到答案． 【解答】解：如图，作射线，设两直角三角板中落在延长线的直角顶点为，落在边上的直角顶点为， 由题意得，且，， ∴平分，即点在外角的平分线上． 故选：B． 8．如图，P是内射线上的一点，，，且，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】根据角的平分线的判定，得到射线是的平分线，继而得到，解答即可． 本题考查了角的平分线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【解答】解：∵，，且， ∴射线是的平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．如图，在四边形中，，，连接，，．若P是边上一动点，则长的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 先证明为的平分线，再根据垂线段最短，可知当时，的长度最小，再根据角平分线的性质即可求解． 【解答】解：， ， ， ， ，，， ，即为的平分线， 为的平分线， 当时，的长度最小， 又∵， ， ，， ，即长的最小值为5． 故答案为：5． 10．（1）如图1，若、，且，求、（可含）． （2）如图2，若，取中点，中点，连接，求． 【答案】（1），（2） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是综合运用以上知识点； （1）过A作，设与交于N，先证明，再证明，即可证明平分，进而得解． （2）连接，证明，可得，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】（1）解：过A作，设与交于N， ， ， ， 、 ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 平分， ， ， ； （2）解：连接， ， ， 是的中点，是的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ． 考点三角平分线性质的实际应用 11．某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质， 由角平分线的交点到角边的距离相等，两同旁内角平分线的交点满足条件；这样的点有2个，可得可供选择的修建点有2个． 【解答】解：作和的平分线相交于，过作于E，于F，于G，    ∴， 即和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； 同理∶ 和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个； 故选：B． 12．如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，根据角平分线的性质定理可得OD=OE=OF=3cm，再由，即可求解． 【解答】解∶如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F， ∵和的角平分线交于点O，， ∴OD=OE，OD=OF， ∴OD=OE=OF=3cm， ∵的周长是， ∴AB+BC+AC=36cm， ∵， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离是解题的关键． 13．如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若，则的周长是 ． 【答案】13 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的应用，正确的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明和是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得，则的周长，从而得出答案． 【解答】解：∵平分， ∵， 同理， ∴的周长． 故答案为：13． 14．如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线性质的实际应用和三角形面积的求法，作辅助线很关键． 过点O作于于于F，得到，从而得到． 【解答】过点O作于于于F， ∵是三角形三条角平分线的交点， ， ， ． 故答案为：． 15．如图，有三条公路a、b、c两两相交于A、B、C三点．现要建设一个商场P，使得它到三条公路的距离相等． (1)小海同学发现，符合条件的商场P的位置一共有4个，其中有一个在的内部．请用尺规作出在外部的另外3个符合要求的点P（保留作图痕迹，不必写作法，可将作出的三个点分别标记为、和）； (2)猜想：请你写出根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形 ． 【答案】(1)见详解 (2)是锐角三角形 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，三角形的分类，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，故分别作出的角平分线，它们的交点分别记为、和，即可作答． （2）观察（1）的图，得出三角形是锐角三角形，即可作答． 【解答】（1）解：、和如图所示： （2）解：根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形是锐角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $