期中培优：垂直平分线的性质、角平分线的性质、尺规作图问题专项训练-2025-2026学年北师大版八年级数学下册

期中培优：垂直平分线的性质、角平分线的性质、尺规作图问题专项训练 期中培优：垂直平分线的性质、角平分线的性质、尺规作图问题专项训练 考点目录 垂直平分线的性质 角平分线的性质 尺规作图问题 考点一 垂直平分线的性质 例1．（2026·山东德州·一模）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q，作直线交于点D，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级下·内蒙古通辽·月考）如图，在菱形中，，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上一动点，则周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，在等边中，点D，E分别是BC，AC的中点，，点P是AD边上的一个动点，当最小时，求______°． 例5．（24-25八年级下·山东青岛·月考）如图，中，边、的垂直平分线分别交于点、，若，则 ______ 例6．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F，则的周长是___________ 变式1．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，点D在上，D点在的中垂线上，，则的长为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，且于，垂直平分，与交于，与交于，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 变式3．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）如图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）如图，已知直线是线段的垂直平分线，，则__________． 变式5．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连结，若，，则的周长为______． 变式6．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，的垂直平分线，交于点，连接，若，则________． 考点二 角平分线的性质 例1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则为（   ）度． A．30 B．45 C．36 D．54 例2．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是（    ） A． B． C．5 D．4 例3．（25-26八年级下·贵州铜仁·月考）如图，在中，，，，，平分交于，于，则为（ ） A． B． C． D． 例4．（25-26八年级上·福建福州·月考）如图中，，平分，于，给出下列结论：①；②平分；③平分；④；⑤．其中正确的是______． 例5．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，平分，，则点到直线的距离为____． 例6．（5-26九年级下·广东广州·月考）如图，为的平分线，过点作交于点，已知的长为3，则点到线段的距离为_____． 变式1．（25-26八年级上·浙江温州·月考）如图，在中，．以点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于D，E两点，再分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，射线交于点G，若，，则的面积为（　　） A．12 B．16 C．24 D．32 变式2．（24-25八年级下·山东济南·月考）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，作垂足为点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D．9 变式3．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图，在中，，．以A点为圆心，任意长为半径画弧分别交、于M、N，再分别以M、N为圆心画弧，两弧交于P点，连延长交于D．下列说法：①是的平分线；②；③是等腰三角形；④；其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式4．（24-25八年级上·上海静安·期末）如图，在中，，的角平分线交于点，，，则的面积是______． 变式5．（25-26八年级下·四川成都·月考）如图，中，为的角平分线，过点D作的垂线，垂足为点E，则的长为______． 变式6．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，在中，，是的平分线，已知，，则的面积是_____． 考点三 尺规作图问题 例1．（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知， (1)在边上求作一点，使得点到边的距离相等； (2)在（1）的基础上，求作上的点，满足点D到点之间的距离最短． 例2．（25-26八年级下·河南郑州·月考）已知如图：是等边三角形，延长到，使得． (1)用尺规作图的方法，过点作，垂足为点，连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：为等腰三角形． 例3．（2026·河南·一模）如图，在 中，，是上一点，且． (1)尺规作图：作的角平分线交于点，连接．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (2)求证：． 变式1．（25-26八年级下·山西运城·月考）如图，是的外角． (1)分别作和的平分线，两条平分线的交点为E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的度数． 变式2．（2026·福建厦门·一模）如图，在中，． (1)在上求作一点D，使；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，在AB上存在点E满足，连接．求证：． 变式3．（25-26八年级下·重庆万州·月考）学习了等腰三角形和尺规作图后，小云进行了拓展性研究，她发现“任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形”．下面是小云设计的尺规作图过程． 已知：如图，，． 求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形． 作法：①作直角边的垂直平分线，交斜边于点D； ②连接，则线段即为所求． 根据小云设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形（只保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ∴①________， ∴（②________）（填推理的依据）， ∵， ∴，③________， ∴， ∴④________， ∴和都是等腰三角形． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：垂直平分线的性质、角平分线的性质、尺规作图问题专项训练 期中培优：垂直平分线的性质、角平分线的性质、尺规作图问题专项训练 考点目录 垂直平分线的性质 角平分线的性质 尺规作图问题 考点一 垂直平分线的性质 例1．（2026·山东德州·一模）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q，作直线交于点D，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得出，再根据线段垂直平分线的性质，得出，进一步得出，最后根据角的和差关系，进行解答即可． 【详解】解：，， ． 由题意可知，垂直平分， ， ， ． 例2．（25-26九年级下·内蒙古通辽·月考）如图，在菱形中，，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意知所做的直线为线段的垂直平分线，得，得，根据三角形的外角定理即可解答． 【详解】解：题目中的作图方法是作线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 例3．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上一动点，则周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知点关于直线的对称点为点，当和重合时，的值最小，最小值等于的长度，即可得到结论． 【详解】解：垂直平分， 、两点关于对称， ， 当和重合时，的值最小，此时， 周长的最小值是． 例4．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，在等边中，点D，E分别是BC，AC的中点，，点P是AD边上的一个动点，当最小时，求______°． 【答案】60 【分析】连接，，由等边三角形的性质得到，，，则可证明，故当B、P、E三点共线时，有最小值，由等边对等角可得，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵等边中，点，分别是、的中点， ，，， ∴垂直平分， ， ， ∴当B、P、E三点共线时，有最小值， ， ， ． 例5．（24-25八年级下·山东青岛·月考）如图，中，边、的垂直平分线分别交于点、，若，则 ______ 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质推出，，得到，，因此，得到，即可求出的度数． 【详解】解：垂直平分，垂直平分， ，， ，， ， ， ， ． 例6．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F，则的周长是___________ 【答案】10 【分析】由线段垂直平分线的性质推出，得到的周长，即可求解． 【详解】解：垂直平分， ， 在的垂直平分线上， ， 的周长 ． 变式1．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，点D在上，D点在的中垂线上，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中垂线的性质可得，利用勾股定理求出，结合即可求解． 【详解】解：设边的中垂线为， ， ，，， ， ． 变式2．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，且于，垂直平分，与交于，与交于，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得，设，则，在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵且，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 变式3．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）如图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角和三角形内角和是，掌握了以上知识是解答本题的关键；先根据角平分线得到，再利用三角形内角和可得，根据垂直平分线的性质可得，然后即可求解的度数． 【详解】解：∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； 故选：B 变式4．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）如图，已知直线是线段的垂直平分线，，则__________． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 变式5．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连结，若，，则的周长为______． 【答案】9 【分析】由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，则的周长为，即可得出答案． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ， 的周长为． 变式6．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，的垂直平分线，交于点，连接，若，则________． 【答案】6 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，含的直角三角形，利用垂直平分线的性质是解题的关键． 首先根据垂直平分得到，再结合即可得到． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 考点二 角平分线的性质 例1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则为（   ）度． A．30 B．45 C．36 D．54 【答案】C 【分析】由等边对等角可得，由作图可得，平分，再由角平分线的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 由作图可得，平分， ∴． 例2．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是（    ） A． B． C．5 D．4 【答案】A 【分析】作于E，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：作于E，如图， 由作法得平分， ，， ， ， 的面积． 例3．（25-26八年级下·贵州铜仁·月考）如图，在中，，，，，平分交于，于，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据角平分线的性质得到，再证明得到，所以，设，则，然后在中利用勾股定理得到，从而解方程得到的长． 【详解】解：平分交于， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 解得， 即． 例4．（25-26八年级上·福建福州·月考）如图中，，平分，于，给出下列结论：①；②平分；③平分；④；⑤．其中正确的是______． 【答案】 ①②④⑤ 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等，熟练掌握以上知识点，证明是解此题的关键；根据角平分线的性质即可判断①；证明得到② ， 即可判断②，根据即可判断④，根据同角的余角相等即可判断⑤，并得到③错误． 【详解】解：∵，平分，， ∴，故①正确； 在和中， ∴， ∴ ， ∴平分，故②正确 ，故④正确； ∵ ∴，故⑤正确； ∵，而， ∴， ∴平分错误，故③错误； 综上所述，正确的有①②④⑤． 例5．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，平分，，则点到直线的距离为____． 【答案】2 【分析】角的平分线上的点到角的两边的距离相等，据此求解即可． 【详解】解：∵，平分，， ∴点到直线的距离． 例6．（5-26九年级下·广东广州·月考）如图，为的平分线，过点作交于点，已知的长为3，则点到线段的距离为_____． 【答案】3 【分析】根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求解． 【详解】解：∵为的平分线， ∴点到线段的距离等于点到线段的距离， ∵点到线段的距离， ∴点到线段的距离为3． 变式1．（25-26八年级上·浙江温州·月考）如图，在中，．以点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于D，E两点，再分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，射线交于点G，若，，则的面积为（　　） A．12 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】过点G作于点H，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：过点G作于点H， 根据题意得，是的角平分线， ∵，， ∴， ∴． 变式2．（24-25八年级下·山东济南·月考）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，作垂足为点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D．9 【答案】C 【分析】过点E作于点，由题意易得平分，根据角平分线性质得，根据勾股定理得，再由等腰三角形三线合一得． 【详解】解：过点E作于点， 由题意得平分， ，， ， ，， ， ， 故选：C． 变式3．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图，在中，，．以A点为圆心，任意长为半径画弧分别交、于M、N，再分别以M、N为圆心画弧，两弧交于P点，连延长交于D．下列说法：①是的平分线；②；③是等腰三角形；④；其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由三角形内角和定理可得，由作图可得，是的平分线，即可判断①；由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理即可判断②；由等腰三角形的定义即可判断③；由直角三角形的性质即可判断④． 【详解】解：∵在中，，． ∴， 由作图可得，是的平分线，故①正确； ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，即是等腰三角形，故③正确； ∵在中，，， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共个． 变式4．（24-25八年级上·上海静安·期末）如图，在中，，的角平分线交于点，，，则的面积是______． 【答案】 【分析】过作于点，通过角平分线的性质可得，再由面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过作于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴的面积是． 变式5．（25-26八年级下·四川成都·月考）如图，中，为的角平分线，过点D作的垂线，垂足为点E，则的长为______． 【答案】 【分析】作于交延长线于G，由平分，得到，由等腰三角形的性质得到，由勾股定理求出，得到的面积，由的面积的面积的面积，得到，因此，即可求出． 【详解】解：作于交延长线于G， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， ∵的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴． 变式6．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，在中，，是的平分线，已知，，则的面积是_____． 【答案】35 【分析】本题考查角平分线的性质．过点D作交于点E，根据角平分线性质可知，进而计算的面积即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E，    ∵平分，，， ∴， ∴． 故答案为：35． 考点三 尺规作图问题 例1．（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知， (1)在边上求作一点，使得点到边的距离相等； (2)在（1）的基础上，求作上的点，满足点D到点之间的距离最短． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】（1）作的角平分线即可； （2）过点作的垂线即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所作． （2）解：如图，点即为所作． 例2．（25-26八年级下·河南郑州·月考）已知如图：是等边三角形，延长到，使得． (1)用尺规作图的方法，过点作，垂足为点，连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：为等腰三角形． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）按照作垂线的尺规作图流程进行作图即可； （2）由等边三角形的性质可得，，，，结合可得，是顶角为的等腰三角形，则，命题得证． 【详解】（1）解：垂线和线段如图所示： （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形． 例3．（2026·河南·一模）如图，在 中，，是上一点，且． (1)尺规作图：作的角平分线交于点，连接．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）先证明，得出，，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理得出，即可证明，利用线段的和差关系即可得结论． 【详解】（1）解：如图即为所求， （2）证明：∵平分， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 变式1．（25-26八年级下·山西运城·月考）如图，是的外角． (1)分别作和的平分线，两条平分线的交点为E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法即可作图； （2）先根据角平分线得到，，由外角得到，代入即可得到，再由三角形的外角性质求解． 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴． 变式2．（2026·福建厦门·一模）如图，在中，． (1)在上求作一点D，使；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，在AB上存在点E满足，连接．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）用尺规作图作出线段的中点即可； （2）由（1）作图可知：，再结合可得，利用等边对等角、三角形内角和定理、角的和差可得，进而证明结论． 【详解】（1）解：如图：点D即为所求． （2）证明：由（1）作图可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 变式3．（25-26八年级下·重庆万州·月考）学习了等腰三角形和尺规作图后，小云进行了拓展性研究，她发现“任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形”．下面是小云设计的尺规作图过程． 已知：如图，，． 求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形． 作法：①作直角边的垂直平分线，交斜边于点D； ②连接，则线段即为所求． 根据小云设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形（只保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ∴①________， ∴（②________）（填推理的依据）， ∵， ∴，③________， ∴， ∴④________， ∴和都是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)①；②等边对等角；③；④ 【分析】（1）根据作法补全图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得，再根据角的等量代换得，进而可证得，由等腰三角形的判定即可求证结论． 【详解】（1）解：补全的图形如图所示； （2）解：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ∴， ∴（等边对等角）． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴和都是等腰三角形． 2 学科网（北京）股份有限公司 $